精品解析：天津市培杰中学2024-2025学年高二下学期4月月考数学试题

高二下月考数学试卷 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合交集的概念直接求解即可. 【详解】因为集合，， 所以， 故选：B 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件. 【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件. 故选：C. 3. 若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因为在上递增，得出，又因在上递增，可得. 【详解】在上递增，且， 所以，所以，即， 因为在上递增，且， 所以， 即，所以， 故选：. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象. 【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误； 当时，，选项B错误. 故选：A. 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 5. 若，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知表示出，再由换底公式可求. 【详解】，， . 故选：C. 6. 已知，函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导，通过即可求解. 【详解】因为，所以，令，解得， 当时，， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上的单调递增区间为， 故选：C． 7. 已知函数在处有极大值，则的值为（ ） A. 6 B. 6或2 C. 2 D. 4或2 【答案】A 【解析】 【分析】根据在处有极大值，得出，解出的值，代入检验，即可得出答案． 【详解】因为函数， 所以， 因为在处有极大值， 所以， 即，解得或， 当时，， 令，解得或 ， 当时， ，即在单调递减， 当时，，即在单调递增， 所以时取得极小值，不合题意，舍去； 当时，， 令，解得或 当时，，即在单调递增， 当时，，即在单调递减， 所以时取得极大值，符合题意. 所以的值为6， 故选：A． 8. 已知，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】 对函数求导，并令代入可求得.将的值代入可得导函数，即可求得的值. 【详解】函数，则， 令代入上式可得，则， 所以， 则， 故选：A. 【点睛】本题考查了导数的定义与运算法则，在求导过程中注意为常数，属于基础题. 9. 从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，则不同的挂法共有（ ） A. 9种 B. 6种 C. 5种 D. 4种 【答案】B 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理求解． 【详解】需分两步来完成：第一步，从甲、乙、丙3幅不同的画中选出1幅挂在左边的墙上，共有3种选法， 第二步，从剩下的2幅画中选出1幅挂在右边的墙上，共有2种选法， 根据分步乘法计数原理，共有种不同的挂法． 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 是虚数单位，复数_________． 【答案】 【解析】 【分析】将分子分母同乘以分母的共轭复数，然后利用运算化简可得结果. 【详解】. 故答案为：. 【点睛】本题考查复数的四则运算，属于基础题. 11. 曲线在点处的切线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数值确定切线斜率，再用点斜式写出切线方程． 【详解】， 当时其值为， 故所求的切线方程为，即． 【点睛】曲线切线方程的求法： (1)以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤： ①求出函数f(x)的导数f′(x)； ②求切线的斜率f′(x0)； ③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简． (2)如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程． 12. 四大名著是中国文学史上的经典作品，是世界宝贵的文化遗产.在学校举行的“文学名著阅读月”活动中，甲、乙、丙、丁、戊五名同学相约去学校图书室借阅四大名著《红楼梦》《三国演义》《水浒传》《西游记》（每种名著至少有5本），若每人只借阅一本名著，则不同的借阅方案种数为______.（用数字作答） 【答案】1024 【解析】 【分析】利用乘法原理直接计算求解即可. 