精品解析：云南省红河州、文山州、普洱市、临沧市2025届高三下学期复习统一检测数学试题

秘密★启用前 【考试时间：4月9日 15：00-17：00】 2025届红河州、文山州、普洱市、临沧市高中毕业生复习统一检测 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、班级、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若（为虚数单位），其中，为实数，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知椭圆的右焦点为，则的长轴长为（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，若，则实数的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 或1 4. （ ） A. B. C. D. 5. 广东省第十二届大学生运动会将于2025年5月5日至6月5日在广州市举行．某电视台为了报道此次运动会，计划从甲、乙、丙、丁、戊5名记者中选派2人前往现场进行报道．若记者甲被选中，则记者乙也被选中的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的零点个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，若四棱锥的外接球半径为2，则与所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的函数满足：都有，，且，则（ ） A. 45 B. 46 C. 91 D. 92 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在菱形中，点，分别是，的中点，，，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 长时间玩手机可能影响视力．为研究近视与玩手机时长的关系，某市随机抽取1000名高中生进行调查，其中有40%的人近视．而这1000名学生中有20%的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率达50%．根据以上数据得到如下列联表： 近视 不近视 合计 每天玩手机超过1小时 每天玩手机不超过1小时 合计 1000 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中． 下列说法正确的是（ ） A. B. 依据小概率值的独立性检验，认为玩手机时长与近视之间有关 C. 用频率估计概率，若从该市高中生中随机抽取5人进行视力调查，记近视人数为，则的数学期望 D. 若从列联表中每天玩手机超过1小时的人中随机抽取3人，记近视人数为，则 11. 已知一圆台上、下底面半径分别为1，3，母线长为4，下列说法正确的是（ ） A. 该圆台的体积为 B. 该圆台母线与下底面所成的角为 C. 存在一个球与该圆台的两个底面和侧面都相切 D. 过该圆台的轴上一点作平行于下底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的体积最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量，若，则_____． 13. 已知直线（，），若直线被圆所截得的弦长为，则的最大值为_____． 14. 抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．如图，抛物线的焦点为，由点发出的光线经点反射后经过点，若点在上，且，，，则_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知为数列的前项和，. （1）求的通项公式； （2）若，求取得最大值时的值. 16. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）求函数的极值； （3）设，求函数在区间上的最大值． 17. 已知双曲线的离心率为2，其右焦点到一条渐近线的距离为． （1）求双曲线的方程； （2）若直线与双曲线交于不同的两点，，且以线段为直径的圆经过点． ①证明：直线过定点； ②已知点，判断双曲线上是否存在点，使为的重心，若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 18. 高斯-博内公式是大范围微分几何学的一个经典公式，是关于曲面的图形（由曲率表征）和拓扑（由欧拉示性数表征）间联系的一个重要表述，建立了空间的局部性质和整体性质之间的联系．其特例是球面三角形总曲率与球面三角形的面积满足，其中为球的半径．如图1，把球面上的三个点用三个大圆（以球心为圆心的圆）的圆弧连接起来，所围成的图形叫做球面三角形，若平面，平面，平面两两所成的二面角的平面角分别为，，，则球面三角形的面积，已知． （1）若图1中，求劣弧的长； （2）若图1中球面三角形中的劣弧，，的长均为，求球面三角形的总曲率； （3）由图1截出三棱锥，并延长使，得到图2所示的三棱锥，若，，，为线段上的一个动点，为中点，为中点，设平面与平面的夹角为，直线与平面所成的角为，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 秘密★启用前 【考试时间：4月9日 15：00-17：00】 2025届红河州、文山州、普洱市、临沧市高中毕业生复习统一检测 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、班级、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若（为虚数单位），其中，为实数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数相等直接求解即可. 【详解】因为，所以，所以． 故选：C 2. 已知椭圆的右焦点为，则的长轴长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知椭圆的焦点在轴上，且，由椭圆中的平方关系可求得的值，进而可求得长轴长. 【详解】因为椭圆的右焦点为，所以，且焦点在轴上， 所以，解得，所以椭圆的长轴长为． 故选：B. 3. 