精品解析：2025年山东省东营市广饶县中考一模数学试题

二0二五年初中学业水平模拟考试数学试题 （时间：120分钟，总分：120分） 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；全卷共8页． 2．第Ⅰ卷每题选出答案后，用2B铅笔涂写在答题卡规定的地方．第Ⅱ卷按要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分） 1. 的相反数是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线，点A在直线b上，，的两边与直线a分别交于B、C两点．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 4. 在如图四个图形中随机抽取一个，既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为（ ） A. 1 B. C. D. 5. 通过小颖和小刚的对话，我们可以判断他们共同搭的几何体是（ ） 小颖说：我们组用了4个，从上面看到的图形是． 小刚说：其从左面看到的图形和从正面看到的图形是一样的． A. B. C. D. 6. 如图，在等边中，点、分别在边、上，且，，，则的边长为（ ） A. B. C. D. 7. 在数学跨学科主题活动课上，芳芳用半径，圆心角的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面圆半径是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直线与双曲线相交于点和，已知点的坐标为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 9. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，，将菱形绕点O旋转任意角度得到菱形，则点的纵坐标的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 10. 抛物线交x轴于点，交y轴的负半轴于点C．顶点为D．下列结论，①；②；③当m为任意实数时，；④方程的两个根为；⑤抛物线上有两点和，若，且，则．其中正确的有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果） 11. 2024年12月，黄河入海口处山东东营广阔的湿地上空频现“鸟浪”壮观景象，最大“鸟浪”群由花脸鸭、罗纹鸭等野鸭组成，数量最多时达150000只，为历年罕见．数据150000用科学记数法表示为______． 12. 因式分解：_________． 13. 在开展“学雷锋社会实践”活动中，某校为了解全校1000名学生参加活动的情况，随机调查了50名学生每人参加活动的次数，并根据数据绘成如图的条形统计图，则这50个样本数据的中位数是_____． 14. 某水果店以每千克8元的价格购进100千克黄桃，销售一半后进行打折销售，销售所得金额y（元）与销售量，则销售完这100千克黄桃获得的利润是________元． 15. 关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_______． 16. 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时12 n mile的速度沿北偏东方向航行，“海天”号以每小时16 n mile的速度沿北偏西方向航行．2小时后，“远航”号、“海天”号分别位于M，N处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为______n mile． 17. 如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线交于点F．已知，，则的长为________． 18. 在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，如图所示，依次作正方形、正方形、正方形、…、正方形，使得点在直线l上，点在y轴正半轴上，则点的横坐标是_____________． 三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，请在范围内选择一个你喜欢整数代入求值． 20. 为了让同学们进一步了解中国科技的快速发展，某中学九（1）班团支部组织了一次手抄报比赛，该班每位同学从．“中国天眼”，．“5G时代”，．“夸父一号”，．“巅峰使命”四主题中任选一个自己喜欢的主题．统计同学们所选主题的频数，绘制了不完整的统计图如下请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）九（1）班共有______名学生，并把折线图补充完整； （2）C所对应扇形圆心角的大小为______﹔ （3）请以九（1）班的统计数据估计全校2000名学生大约有多少人选择D主题； （4）甲和乙从A，B，C，D四个主题中任选一个主题，请用列表法或画树状图法求出他们选择相同主题的概率． 21. 如图，为⊙O的直径，A为⊙O上一点，点E为的延长线上一点，连接、、，且． （1）求证：为⊙O的切线； （2）若，⊙O的半径，求阴影部分的面积． 22. 如图，直线y＝kx＋2与双曲线都经过点A（2，4），直线y＝kx＋2与x轴、y轴分别交于点B、C两点． （1）求直线与双曲线的函数关系式； （2）求△AOB的面积； （3）P点是x轴上的一动点，是否存在这样的P点，使得PA＋PC的值最小．若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 23. 随着自媒体的盛行，网购及直播带货成为一种趋势，某农产基地准备借助自媒体对某种水果做营销，采用线上及线下两种销售方式，统计销售情况发现，该水果的销售量和总收入如表（总收入销售量单价）： 线上销售水果量（单位：） 线下销售水果量（单位：） 总收入（单位：元） 第一批 第二批 （1）求该水果线上、线下的销售单价各是多少元； （2）若某公司计划从该地采购该水果，因保质期问题，准备采用线上、线下相结合方式，因实际需要，线下采购该水果量不得少于线上采购该水果量的，请你帮该公司算一算，当线下采购多少水果时最省钱？ 24. 小明在学习了特殊平行四边形这一章后，对特殊平行四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，已知四边形，，像这样两条对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． 【概念理解】 在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是_________． 【性质探究】 通过探究，小明探索并证明了“垂美四边形”的一些性质，请根据证明过程，完成填空． 性质1：垂美四边形四条边之间的数量关系 如图1，，由勾股定理可知， 中，，中，， 同理，， 则， 即_________． 性质2：垂美四边形面积与两条对角线之间的数量关系 _________． 【问题解决】 （1）如图1，若，，则_________．若，，则四边形的面积_________； （2）如图2，，是中线，，垂足为O，，设，用含a的代数式表示_________； （3）如图3，分别以直角边和斜边为边向外作正方形和．连接．求证：四边形为垂美四边形． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点和点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图2，点是抛物线上第一象限内的一个动点，连接、，当时，求点的坐标； （3）在抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二0二五年初中学业水平模拟考试数学试题 （时间：120分钟，总分：120分） 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；全卷共8页． 2．第Ⅰ卷每题选出答案后，用2B铅笔涂写在答题卡规定的地方．第Ⅱ卷按要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分） 1. 的相反数是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相反数的概念，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据只有符号不同的两个数是互为相反数即可求解． 【详解】解：的相反数是， 故选：C． 2. 下列运算正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法运算，幂的乘方运算，完全平方公式，负整数指数幂等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据各自的运算法则一一计算并判断即可． 【详解】解：.，原计算错误，故选项不符合题意； .，原计算错误，故选项不符合题意； .，原计算错误，故选项不符合题意； .，计算正确，故选项符合题意； 故选：D． 3. 如图，直线，点A在直线b上，，的两边与直线a分别交于B、C两点．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质，平角的概念，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，首先根据平行线的性质得到，然后结合平角的概念求解即可． 【详解】如图所示， ∵ ∴ ∵ ∴． 故选：A． 4. 在如图四个图形中随机抽取一个，既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先找出既是轴对称图形又是中心对称图形的个数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：∵第二个、第三个、第四个图形既是轴对称图形也是中心对称图形， ∴既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为． 故选：C． 【点睛】本题考查了中心对称图形、轴对称图形和概率公式，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 5. 通过小颖和小刚的对话，我们可以判断他们共同搭的几何体是（ ） 小颖说：我们组用了4个，从上面看到的图形是． 小刚说：其从左面看到的图形和从正面看到的图形是一样的． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了从不同方向看几何体的知识．根据从左面看到的图形和从正面看到的图形是一样的即可． 【详解】解：A、从左面看到的图形和从正面看到的图形不一样，故本选项不符合题意； B、从不同方向看几何体符合小颖和小刚的对话，故本选项符合题意； C、从上面看到的图形不一样，故本选项不符合题意； D、从上面看到的图形一样，故本选项不符合题意． 故选：B． 6. 如图，在等边中，点、分别在边、上，且，，，则的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，证明是解答本题的关键． 通过证明，可得，可求的长． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ，且， ， ， ， ， 故选：A． 7. 在数学跨学科主题活动课上，芳芳用半径，圆心角的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面圆半径是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用扇形的弧长等于圆锥的底圆周长求解即可． 【详解】解：由题意可知： 扇形弧长 设底面圆半径为r, ∵扇形的弧长等于圆锥的底圆周长 ∴，解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查弧长公式，解题的关键是理解扇形的弧长等于圆锥的底圆周长． 8. 如图，直线与双曲线相交于点和，已知点的坐标为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，由反比例函数的中心对称性得出点的坐标为， 由函数图象即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：直线与双曲线相交于点和，已知点的坐标为， 点的坐标为， 由图象可得，不等式的解集为或， 故选：D． 9. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，，将菱形绕点O旋转任意角度得到菱形，则点的纵坐标的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】连接，过点C作轴于E，由直角三角形的性质可求， ，由勾股定理可求的长，据此进一步分析即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点C作轴于E， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当点在y轴上时，点的纵坐标有最小值为 故选：C 【点睛】本题主要考查了菱形的性质与勾股定理的综合运用，熟练掌握相关性质是解题关键. 10. 抛物线交x轴于点，交y轴的负半轴于点C．顶点为D．下列结论，①；②；③当m为任意实数时，；④方程的两个根为；⑤抛物线上有两点和，若，且，则．其中正确的有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，根据所给函数图象，得出抛物线的对称轴为直线，则可得出a与b之间的关系，再将代入函数解析式可得出b与c之间的关系，最后利用数形结合的思想及二次函数与一元二次方程之间的关系即可解决问题． 【详解】解：因为抛物线经过点，， 所以抛物线的对称轴为直线， 则，即．故①正确． 将代入函数解析式得，， 又因为， 所以， 即．故②错误． 因为抛物线的对称轴为直线，且开口向上， 所以当时，函数取得最小值， 所以当时总有，， 即．故③错误． 由题知，方程的两个解为． 方程可转化为， 所以1或3， 则．故④正确． 因为， 所以点P在直线左侧，点Q在直线右侧， 又因为， 则． 因为抛物线的对称轴为直线，且开口向上， 所以．故⑤正确； 综上分析可知，正确的有3个． 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果） 11. 2024年12月，黄河入海口处山东东营广阔的湿地上空频现“鸟浪”壮观景象，最大“鸟浪”群由花脸鸭、罗纹鸭等野鸭组成，数量最多时达150000只，为历年罕见．数据150000用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】数据150000用科学记数法表示为． 故答案为：． 12. 因式分解：_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，然后根据平方差公式因式分解即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 13. 在开展“学雷锋社会实践”活动中，某校为了解全校1000名学生参加活动的情况，随机调查了50名学生每人参加活动的次数，并根据数据绘成如图的条形统计图，则这50个样本数据的中位数是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据中位数的定义解答． 【详解】解：50个数据的第25、26个数据分别为3、3， ∴这50个样本数据的中位数是3， 故答案为：3． 【点睛】此题考查了求数据的中位数，正确掌握中位数的定义是解题的关键． 14. 某水果店以每千克8元的价格购进100千克黄桃，销售一半后进行打折销售，销售所得金额y（元）与销售量，则销售完这100千克黄桃获得的利润是________元． 【答案】600 【解析】 【分析】求出打折后每千克售价为（元千克）；可得这100千克黄桃销售所得金额为（元），故销售完这100千克黄桃获得的利润是（元）． 【详解】解：由图象可知，打折后每千克售价为（元千克）； 打折后的销售所得金额为（元）， 这100千克黄桃销售所得金额为（元）， 销售完这100千克黄桃获得的利润是（元）， 故答案为：600． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息． 15. 关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据二次项系数不等于零且列式求解即可． 【详解】解：由题意，得 且， ∴且． 故答案为：且． 16. 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时12 n mile的速度沿北偏东方向航行，“海天”号以每小时16 n mile的速度沿北偏西方向航行．2小时后，“远航”号、“海天”号分别位于M，N处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为______n mile． 【答案】40 【解析】 【分析】根据题意可得：海里，海里，，从而可得，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】解：如图： 由题意得：海里，海里，， ， 在中， ， ∴此时“远航”号与“海天”号的距离为40n mile, 故答案为：40． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 17. 如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线交于点F．已知，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图：作角平分线，角平分线的性质定理，勾股定理及全等三角形的判定与性质等知识．根据基本作图可判断平分，过F作于G，再利用角平分线的性质得到，根据勾股定理求出，证明，得出，设，则，，根据勾股定理得出，求出，根据勾股定理求出． 【详解】解：过F作于G， 由作图得：平分，，， ∴， 在中根据勾股定理得：， ，， ， ， 设，则，， 在中，根据勾股定理得： ， 即：， 解得：， ， 在中根据勾股定理得：． 故答案为：． 18. 