拓展02 利用导数求参数问题7考点复习指南-【题海探秘】2024-2025学年高二下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019）

【题海探秘】2024-2025高二下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019） 拓展02 利用导数求参数问题7考点复习指南 在导数的众多应用中，利用导数求参数问题是一个核心且具有挑战性的领域。它广泛涉及函数的单调性、极值、最值以及不等式恒成立等多个方面，是高中数学知识的重要交汇点。下面将从问题背景、处理角度、解法策略三个方面，对利用导数求参数问题进行详细阐述。 【问题背景】 在函数研究中，参数的存在使得函数的性质变得复杂多样。确定合适的参数值或取值范围，对于准确把握函数的单调性、极值和最值等性质至关重要。但由于函数形式的多样性和参数对函数影响的复杂性，利用导数求参数问题成为学生学习和解题中的难点，需要综合运用函数、导数、方程、不等式等多方面知识进行求解。 【处理角度】 1.求导运算：对函数求导是解决利用导数求参数问题的基础。熟练掌握基本函数的求导公式和求导法则，如幂函数、指数函数、对数函数等的求导公式，以及导数的四则运算法则和复合函数求导法则，能够准确求出函数的导数。在求导过程中，要注意函数的定义域，确保求导的准确性，为后续分析函数的性质和求解参数奠定基础。 2.分类讨论：由于参数的取值会影响函数的导数和性质，在许多情况下需要对参数进行分类讨论。根据参数的不同取值范围，分别分析函数的单调性、极值和最值等情况，然后综合各种情况得到参数的取值范围。在分类讨论时，要做到不重不漏，全面考虑各种可能的情况，确保答案的完整性。 3.构造函数：构造函数是解决利用导数求参数问题的常用策略。通过构造合适的函数，将问题转化为研究函数的单调性、极值和最值等性质。在恒成立问题中，构造一个新的函数，通过研究其最值来确定参数的取值范围；在证明不等式时，构造函数并利用其单调性来证明不等式成立。构造函数的关键在于根据问题的特点和需要，合理选择函数的形式，使其能够有效地解决原问题。 4.方程与不等式求解：在利用导数求参数的过程中，常常会涉及到方程和不等式的求解。根据函数的极值点、单调性、最值等条件列出方程或不等式，然后运用解方程和不等式的方法求出参数的取值范围。在求解过程中，要注意方程和不等式的等价变形，以及解的合理性和完整性。 5.数形结合：借助函数图象可以直观地理解函数的性质和参数的影响。通过画出函数的图象，观察函数的单调性、极值和最值等特征，结合图象来分析问题和求解参数。在判断函数的极值点个数时，通过观察导数图象与 x 轴的交点情况来确定；在解决恒成立问题时，结合函数图象分析函数的取值范围，从而确定参数的取值范围。数形结合的方法能够将抽象的数学问题转化为直观的图形问题，提高解题的效率和准确性。 【解法策略】 1.已知函数在区间上单调求参数：当函数在给定区间上单调递增时，其导数在该区间上大于等于 0 恒成立；当函数在给定区间上单调递减时，其导数在该区间上小于等于 0 恒成立。将函数单调性问题转化为导数不等式恒成立问题，通过求解不等式来确定参数的取值范围。在求解过程中，可能需要对参数进行分类讨论，考虑不同情况下函数的单调性和导数的取值。 2.已知函数存在单调区间求参数：函数存在单调区间，意味着其导数在某个区间内有正有负。通过分析导数的正负情况，确定函数的单调区间，进而根据已知条件列出关于参数的不等式，求解得到参数的取值范围。在处理这类问题时，要注意导数为 0 的点对函数单调性的影响，以及参数对导数正负性的改变。 3.已知函数在区间上不单调求参数：函数在区间上不单调，说明其导数在该区间内存在变号零点。通过分析导数的零点分布情况，结合函数的定义域和单调性，列出关于参数的不等式组，求解得到参数的取值范围。在解决这类问题时，需要运用二次函数的性质、零点存在定理等知识，准确判断导数零点的个数和位置。 4.根据函数极值求参数：函数在某点取得极值，其导数在该点为 0，且在该点两侧导数的符号发生改变。根据这一性质，先求出导数为 0 的点，再通过判断这些点两侧导数的正负性来确定是否为极值点，进而根据已知的极值条件列出方程，求解得到参数的值。在求解过程中，要注意对求出的参数值进行检验，排除不符合极值定义的情况。 5.根据极值点个数求参数：函数的极值点个数与导数的零点个数密切相关。导数的零点是可能的极值点，通过分析导数的零点个数和性质，结合函数的定义域和单调性，确定参数的取值范围。在处理这类问题时，常常需要利用导数研究函数的单调性和极值情况，通过构造函数、分析函数的图象等方法，判断导数零点的个数和分布。 6.由函数的最值求参数问题：函数在某区间上的最值与函数的单调性和极值密切相关。通过求导确定函数的单调性和极值点，进而求出函数在该区间上的最值。根据已知的最值条件列出方程或不等式，求解得到参数的取值范围。在求解过程中，要注意函数在区间端点处的取值情况，以及最值与极值之间的关系。 7.恒成立问题求参数：不等式恒成立问题是数学中的常见问题，在利用导数求参数的情境下，通常将不等式转化为函数的最值问题。构造一个新的函数，通过求导研究其单调性和最值，使得函数的最值满足不等式的条件，从而确定参数的取值范围。在处理这类问题时，常用的方法有分离参数法、构造函数法等，需要根据具体问题选择合适的方法进行求解。 考点1 已知函数在区间上单调求参数 1．（2024高三·全国·专题练习）若函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山西·一模）设，若函数在区间上单调，则的取值范围是 ． 4．（24-25高三下·山西·开学考试）函数（其中，且）是其定义域上的单调函数，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点2 已知函数存在单调区间求参数 5．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·重庆·期末）已知函数在区间上存在单调递减区间，则实数的取值范围是 ． 7．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）已知函数，，是常数. (1)若在存在单调递减区间，求的取值范围. (2)若函数在处有极大值，求的值. 8．（23-24高二下·山东滨州·期末）已知函数，其中． (1)若时，有极小值，求的值； (2)若在区间存在单调递减区间，求的取值范围． 9．（23-24高二下·江苏·期中）设函数，． (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值：（其中为自然对数的底数）； (2)在（1）的条件下求的单调区间和极小值： (3)若在上存在增区间，求的取值范围． 10．（23-24高三上·福建泉州·阶段练习）若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点3 已知函数在区间上不单调求参数 11．（24-25高二下·重庆城口·阶段练习）已知函数，若在内不单调，则实数的取值范围是 ． 12．（24-25高三上·浙江·期末）已知函数 (1)若求的单调区间; (2)若在上不单调，求的取值范围. 13．（23-24高三上·福建三明·期中）已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 14．（22-23高二下·陕西西安·期末）若函数在上不单调，则实数的取值范围为 . 15．（2023·宁夏银川·三模）若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D．m>1 16．（2023高二·全国·专题练习）函数在区间上不单调，实数的范围是 . 考点4 根据函数极值求参数 17．（2024高二下·全国·专题练习）已知函数（其中为自然对数的底数）存在极大值，且极大值不小于1，则的取值范围为 ． 18．（24-25高二下·广西南宁·开学考试）函数在处取得极值10，则（   ） A．