【详解】由题意可知，对于每个人，都有种借阅的可能， 根据乘法原理共有种不同的借阅方案， 故答案为：1024 13. 设定义在R上的连续函数的导函数为，已知函数的图象（如图）与x轴的交点分别为，，.给出下列四个命题： ①函数的单调递增区间是，； ②函数的单调递增区间是，； ③是函数的极小值点； ④是函数的极小值点. 其中，正确命题的序号是__________. 【答案】②④ 【解析】 【分析】 根据函数和图象可得的单调区间和单调性，从而得到答案. 【详解】由函数和图象可得， 当时，，得，所以函数单调递增， 当时，，得，所以函数单调递减， 当时，，得，所以函数单调递减， 当时，，得，所以函数单调递增， 所以①错误；②正确；③是函数的极大值点，错误；④正确. 故答案为：②④. 【点睛】本题结合图象考查函数的单调性和判断极值，属于基础题. 14. 对任意的， 不等式恒成立， 则实数的取值范围为_________________. 【答案】 【解析】 【分析】分离参数，构造函数，结合导数判断函数单调性及最值情况，进而可得参数范围. 【详解】由已知， 不等式恒成立， 即在上恒成立， 设，， 则， 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 即函数在处取得最大值为， 所以， 故答案为：. 15. 函数在区间上有两个零点，则m的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】 由分离参数得，，引入函数，用导数研究函数的单调性极值后可得结论． 【详解】由题意方程（）有两个实根，即在上有两个实根， 设，则，当时，，递减，时，，递增，，又，而时，， ∴当时，的图象与直线在上有两个交点，即原函数有两个零点． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的零点问题，解题关键是问题的转化，函数零点个数常常转化为方程的解的个数，再转化为函数图象与直线交点个数，为此引入新函数，研究函数的单调性，极值，确定函数图象的变化趋势后可得结论． 三、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知函数，其中，且曲线在点处的切线垂直于. （1）求的值； （2）求函数的单调区间与极值. 【答案】（1）；（2）单调递增区间，单调递减区间，的极小值为 . 【解析】 【分析】（1）由，而曲线在点处的切线垂直于，所以，解方程可得的值； （2）由（1）的结果知于是可用导函数求的单调区间； 【详解】（1）对求导得， 由在点处切线垂直于直线， 知解得； （2）由（1）知， 则 令，解得或. 因不在的定义域内，故舍去. 当时，故在内为减函数； 当时，故在内为增函数； 由此知函数在时取得极小值. 17. 甲、乙、丙、丁四名同学报名参加、、三个智力竞赛项目，每个人都要报名且只能参加一个项目． （1）共有多少种不同的报名方法？ （2）甲必须报项目，乙必须报项目，那么有多少种不同的报名方法？ （3）甲、乙报同一项目，丙不报项目，那么有多少种不同的报名方法？ （4）每个项目都有人报名，那么有多少种不同的报名方法？ （5）甲不报项目，且、项目报名的人数相同，那么有多少种不同的报名方法？ 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） 【解析】 【分析】（1）每个同学都有种选择，利用分步乘法计数原理可得结果； （2）分析可知，丙、丁各有种选择，利用分步乘法计数原理可得结果； （3）由题意可知，甲、乙报名的方法种数为，丙有种选择，丁有种选择，利用分步乘法计数原理可得结果； （4）将甲、乙、丙、丁四名同学分为三组，然后再将这三组同学分配给、、三个项目，结合分步乘法计数原理可得结果； （5）对项目的报名人数进行分类讨论：①项目没人报；②项目只有一人报.计算出两种情况下报名方法种数，再结合分类加法计数原理可得结果. 【小问1详解】 解：每个同学都有种选择，则甲、乙、丙、丁四名同学的报名方法种数为. 【小问2详解】 解：甲必须报项目，乙必须报项目，则丙、丁各有种选择， 所以，不同的报名方法种数为. 【小问3详解】 解：甲、乙报同一项目，则甲、乙报名的方法种数为， 丙不报项目，则丙有种选择，所以，丁有种选择， 由分步乘法计数原理可知，不同的报名方法种数为. 【小问4详解】 解：将甲、乙、丙、丁四名同学分为三组，每组人数分别为、、， 然后再将这三组同学分配给、、三个智力竞赛项目， 所以，不同的报名方法种数为. 【小问5详解】 解：分两种情况讨论： ①项目没人报，且、项目的报名人数均为，此时不同的报名方法种数为种； ②项目有人报，且甲不报项目，、项目报名的人数相同， 则、项目报名的人数均为， 则甲报项目或项目，则报名项目的有人，剩余个项目只有一人报名， 由分步乘法计数原理可知，不同的报名方法种数为. 综上所述，不同的报名方法种数为. 18. 用0,1,2,3,4,5这六个数字， （1）可以组成多少个数字不重复三位数. （2）可以组成多少个数字允许重复的三位数. （3）可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数. （4）可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数. （5）可以组成多少个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数. 【答案】（1）100 （2）180 （3）48 （4）131 （5）175 【解析】 【分析】（1）分析可知，数字不重复的三位数中，首位数字不为零，个位和十位的数字无限制，利用分步乘法计数原理可得结果； （2）分析可知，数字允许重复的三位数中，首位数字不为零，个位和十位的数字无限制，利用分步乘法计数原理可得结果； （3）根据分步乘法原理，先选个位数字，再选百位数字，再选十位数字即可求解； （4）分三种情况讨论：个位数、两位数、三位数，分别计算出这三种情况下满足条件的自然数的个数，利用分类加法计数原理可得结果. （5）根据分类加法原理，按首位数字为3或4；首位数字为5，百位数字不是4；首位数字为5,百位数字是4分类即可求解. 【小问1详解】 若组成的数字为数字不重复的三位数，则首位数字不为零，个位和十位的数字无限制， 所以，数字不重复的三位数个数为. 【小问2详解】 若组成数字为数字允许重复的三位数，则首位数字不为零，个位和十位的数字无限制， 所以，数字允许重复的三位数的个数为个. 小问3详解】 分3步： 先选个位数字，由于组成的三位数是奇数，因此有3种选法； 再选百位数字有4种选法； 十位数字也有4种选法； 由分步计数原理知所求三位数共有个 【小问4详解】 若组成的数字为数字不重复的小于1000的自然数，分以下三种讨论： ①数字为个位数，共6个； ②数字为两位数，则首位不能为零，个位无限制，共个； 数字为三位数，共有100个. 综上所述，数字不重复的小于1000的自然数个数为个. 【小问5详解】 分4类： 千位数字为3或4时，后面三个数位上可随便选择，此时共有个； 千位数字为5，百位数字为0,1,2,3之一时，共有个； 千位数字为5，百位数字是4，十位数字为0,1之一时，共有个； ④也满足条件； 故所求四位数共有个. 19. 已知函数的图象在点处的切线方程为 （1）求的解析式； （2）若对任意有恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数在内有3个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意，，即可求出、的值，从而得解； （2）求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而求出函数的最大值（），即可得解； （3）由（1）可得，利用导数研究函数的单调性极值与最值，根据函数在区间内有3个零点，可得最值满足的条件，进而得出实数的取值范围． 【小问1详解】 因为，则， 依题意，，解得，， 所以； 【小问2详解】 由（1）可得， 当时恒成立， 所以在上单调递减， 所以当时，函数取得最大值，， 因为对任意有恒成立，所以，. . 实数的取值范围为. 【小问3详解】 由（1）可得：， ， 令，解得或， 所以、、列表如下： 1 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由表格可知：当时，函数取得极小值；当时，函数取得极大值， 且当时，当时， 要满足函数在区间内有3个零点， 则，解得， 所以实数的取值范围. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 20. 已知函数f（x）+alnx，实数a＞0． （1）当a＝2时，求函数f（x）在x＝1处的切线方程； （2）讨论函数f（x）在区间（0，10）上单调性和极值情况； （3）若存在x∈（0，+∞），使得关于x的不等式f（x）＜2+a2x成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）4x﹣y+2＝0 （2）答案见解析 （3）（0，2）∪（2，+∞） 【解析】 【分析】（1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点坐标，由直线的点斜式方程可得所求切线的方程； （2）求得f（x）的导数，分a、0＜a两种情况讨论求出答案即可； （3）由题意可得存在x∈（0，+∞），使得不等式成立，令，x＞0，求得其最小值，再把最小值看成关于的函数，结合其单调性和极值可得答案． 【小问1详解】 函数f（x）的定义域为（0，+∞），当a＝2时，， 导数4， 可得f（x）在x＝1处的切线的斜率为4，又f（1）＝6， 所以f（x）在x＝1处的切线的方程为y﹣6＝4（x﹣1），即4x﹣y+2＝0； 【小问2详解】 f（x）的导数为f′（x）a2，x＞0， 令f′（x）＝0，可得x（舍去）， ①当010，即a时，当0＜x时，f′（x）＜0，f（x）递减； 当x＜10时，f′（x）＞0，f（x）递增． 所以f（x）在（0，）上递减，在（，10）上递增， f（x）在x处取得极小值，无极大值； ②当10即0＜a时，f′（x）＜0，f（x）在（0，10）上递减，无极值． 综上可得，当a时，f（x）在（0，）单调递减，在（，10）上单调递增， f（x）在x时取得极小值，无极大值． 当0＜a时，f（x）在区间（0，10）上递减，无极值； 【小问3详解】 存在x∈（0，+∞），使得不等式f（x）＜2+a2x成立 等价为存在x∈（0，+∞），使得不等式alnx﹣2＜0成立． 令，x＞0，g′（x）， 因为a＞0，可得当0＜x时，g′（x）＜0，g（x）递减；当x时，g′（x）＞0，g（x）递增， 所以当x时，g（x）取得极小值，且为最小值， 由题意可得， 令，， 令h′（x）＝0，可得x＝2， 当x∈（0，2）时，h′（x）＞0，h（x）递增； 当x∈（2，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）递减． 所以当x＝2时，h（x）取得极大值，且为最大值h（2）＝0． 所以满足的实数a的取值范围是（0，2）∪（2，+∞）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二下月考数学试卷 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A. B. C. 1 D. 6. 已知，函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在处有极大值，则的值为（ ） A. 6 B. 6或2 C. 2 D. 4或2 8. 已知，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 9. 从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，则不同的挂法共有（ ） A. 9种 B. 6种 C. 5种 D. 4种 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 是虚数单位，复数_________． 11. 曲线在点处的切线方程为__________. 12. 四大名著是中国文学史上经典作品，是世界宝贵的文化遗产.在学校举行的“文学名著阅读月”活动中，甲、乙、丙、丁、戊五名同学相约去学校图书室借阅四大名著《红楼梦》《三国演义》《水浒传》《西游记》（每种名著至少有5本），若每人只借阅一本名著，则不同的借阅方案种数为______.（用数字作答） 13. 设定义在R上的连续函数的导函数为，已知函数的图象（如图）与x轴的交点分别为，，.给出下列四个命题： ①函数的单调递增区间是，； ②函数的单调递增区间是，； ③是函数的极小值点； ④是函数的极小值点. 其中，正确命题的序号是__________. 14. 对任意的， 不等式恒成立， 则实数的取值范围为_________________. 15. 函数在区间上有两个零点，则m的取值范围是________. 三、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知函数，其中，且曲线在点处的切线垂直于. （1）求的值； （2）求函数的单调区间与极值. 17. 甲、乙、丙、丁四名同学报名参加、、三个智力竞赛项目，每个人都要报名且只能参加一个项目． （1）共有多少种不同的报名方法？ （2）甲必须报项目，乙必须报项目，那么有多少种不同的报名方法？ （3）甲、乙报同一项目，丙不报项目，那么有多少种不同的报名方法？ （4）每个项目都有人报名，那么有多少种不同的报名方法？ （5）甲不报项目，且、项目报名的人数相同，那么有多少种不同的报名方法？ 18. 用01,2,3,4,5这六个数字， （1）可以组成多少个数字不重复的三位数. （2）可以组成多少个数字允许重复的三位数. （3）可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数. （4）可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数. （5）可以组成多少个大于3000，小于5421数字不重复的四位数. 19. 已知函数的图象在点处的切线方程为 （1）求解析式； （2）若对任意有恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数在内有3个零点，求实数的取值范围. 20. 已知函数f（x）+alnx，实数a＞0． （1）当a＝2时，求函数f（x）在x＝1处的切线方程； （2）讨论函数f（x）在区间（0，10）上的单调性和极值情况； （3）若存在x∈（0，+∞），使得关于x的不等式f（x）＜2+a2x成立，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$