8.3列联表与独立性检验专题应用训练-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019） 选择性必修第三册

选择性必修第三册第八章 8.3 列联表与独立性检验专题应用 【例1】（24-25高三·上海·课堂例题）下面是一个列联表： 总计 35 70 15 15 30 总计 50 100 其中、处填的值分别为 ． 【答案】35，50 【知识点】完善列联表 【分析】根据总计的计算公式进行求解即可. 【详解】在第二行中，， 在第三列中，， 故答案为：35，50 【变式训练1-1】（24-25高三·上海·课堂例题）某村庄对该村内50名村民每年是否体检的情况进行了调查，统计数据如下表所示： 每年体检（人） 每年未体检（人） 合计（人） 老年人 7 年轻人 6 合计 50 已知抽取的村民中老年人、年轻人各25名，则对列联表数据的分析错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】完善列联表 【分析】根据题意先得出的值，进而再得的值，进而可知的值. 【详解】因为抽取的村民中，老年人有25名，年轻人有25名，所以， 所以，A、B对； 所以，则对； 则错. 故选：. 【变式训练1-2】（22-23高二下·江苏·课后作业）有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀，得到列联表如下： 优秀 非优秀 总计 甲班 乙班 总计 105 已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是(　　) A．列联表中c的值为30，b的值为35 B．列联表中c的值为15，b的值为50 C．列联表中c的值为20，b的值为50 D．由列联表可看出成绩与班级有关系 【答案】D 【知识点】根据古典概型的概率求参数、完善列联表 【分析】根据成绩优秀的概率求得，进而求得，结合比例判断出正确答案. 【详解】依题意，解得，由解得. 补全列联表如下： 优秀 非优秀 总计 甲班 乙班 总计 105 甲班的优秀率为，乙班的优秀率为， ，所以成绩与班级有关.所以D选项正确，ABC选项错误. 故选：D 【变式训练1-3】（23-24高二下·广西河池·期末）假设有两个变量x与y的列联表如下表： a b c d 对于以下数据，对同一样本能说明x与y有关系的可能性最大的一组为（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【知识点】列联表分析 【分析】计算每个选项中的值，最大的即对同一样本能说明x与y有关系的可能性最大. 【详解】对于A， ， 对于B，， 对于C，， 对于D， 显然B中最大，该组数据能说明x与y有关系的可能性最大, 故选:B. 【变式训练1-4】 （2023·云南昆明·一模）考查棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到如表数据： 项目 种子处理 种子未处理 总计 得病 32 101 133 不得病 192 213 405 总计 224 314 538 根据以上数据，则（    ） A．种子是否经过处理决定是否生病 B．种子是否经过处理跟是否生病无关 C．种子是否经过处理跟是否生病有关 D．以上都是错误的 【答案】C 【知识点】列联表分析 【分析】根据表格提供的数据作出判断. 【详解】由列联表中的数据可知， 种子经过处理，得病的比例明显降低， 种子未经过处理，得病的比例要高些， 所以可得结论：种子是否经过处理跟是否生病有关. 故选：C 【例2】（22-23高二下·河北张家口·阶段练习）观察下图的等高条形图，其中最有把握认为两个分类变量，之间没有关系的是（    ） A．    B．  B．  C．   D．   【答案】B 【知识点】等高条形图 【分析】根据题意，由等高条形图的意义分析可得答案． 【详解】根据题意，在等高的条形图中，当，所占比例相差越大时，越有把握认为两个分类变量，之间有关系， 由选项可得：B选项中，，所占比例相差无几，所以最有把握认为两个分类变量，之间没有关系， 故选：B 【变式训练2-1】（21-22高二下·吉林·阶段练习）为了解户籍性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为100的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各50人，男性40人，女性60人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与选择不生育二胎的人数比例图（如图所示），其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则关于样本下列叙述中正确的是（    ） A．是否倾向选择生育二胎与户籍无关 B．是否倾向选择生育二胎与性别有关 C．倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同 D．倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数 【答案】D 【知识点】等高条形图 【分析】结合所给比例图，依次分析判断4个选项即可. 【详解】对于A，城镇户籍中选择生育二胎，农村户籍中选择生育二胎，相差较大，则是否倾向选择生育二胎与户籍有关，A错误； 对于B，男性和女性中均有选择生育二胎，则是否倾向选择生育二胎与性别无关，B错误； 对于C，由于男性和女性中均有选择生育二胎，但样本中男性40人，女性60人，则倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数不同，C错误； 对于D，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍有人，城镇户籍有人，农村户籍人数少于城镇户籍人数，D正确. 故选：D. 【变式训练2-2】（多选题）（22-23高二下·福建泉州·期中）如图是调查某地区男、女中学生喜欢数学的等高堆积条形图，阴影部分表示喜欢数学的百分比，从图可以看出（    ）    A．性别与喜欢数学无关 B．女生中喜欢数学的百分比为 C．男生比女生喜欢数学的可能性大些 D．男生不喜欢数学的百分比为 【答案】CD 【知识点】等高条形图 【分析】根据等高堆积条形图即可结合选项求解. 【详解】由图可知，女生喜欢数学的占，男生喜欢数学的占，男生不喜欢数学的百分比为，故B错误，D正确； 显然性别与喜欢数学有关，故A错误；男生比女生喜欢数学的可能性大些，故C正确. 故选：CD. 【例3】（24-25高二下·全国·单元测试）下列关于的说法正确的是（    ） A．根据列联表中的数据计算得出，则有的把握认为两个分类变量有关系 B．越大，认为两个分类变量有关系的把握性就越大 C．是用来判断两个分类变量有关系的可信程度的随机变量 D．，其中为样本容量 【答案】ABC 【知识点】独立性检验的概念及辨析、独立性检验解决实际问题、独立性检验的基本思想 【分析】根据独立性检验概念及公式分别判断各个选项. 【详解】根据列联表中的数据计算得出，则有的把握认为两个分类变量有关系，A选项正确； 越大，认为两个分类变量有关系的把握性就越大，B选项正确； 是用来判断两个分类变量有关系的可信程度的随机变量，C选项正确； 公式中分子应该是，D选项错误. 