5 B． C．0 D．0或 19．（2025·广西南宁·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若存在极大值，且极大值不大于，求实数a的取值范围. 20．（24-25高二下·江苏·阶段练习）已知函数，若函数在上有极值，则实数a的取值范围为 . 21．（24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）已知函数在上无极值，则实数的取值范围为 . 22．（24-25高二上·全国·课后作业）若函数既有极大值又有极小值，则的取值范围是 . 考点5 根据极值点个数求参数 23．（2025·河北秦皇岛·二模）已知函数有三个极值点，且，则实数的取值范围是 ． 24．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）若函数有三个极值点，则的取值范围是 ． 25．（24-25高二下·重庆·阶段练习） 在 上有且仅有 1 个极值点，则 的取值范围为 . 26．（24-25高二下·安徽合肥·阶段练习）若函数在上有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是 . 27．（24-25高二下·广西贵港·阶段练习）若函数在区间上有两个极值点，则实数的取值范围是 ． 28．（24-25高二下·江苏苏州·阶段练习）若函数有唯一一个极值点，则实数的取值范围是 ． 29．（22-23高二下·湖南·期中）已知函数存在两个极值点，，且，则a的取值范围是 ． 考点6 由函数的最值求参数问题 30．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知，若函数有最小值，则实数的最大值为 . 31．（2025·湖南常德·一模）若函数有最小值，则实数的取值范围是 . 32．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）若函数在上不存在最值，则实数的取值范围为 ． 33．（24-25高二下·天津·阶段练习）若函数在区间上的最小值为0，则的取值范围为 . 34．（24-25高二上·上海闵行·期末）已知函数，且在区间上的最大值为3，无最小值，则的取值范围是 . 35．（24-25高二上·吉林长春·期末）若函数在内有最小值，则实数的取值范围是 . 考点7 恒成立问题求参数 36．（23-24高三上·安徽合肥·期末）已知函数，若恒成立，则 . 37．（2024·河南郑州·一模），不等式恒成立，则正实数的最大值是 ． 38．（2022·辽宁·二模）若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为 . 39．（21-22高三上·浙江宁波·开学考试）设函数，若不等式对任意恒成立，则的最大值为 ． 40．（21-22高三上·山西太原·期末）已知函数在上的最小值为1，若对于任意，不等式恒成立，则实数m的最小值为 ． 41．（24-25高二下·安徽铜陵·阶段练习）若关于的不等式在上恒成立，则正数的最小值为 ． 一、单选题 1．（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）若函数存在两个极值点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·天津和平·阶段练习）若函数在处有极值10，则（   ）． A． B．或15 C． D．15 3．（浙江省台州市2025届高三第二次教学质量评估数学试题）已知，若函数既有极大值又有极小值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·河北邢台·阶段练习）“”是“函数有极值”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2023高三·全国·专题练习）已知不等式对任意恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知函数在上存在极小值（e为自然对数的底数），则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·湖北荆州·阶段练习）若关于x的不等式恒成立，则实数的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 8．（23-24高二下·广东·期中）已知不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）已知函数是单调递增函数，则的取值可以是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高三上·河南许昌·期中）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若的增区间为，则 B．若在上单调递减，则 C．若的极大值为0，则 D．若，则曲线的对称中心为 11．（24-25高三上·广西·期中）已知函数，则（   ） A．若，则有三个零点 B．若，则函数存在个极值点 C．在单调递减，则 D．若在恒成立，则 三、填空题 12．（24-25高二下·广东河源·阶段练习）若曲线在处有最值，则实数的值为     13．（24-25高二下·天津·阶段练习）已知函数，当时有极大值3，则 ; . 14．（24-25高二下·广东东莞·阶段练习）若函数在上存在单调减区间，则实数取值范围是 ． 15．（24-25高二下·北京·阶段练习）若函数在区间上不单调，则实数的取值范围为 . 16．（2025·贵州·模拟预测）在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”．则 旋转函数（填：“是”或者“不是”）；若是旋转函数，则的取值范围是 ． 四、解答题 17．（24-25高二下·湖北·阶段练习）（1）证明：，； （2）已知函数（，，e为自然对数的底数）. （I）当时，求函数的单调区间； （II）若函数在上单调递增，求实数的取值范围. 18．（24-25高二下·贵州铜仁·阶段练习）设函数，曲线在点处的切线方程为. (1)求b、c的值 (2)若函数在处有极值，求a的值及函数的单调区间 19．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）设函数，． (1)若在处切线为，求实数的值； (2)是否存在实数a，使得当时，函数的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 20．（24-25高二下·甘肃张掖·阶段练习）已知函数. (1)若函数在处取得极值，求a的值； (2)若曲线y=在处的切线方程为求a和m的值； (3)若有两个零点，求a的取值范围. 21．（24-25高三下·江苏盐城·阶段练习）已知函数． (1)若时，，求a的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)设，若，当且仅当，求b的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【题海探秘】2024-2025高二下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019） 拓展02 利用导数求参数问题7考点复习指南 在导数的众多应用中，利用导数求参数问题是一个核心且具有挑战性的领域。它广泛涉及函数的单调性、极值、最值以及不等式恒成立等多个方面，是高中数学知识的重要交汇点。下面将从问题背景、处理角度、解法策略三个方面，对利用导数求参数问题进行详细阐述。 【问题背景】 在函数研究中，参数的存在使得函数的性质变得复杂多样。确定合适的参数值或取值范围，对于准确把握函数的单调性、极值和最值等性质至关重要。但由于函数形式的多样性和参数对函数影响的复杂性，利用导数求参数问题成为学生学习和解题中的难点，需要综合运用函数、导数、方程、不等式等多方面知识进行求解。 