已知集合，，若，则实数的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 或1 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的交集运算和集合中元素的特性列出关于的方程，即可求解. 【详解】因为，， 所以，解得． 故选：D． 4. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，展开化简即可求解. 【详解】原式 ． 故选：A． 5. 广东省第十二届大学生运动会将于2025年5月5日至6月5日在广州市举行．某电视台为了报道此次运动会，计划从甲、乙、丙、丁、戊5名记者中选派2人前往现场进行报道．若记者甲被选中，则记者乙也被选中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件概率的计算公式求解. 【详解】设“记者甲被选中”为事件，“记者乙被选中”为事件， 则“记者甲和记者乙都被选中”为事件． 因为，，所以． 故选：D． 6. 函数的零点个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数研究函数的单调性，进而得函数的极值，即可得函数的零点个数. 【详解】，， 令，得或；令，得， 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为， 所以函数的极大值为，极小值为， 当时，，当时，， 所以函数的零点个数为2． 故选：C． 7. 在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，若四棱锥的外接球半径为2，则与所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将四棱锥补成长方体，设，根据条件可求得，可得与所成的角即为或其补角，在中，利用余弦定理求解. 【详解】设，如图所示，将四棱锥补成长方体， 则四棱锥的外接球半径等于长方体的外接球半径， 因为，，即，所以． 又，所以与所成的角即为或其补角， 由题意以及长方体结构特征知和均为直角三角形， 所以，， 所以． 可知与所成的角为，所以与所成的角的正弦值为． 故选：B． 8. 定义在上的函数满足：都有，，且，则（ ） A. 45 B. 46 C. 91 D. 92 【答案】B 【解析】 【分析】将中的替换为得到新的不等式，再和运算，即可得出，进而确定关系式，再赋值得出关系式，再相加即可. 【详解】由①，得：②， ②得：③， 又④ ③+④得：⑤， 由①和⑤，得：， 所以，，，，， 以上式子相加得， 则. 故选：B． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在菱形中，点，分别是，的中点，，，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】应用菱形对角线互相垂直平分计算判断A，根据向量加法及数乘运算判断B，根据向量相等判断C，应用数量积公式及运算律计算模长判断D. 【详解】对于A，因为菱形对角线互相垂直平分，所以，因此，故A错误； 对于B，在菱形中，点，分别是，的中点， 所以，． 根据向量加法的三角形法则，，故B正确； 对于C，显然，故C错误； 对于D，因为，，所以． 因为， 所以，故D正确． 故选：BD． 10. 长时间玩手机可能影响视力．为研究近视与玩手机时长的关系，某市随机抽取1000名高中生进行调查，其中有40%的人近视．而这1000名学生中有20%的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率达50%．根据以上数据得到如下列联表： 近视 不近视 合计 每天玩手机超过1小时 每天玩手机不超过1小时 合计 1000 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中． 下列说法正确的是（ ） A. B. 依据小概率值的独立性检验，认为玩手机时长与近视之间有关 C. 用频率估计概率，若从该市高中生中随机抽取5人进行视力调查，记近视人数为，则的数学期望 D. 若从列联表中每天玩手机超过1小时的人中随机抽取3人，记近视人数为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过基本的数量关系计算列联表中的值，可判断A，计算的值，再与临界值比较可判断B；根据二项分布的期望公式计算可判断C；根据超几何分布的计算公式求解可判断D. 【详解】对于A，，，， ， 因为每天玩手机超过1小时的学生近视率为，所以， 所以，，，，故A正确； 对于B，通过计算得出， 所以依据小概率值的独立性检验， 认为玩手机时长与近视之间有关，故B正确； 对于C，根据二项分布的定义，服从二项分布，且，故C错误； 对于D，由题知，服从超几何分布，所以，故D正确． 故选：ABD． 11. 已知一圆台上、下底面半径分别为1，3，母线长为4，下列说法正确的是（ ） A. 该圆台的体积为 B. 该圆台母线与下底面所成的角为 C. 存在一个球与该圆台的两个底面和侧面都相切 D. 过该圆台的轴上一点作平行于下底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的体积最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，，，则圆台的高为，应用圆台体积公式求体积判断A；根据圆台的结构特征求母线与下底面所成角大小判断B；应用圆台内切球的轴截面相关几何性质判断C；设圆柱的半径为，高为，体积为，进而得到关于a的表达式，应用导数求体积最小值判断D. 【详解】设，，，则圆台的高为， 对于A，，正确； 对于B，设母线与底面所成角为，则，所以，错误； 对于C，设梯形为圆台的轴截面， 圆台上、下底面圆心分别为，，则，与球心共线． 若存在一个球与该圆台的两个底面和侧面都相切， 如图所示，圆为梯形的内切圆，为圆与的切点， 由圆的切线性质可得，，即， 因为成立，所以，存在一个球与该圆台的两个底面和侧面都相切，正确； 对于D，若剩下的几何体体积最小，则圆柱的体积最大， 设圆柱的半径为，高为，体积为， 可知，， ， 当时，，当时，， 所以，当时， 所以剩下几何体的体积最小值为，正确． 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量，若，则_____． 