故选：ABC. 【变式训练3-1】（24-25高二下·全国·单元测试）有关独立性检验的四个说法，其中正确的是（    ） A．两个变量的列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，说明两个变量有关系的可能性就越大 B．对分类变量X与Y的统计量来说，越小，“X与Y有关系”的可信程度越小 C．从独立性检验可知：有95%的把握认为秃顶与患心脏病有关，我们说某人秃顶，那么他有95%的可能患有心脏病 D．从独立性检验可知：有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关，是指在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为吸烟与患肺癌有关 【答案】ABD 【知识点】独立性检验的概念及辨析、独立性检验解决实际问题 【分析】根据独立性检验的理论分别判断各个选项. 【详解】两个变量的列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，则越大，两个变量有关系的可能性越大，所以选项A正确； 越小，则“X与Y有关系”的可信度越小，所以选项B正确； 从独立性检验可知，有95%的把握认为秃顶与患心脏病有关，不表示某人秃顶他就有95%的可能患有心脏病，所以选项C不正确； 从独立性检验可知，有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关，是指在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为吸烟与患肺癌有关，是独立性检验的解释，所以选项D正确. 故选：ABD. 【变式训练3-2】（23-24高二下·河南信阳·期末）某医疗机构通过抽样调查（样本容量），利用列联表和统计量研究患肺癌是否与吸烟有关.计算得，经查对临界值表知，现给出四个结论，其中正确的是（    ） A．根据小概率值的独立性检验，认为“患肺癌与吸烟无关” B．在100个吸烟的人中约有99个人患肺癌 C．若老张吸烟，那么他有99%的可能性患肺癌 D．有99%的把握认为“患肺癌与吸烟有关” 【答案】D 【知识点】独立性检验的概念及辨析 【分析】根据独立性检验可得正确选项. 【详解】依已知数据，得有的把握认为“患肺癌与吸烟有关”， 则选项D正确，其余都是错误的. 故选：D. 【变式训练3-3】（24-25高三下·湖南永州·阶段练习）根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到．依据的独立性检验，则下列结论正确的是（   ） A．变量x与y不独立 B．变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05 C．变量x与y独立 D．变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05 【答案】C 【知识点】独立性检验的基本思想 【分析】直接利用独立性检验的知识求解. 【详解】按照独立性检验的知识及比对的参数值，当，我们可以下结论变量与独立.故排除选项A,B； 依据的独立性检验，， 所以不能得到：变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05； 故C正确，D错误. 故选：C 【例4】（24-25高二下·山东德州·阶段练习）某学校在一次调查“篮球迷”的活动中，获得了如下数据，以下结论最准确的是（   ） 男生 女生 篮球迷 90 20 非篮球迷 60 30 附： 0.10 0.05 0.01 0.005 k 2.706 3.841 6.635 7.789 A．有的把握认为是否是篮球迷与性别有关 B．有的把握认为是否是篮球迷与性别有关 C．在犯错误的概率不超过0.1的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关 D．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关 【答案】D 【知识点】完善列联表、卡方的计算 【分析】列出列联表，计算即可得解. 【详解】列出列联表： 男生 女生 篮球迷 90 20 110 非篮球迷 60 30 90 150 50 200 ， 故在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关. 故选：D 【变式训练4-1】（2023·甘肃兰州·模拟预测）为了检测某种新药的效果，现随机抽取100只小白鼠进行试验，得到如下列联表： 未治愈 治愈 合计 服用药物 10 40 50 未服用药物 20 30 50 合计 30 70 100 则下列说法一定正确的是（    ） 附：（其中）. 临界值表： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药有关” B．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药无关” C．在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药有关” D．在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药无关” 【答案】A 【知识点】独立性检验的基本思想、独立性检验解决实际问题、卡方的计算 【分析】根据表中数据求出的值，即可得答案. 【详解】解：由列联表中数据，计算， 且， 所以有的把握认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药有关” 所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药有关”. 故选：A. 【变式训练4-2】（24-25高二下·全国·课后作业）为了研究色盲与性别的关系，调查了1000人，调查结果如下表所示： 情况 性别 总计 男 女 正常 442 514 956 色盲 38 6 44 总计 480 520 1000 根据上述数据，试问色盲与性别关系是（    ） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 A．相互独立 B．不相互独立 C．有的把握认为色盲与性别无关 D．只有的把握认为色盲与性别有关 【答案】B 【知识点】独立性检验解决实际问题、卡方的计算 【分析】根据卡方公式计算数值，对比临界值即可求得结果. 【详解】零假设为：色盲与性别相互独立，即它们之间无关． 因为， 所以， 所以依据小概率值的独立性检验，可以推断出不成立， 即色盲与性别之间不相互独立，有的把握认为色盲与性别有关. 故选：B． 【例5】（24-25高二下·河北邢台·期中）下列说法中，错误的命题是（    ） A．在刻画回归模型的拟合效果时，的值越大，说明拟合的效果越好 B．线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱 C．设随机变量服从正态分布，则 D．