【处理角度】 1.求导运算：对函数求导是解决利用导数求参数问题的基础。熟练掌握基本函数的求导公式和求导法则，如幂函数、指数函数、对数函数等的求导公式，以及导数的四则运算法则和复合函数求导法则，能够准确求出函数的导数。在求导过程中，要注意函数的定义域，确保求导的准确性，为后续分析函数的性质和求解参数奠定基础。 2.分类讨论：由于参数的取值会影响函数的导数和性质，在许多情况下需要对参数进行分类讨论。根据参数的不同取值范围，分别分析函数的单调性、极值和最值等情况，然后综合各种情况得到参数的取值范围。在分类讨论时，要做到不重不漏，全面考虑各种可能的情况，确保答案的完整性。 3.构造函数：构造函数是解决利用导数求参数问题的常用策略。通过构造合适的函数，将问题转化为研究函数的单调性、极值和最值等性质。在恒成立问题中，构造一个新的函数，通过研究其最值来确定参数的取值范围；在证明不等式时，构造函数并利用其单调性来证明不等式成立。构造函数的关键在于根据问题的特点和需要，合理选择函数的形式，使其能够有效地解决原问题。 4.方程与不等式求解：在利用导数求参数的过程中，常常会涉及到方程和不等式的求解。根据函数的极值点、单调性、最值等条件列出方程或不等式，然后运用解方程和不等式的方法求出参数的取值范围。在求解过程中，要注意方程和不等式的等价变形，以及解的合理性和完整性。 5.数形结合：借助函数图象可以直观地理解函数的性质和参数的影响。通过画出函数的图象，观察函数的单调性、极值和最值等特征，结合图象来分析问题和求解参数。在判断函数的极值点个数时，通过观察导数图象与 x 轴的交点情况来确定；在解决恒成立问题时，结合函数图象分析函数的取值范围，从而确定参数的取值范围。数形结合的方法能够将抽象的数学问题转化为直观的图形问题，提高解题的效率和准确性。 【解法策略】 1.已知函数在区间上单调求参数：当函数在给定区间上单调递增时，其导数在该区间上大于等于 0 恒成立；当函数在给定区间上单调递减时，其导数在该区间上小于等于 0 恒成立。将函数单调性问题转化为导数不等式恒成立问题，通过求解不等式来确定参数的取值范围。在求解过程中，可能需要对参数进行分类讨论，考虑不同情况下函数的单调性和导数的取值。 2.已知函数存在单调区间求参数：函数存在单调区间，意味着其导数在某个区间内有正有负。通过分析导数的正负情况，确定函数的单调区间，进而根据已知条件列出关于参数的不等式，求解得到参数的取值范围。在处理这类问题时，要注意导数为 0 的点对函数单调性的影响，以及参数对导数正负性的改变。 3.已知函数在区间上不单调求参数：函数在区间上不单调，说明其导数在该区间内存在变号零点。通过分析导数的零点分布情况，结合函数的定义域和单调性，列出关于参数的不等式组，求解得到参数的取值范围。在解决这类问题时，需要运用二次函数的性质、零点存在定理等知识，准确判断导数零点的个数和位置。 4.根据函数极值求参数：函数在某点取得极值，其导数在该点为 0，且在该点两侧导数的符号发生改变。根据这一性质，先求出导数为 0 的点，再通过判断这些点两侧导数的正负性来确定是否为极值点，进而根据已知的极值条件列出方程，求解得到参数的值。在求解过程中，要注意对求出的参数值进行检验，排除不符合极值定义的情况。 5.根据极值点个数求参数：函数的极值点个数与导数的零点个数密切相关。导数的零点是可能的极值点，通过分析导数的零点个数和性质，结合函数的定义域和单调性，确定参数的取值范围。在处理这类问题时，常常需要利用导数研究函数的单调性和极值情况，通过构造函数、分析函数的图象等方法，判断导数零点的个数和分布。 6.由函数的最值求参数问题：函数在某区间上的最值与函数的单调性和极值密切相关。通过求导确定函数的单调性和极值点，进而求出函数在该区间上的最值。根据已知的最值条件列出方程或不等式，求解得到参数的取值范围。在求解过程中，要注意函数在区间端点处的取值情况，以及最值与极值之间的关系。 7.恒成立问题求参数：不等式恒成立问题是数学中的常见问题，在利用导数求参数的情境下，通常将不等式转化为函数的最值问题。构造一个新的函数，通过求导研究其单调性和最值，使得函数的最值满足不等式的条件，从而确定参数的取值范围。在处理这类问题时，常用的方法有分离参数法、构造函数法等，需要根据具体问题选择合适的方法进行求解。 考点1 已知函数在区间上单调求参数 1．（2024高三·全国·专题练习）若函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】函数在上单调递增，可以转化为在上恒成立，分段讨论求解即可． 【详解】函数在上单调递增，可以转化为在上恒成立， 当时，， 令，分离参数得， 令，，求导得， 令，解得或（舍去）， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在内单调递减， 故， 所以； 当时，，求导得， 令，由于，解得或（舍去）， 当时，，则在上单调递增， 由题意，故，解得． 又，解得． 综上，的取值范围是． 故选：C． 2．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到，恒成立.从而得到，恒成立，再根据的单调性求解即可. 【详解】因为，函数在区间上是减函数， 所以，恒成立. 所以，恒成立. 设，， 因为对称轴为，所以在为增函数， 所以，所以. 故选：C 3．（2025·山西·一模）设，若函数在区间上单调，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意，设，利用导数可得在上单调递减，由，进而可得在区间上单调递增，在区间上单调递减，进而可得. 【详解】， 设，则， 故在上单调递减，又，可知在区间上单调递增， 在区间上单调递减，故，的取值范围是. 故答案为： 4．（24-25高三下·山西·开学考试）函数（其中，且）是其定义域上的单调函数，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导后再分类讨论单调递增和单调递减，借助导数研究其单调性.再构造函数，得到单调性，求出范围即可. 【详解】由.若单调递增，则恒成立，即. 设，，又函数在时函数值趋近于0，不满足条件； 若单调递减，则恒成立，即， 当时，函数在时函数值趋向于，不满足条件，所以， 令，则，所以在区间上单调递增， 在区间上单调递减，所以，即， 所以，即，解得. 故选：B 考点2 已知函数存在单调区间求参数 5．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，只需存在区间，使得当时，，根据导数的零点大小分，和讨论求解. 【详解】由题意得， 要使在上存在单调递减区间，只需存在区间，使得当时，， 当时，，显然不存在满足条件的区间； 当时，的解集为，因为， 所以要使在上存在单调递减区间，则，解得； 当时，的解集为，因为， 所以要使在上存在单调递减区间，则，解得. 综上，的取值范围为. 故选：A. 6．（24-25高二上·重庆·期末）已知函数在区间上存在单调递减区间，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】问题转化为在上有解，分离参数，通过求导分析函数的最小值可得实数的取值范围. 【详解】∵，∴， 由题意得，在上有解，即在上有解， ∴，， 设，则， 设，则， ∴在上为增函数， ∵， ∴当时，，，当时，，， ∴在上为减函数，在上为增函数， ∴， ∴，故实数的取值范围是. 故答案为：. 7．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）已知函数，，是常数. (1)若在存在单调递减区间，求的取值范围. (2)若函数在处有极大值，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）即在上有解，即可求出求的取值范围. （2）求导因式分解后可得当时，有极大值，故此时，所以. 【详解】（1）因为， 所以， 当时，，或. 若，当变化时，，的变化情况如下表所示： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由题意，在存在单调递减区间， 所以在上有解， 在上单调递减，所以， 解得，或，即. 若，当变化时，，的变化情况如下表所示： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 则在不存在单调递减区间. 若，，在上单调递增，不存在减区间. 综上所述，的取值范围是. （2）因为. 当，即，或时，函数可能有极值. 由题意，当时，函数有极大值，所以. 由（1）知，当时，有极大值，此时，所以. 当时，， 令，可得：或， 令，可得：， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处有极大值. 8．（23-24高二下·山东滨州·期末）已知函数，其中． (1)若时，有极小值，求的值； (2)若在区间存在单调递减区间，求的取值范围． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）由极值点得导数等于0，解出或，进而利用导数检验时，有极小值； （2）分类讨论三种情况，结合导数得出其单调性，再由在区间存在单调递减区间，进一步确定的取值范围． 【详解】（1）由，可得， 因为函数在处取极小值，所以，解得或. 当时，， 所以当时， 函数在和上单调递增； 当时，， 函数在上单调递减； 所以时，有极小值，所以满足题意. 当时，， 所以当时，， 函数在区间和上单调递增； 当时，，函数在区间上单调递减， 所以时，有极大值,所以不满足题意. 综上所述，所求的值为2. （2）因为， 当时，由，解得，所以函数的减区间为. 在区间存在单调递减区间，所以， 当时，，所以函数在单调递增，不存在减区间， 所以不符合题意. 当时，由，解得，所以函数单调递减区间为. 所以在区间不存在单调递减区间，所以不符合题意. 综上所述，的取值范围为. 9．（23-24高二下·江苏·期中）设函数，． (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值：（其中为自然对数的底数）； (2)在（1）的条件下求的单调区间和极小值： (3)若在上存在增区间，求的取值范围． 【答案】(1) (2)单调减区间为，单调增区间为，极小值为2 (3) 【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求得的值； （2）利用导数与单调性以及极值的关系即可求解； （3）将在上存在增区间转化为有解，分离参数，即可求出的取值范围. 【详解】（1）由题可得， 因为曲线在点处的切线与直线垂直， 所以，解得； （2）由（1）知，令，解得 由，解得，由，解得， 所以的单调减区间为，单调增区间为，当时，取得极小值； （3）由在上存在增区间， 即在上有解， 即在上有解，所以， 令，易知在上单调递增，在上单调递减， 则， 所以 即的取值范围为. 10．（23-24高三上·福建泉州·阶段练习）若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件得出存在，使成立，即存在，使成立，构造函数，，求出的最值即可解决问题. 【详解】因为函数在上存在单调递增区间， 所以存在，使成立，即存在，使成立， 令，， 变形得，因为，所以， 所以当，即时，，所以， 故选：D． 考点3 已知函数在区间上不单调求参数 11．（24-25高二下·重庆城口·阶段练习）已知函数，若在内不单调，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出函数的导数，由在内不单调知在内有实数根且无重根，再通过分类讨论结合二次方程根的分布求得实数的范围. 【详解】由，得， 因为在内不单调，所以在内有实数根且无重根. 若在内有且只有一个实数根，的图象如图， 则， 即，显然不等式无解；    若在内有两个不相等的实数根，的图象如图， 则，即，解得. 综上，实数的取值范围是    故答案为：． 12．（24-25高三上·浙江·期末）已知函数 (1)若求的单调区间; (2)若在上不单调，求的取值范围. 【答案】(1)上单调递增区间为单调递减区间为 (2) 【分析】（1）求导，令即可求解； （2）求导可得，设，则，解之即可求解. 【详解】（1）的定义域为， ， 令或，或， 在上单调递增，在上单调递减. （2）， 设， 注意到，要使在上不单调， 只需满足，解得， 即实数的取值范围为. 13．（23-24高三上·福建三明·期中）已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，令，根据在上不单调，由在上有变号零点求解. 【详解】， 令， 因为在上不单调， 在上有变号零点，即在上有变号零点， 当 时， ，不成立； 当 时，只需 ，即 ， 解得 或 ， 所以 在上不单调的充要条件是或 ， 所以在上不单调的一个充分不必要条件是， 故选：B 14．（22-23高二下·陕西西安·期末）若函数在上不单调，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】将问题转化为方程在上有根，结合的定义域得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】因为函数在上不单调， 所以在上有零点， 即方程在上有根，即方程在上有根， 又函数定义域为， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 15．（2023·宁夏银川·三模）若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D．m>1 【答案】B 【详解】首先求出的定义域和极值点，由题意得极值点在区间内，且，得出关于的不等式组，求解即可． 【分析】函数的定义域为， 且， 令，得， 因为在区间上不单调， 所以，解得： 故选：B. 16．（2023高二·全国·专题练习）函数在区间上不单调，实数的范围是 . 【答案】 【分析】求导，判断单调性，从而求得函数的极大值点为，极小值点为，进而可得或，求解即可. 【详解】，，令，得. 当或时，；当时，. 所以函数在，上单调递增，在上单调递减， 所以函数的极大值点为，极小值点为. 由题意可得或，解得或. 所以实数的范围是. 故答案为：. 考点4 根据函数极值求参数 17．（2024高二下·全国·专题练习）已知函数（其中为自然对数的底数）存在极大值，且极大值不小于1，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先利用导数求极大值，再利用极大值不小于1列不等式组即可求解. 【详解】由已知可得，函数的定义域为． ①当时，在内恒成立， 所以在内单调递增，此时函数无极值． ②当时，，由可得． 当时，，所以在内单调递增； 当时，，所以在内单调递减， 于是函数在处取得极大值． 由已知，，即，， 因为函数在内单调递增，所以，即，又， 所以，于是的取值范围为． 综上所述，的取值范围为． 故答案为：． 18．（24-25高二下·广西南宁·开学考试）函数在处取得极值10，则（   ） A．5 B． C．0 D．0或 【答案】B 【分析】由在处取得极值10，求得或，再结合函数的极值的概念检验得解. 【详解】函数，求导得， 由在处取得极值10，得，解得或， 当时，，函数在R上递增，无极值，不符合题意； 当时，得， 当或时，；当时，， 因此是函数的极小值点，符合题意，所以. 故选：B 19．（2025·广西南宁·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若存在极大值，且极大值不大于，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义可得切线的斜率，由此可得结果. （2）讨论的范围，得到时，的极大值为，通过构造函数分析单调性可得结果. 