精品解析：吉林省长春市十一高中2024-2025学年高二下学期4月月考数学试题

长春市十一高中2024-2025学年度高二下学期第一学程考试 数 学 试题 第Ⅰ卷（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 展开式中的常数项为（ ） A. 10 B. C. 80 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先写出二项式的通项，再令的指数为，求出，代入通项即可得出结果. 【详解】展开式的通项为，. 令，解得， 所以展开式中的常数项为. 故选：D. 2. 下列说法中正确的有（ ） ①线性回归方程至少经过一个样本点； ②可以用相关系数r刻画两个变量的相关程度强弱，r值越大则两个变量的相关程度越强； ③在回归分析中，决定系数的模型比的模型拟合效果要好； ④残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据线性回归方程和相关系数及残差分析即可判断正误. 【详解】线性回归方程可以不经过任何一个样本点，①错， 值越大则两个变量的相关程度越强，②错， 决定系数越大，模型拟合效果越好，③对， 残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高，④对. 故选：B. 3. 已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则＝（ ） X －1 0 a 2 P b A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据概率之和等于建立等式求解出，再利用期望的性质及算法建立等式求解，即可求解． 【详解】由题意知， 解得， 因为，所以，即， 则， 解得，所以， 故选：C． 4. 5G通信中的信号是由“0”和“1”组成的二进制编码．某信号的二进制编码由6个数字组成，则该信号编码中恰好有3个“1”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用古典概型以及分步乘法计数原理计算可得概率. 【详解】根据题意可知某信号的6位数字均有“0”和“1”两种选择， 因此可以编码出种信号； 若信号编码中恰好有3个“1”，则其余三个数字是0，共有种信号， 因此该信号编码中恰好有3个“1”的概率为. 故选：B 5. 已知一道解答题共有两小问，小李有0.6的概率可以解答出第一问．在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为0.1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为0.7，则解答出第二问的概率为（ ） A. 0.46 B. 0.22 C. 0.18 D. 0.04 【答案】B 【解析】 【分析】令表示第一问解答出来，表示第二问解答出来，应用对立事件的概率求法得、，再应用全概率公式求解答出第二问的概率. 【详解】令表示第一问解答出来，表示第二问解答出来， 则，，，故，， 所以. 故选：B 6. 设数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则（ ） A. 1011 B. 1022 C. 1033 D. 1044 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，分别求出和的通项公式，再求出的通项，并利用分组求和法求解即得. 【详解】由数列是以2为首项，1为公差的等差数列，得， 由是以1为首项，2为公比的等比数列，得， 因此，所以. 故选：C 7. 点，分别为双曲线（，）的左、右焦点，点P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，，的面积为，e为双曲线的离心率，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知得且，进而得到，即可得. 【详解】由题设为平行四边形，且，如下图， 又，则为矩形，则， 而，可得，则， 所以，可得，即. 故选：A 8. 如图，一个三角形被分成9个房间，称有公共边的2个房间为相邻房间，一个小球每次从一个房间等概率地移动到相邻房间，则下列说法错误的是（ ） A. 将2个小球放至不同的房间，则房间不相邻的概率为 B. 将k个小球放至不同的房间，若房间两两不相邻，则 C. 小球从房间C出发，3次移动后在房间E或G的概率为 D. 小球从房间C出发，4次移动后在房间H的概率为 【答案】C 【解析】 【分析】A应用列举法及对立事件概率求法、组合数求概率；B由六个房间互不相邻即可判断；C、D首先确定各房间移动到相邻房间的概率，再应用列举法、独立乘法公式、互斥事件的概率求法求概率判断. 【详解】A：任取2个房间，相邻的情况有，9种情况， 所以将2个小球放至不同的房间，则房间不相邻的概率，对； B：由于六个房间互不相邻，则，且和总有相邻的房间，故不可能有，对； C：由于各有3个相邻的房间，则它们移动任意一个相邻房间的概率为， 各有2个相邻的房间，则它们移动任意一个相邻房间的概率为， 各有1个相邻的房间，则它们移动任意一个相邻房间的概率为， 从房间C出发，3次移动后在房间E或G的可能情况如下， 的概率为， 的概率为， 的概率为， 所以3次移动后在房间E或G的概率为，错； D：从房间C出发，4次移动后在房间H的情况如下， 的概率为， 的概率为， 的概率为， 的概率为， 的概率为， 的概率为， 的概率为， 所以4次移动后在房间H的概率为，对. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知在一次数学测验中，某校1000名学生的成绩服从正态分布，其中90分为及格线，120分为优秀线，则对于该校学生成绩，下列说法正确的有（ ）（参考数据：①；②；③.） A. 平均分为100 B. 及格率超过86% C. 得分在内的人数约为997 D. 