对分类变量与，若计算出的越大，则判断“与有关系”的犯错误的概率越小 【答案】B 【知识点】相关系数的意义及辨析、独立性检验的概念及辨析、指定区间的概率 【分析】由的值与回归模型的关系可判断A选项；由相关系数的概念可判断B，利用正态分布密度曲线的对称性可判断C选项；利用独立型检验可判断D选项. 【详解】对于A：在刻画回归模型的拟合效果时，的值越大，说明拟合的效果越好，正确； 对于B：线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱，错误； 对于C：由正太密度曲线的对称性可知：，正确； 对于D：对分类变量与，若计算出的越大，则判断“与有关系”的犯错误的概率越小，正确. 故选：B 【变式训练5-1】（24-25高二下·辽宁辽阳·阶段练习）下列说法中，正确的个数是（    ） ①回归直线至少经过一个样本点； ②可以用相关系数刻画两个变量的相关程度强弱，值越大两个变量的相关程度越强； ③残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高； ④根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验（），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不超过． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】相关系数的意义及辨析、独立性检验的基本思想、解释回归直线方程的意义 【分析】根据线性回归方程和相关系数及残差分析、独立性检验逐个判断正误. 【详解】线性回归方程可以不经过任何一个样本点，①错， 值越大则两个变量的相关程度越强，②错， 残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高，③对. 因为，所以可判断与有关且犯错误的概率不超过0.05，④正确. 故选：B 【变式训练5-2】（24-25高二下·辽宁本溪·阶段练习）下列结论正确的是（   ） A．若回归方程，则变量与负相关 B．在分类变量，的列联表中，越小，与有关的可能性越大 C．若关于的回归方程为，则直线至少经过一个样本点 D．以拟合一组数据，设，得关于的回归直线方程为，则. 【答案】AD 【知识点】解释回归直线方程的意义、非线性回归、独立性检验的概念及辨析 【分析】根据线性回归方程的性质可判断A，C；根据分类变量，的列联表的性质可判断B；由非线性回归方程与线性回归方程的转化关系求解即可得的值. 【详解】对于A，若回归方程为，由于，则变量与负相关，故A正确； 对于B，在分类变量，的列联表中，越小，说明两个变量有关系的关系越弱，越大，说明两个变量有关的关系越强，故B不正确； 对于C，若关于的回归方程为，则直，故C不正确； 对于D，以拟合一组数据，设，则， 若关于的回归直线方程为，则，所以，则，故D正确. 故选：AD. 【例6】（2023·江西·模拟预测）为推动农村可持续生态农业的发展，广东某农场用五年的时间按照有机标准新改良了亩土地，预计在改良后的土地上种植有机水果和其它作物，并根据市场需求确定有机水果的种植面积.农场经营采用的是农业经营模式即社区支持农业，农场从会员中随机抽取了南方､北方会员共人，调查数据如下. 喜欢有机水果 不喜欢有机水果 南方会员 北方会员 (1)视频率为概率，分别估计南方､北方会员中喜欢有机水果的概率； (2)根据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜欢有机水果与会员的区域有关？ (3)已知农场会员有人，其中南方会员有人，若喜欢有机水果的人不低于人，则可种植亩左右的有机水果，否则只能种植亩左右，试问该农场应怎样安排有机水果的种植面积. 0.05 0.025 0.005 3.841 5.024 7.879 附：. 【答案】(1)南方，北方会员中喜欢有机水果A的概率分别为； (2)能； (3)可以种植50亩左右的有机水果A. 【知识点】独立性检验解决实际问题、均值的实际应用、卡方的计算、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）利用频率估计概率求南方、北方会员中喜欢有机水果A的概率； （2）根据列联表及卡方公式求出卡方值，结合独立检验基本思想即可得结论； （3）求出南方､北方会员中喜欢有机水果的均值，与1100比较大小，即可得结论. 【详解】（1）由题设，南方会员中喜欢有机水果A的概率， 北方会员中喜欢有机水果A的概率为， 所以南方、北方会员中喜欢有机水果A的概率分别为. （2）， 所以有的把握认为是否喜欢有机水果A与会员的区域有关. （3）由题，估计农场的会员中喜欢有机水果A的人数为， 所以农场可以种植50亩左右的有机水果A. 【变式训练6-1】（2024·全国·模拟预测）某卫视2024年春节联欢晚会为广大观众献上了一场精彩纷呈的文化盛宴．某中学寒假社会劳动与实践活动小组对该市居民发放3000份问卷，调查居民对该卫视春节联欢晚会的满意度情况，从收回的问卷中随机抽取300份进行分析，其中女性与男性的人数之比为，统计结果如下表所示： 女性 男性 合计 满意 120 不满意 60 合计 用样本估计总体，以频率估计概率． (1)完成列联表，并判断是否有的把握认为该市居民对该卫视春节联欢晚会的满意度情况与性别有关系； (2)分别估计该市女性居民与男性居民对该卫视春节联欢晚会满意的概率； (3)在该市满意的居民中按性别以分层抽样的方式随机抽取7人，再从这7人中随机抽取2人进行电话采访，求这2人性别不同的概率． 附：，其中． 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 【答案】(1)列联表见解析，有 (2)， (3) 【知识点】用频率估计概率、完善列联表、计算古典概型问题的概率、卡方的计算 【分析】（1）根据表中数据补全表格，再由公式计算的值，与临界值比较即可得出结果. （2）根据频率估计概率即可. （3）列出基本事件，再求出符合题意的基本事件，按照古典概型公式求解即可. 【详解】（1）依题意补充完整的列联表如下： 女性 男性 合计 满意 120 90 210 不满意 30 60 90 合计 150 150 300 所以， 故有的把握认为该市居民对该卫视春节联欢晚会的满意度情况与性别有关系． （2）该市女性居民对该卫视春节联欢晚会满意的概率， 男性居民对该卫视春节联欢晚会满意的概率． （3）根据列联表可得，抽取的7人中男性居民有3人，记为，女性居民有4人，记为1，2，3，4， 从这7人中随机抽取2人，基本事件为： ， ，共21种. 设事件为“这2人性别不同”，则事件包含的基本事件为： ，共12种． 故所求概率． 【变式训练6-2】（24-25高二下·内蒙古呼和浩特）某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表： 一周参加体育锻炼次数 0 1 2 3 4 5 6 7 合计 男生人数 3 2 2 5 6 5 4 3 30 女生人数 9 2 3 6 4 3 2 1 30 合计 12 4 5 11 10 8 6 4 60 (1)若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．请完成以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系； 不经常锻炼 经常锻炼 合计 男生 女生 合计 (2)若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题．以样本频率估计概率，在全校抽取3名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为，求分布列和； (3)若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望． 附： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】(1)列联表见解析，性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系； (2)分布列见解析，； (3)分布列见解析，期望为. 【分析】（1）根据已知完善列联表，进而求卡方值，应用独立性检验的基本思想得到结论； （2）（3）根据已知分析随机变量的可能值并求出对应概率，进而写出分布列，再求期望、方差. 【详解】（1）根据统计表格数据可得列联表如下： 性别 锻炼 合计 不经常 经常 男生 7 23 30 女生 14 16 30 合计 21 39 60 零假设为：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关； 根据列联表的数据计算可得， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1. （2）因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故近似服从二项分布， 易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率 即可得，， ，， ，， 故所求分布列为 0 1 2 3 故． （3）易知10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生， 所以的所有可能取值为，且服从超几何分布： ，， ， 故所求分布列为 0 1 2 3 可得. 【例7】（2023·全国·模拟预测）《开学第一课》是一年一度面向全国中小学生的大型公益节目，从2008年起于每年9月1日播出．2023年《开学第一课》以“强国复兴有我”为主题．为了了解观众对节目的喜爱程度，随机调查了，两个地区的100名观众，得到如下的2×2列联表． 非常喜欢 喜欢 合计 35 10 合计 已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众来自地区且喜爱程度为“非常喜欢”的概率为0.45． (1)完成上述表格．现从100名观众中根据喜爱程度及地区的不同用分层抽样的方法抽取20名进行问卷调查，则应抽取喜爱程度为“非常喜欢”的，地区的人数各是多少？ (2)若以抽样调查的频率为概率，从地区随机抽取2人，设抽到喜爱程度为“非常喜欢”的观众的人数为，求的分布列和期望． 【答案】(1)表格见详解，7名，9名 (2)分布列见详解， 【知识点】利用二项分布求分布列、完善列联表、二项分布的均值、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】（1）先补全2×2列联表，再根据分层抽样的知识即可求解； （2）由题意得随机变量服从二项分布，进而根据二项分布求解即可． 【详解】（1）由题意，得，解得， 补充完整的列联表，如下： 非常喜欢 喜欢 合计 35 10 45 45 10 55 合计 80 20 100 因为(名)，(名)，(名)， 所以抽取的喜爱程度为“非常喜欢”的地区观众有7名，B地区观众有9名. （2）从地区随机抽取1人，抽到的观众的喜爱程度为“非常喜欢”的概率. 随机变量服从二项分布， 随机变量的所有可能取值为0，1，2， 则， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 所以(或)． 【变式训练7-1】（2025·河北保定·一模）某工厂为了解员工绩效分数达标情况与员工性别的关系，随机对该厂男、女各30名员工的绩效分数达标情况进行调查，整理得到如下列联表： 单位：人 性别 绩效分数达标情况 合计 未达标 达标 男 20 10 30 女 5 25 30 合计 25 35 60 (1)经计算，所调查的男员工绩效分数的平均数为26；女员工绩效分数的平均数为34，求这60人绩效分数的平均数. (2)根据上表数据，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断绩效分数达标情况与性别有关联？ (3)该厂为激励员工，规定每月绩效分数的第一名奖励1千元，其他名次无奖励.甲为该厂员工，他在工厂开工的第一个月赢得奖励的概率为，从第二个月开始，若上个月没有赢得奖励，则这个月赢得奖励的概率为；若上个月赢得奖励，则这个月仍赢得奖励的概率为，求甲在前两个月所得奖金总额X（单位：千元）的分布列和数学期望. 附： 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 参考公式：，其中. 【答案】(1) (2)有关联 (3)分布列见解析， 【知识点】独立性检验解决实际问题、写出简单离散型随机变量分布列、计算几个数的平均数、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）根据题意计算即可； （2）由已知数据利用公式计算，与参考数据比较大小即可得出结论； （3）根据题意计算出可能取值及相应概率，即可得到分布列，再利用公式计算期望值. 【详解】（1）由题意可知，. （2）零假设为：绩效分数达标情况与性别无关. ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为绩效分数达标情况与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001. （3）由题意知可能的取值为， 则； ， 所以甲在前两个月所得奖金总额的分布列为 0 1 2 数学期望. 【变式训练7-2】（24-25高三下·上海·阶段练习）向“新”而行，向“新”而进，新质生产力能够更好地推动高质量发展.如人工智能中的大语言模型DeepSeek（以下简称DeepSeek）.为调查DeepSeek的应用是否会对相关从业人员的数量产生影响，某学校研究小组随机抽取了150名视频从业人员进行调查，结果如下表所示： DeepSeek的应用情况 相关从业人员 合计 减少 未减少 应用 54 72 没有应用 42 合计 90 150 (1)根据所给数据完成上表，并判断是否有95%的把握认为的应用与相关从业人员的减少有关？ (2)某公司视频部现有员工100人，公司拟开展DeepSeek培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮相互独立，有二轮及以上获得“优秀”的员工才能应用DeepSeek. （ⅰ）求员工经过培训能应用DeepSeek的概率. （ⅱ）已知开展DeepSeek培训前，员工每人每年平均为公司创造利润6万元；开展DeepSeek培训后，能应用DeepSeek的员工每人每年平均为公司创造利润10万元；DeepSeek培训平均每人每年成本为1万元.根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后剩余员工开展DeepSeek培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门？ 附：其中，） 【答案】(1)表格见解析，有的把握认为的应用与视频从业人员的减少有关 (2)（i）；（ii）人 【知识点】独立性检验解决实际问题、均值的实际应用、完善列联表、独立事件的乘法公式 【分析】（1）分析数据关系，完善列联表，提出零假设，计算，比较其与临界值大小，判断结论； （2）（i）设“员工第轮获得优秀”， “员工经过培训能应用”，则，结合互斥事件概率加法公式，独立事件概率乘法公式求结论； （ii）设视频部调人至其他部门，为培训后视频部能应用的人数，则，由条件列不等式可求结论. 【详解】（1）依题意，列联表如下： DeepSeek的应用情况 视频从业人员 合计 减少 未减少 应用 没有应用 合计 零假设为：的应用与视频从业人员的减少独立，的应用前后视频从业人员无差异， 由列联表中数据得，. 根据小概率值的的独立性检验，推断不成立， 所以有的把握认为的应用与视频从业人员的减少有关. （2）（i）设“员工第轮获得优秀”，且相互独立. 设“员工经过培训能应用”，则 ， 所以员工经过培训能应用的概率是. （ii）设视频部调人至其他部门，为培训后视频部能应用的人数， 则，因此， 调整后视频部的年利润为 （万元）， 令，解得，又，所以. 所以视频部最多可以调人到其他部门. 【例8】（24-25高二下·河南南阳）在2025年春晚《秧BOT》节目中，宇树科技的Unitree  H1“福兮”机器人采用人工智能（AI）驱动全身运动控制技术，能根据音乐旋律调整舞步，其最大关节扭矩高达360牛顿•米.节目播出后引发公众对机器人技术的兴趣和热情，为了了解不同性别的学生对AI的关注情况，随机抽取了90名学生，调查结果如下表： 关注 不关注 合计 男生 55 60 女生 合计 75 (1)完成上述列联表，依据该统计数据，能否有的把握认为学生对AI的关注与性别有关？ (2)在这90名学生中随机抽取一位，求在关注AI的情况下，该生为女生的概率. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)答案见解析；有的把握认为学生对AI的关注与性别有关. (2) 【分析】（1）根据题意，完成列联表，求出，对照数据即可得到结论. （2）根据条件概率的计算公式求解. 【详解】（1）完成列联表如下： 关注 不关注 合计 男生 55 5 60 女生 20 10 30 合计 75 15 90 则. 因为，所以有的把握认为学生对AI的关注与性别有关. （2）设事件：表示关注“关注AI”，事件表示“该生为女生”. 则，， 所以. 即在这90名学生中随机抽取一位，在关注AI的情况下，该生为女生的概率为. 【变式训练8】（2025·黑龙江·一模）第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨圆满落下帷幕．在这场盛大的亚洲冰雪盛会中，奖牌榜见证了各国运动员的荣耀与拼搏．中国队以32金27银26铜，总计85枚奖牌的傲人成绩，强势登顶奖牌榜，成为最大赢家．这一成绩不仅创造了中国队亚冬会历史最佳，更是追平了单届金牌数纪录，书写了中国冰雪运动的崭新篇章．冰球深受广大球迷的喜爱，每支球队都有一个或几个主力队员，现有一支冰球队，其中甲球员是其主力队员，经统计该球队在某阶段所有比赛中，甲球员是否上场时该球队的胜负情况如表： 甲球员是否上场 球队的胜负情况 合计 胜 负 上场 38 45 未上场 3 合计 40 (1)完成列联表，并判断根据小概率值的独立性检验，能否认为球队的胜负与甲球员是否上场有关联？ (2)由于队员的不同，甲球员主打的位置会进行调整，根据以往的数据统计，甲球员上场时，打边锋，中锋，后卫的概率分别为0.4，0.5，0.1，相应球队赢球的概率分别为0.7，0.9，0.5． （ⅰ）当甲球员上场参加比赛时，求球队赢球的概率；     （ⅱ）当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，求甲球员打中锋的概率． 附：． 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 2.072 2.706 3.741 5.024 6.635 10.728 【答案】(1)列联表见解析，有关 (2)（ⅰ）0.78；（ⅱ） 【分析】（1）先补全表格再计算卡方，最后根据临界值判断即可； （2）（ⅰ）先应用条件概率及全概率公式计算；（ⅱ）再应用贝叶斯公式计算求解. 【详解】（1）根据题意，可得的列联表： 甲球员是否上场 球队的胜负情况 合计 胜 负 上场 38 7 45 未上场 2 3 5 合计 40 10 50 零假设：球队胜负与甲球员是否上场无关 根据列联表中的数据，经计算得到 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为球队胜负与甲球员是否上场有关，此推断犯错误的概率不大于0.025． （2）甲球员上场时，打边锋，中锋，后卫的概率分别为0.4，0.5，0.1，相应球队赢的概率分别为0.7，0.9，0.5 （ⅰ）设事件：“甲球员上场打边锋”，事件：“甲球员上场打中锋” 事件：“甲球员上场打后卫”，事件：“球队赢球” 则 所以当甲球员上场参加比赛时，球队赢球的概率 当甲球员上场参加比赛时，求球队胜的概率0.78 （ⅱ）当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，甲球员打中锋的概率 ． 当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，甲球员打中锋的概率 【例9】火箭推进器，为测试其性能，对推进器飞行距离与损坏零件数进行了统计，数据如下： 飞行距离（km） 56 63 71 79 90 102 110 117 损坏零件数（个） 61 73 90 105 119 136 149 163 (1)建立关于的回归模型，根据所给数据及回归模型，求关于回归方程；（精确到0.1，精确到1） (2)该公司进行了第二次测试，从所有同型号推进器中随机抽取100台进行等距离飞行测试，飞行前对其中60台进行保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的推进器占比30%，请根据统计数据完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为推进器是否报废与保养有关？ \ 保养 未保养 合计 报废 20 未报废 合计 60 100 参考数据、公式如下： ，，，，，其中. 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】(1)； (2)表格见解析，有关. 【知识点】求回归直线方程、独立性检验解决实际问题、完善列联表、卡方的计算 【分析】（1）利用最小二乘法求出，即可得出回归方程， （2）根据题意可将列联表补充完整，根据公式可求得，再对照临界值表即可得出结论. 【详解】（1）由题意可得， ， 又由，， 所以， ， 所以变量关于的线性回归方程为. （2）设零假设：是否报废与是否保养无关. 由题意，报废推进器中保养过得共台，未保养的推进器共台，补充列联表如下： \ 保养 未保养 合计 报废 6 14 20 未报废 54 26 80 合计 60 40 100 则， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为是否报废与保养有关. 【变式训练9】（24-25高二上·河南焦作·期末）为了解某地区年月份电动汽车的销售情况，某机构经过调查，得到如下表所示的数据． 月份 月 月 月 月 月 月份代码 销售总额亿元 (1)求关于的线性回归方程； (2)该机构随机调查了该地区位购车车主的性别与购车种类，其中购买非电动汽车的男性有人，女性有人，购买电动汽车的男性有人，女性有人，请问是否有的把握认为购买电动汽车与性别有关． 附：①，在利用最小二乘法求得的线性回归方程中，；②，其中． 【答案】(1) (2)有的把握认为购买电动汽车与性别有关 【知识点】求回归直线方程、完善列联表、卡方的计算、独立性检验解决实际问题 【分析】（1）根据已知求出，然后利用最小二乘法直接求出线性回归方程即可； （2）根据已知列出列联表，然后直接利用公式求出，进而得出结论. 【详解】（1）由题可知，， 所以，， 故所求的线性回归方程为． （2）由题可得列联表如下． 性别 购买种类 合计 非电动汽车 电动汽车 男 女 合计 因为， 故有的把握认为购买电动汽车与性别有关． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 选择性必修第三册第八章 8.3 列联表与独立性检验专题应用 【例1】（24-25高三·上海·课堂例题）下面是一个列联表： 总计 35 70 15 15 30 总计 50 100 其中、处填的值分别为 ． 【变式训练1-1】（24-25高三·上海·课堂例题）某村庄对该村内50名村民每年是否体检的情况进行了调查，统计数据如下表所示： 每年体检（人） 每年未体检（人） 合计（人） 老年人 7 年轻人 6 合计 50 已知抽取的村民中老年人、年轻人各25名，则对列联表数据的分析错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】（22-23高二下·江苏·课后作业）有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀，得到列联表如下： 优秀 非优秀 总计 甲班 乙班 总计 105 已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是(　　) A．列联表中c的值为30，b的值为35 B．列联表中c的值为15，b的值为50 C．列联表中c的值为20，b的值为50 D．由列联表可看出成绩与班级有关系 【变式训练1-3】（23-24高二下·广西河池·期末）假设有两个变量x与y的列联表如下表： a b c d 对于以下数据，对同一样本能说明x与y有关系的可能性最大的一组为（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【变式训练1-4】 （2023·云南昆明·一模）考查棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到如表数据： 项目 种子处理 种子未处理 总计 得病 32 101 133 不得病 192 213 405 总计 224 314 538 根据以上数据，则（    ） A．种子是否经过处理决定是否生病 B．种子是否经过处理跟是否生病无关 C．种子是否经过处理跟是否生病有关 D．以上都是错误的 【例2】（22-23高二下·河北张家口·阶段练习）观察下图的等高条形图，其中最有把握认为两个分类变量，之间没有关系的是（    ） A．    B．  B．  C．   D．   【变式训练2-1】（21-22高二下·吉林·阶段练习）为了解户籍性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为100的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各50人，男性40人，女性60人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与选择不生育二胎的人数比例图（如图所示），其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则关于样本下列叙述中正确的是（    ） A．是否倾向选择生育二胎与户籍无关 B．是否倾向选择生育二胎与性别有关 C．倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同 D．倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数 【变式训练2-2】（多选题）（22-23高二下·福建泉州·期中）如图是调查某地区男、女中学生喜欢数学的等高堆积条形图，阴影部分表示喜欢数学的百分比，从图可以看出（    ）    A．性别与喜欢数学无关 B．女生中喜欢数学的百分比为 C．男生比女生喜欢数学的可能性大些 D．男生不喜欢数学的百分比为 【例3】（24-25高二下·全国·单元测试）下列关于的说法正确的是（    ） A．根据列联表中的数据计算得出，则有的把握认为两个分类变量有关系 B．越大，认为两个分类变量有关系的把握性就越大 C．是用来判断两个分类变量有关系的可信程度的随机变量 D．，其中为样本容量 【变式训练3-1】（24-25高二下·全国·单元测试）有关独立性检验的四个说法，其中正确的是（    ） A．两个变量的列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，说明两个变量有关系的可能性就越大 B．对分类变量X与Y的统计量来说，越小，“X与Y有关系”的可信程度越小 C．从独立性检验可知：有95%的把握认为秃顶与患心脏病有关，我们说某人秃顶，那么他有95%的可能患有心脏病 D．从独立性检验可知：有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关，是指在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为吸烟与患肺癌有关 【变式训练3-2】（23-24高二下·河南信阳·期末）某医疗机构通过抽样调查（样本容量），利用列联表和统计量研究患肺癌是否与吸烟有关.计算得，经查对临界值表知，现给出四个结论，其中正确的是（    ） A．根据小概率值的独立性检验，认为“患肺癌与吸烟无关” B．在100个吸烟的人中约有99个人患肺癌 C．若老张吸烟，那么他有99%的可能性患肺癌 D．有99%的把握认为“患肺癌与吸烟有关” 【变式训练3-3】（24-25高三下·湖南永州·阶段练习）根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到．依据的独立性检验，则下列结论正确的是（   ） A．变量x与y不独立 B．变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05 C．变量x与y独立 D．变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05 【例4】（24-25高二下·山东德州·阶段练习）某学校在一次调查“篮球迷”的活动中，获得了如下数据，以下结论最准确的是（   ） 男生 女生 篮球迷 90 20 非篮球迷 60 30 附： 0.10 0.05 0.01 0.005 k 2.706 3.841 6.635 7.789 A．有的把握认为是否是篮球迷与性别有关 B．有的把握认为是否是篮球迷与性别有关 C．在犯错误的概率不超过0.1的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关 D．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关 【变式训练4-1】（2023·甘肃兰州·模拟预测）为了检测某种新药的效果，现随机抽取100只小白鼠进行试验，得到如下列联表： 未治愈 治愈 合计 服用药物 10 40 50 未服用药物 20 30 50 合计 30 70 100 则下列说法一定正确的是（    ） 附：（其中）. 临界值表： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药有关” B．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药无关” C．在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药有关” D．在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药无关” 【变式训练4-2】（24-25高二下·全国·课后作业）为了研究色盲与性别的关系，调查了1000人，调查结果如下表所示： 情况 性别 总计 男 女 正常 442 514 956 色盲 38 6 44 总计 480 520 1000 根据上述数据，试问色盲与性别关系是（    ） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 A．相互独立 B．不相互独立 C．有的把握认为色盲与性别无关 D．只有的把握认为色盲与性别有关 【例5】（24-25高二下·河北邢台·期中）下列说法中，错误的命题是（    ） A．在刻画回归模型的拟合效果时，的值越大，说明拟合的效果越好 B．线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱 C．设随机变量服从正态分布，则 D．对分类变量与，若计算出的越大，则判断“与有关系”的犯错误的概率越小 【变式训练5-1】（24-25高二下·辽宁辽阳·阶段练习）下列说法中，正确的个数是（    ） ①回归直线至少经过一个样本点； ②可以用相关系数刻画两个变量的相关程度强弱，值越大两个变量的相关程度越强； ③残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高； ④根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验（），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不超过． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练5-2】（24-25高二下·辽宁本溪·阶段练习）下列结论正确的是（   ） A．若回归方程，则变量与负相关 B．在分类变量，的列联表中，越小，与有关的可能性越大 C．若关于的回归方程为，则直线至少经过一个样本点 D．以拟合一组数据，设，得关于的回归直线方程为，则. 【例6】（2023·江西·模拟预测）为推动农村可持续生态农业的发展，广东某农场用五年的时间按照有机标准新改良了亩土地，预计在改良后的土地上种植有机水果和其它作物，并根据市场需求确定有机水果的种植面积.农场经营采用的是农业经营模式即社区支持农业，农场从会员中随机抽取了南方､北方会员共人，调查数据如下. 喜欢有机水果 不喜欢有机水果 南方会员 北方会员 (1)视频率为概率，分别估计南方､北方会员中喜欢有机水果的概率； (2)根据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜欢有机水果与会员的区域有关？ (3)已知农场会员有人，其中南方会员有人，若喜欢有机水果的人不低于人，则可种植亩左右的有机水果，否则只能种植亩左右，试问该农场应怎样安排有机水果的种植面积. 0.05 0.025 0.005 3.841 5.024 7.879 附：. 【变式训练6-1】（2024·全国·模拟预测）某卫视2024年春节联欢晚会为广大观众献上了一场精彩纷呈的文化盛宴．某中学寒假社会劳动与实践活动小组对该市居民发放3000份问卷，调查居民对该卫视春节联欢晚会的满意度情况，从收回的问卷中随机抽取300份进行分析，其中女性与男性的人数之比为，统计结果如下表所示： 女性 男性 合计 满意 120 不满意 60 合计 用样本估计总体，以频率估计概率． (1)完成列联表，并判断是否有的把握认为该市居民对该卫视春节联欢晚会的满意度情况与性别有关系； (2)分别估计该市女性居民与男性居民对该卫视春节联欢晚会满意的概率； (3)在该市满意的居民中按性别以分层抽样的方式随机抽取7人，再从这7人中随机抽取2人进行电话采访，求这2人性别不同的概率． 附：，其中． 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 【变式训练6-2】（24-25高二下·内蒙古呼和浩特）某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表： 一周参加体育锻炼次数 0 1 2 3 4 5 6 7 合计 男生人数 3 2 2 5 6 5 4 3 30 女生人数 9 2 3 6 4 3 2 1 30 合计 12 4 5 11 10 8 6 4 60 (1)若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．请完成以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系； 不经常锻炼 经常锻炼 合计 男生 女生 合计 (2)若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题．以样本频率估计概率，在全校抽取3名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为，求分布列和； (3)若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望． 附： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【例7】（2023·全国·模拟预测）《开学第一课》是一年一度面向全国中小学生的大型公益节目，从2008年起于每年9月1日播出．2023年《开学第一课》以“强国复兴有我”为主题．为了了解观众对节目的喜爱程度，随机调查了，两个地区的100名观众，得到如下的2×2列联表． 非常喜欢 喜欢 合计 35 10 合计 已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众来自地区且喜爱程度为“非常喜欢”的概率为0.45． (1)完成上述表格．现从100名观众中根据喜爱程度及地区的不同用分层抽样的方法抽取20名进行问卷调查，则应抽取喜爱程度为“非常喜欢”的，地区的人数各是多少？ (2)若以抽样调查的频率为概率，从地区随机抽取2人，设抽到喜爱程度为“非常喜欢”的观众的人数为，求的分布列和期望． 【变式训练7-1】（2025·河北保定·一模）某工厂为了解员工绩效分数达标情况与员工性别的关系，随机对该厂男、女各30名员工的绩效分数达标情况进行调查，整理得到如下列联表： 单位：人 性别 绩效分数达标情况 合计 未达标 达标 男 20 10 30 女 5 25 30 合计 25 35 60 (1)经计算，所调查的男员工绩效分数的平均数为26；女员工绩效分数的平均数为34，求这60人绩效分数的平均数. (2)根据上表数据，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断绩效分数达标情况与性别有关联？ (3)该厂为激励员工，规定每月绩效分数的第一名奖励1千元，其他名次无奖励.甲为该厂员工，他在工厂开工的第一个月赢得奖励的概率为，从第二个月开始，若上个月没有赢得奖励，则这个月赢得奖励的概率为；若上个月赢得奖励，则这个月仍赢得奖励的概率为，求甲在前两个月所得奖金总额X（单位：千元）的分布列和数学期望. 附： 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 参考公式：，其中. 【变式训练7-2】（24-25高三下·上海·阶段练习）向“新”而行，向“新”而进，新质生产力能够更好地推动高质量发展.如人工智能中的大语言模型DeepSeek（以下简称DeepSeek）.为调查DeepSeek的应用是否会对相关从业人员的数量产生影响，某学校研究小组随机抽取了150名视频从业人员进行调查，结果如下表所示： DeepSeek的应用情况 相关从业人员 合计 减少 未减少 应用 54 72 没有应用 42 合计 90 150 (1)根据所给数据完成上表，并判断是否有95%的把握认为的应用与相关从业人员的减少有关？ (2)某公司视频部现有员工100人，公司拟开展DeepSeek培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮相互独立，有二轮及以上获得“优秀”的员工才能应用DeepSeek. （ⅰ）求员工经过培训能应用DeepSeek的概率. （ⅱ）已知开展DeepSeek培训前，员工每人每年平均为公司创造利润6万元；开展DeepSeek培训后，能应用DeepSeek的员工每人每年平均为公司创造利润10万元；DeepSeek培训平均每人每年成本为1万元.根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后剩余员工开展DeepSeek培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门？ 附：其中，） 【例8】（24-25高二下·河南南阳）在2025年春晚《秧BOT》节目中，宇树科技的Unitree  H1“福兮”机器人采用人工智能（AI）驱动全身运动控制技术，能根据音乐旋律调整舞步，其最大关节扭矩高达360牛顿•米.节目播出后引发公众对机器人技术的兴趣和热情，为了了解不同性别的学生对AI的关注情况，随机抽取了90名学生，调查结果如下表： 关注 不关注 合计 男生 55 60 女生 合计 75 (1)完成上述列联表，依据该统计数据，能否有的把握认为学生对AI的关注与性别有关？ (2)在这90名学生中随机抽取一位，求在关注AI的情况下，该生为女生的概率. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【变式训练8】（2025·黑龙江·一模）第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨圆满落下帷幕．在这场盛大的亚洲冰雪盛会中，奖牌榜见证了各国运动员的荣耀与拼搏．中国队以32金27银26铜，总计85枚奖牌的傲人成绩，强势登顶奖牌榜，成为最大赢家．这一成绩不仅创造了中国队亚冬会历史最佳，更是追平了单届金牌数纪录，书写了中国冰雪运动的崭新篇章．冰球深受广大球迷的喜爱，每支球队都有一个或几个主力队员，现有一支冰球队，其中甲球员是其主力队员，经统计该球队在某阶段所有比赛中，甲球员是否上场时该球队的胜负情况如表： 甲球员是否上场 球队的胜负情况 合计 胜 负 上场 38 45 未上场 3 合计 40 (1)完成列联表，并判断根据小概率值的独立性检验，能否认为球队的胜负与甲球员是否上场有关联？ (2)由于队员的不同，甲球员主打的位置会进行调整，根据以往的数据统计，甲球员上场时，打边锋，中锋，后卫的概率分别为0.4，0.5，0.1，相应球队赢球的概率分别为0.7，0.9，0.5． （ⅰ）当甲球员上场参加比赛时，求球队赢球的概率；     （ⅱ）当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，求甲球员打中锋的概率． 附：． 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 2.072 2.706 3.741 5.024 6.635 10.728 【例9】火箭推进器，为测试其性能，对推进器飞行距离与损坏零件数进行了统计，数据如下： 飞行距离（km） 56 63 71 79 90 102 110 117 损坏零件数（个） 61 73 90 105 119 136 149 163 (1)建立关于的回归模型，根据所给数据及回归模型，求关于回归方程；（精确到0.1，精确到1） (2)该公司进行了第二次测试，从所有同型号推进器中随机抽取100台进行等距离飞行测试，飞行前对其中60台进行保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的推进器占比30%，请根据统计数据完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为推进器是否报废与保养有关？ \ 保养 未保养 合计 报废 20 未报废 合计 60 100 参考数据、公式如下： ，，，，，其中. 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【变式训练9】（24-25高二上·河南焦作·期末）为了解某地区年月份电动汽车的销售情况，某机构经过调查，得到如下表所示的数据． 月份 月 月 月 月 月 月份代码 销售总额亿元 (1)求关于的线性回归方程； (2)该机构随机调查了该地区位购车车主的性别与购车种类，其中购买非电动汽车的男性有人，女性有人，购买电动汽车的男性有人，女性有人，请问是否有的把握认为购买电动汽车与性别有关． 附：①，在利用最小二乘法求得的线性回归方程中，；②，其中． 学科网（北京）股份有限公司 $$