【答案】0.34 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性，可得答案. 【详解】因为， 所以． 故答案为：. 13. 已知直线（，），若直线被圆所截得的弦长为，则的最大值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，结合已知得圆心在直线上，则，再应用基本不等式求的最大值. 【详解】因为圆的半径，圆心，直线被圆截得的弦长为， 所以圆心在直线上，即， 又因为，当且仅当时，等号成立． 所以得的最大值为． 故答案为： 14. 抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．如图，抛物线的焦点为，由点发出的光线经点反射后经过点，若点在上，且，，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，进而可得直线的方程为，设，，与抛物线方程联立方程可求得，可求得，进而可得，利用余弦定理可求得. 【详解】如图，在中，，所以， 所以， 又因为轴，所以，因此， 故直线的方程为，联立，得， 设，，则，由抛物线的定义知， 而，所以，在中，，， 由余弦定理，得， 解得． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知为数列的前项和，. （1）求的通项公式； （2）若，求取得最大值时的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据与的关系即可求解； （2）由（1）得，通过作差法比较与的大小，从而得到数列的单调性，即可求解. 【小问1详解】 当时，，解得； 当时，，即. 因为也满足，所以. 【小问2详解】 由（1）得，所以， 所以当时，，即； 当时，，即； 当时，，即， 所以， 故当或时，取得最大值. 16. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）求函数的极值； （3）设，求函数在区间上的最大值． 【答案】（1） （2）极大值，无极小值 （3） 当时，； 当时，； 当时，． 【解析】 【分析】（1）先求导函数，再计算斜率，利用点斜式即可求切线； （2）解不等式和，得出函数单调性，即可求出极值； （3）结合（2）求出的单调性，分三种情况讨论函数在上的单调性，即可求最值. 【小问1详解】 函数的定义域为， 由，则切线的斜率， 又，故切点为， 所以切线的方程为，即． 【小问2详解】 因为， 则，得；，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故当时，有极大值，无极小值． 【小问3详解】 由（2）得：当且，即时， 在上恒成立，函数在上单调递增， 所以； 当，即时， 时，，时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以； 当时，在上恒成立，函数在上单调递减， 所以， 综上所得：当时，； 当时，； 当时，． 17. 已知双曲线的离心率为2，其右焦点到一条渐近线的距离为． （1）求双曲线的方程； （2）若直线与双曲线交于不同的两点，，且以线段为直径的圆经过点． ①证明：直线过定点； ②已知点，判断双曲线上是否存在点，使为的重心，若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①证明见解析 ；②不存在，理由见解析 【解析】 【分析】(1)利用已知条件及，可求得双曲线方程； (2)①以线段为直径的圆经过点转化为，再联立直线与双曲线的方程，利用韦达定理得到，可得到直线过的定点；②假设存在点，利用点在双曲线上，再结合韦达定理即可求解. 【小问1详解】 因为双曲线的右焦点为，渐近线方程为， 所以右焦点为到渐近线的距离为， 因为双曲线的离心率为，所以， 所以，解得， 所以双曲线的方程为． 【小问2详解】 ①设，， 联立，得， 则，，， 所以， ， 因为以线段为直径的圆经过点，所以， 所以，即， 所以， 化简得，即， 因为，，所以， 所以直线的方程为， 所以直线过定点； ②假设双曲线上存在点，使为的重心， 则，即， 由①知，， 所以，又，所以， 因为点在双曲线上，所以，即， 化简得，即， 所以，或(舍)， 又因为，所以假设不成立， 故双曲线上不存在点，使为的重心． 18. 高斯-博内公式是大范围微分几何学的一个经典公式，是关于曲面的图形（由曲率表征）和拓扑（由欧拉示性数表征）间联系的一个重要表述，建立了空间的局部性质和整体性质之间的联系．其特例是球面三角形总曲率与球面三角形的面积满足，其中为球的半径．如图1，把球面上的三个点用三个大圆（以球心为圆心的圆）的圆弧连接起来，所围成的图形叫做球面三角形，若平面，平面，平面两两所成的二面角的平面角分别为，，，则球面三角形的面积，已知． （1）若图1中，求劣弧的长； （2）若图1中球面三角形中的劣弧，，的长均为，求球面三角形的总曲率； （3）由图1截出三棱锥，并延长使，得到图2所示的三棱锥，若，，，为线段上的一个动点，为中点，为中点，设平面与平面的夹角为，直线与平面所成的角为，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)根据弧长公式计算即可； (2)根据弧长公式计算出，通过垂直关系得出，再计算球面三角形的面积，根据公式求出球面三角形的总曲率即可； (3)根据余弦定理，线面垂直的判定定理和性质定理得出，，两两垂直，以此建系，分别求出平面法向量和平面法向量，通过重要不等式计算即可. 【小问1详解】 设劣弧的长度为，因为，， 所以； 【小问2详解】 设，，的长度为，， 则，且，所以，，， 故平面，平面，平面两两垂直，得， 所以球面三角形的面积， 故球面三角形的总曲率； 【小问3详解】 由余弦定理知：，所以， ，所以， 因为，所以，因为，故， 由题知，是球的直径，则，， 因为，，且，平面，所以平面， 又平面，则， 因为，，且，平面，所以平面， 因为，所以为等腰直角三角形， 所以． 因为，，两两垂直， 以为坐标原点，以，所在直线为，轴，过点作的平行线为轴， 建立如图空间直角坐标系，设，，则， ，，，，， ，， 则，，，， 设平面法向量，则， 取，则，，可得， 设平面法向量，则， 取，则，，可得， 要使取最大值，则取最小值，取最大值， 因为 ， 令，，则，， 可得， 当且仅当，即时等号成立． 则取最大值，为最小值，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $