精品解析：四川省仁寿第一中学校北校区2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

仁寿一中北校区高2023级数学3月月考 命题人：数学组 做题人：姚旭捧 审题人：罗国荣 一､选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1. 下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（ ） A. B. C. D. 2. 数列的通项公式可能是（ ） A. B. C. D. 3. 等比数列1，，，，…的前项和等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知是各项均为正数的等差数列，且，则的最大值为（ ） A. 10 B. 20 C. 25 D. 50 5. 已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫做传播指数．它指的是，在自然情况下（没有外力介入，同时所有人都没有免疫力），一个感染到某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数它的简单计算公式是：确诊病例增长率×系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中，两例连续病例的间隔时间（单位：天）．根据统计，确诊病例的平均增长率为40%，两例连续病例的间隔时间的平均数5天，根据以上数据计算，若甲得这种传染病，则6轮传播后由甲引起的得病的总人数约为（ ） A. 243 B. 248 C. 363 D. 1092 6. 已知等比数列的前n项和与前n项积分别为，，公比为正数，且，，则使成立的n的最大值为（ ） A. 8 B. 9 C. 12 D. 13 7. 已知数列满足，数列的前项和为，则下列结论错误的是（ ） A. 的值为2 B. 数列的通项公式为 C. 数列为递减数列 D. 8. 已知数列通项公式为，若对任意，都有则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9. 数列满足，则下列说法正确的是（ ） A. 数列是等差数列 B. 数列的前n项和 C. 数列的通项公式为 D. 数列为递减数列 10. 已知为等差数列，满足，为等比数列，满足，，则下列说法正确的是（ ） A. 数列的首项比公差多 B. 数列的首项比公差少 C. 数列的首项为 D. 数列的公比为 11. 已知等差数列的前项和能取到最大值，且满足：对于以下几个结论，其中正确的是（ ） A. 数列是递减数列； B. 数列是递减数列； C. 数列的最大项是； D. 数列的最小的正数是. 三､填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12. 若成等差数列，则二次函数的图象与x轴的交点的个数为______． 13. 已知斐波那契数列满足，记，则__________.（用表示） 14. 若数列满足（其中，，为常数，），则称是以为周期，以为周期公差的“类周期性等差数列”.若“类周期性等差数列”的前4项为1，1，2，2，周期为4，周期公差为2，则的前16项和为_____. 四､解答题（共5小题，第15题13分，第16､17题15分，第18､19题17分，满分77） 15. （1）等差数列中，已知，求； （2）等比数列中，已知，求和. 16. 已知正项数列的前n项和为，且． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 17. 已知等差数列的前四项和为10，且成等比数列 （1）求数列通项公式 （2）设，求数列的前项和 18. 已知正项数列的首项为1，其前项和为，满足. （1）求证：数列为等差数列，并求出； （2）设，求数列的前项和. 19. 已知数列中，，. （1）求的通项公式； （2）数列满足的，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 仁寿一中北校区高2023级数学3月月考 命题人：数学组 做题人：姚旭捧 审题人：罗国荣 一､选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1. 下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用无穷数列、递增数列的定义逐项判断即得. 【详解】对于A，，数列是递减数列，A不是； 对于B，，数列不是递增数列，B不是； 对于C，，数列是递增数列，是无穷数列，C是； 对于D，数列是有穷数列，D不是． 故选：C 2. 数列的通项公式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由具体数列判断通项公式问题，最简单的方法即是赋值代入检验判断即可. 【详解】对于选项A，当时，，故A项错误； 对于B选项，当时，，故B项错误； 对于C选项，当时，，故C项错误； 对于D项，因数列可以写成 ，故其通项公式可以写成，故D项正确. 故选：D. 3. 等比数列1，，，，…的前项和等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】讨论公比和,根据等比数列求和公式可得. 