【详解】（1）当时，，故， ∴， ∴曲线在处的切线方程为，即. （2）由题意得，，故函数的定义域为， ∵，∴， 当时，，，在上为增函数，无极值. 当时，由得， 由得，，由得，， ∴在上为增函数，在上为减函数， ∴当时，有极大值，极大值为， ∴，即， 令，则， ∵，∴， ∴在上为增函数， ∵， ∴要使，则， ∴实数a的取值范围是. 20．（24-25高二下·江苏·阶段练习）已知函数，若函数在上有极值，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】对函数求导并根据极值定义以及二次函数性质解不等式即可求出结果. 【详解】由函数可知， 若函数在上有极值，可得导函数在上有零点， 显然在上单调递增， 所以，即，解得. 经检验时，符合题意. 故答案为：. 21．（24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）已知函数在上无极值，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】求导，根据无极值的条件，利用判别式解得的取值范围. 【详解】由得， 因为函数在上无极值， 所以在上无变号零点， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 22．（24-25高二上·全国·课后作业）若函数既有极大值又有极小值，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】本题首先可通过求导得出，然后根据题意得出，最后通过计算即可得出结果. 【详解】， 令，即. 因为函数有极大值和极小值， 所以方程有两个不相等的实数根， 即，解得或. 故答案为： 考点5 根据极值点个数求参数 23．（2025·河北秦皇岛·二模）已知函数有三个极值点，且，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，结合导数将问题转化为直线与的图象有三个不同交点，利用导数求出的范围，再利用零点的定义及，构造函数，利用导数求出的范围，进而求出所求范围. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 由函数有三个极值点，得有三个不同的零点，显然， 则方程有三个不相等的实根，令，于是直线与的图象有三个不同交点， 求导得，由，得，由得，或， 函数在上单调递增，在上单调递减，， ，又时，恒成立，因此， 而，则，令，则，即， 令，求导得， 令，求导得，函数在上单调递减， ，则，函数在上单调递减，， 而函数在上单调递增，当时，， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 24．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）若函数有三个极值点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】函数有三个极值点等价于有三个实根，即有两个实根且根不为3，得，令，最后利用数形结合即可求解. 【详解】由有：，所以函数有三个极值点等价于有三个实根， 即有两个实根且根不为3，所以，令， 所以，令有，由有，有， 所以在上为增函数，在上为减函数，，所以或，所以， 故答案为：. 25．（24-25高二下·重庆·阶段练习） 在 上有且仅有 1 个极值点，则 的取值范围为 . 【答案】 【分析】将问题转化为在上有且只有一个零点，构造函数，确定的单调性，由此解出 的取值范围. 【详解】由题意可得，则，即在上有且只有一个零点， 令，则， 当时，单调递增，单调递减， 所以单调递增， 又，，所以，， 当时，，， 当时，，， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 又，所以， 所以 的取值范围为. 故答案为：. 26．（24-25高二下·安徽合肥·阶段练习）若函数在上有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】可先对函数求导，再根据函数极值点的性质，结合二次函数的图象与性质来确定实数的取值范围. 【详解】已知，其定义域为. 根对求导可得：. 函数在上有且仅有一个极值点，等价于在上有且仅有一个变号根，即在上有且仅有一个变号根. 令， 则在上有且仅有一个变号根等价于. 则，即.可得不等式的解集为. 当时，，的根为和， 其中在内，满足有且仅有一个极值点的条件. 当时，，的根为和， 和不在内，不满足有且仅有一个极值点的条件. 综上，实数的取值范围是. 故答案为：. 27．（24-25高二下·广西贵港·阶段练习）若函数在区间上有两个极值点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意，即在区间上有两个异号零点，令，利用函数的单调性与导数的关系判断单调性，数形结合即可求解． 【详解】由题意，令，即在区间上有两个异号零点， 构造函数，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又时，， 时，，且，如下图： 所以，即，所以的范围． 故答案为：． 28．（24-25高二下·江苏苏州·阶段练习）若函数有唯一一个极值点，则实数的取值范围是 ． 【答案】． 【分析】求导得，根据有唯一一个极值点且，得是唯一的变号零点，设，因为，所以恒成立，分三种情况讨论的单调性和最值，从而得到的取值范围. 【详解】定义域为，， 因为，有唯一一个极值点，所以是唯一的变号零点， 设，且，所以恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，，所以在上单调递增， 又因为时，，不满足，舍去； 当时，令，得， 令，得，所以在上单调递减， 令，得，所以在上单调递增， 所以， 因为，所以， 所以的取值范围是. 故答案为：. 29．（22-23高二下·湖南·期中）已知函数存在两个极值点，，且，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】依题意有两个零点，即方程有两个解，，且满足，设，则直线和函数的图象有两个不同的交点，且满足，所以作直线和函数，分析a的取值范围即可. 【详解】依题意有两个零点，即方程有两个解，，且满足， 设，则直线和函数的图象有两个不同的交点，且满足， 因为，因此函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得最大值，最大值为，故， 所以作直线和函数的图象如下： 由图象知：， 因此①当时，，不符合题意； ②当时，要，而函数在上单调递减， 则，即，解得，所以． 综合①②得． 又因为函数在上单调递增，，，所以a的取值范围是． 故答案为：． 考点6 由函数的最值求参数问题 30．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知，若函数有最小值，则实数的最大值为 . 【答案】/ 【分析】考虑，求导得到函数的单调性，得到极小值，结合时，若，不合要求，若，在上单调递减，进而得到不等式，求出答案. 【详解】当时，，， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得极小值，且， 当时，， 若，在上单调递增，此时没有最小值， 若，在上单调递减， 要想函数有最小值，则，解得， 故实数的最大值为. 故答案为： 31．（2025·湖南常德·一模）若函数有最小值，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用导数探讨函数在上单调性及对应函数值集合，再由给定最值情况求出范围. 【详解】当时，，求导得， 函数在上单调递增，在时的取值集合为， 当时，，没有最小值， 由函数在R上有最小值，得在上单调递减，且， 因此，解得，所以实数的取值范围是. 故答案为： 32．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）若函数在上不存在最值，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】求导，然后分类讨论和两种情况即可确定实数的取值范围. 【详解】由题可得， 当时，，函数在上单调递减，不存在最值； 当时，令，可得， 令，则，令，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 若函数在上不存在最值，则，即， 综上所述，实数的取值范围为. 故答案为：. 33．（24-25高二下·天津·阶段练习）若函数在区间上的最小值为0，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】求函数的导数，根据导数和单调性的关系，结合给定区间及函数的最小值，即可确定的取值范围. 【详解】由题可知， 令，即，解得或， 当变化时，，的变化情况如下表： 0 0 单调递增 极大值4 单调递减 极小值0 单调递增 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又有，， 故要使在区间上的最小值为，则. 故答案为： 34．（24-25高二上·上海闵行·期末）已知函数，且在区间上的最大值为3，无最小值，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用导数研究函数的单调性，求出函数的极值，结合题意可得且，即可求解. 【详解】由题意知，， 令或， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则的极大值为，极小值为，且， 又在上的最大值为3，无最小值， 所以，解得，所以， 令，解得或，所以， 所以. 故答案为： 35．（24-25高二上·吉林长春·期末）若函数在内有最小值，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极小值点，从而得到关于的不等式组，解得即可. 【详解】函数的定义域为， 或（舍去）， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，即最小值， 又因为函数在内有最小值， 故，解得， 故答案为：. 考点7 恒成立问题求参数 36．（23-24高三上·安徽合肥·期末）已知函数，若恒成立，则 . 【答案】1 【分析】对求导，分和两种情况，判断的单调性，求出的最小值，再结合恒成立求出的取值范围. 【详解】由题可得的定义域为，且， ①当时，，所以在上单调递增，所以当时，，与矛盾； ②当时，当时，单调递减，当时，单调递增，所以， 因为恒成立，所以，记当时，单调递增， 当时单调递减，所以，所以在上恒成立， 故要使恒成立，则，所以. 故答案为：1 37．（2024·河南郑州·一模），不等式恒成立，则正实数的最大值是 ． 【答案】 【分析】对不等式变形可得在上恒成立，构造函数并利用导数判断可得在上单调递增，即等价于，因此可得对恒成立，构造函数并求得其最小值即可得，可得结果. 【详解】将不等式变形可得， 即， 构造函数，可得； 令，则； 所以当时，，即在上单调递减； 当当时，，即在上单调递增， 所以，即，所以函数在上单调递增， 利用单调性并根据可得， 即可得，即对恒成立，因此即可； 令，则， 显然当时，，即函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 所以，即， 因此正实数的最大值是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将不等式变形成，根据同构函数可令，利用导数求得其单调性可转化为对恒成立，求出函数在上的最小值即可得出结论. 38．（2022·辽宁·二模）若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为 . 【答案】[1，+∞） 【分析】参变分离后构造函数，求导后求解单调性和最值，求解参数的取值范围. 【详解】，其中， 分离参数为， 令，定义域为 有. 令，， 则， 所以在上单调递增， 又，， 故存在，使得， 可得函数f（x）的递增区间为（0，m），递减区间为 ， 有， 可得：， 故实数a的取值范围为[1，+∞） 【点睛】对于求解参数的取值范围问题，参变分离是一种常用方法，使用参变分离的题意，一是参变容易分离，二是分离后构造的新函数，求导后简单. 39．（21-22高三上·浙江宁波·开学考试）设函数，若不等式对任意恒成立，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据转化成两个函数比较大小的问题. 【详解】不等式对任意恒成立,即，恒成立， 设 所以在单调递增，且，当时 当时 作出的图像如图， 再设，当可得表示过点，斜率为的一条射线（不含端点），要求的最大值且满足不等式恒成立，可求的最大值，由点在轴上方移动，只需找到合适的，且与图像相切于点，如图所示，此时 故答案为： 40．（21-22高三上·山西太原·期末）已知函数在上的最小值为1，若对于任意，不等式恒成立，则实数m的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据题意得，进而分和两种情况讨论求函数在上的最小值得，进而将问题转化为对于任意，不等式恒成立，进而令，，求函数的最大值即可得答案． 【详解】解：由题意，， 当时，，此时， 当时，恒成立，则在上单调递增， 所以，的最小值为，解得. 当时，， 当时，此时，恒成立， 所以，函数的最小值为， 令，，故函数在单调递增， 在上单调递减，由于时，，故解得（舍）， 当时，此时，恒成立， 所以，函数的最小值为，同理解得（舍） 综上，当时，的最小值为时，此时， 因为对于任意，不等式恒成立， 所以对于任意，不等式恒成立； 令，， ，恒成立， 故在单调递增， 又因为， 所以在单调递减，在单调递增， 由于，， 所以 所以在的最大值为 所以实数的取值范围为 故实数的最小值为：． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于根据题意得，进而分类讨论，研究函数单调性求函数最小值得，进一步转化为恒成立问题求解． 41．（24-25高二下·安徽铜陵·阶段练习）若关于的不等式在上恒成立，则正数的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】同构变形给定的不等式，在时构造函数，利用函数单调性可得，分离参数并构造函数，求出函数的最大值即可. 【详解】不等式，， 当时，，令， 依题意，，对函数求导得， 函数在上单调递增，则当时，恒成立， 令函数，求导得，当时，； 当时，，函数在上单调递增，在上单调递减， ，因此，所以正数的最小值为最小值为. 故答案为： 一、单选题 1．（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）若函数存在两个极值点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的导数，利用导函数有两个变号零点列出不等式求解. 【详解】由函数存在两个极值点，得有两个变号零点， 因此，解得或， 所以的取值范围是. 故选：B 2．（24-25高二下·天津和平·阶段练习）若函数在处有极值10，则（   ）． A． B．或15 C． D．15 【答案】D 【分析】求导，根据得到方程组，求出或，验证后得到不合要求，满足要求，求出答案 【详解】， 由题意得， 解得或， 当时，，， 故在R上单调递增，无极值，舍去， 当时，，， 当或时，，当时，， 所以在处取得极小值，满足要求，此时. 故选：D 3．（浙江省台州市2025届高三第二次教学质量评估数学试题）已知，若函数既有极大值又有极小值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得，分析可知，关于的方程有两个不等的正根，根据二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，由此可得出实数的取值范围. 【详解】因为函数的定义域为， 所以， 因为函数既有极大值，又有极小值， 则关于的方程有两个不等的正根、， 所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：C. 4．（24-25高二下·河北邢台·阶段练习）“”是“函数有极值”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】对函数求导，根据的解析式得到函数有极值的充要条件，再判断的情况即可. 【详解】， 所以， 若函数有极值点，则方程的判别式大于， 即，整理得：， 解得，所以是函数有极值的充要条件， 所以“”是“函数有极值”的充分不必要条件. 故选：B 5．（2023高三·全国·专题练习）已知不等式对任意恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解析：对任意恒成立，显然 记，则抛物线恒在余弦曲线的下方 注意到： 故在处抛物线的曲率不小于余弦曲线的曲率 即 ， 故 当易验证恒成立． 故的取值范围为． 6．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知函数在上存在极小值（e为自然对数的底数），则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对函数求导并根据导函数对参数a的取值进行分类讨论，得出相对应的单调性，再由极值点定义进行验证即可求得实数a的取值范围. 【详解】因为，所以， 令，则， 所以当或时，当时，， 所以在，上单调递减，在上单调递增， 又，， 当，即时，与x轴有且只有一个交点， 不妨设交点横坐标为，则当时，即，当时，即， 即在上单调递增，在上单调递减， 此时函数在处取得极大值，无极小值，不符合题意； 当，即时，与x轴有且只有一个交点， 不妨设交点横坐标为，则当时，即，当时，即， 即在上单调递增，在上单调递减， 此时函数在处取得极大值，无极小值，不符合题意； 当时，当时，即，当时，即， 所以在上单调递增，在上单调递减， 此时函数在处取得极大值，无极小值，不符合题意； 当时，当时，即，当时，即， 所以在上单调递增，在上单调递减， 此时函数在处取得极大值，无极小值，不符合题意； 当，即时，的图像如下所示： 即与x轴有3个交点，不妨依次设为，，， 则当或时，即， 当或时，即， 所以在处取得极小值，符合题意； 综上可得实数a的取值范围为． 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用导数的符号与函数单调性的关系，对参数a的取值进行分类讨论，再结合极小值定义并检验即可得出结论. 7．（23-24高二下·湖北荆州·阶段练习）若关于x的不等式恒成立，则实数的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】变形不等式得到，设，求导得到函数单调性，得到，令，则求导得到函数单调性和极值最值情况，求出，设，求导得到单调性，并求出，，所以，得到答案. 【详解】不等式，即， 所以．设，则， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增，所以． 令，则． 当时，，单调递增，则， 故满足条件； 当时，在单调递减；在单调递增，则； 设，则，则在上单调递减， 又，所以， 所以，所以的最大值为． 故选：D 8．（23-24高二下·广东·期中）已知不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将不等式变形为，根据的单调性得，再用常数分离法求出的取值范围. 【详解】由得， 即 ， 令，，则， 所以在上单调递增， 而等价于， ∴，即， 令，，则， 所以在时，，递增； 在时，，递减， 所以最大值为，∴． 故选：C 【点睛】方法点睛：同构法解不等式恒成立求参数范围问题时先将原不等式化成 后再利用函数单调性得到与的大小关系，由此得到参数范围. 二、多选题 9．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）已知函数是单调递增函数，则的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由函数是单调递增函数，可得在上恒成立，再利用分离参数法求解即可. 【详解】， 因为函数是单调递增函数， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 因为， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 所以. 故选 ：AC. 10．（24-25高三上·河南许昌·期中）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若的增区间为，则 B．若在上单调递减，则 C．若的极大值为0，则 D．若，则曲线的对称中心为 【答案】ACD 【分析】利用导数求解函数的单调区间列式求解可判断A，由题意在上恒成立，利用二次函数图象与性质列不等式求解判断B，分类讨论利用导数求出函数的极大值判断C，利用函数对称性的性质可判断D. 【详解】函数定义域为R，求导得：， 对于A，若的增区间为，则的解集为， 所以，解得，正确； 对于B，若在上单调递减，则在上恒成立， 所以或，解得或，错误； 对于C，当时，令得，令得或， 因此在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处有极大值，则，解得，与矛盾； 当时，令得，令得或， 因此在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处有极大值，则，解得，正确； 对于D，若，则， 因为， 所以曲线的对称中心为，正确. 故选：ACD 11．（24-25高三上·广西·期中）已知函数，则（   ） A．若，则有三个零点 B．若，则函数存在个极值点 C．在单调递减，则 D．若在恒成立，则 【答案】ABD 【分析】利用导函数判断函数单调区间，从而得到极值点，得到函数大致图像就可以判断函数零点问题。函数在某个区 间内恒成立问题可以通过分离参数的方法得到对应函数，利用导函数求函数最值，从而判断参数的取值范围. 【详解】对于选项A：若，，，由，得：， 当时，，得：在上单调递减； 当和时，，得：在和上单调递增； 所以函数有极大值，有极小值， 所以三次函数有三个零点，故A选项正确； 对于选项B，若，， 由，得有两个解， 当和时，， 在和上单调递增； 当时，， 在上单调递减， 所以存在两个极值点，故B选项正确； 对于选项C，由题意可知：是解集的子集， 当时，显然恒成立； 当时，，由于，可得：，即； 综上可得：，故C选项错误； 对于选项D，当时，恒成立， 当，令，则， 令（）， ， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 故，则； 当，令，则， 令（）， ， 当时，，单调递增； 所以，则； 综上所述：若在恒成立，则，故D选项正确. 故选：ABD 三、填空题 12．（24-25高二下·广东河源·阶段练习）若曲线在处有最值，则实数的值为     【答案】1 【分析】先求出导函数，再根据函数单调性得出最值即可求参. 【详解】曲线，定义域为，所以， 当时，所以单调递减，无最大值不合题意； 当时，单调递减，单调递增，所以时函数取最大值， 因为函数在处有最值，所以 故答案为： 13．（24-25高二下·天津·阶段练习）已知函数，当时有极大值3，则 ; . 【答案】 【分析】先求导，根据已知条件列方程组求解，，然后代入解析式验证即可. 【详解】因为，所以， 因为函数在时有极大值3，所以，所以， 解得， 所以，所以， 令，可得或， 当或时，，函数在和上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以函数在处取得极小值，在处取得极大值，符合题意， 所以，. 故答案为：；. 14．（24-25高二下·广东东莞·阶段练习）若函数在上存在单调减区间，则实数取值范围是 ． 【答案】 【分析】分析可知，存在，使得，可得，结合反比例函数的单调性可得出实数的取值范围. 【详解】因为，则， 由题意可知，存在，使得，可得， 因为函数在上为减函数，则，故， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 15．（24-25高二下·北京·阶段练习）若函数在区间上不单调，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】先对函数求导，根据在上不单调得出导函数分子对应的函数在上存在变号零点.然后设，通过求导判断其单调性，再根据变号零点的性质列出不等式组，最后求解不等式组得到的取值范围. 【详解】已知，在上不单调，所以在上存在变号零点. 设，，对求导得. 因为时，，所以在上单调递增. 由于在上存在变号零点，则，即. 解得；解得.所以. 故答案为：. 16．（2025·贵州·模拟预测）在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”．则 旋转函数（填：“是”或者“不是”）；若是旋转函数，则的取值范围是 ． 【答案】 是 【分析】求出旋转后所得图象对应的解析式，结合题中定义判断即可；对任意的，方程至多一解，即至多一解，且函数为单调递减函数，可知恒成立，结合参变分离可求出实数的取值范围. 【详解】在旋转后所曲线上任取一点，旋转前点对应的点为， 不妨设，设点，即，， 将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后， 可得，即点， 即，， 因为，可得变形可得，曲线为函数， 所以，是旋转函数； 若函数是旋转函数，将函数的图象绕着原点逆时针旋转后， 不存在与轴垂直的直线，使得直线与旋转后的函数图象个以上的交点． 故不存在直线与函数的图象有两个交点， 即对任意的，方程至多一解，即至多一解， 令为单调函数，则， 因为，故对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 当时，则对任意的恒成立，合乎题意； 当时，则， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以，函数的减区间为，增区间为， 所以，，且函数无最大值，所以此时不合乎题意； 当时，则，此时，，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 17．（24-25高二下·湖北·阶段练习）（1）证明：，； （2）已知函数（，，e为自然对数的底数）. （I）当时，求函数的单调区间； （II）若函数在上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（I）单调递增区间为，，单调递减区间为，（II） 【分析】（1）利用导数讨论函数的单调性可得，即可证明； （2）（I）令，求出，根据即可求解；（II）将问题转化为对任意恒成立，即对任意恒成立，结合二次函数的图象与性质即可求解. 【详解】（1）构造函数，， 令，得，列表如下： 1 - 0 + 递减 极小值 递增 所以，即有成立. （2）（I）当时，， 所以. 令，因为，所以，解得或. 列表如下： -4 -2 + 0 - 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 由表可知，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为. （II）因为函数在上单调递增，所以. 即对任意恒成立， 因为，且， 所以对任意恒成立. 设，， 因为的开口向上，所以只需要考虑两个端点的情况就行了， 则，即，解得. 即实数的取值范围为. 18．（24-25高二下·贵州铜仁·阶段练习）设函数，曲线在点处的切线方程为. (1)求b、c的值 (2)若函数在处有极值，求a的值及函数的单调区间 【答案】(1) (2)；函数在和上单调递增，在上单调递减 【分析】（1）由题意可得，进而计算可求得的值； （2）由题意可得，可求，进而求导，令，可求单调递增区间，令，可求单调递减区间. 【详解】（1）由曲线在点处的切线方程为. 所以， 由，可得， 所以，所以； （2）又因为函数在处有极值，所以， 所以，又，所以， 所以函数，所以， 令，可得或，令，可得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减. 19．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）设函数，． (1)若在处切线为，求实数的值； (2)是否存在实数a，使得当时，函数的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)5 (2)，理由见解析 【分析】（1）求导，由求出，结合，得到，求出的值； （2）求定义域，求导，分，和三种情况，得到函数单调性和最小值，从而得到方程，求出答案. 【详解】（1）， 在处切线为，故，解得， 故，所以，所以， 所以； （2）存在，理由如下： 的定义域为，， 当时，在上恒成立， 故在上单调递减， 所以，解得，舍去. 当时，令得，，令得，， 若，则，故在上单调递减，在上单调递增， 故，解得，满足要求， 若，则，故在上单调递减， 故，解得，舍去. 综上，. 20．（24-25高二下·甘肃张掖·阶段练习）已知函数. (1)若函数在处取得极值，求a的值； (2)若曲线y=在处的切线方程为求a和m的值； (3)若有两个零点，求a的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由函数在处取得极值得到，求出的值，再检验即可； （2）由切线斜率得，求出的值，再写出切线方程，对应的得到的值； （3）利用导数研究的单调性，分和两种情况讨论，并用零点存在定理说明即可． 【详解】（1），由题：，即， 经验验：此时在处取得极小值，故． （2）由题：，即，此时， y=在处的切线方程为，即， ． 故． （3）， 当时，单调递减，函数至多有一个零点，不符合题意； 当时，令， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以当时，取得极小值，也是最小值， 若有两个零点，则，解得：， 此时，则在上有且只有一个零点； 令， 当时，单调递增；当时，单调递减； 所以最大值为，， 所以，则在上有且只有一个零点； 故有两个零点． 综上：. 21．（24-25高三下·江苏盐城·阶段练习）已知函数． (1)若时，，求a的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)设，若，当且仅当，求b的取值范围． 【答案】(1)a的最小值为－1 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）求导，并求出，再根据可求的最小值； （2）根据题意可证，即可得证； （3）令函数，据题意当且仅当时，，故．通过分析排除，从而确定，得到，，分，两种情况分析的单调性，结合题意即可确定b的取值范围． 【详解】（1）的定义域为． 当时，． 因为，所以，等号成立当且仅当． 由题意，，所以. 故a的最小值为－1. （2）因为的定义域关于3对称， 且， 所以曲线是中心对称图形，对称中心为点． （3）令函数， 依题意当且仅当时， 所以． 若，因为，所以存在，使，矛盾， 从而，故． ． 若，当时，，从而，在区间单调递减， 当时，，不符合题目要求． 若，当时，．从而，等号成立当且仅当，故在区间单调递增， 当时，符合题目要求． 因此b的取值范围是． 【点睛】思路点睛：第二问根据函数中心对称的充要条件可证明；第三问，利用导数研究函数的单调结合分类讨论的思想计算即可. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$