8.5.2直线与平面平行导学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.5.2直线与平面平行导学案教师版 教学目标： 1.通过直观感知、操作确认，理解直线与平面平行的判定定理并能进行简单应用；培养学生观察、发现问题的能力和空间想象能力。 2.理解直线与平面平行的性质定理；并利用直线与平面平行的性质定理解决简单的平行问题。 3.通过线线平行与线面平行转化，培养学生的学习兴趣。 教学重、难点： 重点：直线与平面平行的判定定理和性质定理； 难点：直线与平面平行的判定定理和性质定理的应用。 教学过程 1、 新知探究 回顾旧知：①判断两条直线平行有几种方法？ (1)三角形中位线定理；(2)平行四边形的对边；(3)成比例线段； (4)平行公理. ②直线和平面平行的定义：直线和平面没有公共点 探究一：直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行. 它可以用符号表示: 1、简记：线线平行，则面线平行。 2、归纳：线面平行的判定定理的三个方面：面内、面外、平行 3、判定定理的作用：判断直线与平面平行的重要依据 探究二：线面平行的性质定理：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 符号表示： 1、简记：线面平行，则线线平行。 2、定理的作用：判断直线与直线平行的重要依据。 3、定理的关键：寻找平面与平面的交线。 二、典例解析： 例1.求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边的平面. 已知：如图8.5-7，空间四边形中，E，F分别是，的中点. 求证：平面. 证明：连接. ∵，， ∴. 又平面，平面， ∴平面. 跟踪训练： 1．如图所示，在正方体中，直线与平面的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．直线在平面内 【答案】A 【详解】根据正方体性质知道，平面，平面， 则平面. 故选：A. 2．一棱长为的正四面体木块如下图所示，点在平面内，过点将木块锯开，且使截面平行于直线和，则在木块表面画线的总长度为（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【详解】 如图，在平面内过点作，分别交于点，则，. 在平面内作交于点，在平面内作交于点，则，， ∴，故截面为平行四边形， ∴在木块表面画线的总长度为. 故选：B. 3．（多选）如图，在直三棱柱中，，，，分别是棱，，的中点，在线段上，则下列说法中正确的有（    ） A．平面 B．平面 C．存在点，满足 D．三棱锥的体积不变 【答案】AD 【详解】由题设，易得是边长为2的正方形，且，， 又是的中点，则且，故为平行四边形， 所以，面，面，则平面，A对； 由上分析知，面即为面，显然直线与面相交，B错； 由，若，即， 令，则，， 而，则，即，显然无解，C错； 由，面，面，则平面， 又在线段上，故到面距离为定值，且的面积为定值， 所以三棱锥的体积不变，D对； 故选：AD 4．（多选）如图，在正方体中，分别是棱的中点，则（    ）    A．平面 B．平面 C．点在平面内 D．点在平面内 【答案】BD 【详解】    连接， 在正方体中，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面，故B正确. 因为分别为中点，所以，所以，所以四点共面，即点在平面内，故D正确； 再连接，显然不在平面内，所以与平面不平行，故A错误； 由平面，可知点不在平面内，故C错误. 故选：BD. 三、巩固提升： 例2.如图8.5-10（1）所示的一块木料中，棱平行于面. （1）要经过面内的一点P和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？ （2）所画的线与平面是什么位置关系？ 解：（1）如图8.5-10（2），在平面内，过点P作直线，使，并分别交棱，于点E，F，连接，，则，，就是应画的线. （2）因为棱平行于平面，平面与平面相交于，所以.由（1）知，，所以.而在平面内，在平面外，所以平面. 显然，，都与平面相交. 跟踪训练： 1．已知为三条不同的直线，为三个不同的平面．若，，，，则（    ） A．与相交 B．与相交 C．与平行 D．与相交 【答案】C 【详解】如图：    由，，，得． 又，，所以， 结合，，得． 故选：C 2．已知l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】因为，，，则， 所以“”是“”的必要条件； 因为，，， 所以，且，所以， 所以“”是“”的充分条件； 则“”是“”的充要条件． 故选：C． 3．如图，在三棱柱中，点在棱上，且分别是棱的中点，点在棱上，若平面CDE，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示，在平面内，作，与DE交于点，连接CF，则，所以共面，因为∥平面CDE，由线面平行的性质知，所以MFCN是平行四边形，所以. 又是的中点，所以MF是梯形的中位线， 设，则，即， 所以，所以. 故选：B. 4．在三棱柱， 是棱的中点， 是棱上一点， ，若平面，则的值为 . 【答案】 【详解】 如图所示，连接交于点，连接， 则平面平面， 又平面，且平面，， 又，是棱的中点， 所以，则， 所以，故， 故答案为：. 四、达标检测： 1．下列说法中，与“直线平面”等价的是（    ） A．直线与平面内的任意一条直线都不相交 B．直线与平面内的两条直线平行 C．直线与平面内无数条直线不相交 D．直线上有两个点不在平面内 【答案】A 【详解】平面直线与平面无交点和平面内的任意一条直线都不相交，A正确； 若直线与平面 内的两条直线平行，则直线可能在平面内或与平面平行，B错误； 若直线与平面内无数条直线不相交，则直线可能在平面内或与平面平行或与平面相交，C错误； 若直线上有两个点不在平面内，则直线可能与平面平行或与平面相交，D错误； 故选：A. 2．如图所示，四棱锥中，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面，则GH与EF的位置关系为（    ）    A．相交 B．平行 C．垂直 D．异面 【答案】B 【详解】因为平面，平面，且平面平面，所以， 因为平面，平面，且平面平面，所以， 因此. 故选：B. 3．如图，在正方形中，分别是的中点，则直线与平面的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．无法确定 【答案】B 【详解】连接交于，连接，，，而，分别是，的中点， 所以，即，且，即， 则四边形为平行四边形，故，由平面平面，则平面. 故选：B. 4．（多选）在正四棱柱中，，P、Q分别为棱、的中点，点E满足，，动点F在矩形内部及其边界上运动，且满足，点M在棱上，将绕边AD旋转一周得到几何体，则（   ） A．动点F的轨迹长度为 B．存在E，F，使得平面 C．三棱锥的体积是三棱锥体积的倍 D．当动点F的轨迹与几何体只有一个公共点时，几何体的侧面积为 【答案】ABD 【详解】 在正四棱柱中，，且，， 且因为，所以点是以点为圆心半径为的四分之一圆， 所以动点F的轨迹长度，正确； 连接，与交于点，在上任找一点，过该点作的平行线， 会跟相交于一点，再过该点作的平行线，必会与的轨迹相交， 所以存在使得平面，正确; 由题意，又因为、为、的中点，易得， 所以， 同理可得，C错误； 由题意，几何体是以为旋转轴，为母线的圆锥， 当动点的轨迹与几何体只有一个公共点时，圆锥与平面的交线与所在的圆弧相切， 且因为，有,所以， 则，可得，该圆锥的底面半径， 所以几何体的侧面积，正确. 故选：. 5．（多选）如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（    ） A．不存在点，使得平面 B．过，，三点的平面截正方体所得截面图形是梯形 C．三棱锥的体积为4 D．三棱锥的外接球表面积为 【答案】BD 【详解】 对于A，当为中点时，由中位线可得， 因为平面，平面，所以平面.故A错误； 对于B，由中位线可得，在正方体中，易证，所以， 又因为，所以截面为梯形，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，三棱锥的外接球可以补形为长方体外接球，半径， 所以表面积，故D正确. 故选：BD. 6．如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜度的不同，有下面五个命题： （1）有水的部分始终呈棱柱形； （2）没有水的部分始终呈棱柱形； （3）水面所在四边形的面积为定值； （4）棱始终与水面所在平面平行； （5）当容器倾斜如图（3）所示时，是定值． 其中所有正确命题的序号是 【答案】（1）（2）（4）（5） 【详解】根据棱柱的定义知，有两个面是互相平行且是全等的多边形， 其余每相邻两个面的交线也互相平行，而这些面都是平行四边形， 所以（1）和（2）正确； 因为水面所在四边形，从图2，图3可以看出，有两条对边边长不变而另外两条对边边长随倾斜度变化而变化， 所以水面四边形的面积是变化的，（3）错误； 因为棱始终与平行，与水面始终平行，所以（4）正确； 因为水的体积是不变的，高始终是也不变，所以底面积也不会变 ，即是定值， 所以（5）正确；综上知（1）（2）（4）（5）正确， 故答案为：（1）（2）（4）（5）. 7．如图，在正方体1中，，E、F、G分别为、、中点. (1)求三棱锥的表面积； (2)求证：平面. 【答案】(1)16； (2)证明见解析. 【详解】（1）在正方体中，，两两垂直， 由分别为的中点，得，， 等腰底边上的高， 所以三棱锥的表面积 . （2）连接，，连接， 由是正方形对边中点，得四边形是矩形，则是的中点， 而是的中点，因此，而平面，平面， 所以平面. 8.在如图所示的五面体中，四边形与均为等腰梯形，，，，，，、分别为、的中点，与相交于点．求证：平面． 【答案】证明见解析 【详解】连接，取的中点，连接、， 结合已知可得且， 所以四边形为平行四边形， 所以为中点， 因为为的中点，为中点， 则，且， 因为为的中点， 则，且， 则，且， 故四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面． 9．已知棱长为的正方体中，分别是的中点.    (1)求证：平面； (2)过三点作正方体的截面，画出截面（保留作图痕迹），并计算截面的周长. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）连接，则由中位线定理得 又由正方体性质得且， 所以四边形是平行四边形，所以， 所以，又平面，平面， 所以平面.    （2）如图，延长，与的交点分别为， 则连接即可得到过三点的正方体的截面， 由题意可知，故， 所以截面的周长为.    10．如图，正三棱柱中．，、分别为棱、的中点，且． (1)证明：∥平面； (2)三棱柱被平面截得的两部分．令三棱锥的体积为．多面体的体积为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接交于，连接，如图： ∵三棱柱为正三棱柱， ∴为的中点，又为的中点， ∴为的中位线，∴， 又平面，平面， ∴平面. （2）三棱柱被平面截得的两部分为三棱锥与多面体． ∵三棱柱为正三棱柱， ∴四边形为矩形，又， ∴，∴，解得. ∴三棱柱的体积为， 故三棱锥的体积为，即. 多面体的体积为．即， 所以. 11．如图，平面，，，，，点分别为的中点.求证：平面    【答案】证明见解析 【详解】连接，因为，， 所以.又因为，所以四边形为平行四边形， 又因为点分别为的中点，所以且， 因为，，所以且， 又因为点为的中点， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面.    12．如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，为棱上一点，且.    (1)求证：平面； (2)若，求绕直线旋转一周所得几何体的表面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为，则， 连接，因为， 则， 可得， 且平面平面， 所以平面. （2）因为四边形是等腰梯形，， 所以， 又因为，可知， 所以， 且，即， 在平面中，作，垂足分别为，    则，， 又因为，则，可得， 所以绕直线旋转一周所得几何体的表面积是两个底面半径均为，高均为的圆锥的侧面积之和， 故所得几何体的表面积为. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.5.2直线与平面平行导学案学生版 教学目标： 1.通过直观感知、操作确认，理解直线与平面平行的判定定理并能进行简单应用；培养学生观察、发现问题的能力和空间想象能力。 2.理解直线与平面平行的性质定理；并利用直线与平面平行的性质定理解决简单的平行问题。 3.通过线线平行与线面平行转化，培养学生的学习兴趣。 教学重、难点： 重点：直线与平面平行的判定定理和性质定理； 难点：直线与平面平行的判定定理和性质定理的应用。 教学过程 1、 新知探究 回顾旧知：①判断两条直线平行有几种方法？ ②直线和平面平行的定义： 探究一：直线与平面平行的判定定理： 它可以用符号表示: 1、简记： 2、归纳：线面平行的判定定理的三个方面： 3、判定定理的作用：判断直线与平面平行的重要依据 探究二：线面平行的性质定理： 符号表示： 1、简记： 2、定理的作用：判断直线与直线平行的重要依据。 3、定理的关键：寻找平面与平面的交线。 二、典例解析： 例1.求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边的平面. 已知：如图8.5-7，空间四边形中，E，F分别是，的中点. 跟踪训练： 1．如图所示，在正方体中，直线与平面的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．直线在平面内 2．一棱长为的正四面体木块如下图所示，点在平面内，过点将木块锯开，且使截面平行于直线和，则在木块表面画线的总长度为（ ） A． B． C． D．无法确定 3．（多选）如图，在直三棱柱中，，，，分别是棱，，的中点，在线段上，则下列说法中正确的有（    ） A．平面 B．平面 C．存在点，满足 D．三棱锥的体积不变 4．（多选）如图，在正方体中，分别是棱的中点，则（    ）    A．平面 B．平面 C．点在平面内 D．点在平面内 三、巩固提升： 例2.如图8.5-10（1）所示的一块木料中，棱平行于面. （1）要经过面内的一点P和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？ （2）所画的线与平面是什么位置关系？ 跟踪训练： 1．已知为三条不同的直线，为三个不同的平面．若，，，，则（    ） A．与相交 B．与相交 C．与平行 D．与相交 2．已知l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．如图，在三棱柱中，点在棱上，且分别是棱的中点，点在棱上，若平面CDE，则（   ）    A． B． C． D． 4．在三棱柱， 是棱的中点， 是棱上一点， ，若平面，则的值为 . 四、达标检测： 1．下列说法中，与“直线平面”等价的是（    ） A．直线与平面内的任意一条直线都不相交 B．直线与平面内的两条直线平行 C．直线与平面内无数条直线不相交 D．直线上有两个点不在平面内 2．如图所示，四棱锥中，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面，则GH与EF的位置关系为（    ）    A．相交 B．平行 C．垂直 D．异面 3．如图，在正方形中，分别是的中点，则直线与平面的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．无法确定 4．（多选）在正四棱柱中，，P、Q分别为棱、的中点，点E满足，，动点F在矩形内部及其边界上运动，且满足，点M在棱上，将绕边AD旋转一周得到几何体，则（   ） A．动点F的轨迹长度为 B．存在E，F，使得平面 C．三棱锥的体积是三棱锥体积的倍 D．当动点F的轨迹与几何体只有一个公共点时，几何体的侧面积为 5．（多选）如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（    ） A．不存在点，使得平面 B．过，，三点的平面截正方体所得截面图形是梯形 C．三棱锥的体积为4 D．三棱锥的外接球表面积为 6．如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜度的不同，有下面五个命题： （1）有水的部分始终呈棱柱形； （2）没有水的部分始终呈棱柱形； （3）水面所在四边形的面积为定值； （4）棱始终与水面所在平面平行； （5）当容器倾斜如图（3）所示时，是定值． 其中所有正确命题的序号是 7．如图，在正方体1中，，E、F、G分别为、、中点. (1)求三棱锥的表面积； (2)求证：平面. 8.在如图所示的五面体中，四边形与均为等腰梯形，，，，，，、分别为、的中点，与相交于点．求证：平面． 9．已知棱长为的正方体中，分别是的中点.    (1)求证：平面； (2)过三点作正方体的截面，画出截面（保留作图痕迹），并计算截面的周长. 10．如图，正三棱柱中．，、分别为棱、的中点，且． (1)证明：∥平面； (2)三棱柱被平面截得的两部分．令三棱锥的体积为．多面体的体积为，求． 11．如图，平面，，，，，点分别为的中点.求证：平面    12．如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，为棱上一点，且.    (1)求证：平面； (2)若，求绕直线旋转一周所得几何体的表面积. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$