【详解】当时,, 当时,, 所以. 故选:C 【点睛】本题考查了等比数列求和公式,注意对公比是否等于1的讨论是解题关键,属于基础题. 4. 已知是各项均为正数的等差数列，且，则的最大值为（ ） A. 10 B. 20 C. 25 D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】结合等差数列的性质与基本不等式计算即可得. 【详解】由，则有，即， 由基本不等式得，当且时，等号成立， 故的最大值为. 故选：C. 5. 已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫做传播指数．它指的是，在自然情况下（没有外力介入，同时所有人都没有免疫力），一个感染到某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数它的简单计算公式是：确诊病例增长率×系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中，两例连续病例的间隔时间（单位：天）．根据统计，确诊病例的平均增长率为40%，两例连续病例的间隔时间的平均数5天，根据以上数据计算，若甲得这种传染病，则6轮传播后由甲引起的得病的总人数约为（ ） A. 243 B. 248 C. 363 D. 1092 【答案】D 【解析】 【分析】可知每轮传播人数是等比数列，先求出传播指数RO，即可由等比数列前6项和得出． 【详解】记第1轮感染人数为，第2轮感染人数为，…，第轮感染人数为，则数列是等比数列，公比为， 由题意，即，所以， 总人数为人. 故选：D． 【点睛】本题考查数列的应用，解题关键是理解新概念“传播指数”，可以用数列表示该问题，传播指数就是等比数列的公比，从第一轮开始每轮传播的人数为数列的项，问题就是求等比数列的前6项和． 6. 已知等比数列的前n项和与前n项积分别为，，公比为正数，且，，则使成立的n的最大值为（ ） A. 8 B. 9 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，，再求出，接着求出并建立不等式，最后求解即可. 【详解】解：因为，，公比为正数显然不为1，所以，解得，， 所以，则， 要使，则，解得， 故n的最大值为12. 故选：C. 【点睛】本题考查等比数列的基本量法，是基础题. 7. 已知数列满足，数列的前项和为，则下列结论错误的是（ ） A. 的值为2 B. 数列的通项公式为 C. 数列为递减数列 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用与的关系可求数列的通项公式，利用可判断单调性，利用错位相减法求. 【详解】当时，，∴，故A正确； 当时，， ∴， ∴，∵上式对也成立，∴（），故B错误； ∵， ∴数列为递减数列，故C正确； ∵， ∴， 两式相减得，， ∴，故D正确． 故选：B． 8. 已知数列通项公式为，若对任意，都有则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分段情况下，对任意，都有，只需保证每一段递增，且，结合数列的单调性求解. 【详解】当时，， 由，得，即， ∵且，，∴，解得. 当时，单调递增， 若对任意，都有，则且， 即且，解得， 则实数的取值范围是. 故选：B. 二､多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9. 数列满足，则下列说法正确的是（ ） A. 数列是等差数列 B. 数列的前n项和 C. 数列的通项公式为 D. 数列为递减数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】 首项根据得到，从而得到是以首项为，公差为的等差数列，再依次判断选项即可. 【详解】对选项A，因为，， 所以，即 所以是以首项为，公差为的等差数列，故A正确. 对选项B，由A知： 数列的前n项和，故B正确. 对选项C，因为，所以，故C错误. 对选项D，因为，所以数列为递减数列，故D正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前n项和前n项和，同时考查了递推公式，属于中档题. 10. 已知为等差数列，满足，为等比数列，满足，，则下列说法正确的是（ ） A. 数列的首项比公差多 B. 数列的首项比公差少 C. 数列的首项为 D. 数列的公比为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据等差数列与等比数列的通项公式求各基本量，进而判断各选项. 【详解】设的公差为，由， 得，化简得， 所以A正确，B错误． 设的公比为，由，得，化简得， 所以C错误，D正确， 故选：AD. 11. 已知等差数列的前项和能取到最大值，且满足：对于以下几个结论，其中正确的是（ ） A. 数列是递减数列； B. 数列是递减数列； C. 数列的最大项是； D. 数列的最小的正数是. 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合题意，数列是递减数列，且判断A， ，开口向下，数列先增后减可判断B，再根据，得，，故数列的最大项是判断C，最后根据，判断D. 【详解】等差数列的前项和能取到最大值， 数列是递减数列，且，故A正确； ， ，数列先增后减，故B错误； 由，，得，， 数列的最大项是，故C正确； 由，，得数列的最小的正数是，故D正确． 故选：ACD． 三､填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12. 若成等差数列，则二次函数的图象与x轴的交点的个数为______． 【答案】1或2 【解析】 【分析】利用等差中项的性质结合判别式计算即可. 【详解】∵a，b，c成等差数列，∴， ∴． ∴二次函数的图象与x轴的交点的个数为1或2． 故答案为：1或2. 13. 已知斐波那契数列满足，记，则__________.（用表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据题意分析可得，从而作差可求出和，再根据递推关系式依次计算即可得. 【详解】由题意，， 所以， 因为， 所以， ， 所以. 则， 故， 则. 故答案为：. 14. 若数列满足（其中，，为常数，），则称是以为周期，以为周期公差的“类周期性等差数列”.若“类周期性等差数列”的前4项为1，1，2，2，周期为4，周期公差为2，则的前16项和为_____. 【答案】72 【解析】 【分析】根据给定的定义，求出以数列首项开始的每4项为一组的和，再求出前4 组和的和即可. 【详解】依题意，， ， ， ， 所以的前16项和为. 故答案为：72 四､解答题（共5小题，第15题13分，第16､17题15分，第18､19题17分，满分77） 15. （1）等差数列中，已知，求； （2）等比数列中，已知，求和. 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的基本量的运算求解即可； （2）根据等比数列的基本量的运算及等比通项、求和公式运算即可. 【详解】（1）因为，所以， 又因为，所以. （2）因为，所以，解得， 所以， 所以. 16. 已知正项数列的前n项和为，且． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由和的关系，通过作差得到，进而得到即可求解； （2）由裂项相消法即可求解. 【小问1详解】 因为 ①， 所以当时，，解得， 当时， ②， ①②得，， 所以， 即， 又因为为正项数列，所以，即， 所以是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以； 【小问2详解】 由（1）得， 所以的前n项和 17. 已知等差数列的前四项和为10，且成等比数列 （1）求数列通项公式 （2）设，求数列的前项和 【答案】（1）或； （2）当时，；当时，. 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，由等差数列的通项公式结合等比数列的性质即可得解； （2）由分组求和法结合等差、等比数列的前n项和公式即可得解. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意，得，解得或， 所以或； （2）当时，， 此时； 当时，， 此时. 综上：当时，；当时，. 18. 已知正项数列的首项为1，其前项和为，满足. （1）求证：数列为等差数列，并求出； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析，； （2） 【解析】 【分析】（1）利用化简即可证明数列为等差数列，再利用等差数列的通项公式求即可求得； （2）先求出，再分类求出的正负性，再利用数列的前项和，分两类即可求出. 【小问1详解】 因，则， 即， 又因数列为正项数列，则，则， 又由，则数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，则， 【小问2详解】 由（1）可得，， 又满足上式，所以， 则，， 所以当时，，当时，， 记数列的前项和为，则， 从而当时，； 当时，， 所以. 19. 已知数列中，，. （1）求的通项公式； （2）数列满足的，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）将，变形为，再利用等比数列的定义求解. （2）由（1）得，然后利用错位相减法求得，将不等式对一切恒成立，转化为，对一切恒成立，分为偶数和奇数讨论求解. 【详解】（1）由， 得， ∴， 所以数列是以3为公比，以为首项的等比数列， 所以，即. （2） , ， 两式相减得: ， ∴， 因为不等式对一切恒成立， 所以，对一切恒成立， 因为单调递增， 若为偶数，则，对一切恒成立，∴； 若为奇数，则，对一切恒成立，∴，∴ 综上：. 【点睛】方法点睛：求数列的前n项和的方法 (1)公式法：①等差数列的前n项和公式，②等比数列的前n项和公式； (2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． (4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． (5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n项和用错位相减法求解. (6)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $