21.1 一元二次方程-练习题2024-2025学年人教版数学九年级上册

21.1 一元二次方程 一、选择题： 1.下列方程一定是一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 2.方程化成一般形式后，它的常数项是(    ) A. B. C. D. 3.将一元二次方程化为一般形式为(    ) A. B. C. D. 4.若关于的一元二次方程的常数项为，则的值为    ． A. B. C. D. 5.将一元二次方程化为的形式，其常数项是(    ) A. B. C. D. 6.是关于的一元二次方程的解，则(    ) A. B. C. D. 7.若关于的一元二次方程有一个根为，则方程必有一个根为(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 8.已知关于的方程是一元二次方程，则的值为          ． 9.将方程化为的形式后， ______， ______， ______． 10.方程化为一般式是______． 11.已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为          ． 12.已知关于的一元二次方程有一个根为，则           ． 13.若是方程的根，则式子的值为______． 三、解答题： 14.当分别取何值时，关于的方程满足下列条件？ 是一元二次方程； 是一元一次方程． 15.已知关于的一元二次方程的一个根为． 求的值． 将方程化为一元二次方程的一般形式二次项系数为正数，并指出二次项系数、一次项系数和常数项． 16.已知一元二次方程． 如果方程有一个根是，那么，，之间有什么数量关系？ 如果方程有一个根是，那么，，之间有什么数量关系？ 如果方程有一个根是，那么常数项有什么特征？ 17.定义：若关于的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则该一元二次方程就叫做常数根一元二次方程． 已知关于的方程是常数根一元二次方程，则的值为______； 如果关于的方程是常数根一元二次方程，则的值； 若关于的常数根一元二次方程中不含零根，求证：关于的方程是常数根一元二次方程． 18.若，为正实数，设，若是关于的方程的一个正实根． 求证：． 若，求的值． 用含的代数式表示． 19.的积中的二次项系数为零，求的值； 若的乘积中不含和项，求，的值． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：、，是一元一次方程，不符合题意； B、，方程中含有两个未知数，不符合题意； C、，符合一元二次方程的定义，符合题意； D、，当时，该方程中未知数的最高次数不是，不符合题意； 故选：． 一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是；二次项系数不为；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 本题主要考查了一元二次方程的定义；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查一元二次方程的一般形式，形式这种形式的方程叫一元二次方程的一般形式．根据题目中的式子，将括号去掉化为一元二次方程的一般形式，从而可以解答本题． 【解答】 解： ， 方程化成一般形式后，它的常数项是， 故选C． 3.【答案】  【解析】解：， ， 故选：． 根据一元二次方程的一般式：，再求解即可． 本题主要考查了一元二次方程的一般式，熟知一元二次方程的一般式是解题的关键． 4.【答案】  【解析】解：关于的一元二次方程的常数项为， 且． 解得． 故选：． 5.【答案】  【解析】本题考查一元二次方程的一般形式，解题关键是熟知一元二次方程的一般形式：，其中是二次项，是一次项，为常数项．先移项将一元二次方程化为一般式，再找出常数项即可． 【详解】解： 常数项是 故选：． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 先把代入方程得，然后利用整体代入的方法计算的值． 【解答】 解：把代入方程得， 所以， 所以． 故选A． 7.【答案】  【解析】本题考查了一元二次方程的解，由关于的一元二次方程有一个根为，可得出关于的一元二次方程有一个根为，解之可得出的值，此题得解． 【详解】解：关于的一元二次方程有一个根为， 关于的一元二次方程有一个根为， 即， 解得：， 方程必有一个根为． 故选：． 8.【答案】  9.【答案】      【解析】解：将方程化为的形式为， 故，，． 故答案为：，，． 根据一元二次方程一般式解答即可． 本题考查了一元二次方程的一般形式：是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 10.【答案】  【解析】解：， 则， ， ， 故答案为：． 根据完全平方公式、平方差公式、合并同类项把原方程化为一般形式． 本题考查的是一元二次方程的一般形式，任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式这种形式叫一元二次方程的一般形式． 11.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把代入得，再解关于的方程，然后根据一元二次方程的定义确定的值即可． 【解答】 解：把代入得， 整理得，解得，， 因为， 所以的值为． 故答案为． 12.【答案】  【解析】解：把代入，得：， 解得：， ， ． 故答案为：． 根据一元二次方程的解的定义把代入原方程得到关于的一元二次方程，解得，然后根据一元二次方程的定义确定的值． 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了一元二次方程的定义． 13.【答案】  【解析】解：是方程的根， ， 则， 原式 ， 故答案为：． 由一元二次方程解的意义可得，则，将原式变形后整体代入已知数值计算即可． 本题考查一元二次方程的解，代数式求值，理解一元二次方程解的意义是解题的关键． 14.【答案】【小题】   【小题】 15.【答案】【小题】 解：把代入方程得， 解得， 即的值为； 【小题】 当时，方程为， 方程化为一般式为， 所以方程的二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 16.【答案】【小题】 解：把代入原方程，得． 【小题】 把代入原方程，得． 【小题】 把代入原方程，得，即常数项为 17.【答案】或  【解析】解：关于的方程是常数根一元二次方程， 方程的一个根为， 代入方程得，， 解得或； 故答案为：或； 关于的方程是常数根一元二次方程， 方程的一个根为， 代入方程得，， 整理得，， 解得或． 关于的常数根一元二次方程中不含零根， 方程的一个根为，且， 代入方程，得，即， ， ， 把代入方程，得左边右边， 是关于的方程的一个根， 关于的方程是常数根一元二次方程． 根据常数根一元二次方程的定义，把代入方程，解关于的方程即可； 根据常数根一元二次方程的定义，把代入方程，解关于的方程即可； 根据常数根一元二次方程的定义，把代入方程，得到，因此是关于的方程的一个根，从而得证结论． 本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程以及新定义，解题的关键是利用常数根一元二次方程的定义，得出关于或的方程． 18.【答案】证明：解关于的方程： 得， ， 是关于的方程的一正实数根， ； 解：， ， ， 是关于的方程的一个正实根， ， 解得负值舍去， 的值为； 解：， ， ， 是关于的方程的一个正实根， ， 解得负值舍去， ．  【解析】解关于的方程：得到，由是关于的方程的一正实数根，得到； 根据已知条件得到，解方程，即可得到结论； 由，得到，解方程，解得负值舍去，即可得到结论． 本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，正确地理解一元二次方程的解是解题的关键． 19.【答案】解： 因为积中的二次项系数为零， 所以， 解得， 因为乘积中不含和项， 所以 由， 解得， 把代入， 得， 即， 解得．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$