在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，如图所示，依次作正方形、正方形、正方形、…、正方形，使得点在直线l上，点在y轴正半轴上，则点的横坐标是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，点坐标规律探索，根据题意推导一般性规律是解题关键． 先找到直线与轴的交点，根据正方形的性质确定的坐标，以此类推，得出、的坐标，根据点的坐标变化总结出的坐标规律，即可求解． 【详解】解：令，解得：， ， 四边形是正方形， ； 当时，， ； 当时，， ， …… 观察规律发现，，，，……，， 的横坐标是． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，请在范围内选择一个你喜欢整数代入求值． 【答案】（1）；（2）当时，原式 【解析】 【分析】（1）先化简，然后计算加减法即可； （2）先算括号内的式子，再算括号外的除法，再在中选一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当或时，原分式无意义， ∵， 可以取得整数为， 当时，原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值、实数的运算及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键． 20. 为了让同学们进一步了解中国科技的快速发展，某中学九（1）班团支部组织了一次手抄报比赛，该班每位同学从．“中国天眼”，．“5G时代”，．“夸父一号”，．“巅峰使命”四主题中任选一个自己喜欢的主题．统计同学们所选主题的频数，绘制了不完整的统计图如下请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）九（1）班共有______名学生，并把折线图补充完整； （2）C所对应扇形圆心角的大小为______﹔ （3）请以九（1）班的统计数据估计全校2000名学生大约有多少人选择D主题； （4）甲和乙从A，B，C，D四个主题中任选一个主题，请用列表法或画树状图法求出他们选择相同主题的概率． 【答案】（1），图见解析 （2） （3）600人 （4）见解析 【解析】 【分析】（1）用选择B的学生人数除以其所占的百分比可得九（1）班的学生人数； （2）用乘以本次调查中选择C主题的学生所占的百分比即可； （3）根据用样本估计总体，用2000乘以本次调查中选择D主题的学生所占的百分比即可； （4）画树状图得出所有等可能的结果数和他们选择相同主题的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 九（1）班的学生人数为（名） 选择D的学生人数有（名），故补充为： 故答案为：． 【小问2详解】 故答案为：． 【小问3详解】 （人） ∴估计全校2000名学生大约有600人选择D主题． 【小问4详解】 画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中他们选择相同主题的结果有4种 ∴他们选择相同主题的概率为． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解折线统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． 21. 如图，为⊙O的直径，A为⊙O上一点，点E为的延长线上一点，连接、、，且． （1）求证：为⊙O的切线； （2）若，⊙O的半径，求阴影部分的面积． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，结合半径相等得出，再根据已知条件，求出即可得出结论． （2）结合角之间的关系求出的度数，从而求出，利用扇形面积减去的面积即可得出． 【小问1详解】 证明：如图所示连接， 直径 又 为⊙O的切线 【小问2详解】 解：， 过A点作交于H点 【点睛】本题主要考查了切线的定义及性质，扇形面积，三角形面积等知识，熟练掌握切线的性质，扇形面积，运用整体减去部分的方法求阴影面积是解题的关键． 22. 如图，直线y＝kx＋2与双曲线都经过点A（2，4），直线y＝kx＋2与x轴、y轴分别交于点B、C两点． （1）求直线与双曲线的函数关系式； （2）求△AOB的面积； （3）P点是x轴上的一动点，是否存在这样的P点，使得PA＋PC的值最小．若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）直线解析式为：y＝x＋2，反比例函数解析式为：； （2）4； （3）P（，0）． 【解析】 【分析】（1）将点A坐标代入直线和反比例函数中，解方程，即可得出结论； （2）先求出点B的坐标，最后用三角形的面积公式计算，即可得出结论； （3）先作A点关于x轴的对称点，连接，与x轴的交点即为所求点P，再求出直线的解析式，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵直线y＝kx＋2与双曲线都经过点A（2，4）， ∴4=2k+2，， ∴k=1，m=8， ∴直线解析式为：y＝x＋2，反比例函数解析式为：； 【小问2详解】 如图1，作AE⊥x轴于点E， 当y=0时，则0=x+2， 解得：x=-2， ∴B（-2,0）， ∵A（2,4）， ∴AE=4， ∴△AOB的面积为：； 【小问3详解】 存在这样的点P使PA＋PC最短， 如图2，作A点关于x轴的对称点，连接，与x轴的交点即为所求点P， ∵A（2,4）， ∴（2,-4）， 在y＝x＋2中，x=0时，y=2， ∴C（0,2）， 设所在直线解析式为：y=mx+n， 将、C坐标代入y=mx+n， 得， ∴， ∴所在直线解析式为：， 当y=0时，x=， ∴P（，0）． 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，“将军饮马”问题的应用，找出点P的位置是解本题的关键． 23. 随着自媒体的盛行，网购及直播带货成为一种趋势，某农产基地准备借助自媒体对某种水果做营销，采用线上及线下两种销售方式，统计销售情况发现，该水果的销售量和总收入如表（总收入销售量单价）： 线上销售水果量（单位：） 线下销售水果量（单位：） 总收入（单位：元） 第一批 第二批 （1）求该水果线上、线下的销售单价各是多少元； （2）若某公司计划从该地采购该水果，因保质期问题，准备采用线上、线下相结合的方式，因实际需要，线下采购该水果量不得少于线上采购该水果量的，请你帮该公司算一算，当线下采购多少水果时最省钱？ 【答案】（1）该水果线上的销售单价是元，线下的销售单价是元 （2）当线下采购该水果时最省钱 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． （1）设该水果线上的销售单价是元，线下的销售单价是元，利用总收入销售单价销售数量，结合第一、二两批该水果的销售量和总收入，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该公司线上采购该水果，则线下采购该水果，根据线下采购该水果量不得少于线上采购该水果量的，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设该公司采购该水果共花费元，利用总价单价数量，可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设该水果线上的销售单价是元，线下的销售单价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：该水果线上的销售单价是元，线下的销售单价是元； 【小问2详解】 解：设该公司线上采购该水果，则线下采购该水果， 根据题意得：， 解得：． 设该公司采购该水果共花费元，则， 即， ， 随的增大而减小， 当时，取得最小值． ∴ ∴当线下采购100kg时，该水果时最省钱． 答：当线下采购该水果时最省钱． 24. 小明在学习了特殊平行四边形这一章后，对特殊平行四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，已知四边形，，像这样两条对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． 【概念理解】 在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是_________． 性质探究】 通过探究，小明探索并证明了“垂美四边形”的一些性质，请根据证明过程，完成填空． 性质1：垂美四边形四条边之间的数量关系 如图1，，由勾股定理可知， 中，，中，， 同理，， 则， 即_________． 性质2：垂美四边形的面积与两条对角线之间的数量关系 _________． 【问题解决】 （1）如图1，若，，则_________．若，，则四边形的面积_________； （2）如图2，，是的中线，，垂足为O，，设，用含a的代数式表示_________； （3）如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和．连接．求证：四边形为垂美四边形． 【答案】【概念理解】菱形，正方形；【性质探究】，；【问题解决】（1）13，40；（2）；（3）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，四边形面积求解，全等三角形判定及性质，正方形性质等． 根据题意可得为菱形和正方形； 根据题意可得和； （1）根据题意可得，； （2）先证明四边形为垂美四边形，继而得到，即可得到本题答案； （3）连接，设与交于点，与交于点，先证明和△全等，继而利用全等性质得到本题答案． 【详解】解：【概念理解】根据题意可得为菱形和正方形， 故答案为：菱形，正方形； 【性质探究】根据题意可得： ∴， ∴， 故答案为：，； 【问题解决】（1）∵，，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：13，40； （2）∵，是的中线， ∴，， ∵， ∴四边形为垂美四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴，整理得：， 故答案为：； （3）证明：连接，设与交于点，与交于点， ， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，即， 在和△中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为垂美四边形； 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点和点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图2，点是抛物线上第一象限内的一个动点，连接、，当时，求点的坐标； （3）在抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）分别令的，即可求出直线与坐标轴的交点坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）过点作轴，交于点，设，则，（其中），利用三角形面积公式，即可求出点的坐标； （3）作交抛物线于点，作于点， 设，，得，，根据即可得，解方程可得； 作关于轴对称点，连接，作交抛物线于点，作于点，设，则，同法可得，进而得解． 【小问1详解】 解：在中， 当时，； 当时，， 解得：， ，， 将，代入中， 得：， 解得：， 抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：过点作轴，交于点，如图： 设，则，（其中）， ； 由（1）得：，， ， ， ， 整理得：， 解得：，（舍去）， 此时，， ； 【小问3详解】 解：①作交抛物线于点， ， 在中， ， 作于点， 设，， ，， ， ， ， ， ． 整理得：， 解得：（舍去），， 当时，， ； ②作关于轴对称点， 连接，则， 作交抛物线于点， ， ， ， 作于点 设，则， ，， ， ， 整理得， 解得：（舍去），， 当时，， ； 综上所述,点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，熟练掌握二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的性质，三角函数，会利用待定系数法求函数解析式，能把求函数交点问题转化为解方程的问题．是正确解答此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $