精品解析：上海市顾村中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

上海市顾村中学 2024 学年第二学期期中考试高二年级数学学科 一、填空题(本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1~6 题每题 4 分，第 7~12 题每题 5 分，要 求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分). 1. 直线的倾斜角的大小为_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据直线倾斜角和斜率关系即可得到答案. 【详解】根据其斜率为，设其倾斜角大小为，则， 因为，则. 故答案为：. 2. 直线 和直线间的距离是_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用平行线间的距离公式可求得答案. 【详解】易知直线 和直线平行， 这两条直线间的距离为. 故答案为：. 3. 若圆的方程为，则该圆的半径 _____. 【答案】 【解析】 【分析】直接配方即可得到其半径. 【详解】，化简得. 则其半径为. 故答案为：. 4. 椭圆的焦距为_________ 【答案】 【解析】 【分析】由，求出，即可求出焦距. 【详解】解：， 所以， 所以椭圆的焦距为. 故答案为：. 5. 抛物线的准线方程为________． 【答案】 【解析】 【详解】抛物线的准线方程为；故填. 6. 双曲线的渐近线方程是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线方程直接得到渐近线方程. 【详解】双曲线的渐近线方程为，即. 故答案为： 7. 已知数列的前项和为，则 _____. 【答案】 【解析】 【分析】由即可得答案. 【详解】因为数列的前项和为， 则. 故答案为：. 8. 已知数列 满足 ，则数列的前 项和为 取最小值时，的值=_____. 【答案】4 【解析】 【分析】根据等差数列的定义和求和公式即可得到答案. 【详解】因为，则数列为公差为2的等差数列， 则， 则当时，取得最小值. 故答案：. 9. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数的值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】首先确定，即可得到焦点在轴，然后可得椭圆的焦点，列方程求解． 【详解】双曲线，则，所以双曲线的焦点在轴上， 所以，又，故解得． 故答案为：1． 10. 设椭圆的焦距为，且，则该椭圆的离心率 _____. 【答案】## 【解析】 【分析】由题意得出，等式两边同时除以，可得出关于的方程，结合可求出的值. 【详解】因为椭圆焦距为，且，即， 等式同时除以可得，即， 因为，解得. 故答案为： 11. 已知点A的坐标为（﹣1，0），点B是圆心为C的圆（x﹣1）2+y2=16上一动点，线段AB的垂直平分线交BC与点M，则动点M的轨迹方程为______． 【答案】=1． 【解析】 【详解】试题分析：利用椭圆的定义判断点M的轨迹是以A、C为焦点的椭圆，求出a、b的值，即得椭圆的方程． 解：由题意得，圆心C（1，0），半径等于4， 连接MA，则|MA|=|MB|， ∴|MC|+|MA|=|MC|+|MB|=|BC|=4＞|AC|=2， 故点M的轨迹是：以A、C为焦点的椭圆，2a=4，即有a=2，c=1， ∴b=， ∴椭圆的方程为=1． 故答案为=1． 考点：轨迹方程． 12. 已知抛物线：，圆：，点M的坐标为，P、Q分别为、上的动点，且满足，则点P的横坐标的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】求出圆的圆心、半径，设出点P的坐标，利用圆的性质得出，结合已知建立不等式，求解作答. 【详解】圆：的圆心，半径，设点，有， 依题意，，当且仅当三点共线时取等号，而， 即有，于是， 即，整理得，解得， 所以点P的横坐标的取值范围是. 故答案为： 二、选择题(本大题共有 4 题，满分 18 分，第 13~14 题每题 4 分，第 15~16 题每题 5 分，每题都给出四个结论，其中有且仅有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结 论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得零分). 13. 下列抛物线中，焦点坐标为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出各选项中抛物线的焦点坐标，即可得出答案. 【详解】对于抛物线，，可得，故， 所以，抛物线的焦点坐标为， 同理可知，抛物线的焦点坐标为，抛物线的焦点坐标为，， 抛物线的焦点坐标为. 故选：C. 14. 下列四个椭圆中，形状最扁的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的离心率越大，椭圆的形状越扁，结合选项中的椭圆的方程，求得的关系，即可求解. 【详解】由，根据选项中的椭圆的方程，可得的值满足， 因为椭圆的离心率越大，椭圆的形状越扁， 所以这四个椭圆中，椭圆的离心率最大，故其形状最扁． 故选：A. 15. 已知圆，圆 分别是圆 、 上动点， 为轴上的动点，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出圆关于轴对称的圆，利用对称的性质、圆的性质及两点间线段最短求出最小值. 【详解】圆圆心，半径，圆的圆心，半径， 作圆关于轴对称的圆，其圆心 因此， 当且仅当是线段与轴的交点时取等号， 所以的最小值为. 故选：C 16. 国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线、 （如图），且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设内层椭圆方程为，则外层椭圆方程为（），分别列出过、和、的切线方程，联立切线和内层椭圆，由分别转化出、的表达式，结合可求与的关系式，齐次化可求离心率. 【详解】设内层椭圆方程为，因为内、外层椭圆离心率相同， 所以外层椭圆方程可设成， 设切线方程为，与联立得， ， 由，化简得：， 设切线方程为，同理可求得， 所以，， 所以，因此. 故选：B. 三、解答题(本大题共有 5 题，满分 78 分，解答下列各题必须在答题纸的规定区域(对应的 题号)内写出必要的步骤). 17. 已知等差数列{an}的前三项依次为a，4，3a，前k项和Sk=2550，求a及k. 【答案】a=2，k=50 【解析】 【分析】利用等差中项求出，根据等差数列的定义求出公差，再根据等差数列前项和公式可求出. 【详解】设等差数列{an}的公差为d， 则由题意得，解得，， 所以，所以或（舍）， 综上所述：，. 18. 已知点，直线. （1）求经过点P且与直线l平行的直线的方程； （2）求经过点P且与直线l垂直的直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行设出直线方程，代入点，求出答案； （2）根据垂直设出直线方程，代入点，求出答案. 【小问1详解】 设经过点P且与直线l平行的直线方程为， 将代入得，解得， 故经过点P且与直线l平行的直线方程为； 【小问2详解】 设经过点P且与直线l垂直的直线方程为， 将代入得，解得， 故经过点P且与直线l垂直的直线方程为. 19. 已知直线 与椭圆 有且只有一个公共点. （1）求椭圆的方程； （2）是否存在实数，使椭圆上存在不同两点 、 关于直线对称？ 若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）将直线方程和椭圆方程联立，利用求解即可； （2）假设存在实数，设直线的方程为，通过求出的范围，然后与椭圆联立，求出线段的中点，代入直线 ，求出与的关系，进而可得的范围. 【小问1详解】 联立，消去得 直线与椭圆有且只有一个公共点， ，解得， 即椭圆的方程为. 【小问2详解】 假设存在实数，使椭圆上存在不同两点、关于直线对称， 设直线的方程为，设点、， 联立，消去得， 则，解得， 由韦达定理得，， ， ， 存在实数，使椭圆上存在不同两点、关于直线对称， 且的取值范围是. 20. 已知抛物线，，直线交抛物线于点、，交抛物线于点、，其中点、位于第一象限． （1）若点到抛物线焦点的距离为2，求点的坐标； （2）若点的坐标为，且线段的中点在轴上，求原点到直线的距离； （3）若，求与的面积之比． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由抛物线的定义根据其方程得出准线，由定义得出抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，或通过焦半径公式，即可得出点的横坐标，代入方程得出纵坐标，根据点所在的象限得出其坐标； （2）设，得出线段AC的中点坐标，根据已知列式，代入方程得出点的坐标，即可由两点式得出直线的方程，即可由点到直线的距离公式得出答案； （3）设直线的方程为，设，根据已知与方程的联立与韦达定理得出，，，设原点到直线的距离为，由弦长公式与三角形面积公式的出，即可代入化解得出答案. 【小问1详解】 抛物线的准线为， 因为点到抛物线焦点的距离为2， 所以点到抛物线准线的距离为2， 所以点的横坐标为1， 代入方程的，解得， 因为点位于第一象限， 故点的坐标为. 【小问2详解】 设，则线段AC的中点坐标为 因为线段的中点在轴上， 所以，故， 代入方程得，解得，所以， 所以直线的方程为：，整理得： 所以原点O到直线l的距离 【小问3详解】 由题意，直线的斜率显然存在且， 设直线的方程为， 设 由，得， 由，得：， 因为直线与抛物线交于点、， 所以，即，且，， 同理，，， 所以，， 由①，②得：，代入③得，代入②得 设原点到直线的距离为， 所以. 【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线中的三角形面积问题一般转化为弦长问题与点到直线距离问题，使用弦长公式利用直线与圆锥曲线联立得出的二次方程由韦达定理转化. 21. 已知双曲线的离心率为． （1）若，且双曲线经过点，求双曲线的方程； （2）若，双曲线的左、右焦点分别为，焦点到双曲线的渐近线的距离为，点在第一象限且在双曲线上，若=8，求的值； （3）设圆，． 若动直线与圆相切，且与双曲线 交于时，总有，求双曲线离心率的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据离心率和双曲线过点列方程组求解可得； （2）利用点到直线的距离公式求出b，然后由双曲线定义和余弦定理可得； （3）根据直线与圆相切可得m，k的关系，联立直线和双曲线方程消元，利用韦达定理代入整理即可得关于a，b，c的齐次式，然后可得离心率范围. 小问1详解】 由，得， 又得， 因为双曲线经过点，有，所以， 所以，双曲线方程为． 【小问2详解】 由已知得，渐近线方程为，焦点坐标为 因为焦点到双曲线的渐近线的距离为， 所以，所以，， 由双曲线定义知，， ． 【小问3详解】 因为直线与圆相切，圆心为，半径为2， 则圆心到直线的距离为，化简得， 又 设，则，即， 则，（*） 联立得， 则， 代入（*）， 得 整理得， 将代入， 化简得，则， 又，，得， 则，所以，离心率的取值范围． 【点睛】直线与圆锥曲线综合问题，主要采取设而不求的方法，联立直线和曲线方程消元，利用韦达定理将条件或所求化简整理即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海市顾村中学 2024 学年第二学期期中考试高二年级数学学科 一、填空题(本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1~6 题每题 4 分，第 7~12 题每题 5 分，要 求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分). 1. 直线的倾斜角的大小为_____ 2. 直线 和直线间的距离是_____. 3. 若圆的方程为，则该圆的半径 _____. 4. 椭圆的焦距为_________ 5. 抛物线的准线方程为________． 6. 双曲线的渐近线方程是__________. 7. 已知数列的前项和为，则 _____. 8. 已知数列 满足 ，则数列的前 项和为 取最小值时，的值=_____. 9. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数的值为______. 10. 设椭圆的焦距为，且，则该椭圆的离心率 _____. 11. 已知点A的坐标为（﹣1，0），点B是圆心为C的圆（x﹣1）2+y2=16上一动点，线段AB的垂直平分线交BC与点M，则动点M的轨迹方程为______． 12. 已知抛物线：，圆：，点M的坐标为，P、Q分别为、上的动点，且满足，则点P的横坐标的取值范围是_____________． 二、选择题(本大题共有 4 题，满分 18 分，第 13~14 题每题 4 分，第 15~16 题每题 5 分，每题都给出四个结论，其中有且仅有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结 论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得零分). 13. 下列抛物线中，焦点坐标为的是（ ） A. B. C. D. 14. 下列四个椭圆中，形状最扁是（ ） A. B. C. D. 15. 已知圆，圆 分别是圆 、 上动点， 为轴上的动点，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 16. 国家体育场“鸟巢”钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线、 （如图），且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 三、解答题(本大题共有 5 题，满分 78 分，解答下列各题必须在答题纸的规定区域(对应的 题号)内写出必要的步骤). 17. 已知等差数列{an}前三项依次为a，4，3a，前k项和Sk=2550，求a及k. 18. 已知点，直线. （1）求经过点P且与直线l平行的直线的方程； （2）求经过点P且与直线l垂直的直线的方程. 19. 已知直线 与椭圆 有且只有一个公共点. （1）求椭圆的方程； （2）是否存在实数，使椭圆上存在不同两点 、 关于直线对称？ 若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 20 已知抛物线，，直线交抛物线于点、，交抛物线于点、，其中点、位于第一象限． （1）若点到抛物线焦点的距离为2，求点的坐标； （2）若点的坐标为，且线段的中点在轴上，求原点到直线的距离； （3）若，求与的面积之比． 21. 已知双曲线的离心率为． （1）若，且双曲线经过点，求双曲线的方程； （2）若，双曲线的左、右焦点分别为，焦点到双曲线的渐近线的距离为，点在第一象限且在双曲线上，若=8，求的值； （3）设圆，． 若动直线与圆相切，且与双曲线 交于时，总有，求双曲线离心率的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$