得分低于80的人数和优秀的人数大致相等 【答案】ACD 【解析】 【分析】由正太分布概念及指定区间概率逐个判断即可； 【详解】由题意知，，，A：，，故A正确； B： ， ，故B错误； C：， 人，故C正确； D：， 因为成绩服从标准正态分布， ，故D正确， 故选：ACD. 10. 盒中有 3 个球， 其中 1 个红球， 2 个黄球.从盒中随机取球， 每次取 1 个， 不放回， 直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为 分别为随机变量 的均值与方差，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据概率乘法公式可得的分布列，即可求解,进而判断AB,利用方差和期望的性质即可求解CD. 【详解】 表示停止取球时没有取到黄球，所以 ，故 A 正确; 又随机变量 的所有可能取值为0，1，2，则 ， ， 故的分布列为 0 1 2 所以 ，故 B 正确; 由 ，故 C 错误; ，故 D 正确. 故选：ABD 11. 在信道内传输0，1信号．信号的传输相互独立．由于随机因素的干扰，发送信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送1时，接收为0和1的概率分别为0.1和0.9．以下叙述正确的是（ ） A. 若重复发送信号0两次，则接收信号均为0的概率为0.96 B. 若重复发送信号1两次，则两次接收信号不同的概率为0.09 C. 若发送信号为1或0的概率均为0.5，则接收信号为1的概率为0.55 D. 若接收信号为1的概率为0.76，则发送信号为1的概率为0.8 【答案】CD 【解析】 【分析】设出对应事件，根据条件概率和全概率公式计算即可得解. 【详解】由题意，设事件为“发送信号0”，事件为“发送信号1”，事件为“接收信号为0”，事件为“接收信号为1”， 则，，，， 若重复发送信号0两次，则接收信号均为0的概率为，A错； 若重复发送信号1两次，则两次接收信号不同的概率为，B错； 若发送信号为1或0的概率均为0.5，则接收信号为1的概率为，C对； 接收信号为1的概率为，解得即发送信号为1的概率为，可得，D对. 故选：CD 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如360、253等都是“凸数”．用0，1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的三位数，则在组成的三位数中“凸数”的个数为________．（用数字作答） 【答案】30 【解析】 【分析】分三位数不含0或含0两种情况，应用排列组合数求三位数中“凸数”的个数. 【详解】若三位数不含0，则从其它5个数任选3个数，最大数放中间，另2个数任排有种， 若三位数含0，则从其它5个数任选2个数，最大数放中间，另1个数有1种排法有种， 所以，共有种. 故答案为：30 13. 如图，已知抛物线：的焦点为F，过点F且斜率为1的直线交于A，B两点，线段的中点为M，其垂直平分线交x轴于点，轴于点N.若四边形的面积等于，则p的值为______. 【答案】3 【解析】 【分析】作出辅助线，根据直线的斜率表达出梯形的上底和下底以及高，列出方程，求出. 【详解】易知，直线的方程为，四边形为梯形，且． 设，，，则， 所以，所以． 作轴于点，则． 因为直线的斜率为1，所以为等腰直角三角形，故， 所以，， 所以四边形的面积为， 解得， 故答案为：3. 14. 某校元旦晚会设计了一个抽奖游戏，主持人从编号为四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入奖品，再将四个箱子关闭，即主持人知道奖品在哪个箱子．当抽奖人选择某个箱子后，在箱子打开之前，主持人会随机打开一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率．已知甲先选择了号箱子，此时主持人打开号箱子的概率为______，在主持人打开号箱子的情况下，奖品在号箱子的概率为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子，根据条件求出，，，，利用全概率公式，即可求解；再利用贝叶斯公式，即可求解. 【详解】用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子， 由题知，，， 又， 所以， 又， 故答案为：. 【点晴】关键点点睛：本题考查条件概率的求解、决策类问题，解题关键是能够根据奖品所在箱子号码，确定主持人可打开的箱子数，再由全概率公式及贝叶斯公式进行求解. 四、解答题 15. 随着国家以旧换新政策的深入实施与完善，某商场现有更换电视机与洗衣机的活动，经调查统计居民更换电视机的概率为0.6，更换洗衣机的概率为0.4，两种电器都不更换的概率为0.2． （1）①求居民甲至少更换一种电器的概率； ②居民甲更换洗衣机且更换电视机的概率； ③居民甲在不更换洗衣机的条件下，更换电视机的概率； （2）若至少更换一种电器视为参加了以旧换新活动，现有居民甲，乙，丙，丁，戊五人，是否参加活动相互独立，求参加活动居民人数X的分布列，并求出期望与方差． 【答案】（1）① ；②；③ （2）分布列见解析；， 【解析】 【分析】（1）根据条件概率的计算公式求值. （2）判断的分布列模型，求出分布列即可. 【小问1详解】 设事件“更换电视机”，事件“更换洗衣机”， 因为， 至少更换一种电器的概率 由得更换洗衣机且更换电视机的概率. 则在不更换洗衣机的条件下，更换电视机的概率. 【小问2详解】 由题意，服从二项分布. 所以．则分布列为， 所以：，. 16. 如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，为棱上的点，且． （1）求证：平面； （2）设为棱上的点（不与重合），且直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）由已知证得，，，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，根据向量垂直的坐标表示和线面垂直的判定定理可得证； （2）设，表示点Q，再利用线面角的空间向量求解方法，建立方程解得，可得答案. 【小问1详解】 因为平面，平面，平面， 所以，，又因为， 则以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知可得，，，，，， 所以，，， 因为，，所以，， 又，平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 设，即，， 所以，即， 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以， 即，解得，即. 17. 已知等差数列中，，公差;等比数列中，，是和的等差中项，是和的等差中项． （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）记比较与的大小. 【答案】（1），； （2）； （3），当时，. 【解析】 【分析】（1）根据题意得到方程组，求出公差和公比，得到通项公式； （2）利用分组求和法进行求解； （3）作差法得到，从而得到，当时，. 【小问1详解】 因为， 依题意， 故，由得， 解得或2， 因为，所以，， 故， 其中，故公比， 所以； 【小问2详解】 ， 故 ； 【小问3详解】 所以 当时，，当时，， 所以，当时，. 18. 某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于小时的为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的列联表： 产品 合格 不合格 合计 调试前 45 15 60 调试后 35 5 40 合计 80 20 100 （1）根据表中数据，依据显著性水平的独立性检验，能否认为参数调试与产品质量有关联； （2）现从调试前的样本中按合格和不合格，用分层随机抽样法抽取8件产品重新做参数调试，再从这8件产品中随机抽取3件做对比分析.记抽取的3件中合格的件数为X，求 X的分布列和期望； （3）用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1000件，记其中合格的件数为Y， 求使事件“”的概率最大时k的取值.参考公式及数据： 其中. 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）无关联 （2） 1 2 3 （3）875 【解析】 【分析】（1）计算的值，将其与对应的小概率值比较即得； （2）先算出抽取的8件产品中的合格品与不合格品的数目，再从中抽取3件，根据合格品件数的可能值运用超几何分布概率计算出概率，列出分布列计算数学期望即得； （3）分析得出，利用二项分布概率公式得出再利用作商法分析得时，事件“”的概率最大. 【小问1详解】 零假设为：假设依据的独立性检验，认为参数调试与产品质量无关联； 则， 故依据的独立性检验，没有充分证据说明零假设不成立， 因此可认为成立，即认为参数调试与产品质量无关联； 【小问2详解】 依题意，用分层随机抽样法抽取的8件产品中， 合格产品有件，不合格产品有2件， 而从这8件产品中随机抽取3件，其中的合格品件数的可能值有1，2，3． 则，，， 故的分布为： 1 2 3 则； 【小问3详解】 依题意，因随机抽取调试后的产品的合格率为， 故，则， 由， 故由可解得， 因，故当时，； 故由可解得， 即当时，； 故当事件“”的概率最大时，． 19. 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点相同，，分别为椭圆C的左、右焦点，M为C上任意一点，的最大值为1． （1）求椭圆C的方程； （2）不过点的直线交椭圆C于A，B两点． ①若，且的面积为，求m的值； ②若x轴上任意一点到直线与距离相等，求证：直线AB过定点，并求出该定点的坐标． 【答案】（1）； （2）①或；②证明见解析，定点坐标为. 【解析】 【分析】（1）根据已知得，且求出椭圆参数，即可得方程； （2）设，，联立直线与椭圆，应用韦达定理得，，①应用弦长公式、点线距离公式及三角形面积公式列方程求m的值；②直线，的斜率的和为0，求得，即可证并确定定点. 【小问1详解】 由抛物线的方程得其焦点为，则， 当点M为椭圆的短轴端点时，面积最大，此时，则， ，故椭圆的方程为； 【小问2详解】 联立，得， ，得（*）， 设，，则，， ①且，代入（*）得，， ， 设点O到直线AB的距离为d，则， ，解得或． ②由题意，直线，的斜率的和为0，即， ，， ，即， ，解得， 直线AB的方程为，故直线l恒过定点，该定点坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市十一高中2024-2025学年度高二下学期第一学程考试 数 学 试题 第Ⅰ卷（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 展开式中的常数项为（ ） A. 10 B. C. 80 D. 2. 下列说法中正确的有（ ） ①线性回归方程至少经过一个样本点； ②可以用相关系数r刻画两个变量的相关程度强弱，r值越大则两个变量的相关程度越强； ③在回归分析中，决定系数的模型比的模型拟合效果要好； ④残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则＝（ ） X －1 0 a 2 P b A. B. 1 C. D. 4. 5G通信中的信号是由“0”和“1”组成的二进制编码．某信号的二进制编码由6个数字组成，则该信号编码中恰好有3个“1”的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知一道解答题共有两小问，小李有0.6的概率可以解答出第一问．在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为0.1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为0.7，则解答出第二问的概率为（ ） A. 0.46 B. 0.22 C. 0.18 D. 0.04 6. 设数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则（ ） A. 1011 B. 1022 C. 1033 D. 1044 7. 点，分别为双曲线（，）的左、右焦点，点P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，，的面积为，e为双曲线的离心率，则为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一个三角形被分成9个房间，称有公共边的2个房间为相邻房间，一个小球每次从一个房间等概率地移动到相邻房间，则下列说法错误的是（ ） A. 将2个小球放至不同的房间，则房间不相邻的概率为 B. 将k个小球放至不同的房间，若房间两两不相邻，则 C. 小球从房间C出发，3次移动后在房间E或G的概率为 D. 小球从房间C出发，4次移动后在房间H的概率为 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知在一次数学测验中，某校1000名学生的成绩服从正态分布，其中90分为及格线，120分为优秀线，则对于该校学生成绩，下列说法正确的有（ ）（参考数据：①；②；③.） A. 平均分为100 B. 及格率超过86% C. 得分在内的人数约为997 D. 得分低于80的人数和优秀的人数大致相等 10. 盒中有 3 个球， 其中 1 个红球， 2 个黄球.从盒中随机取球， 每次取 1 个， 不放回， 直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为 分别为随机变量 的均值与方差，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 在信道内传输0，1信号．信号的传输相互独立．由于随机因素的干扰，发送信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送1时，接收为0和1的概率分别为0.1和0.9．以下叙述正确的是（ ） A. 若重复发送信号0两次，则接收信号均为0的概率为0.96 B. 若重复发送信号1两次，则两次接收信号不同的概率为0.09 C. 若发送信号为1或0的概率均为0.5，则接收信号为1的概率为0.55 D. 若接收信号为1的概率为0.76，则发送信号为1的概率为0.8 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如360、253等都是“凸数”．用0，1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的三位数，则在组成的三位数中“凸数”的个数为________．（用数字作答） 13. 如图，已知抛物线：的焦点为F，过点F且斜率为1的直线交于A，B两点，线段的中点为M，其垂直平分线交x轴于点，轴于点N.若四边形的面积等于，则p的值为______. 14. 某校元旦晚会设计了一个抽奖游戏，主持人从编号为四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入奖品，再将四个箱子关闭，即主持人知道奖品在哪个箱子．当抽奖人选择某个箱子后，在箱子打开之前，主持人会随机打开一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率．已知甲先选择了号箱子，此时主持人打开号箱子的概率为______，在主持人打开号箱子的情况下，奖品在号箱子的概率为______． 四、解答题 15. 随着国家以旧换新政策的深入实施与完善，某商场现有更换电视机与洗衣机的活动，经调查统计居民更换电视机的概率为0.6，更换洗衣机的概率为0.4，两种电器都不更换的概率为0.2． （1）①求居民甲至少更换一种电器的概率； ②居民甲更换洗衣机且更换电视机的概率； ③居民甲在不更换洗衣机的条件下，更换电视机的概率； （2）若至少更换一种电器视为参加了以旧换新活动，现有居民甲，乙，丙，丁，戊五人，是否参加活动相互独立，求参加活动居民人数X的分布列，并求出期望与方差． 16. 如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，为棱上的点，且． （1）求证：平面； （2）设为棱上的点（不与重合），且直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 17. 已知等差数列中，，公差;等比数列中，，是和的等差中项，是和的等差中项． （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）记比较与的大小. 18. 某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于小时的为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的列联表： 产品 合格 不合格 合计 调试前 45 15 60 调试后 35 5 40 合计 80 20 100 （1）根据表中数据，依据显著性水平的独立性检验，能否认为参数调试与产品质量有关联； （2）现从调试前的样本中按合格和不合格，用分层随机抽样法抽取8件产品重新做参数调试，再从这8件产品中随机抽取3件做对比分析.记抽取的3件中合格的件数为X，求 X的分布列和期望； （3）用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1000件，记其中合格的件数为Y， 求使事件“”的概率最大时k的取值.参考公式及数据： 其中. 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19. 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点相同，，分别为椭圆C的左、右焦点，M为C上任意一点，的最大值为1． （1）求椭圆C的方程； （2）不过点的直线交椭圆C于A，B两点． ①若，且的面积为，求m的值； ②若x轴上任意一点到直线与距离相等，求证：直线AB过定点，并求出该定点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $