数列求和：错位相减法、裂项相消法、分组（并项）求和专项训练-2025届高三数学二轮复习

数列求和：错位相减法、裂项相消法、分组（并项）求和专项训练 数列求和：错位相减法、裂项相消法、分组（并项）求和专项训练 考点一 错位相减法 1．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知数列，且前项和为，满足：，，， (1)求的通项公式（结果要求化简）； (2)设，求数列的前项和（结果要求化简）. 2．（2025·宁夏·一模）已知数列满足． (1)证明：数列为等差数列； (2)设，记数列的前n项和为． （i）求； （ii）若成立，求m的取值范围． 3．（24-25高二下·辽宁·阶段练习）已知函数，若曲线在处的切线交轴于点，在处的切线交轴于点，以此类推，在.处的切线交轴于点，由此能得到一个数列，且. (1)证明：为等比数列； (2)设，求的前项和. 4．（2025·陕西咸阳·二模）已知等差数列的公差为2，且，，成等比数列，记为数列的前项和，且. (1)求，的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 5．（24-25高二下·山东淄博·阶段练习）已知数列的前项和为，满足，且，数列满足． (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前项和． 6．（24-25高二下·广东江门·阶段练习）已知数列满足：，且对于任意正整数，均有． (1)设，证明：为等差数列； (2)设，为数列的前项和，为数列的前项和，若对任意的恒成立，求的取值范围． 7．（24-25高二下·北京·阶段练习）已知数列的前项和为，数列满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)若，求数列的前项和. 8．（24-25高二下·湖北孝感·期中）已知两个数列与，满足，且 (1)求证：是等差数列. (2)记，求数列的前项和 考点二 裂项相消法 1．（24-25高三下·山西晋中·阶段练习）已知数列的前n项和为，，. (1)证明：数列为等比数列； (2)设，求数列的前n项和. 2．（2025·河北秦皇岛·二模）已知数列是公差大于2的等差数列，其前项和为，，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 3．（24-25高二下·辽宁·阶段练习）记为数列的前项和，且为等差数列，为等比数列，，. (1)求的值； (2)探究是否存在唯一的最大项； (3)证明：. 4．（2025·陕西渭南·二模）已知等差数列满足是关于的方程的两个根. (1)求. (2)求数列的通项公式. (3)设，求数列的前项和. 5．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知数列满足，. (1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式： (2)记，求数列的前n项和. 6．（2025·湖北武汉·一模）已知数列的首项为，前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)求满足的的最小值； (3)已知，记数列的前项和为，求证：. 7．（24-25高二下·安徽安庆·阶段练习）在数列中，且对任意，，，是公差为的等差数列. (1)写出数列的前5项，并求出数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：. 8．（24-25高二下·山东淄博·阶段练习）已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式． (2)已知，求数列的前项和． 考点三 分组（并项）求和 1．（24-25高二下·北京房山·阶段练习）在数列中，，. (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和公式. 2．（24-25高二下·贵州铜仁·阶段练习）已知等比数列各项均为正数，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 3．（24-25高三下·海南·阶段练习）在数列中，已知，． (1)求，； (2)证明：是等比数列； (3)求数列的前n项和． 4．（2025·辽宁·三模）已知正数的整数部分记为，例如. (1)若，求数列的前项和. (2)设. ①求； ②求数列的通项公式； ③求数列的前100项和. 5．（2025·浙江嘉兴·三模）记为数列的前项和，已知，，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，若对任意，，求实数的取值范围. 6．（24-25高二下·河南南阳·阶段练习）在数列中，已知. (1)证明：是等比数列； (2)若，求数列的前项和. 7．（23-24高二下·云南玉溪·阶段练习）已知数列是等差数列，数列是等比数列，且，，. (1)求数列，的通项公式. (2)对任意的正整数，，求数列的前项和. 8．（2025·江西·模拟预测）已知数列分别是等比数列和等差数列，是数列的前项和.若. (1)求和及； (2)设是等比数列，对任意的，当时，有恒成立. （i）当时，求证：； （ii）设数列，求数列的前项和. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$数列求和：错位相减法、裂项相消法、分组（并项）求和专项训练 数列求和：错位相减法、裂项相消法、分组（并项）求和专项训练 考点一 错位相减法 1．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知数列，且前项和为，满足：，，， (1)求的通项公式（结果要求化简）； (2)设，求数列的前项和（结果要求化简）. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，， 当时，由，可得， 两式作差可得， 所以，即， 因为， 所以当时，， 当为偶数时，可得， 当为奇数时，可得， 所以，. （2）由（1）易得，所以， ， 两边同时乘以， 可得， 两式作差，可得， 化简得，所以. 2．（2025·宁夏·一模）已知数列满足． (1)证明：数列为等差数列； (2)设，记数列的前n项和为． （i）求； （ii）若成立，求m的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii） 【详解】（1）因为，即， 所以数列是以为首项，3为公差的等差数列. （2）（i）由（1）知， 所以， 所以， 所以， ， 所以 ， 所以. （ii）因为， 所以， 令， 不妨设的第项取得最大值， 所以，解得， 所以的最大值为， 所以，即m的取值范围是. 3．（24-25高二下·辽宁·阶段练习）已知函数，若曲线在处的切线交轴于点，在处的切线交轴于点，以此类推，在.处的切线交轴于点，由此能得到一个数列，且. (1)证明：为等比数列； (2)设，求的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：易得， 在处的切线的斜率为， 所以在处的切线的方程为， 因为在切线上，所以，又， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列． （2）由（1）可得，故， 故①， 两边同时乘得②， ①-②得 ， 所以． 4．（2025·陕西咸阳·二模）已知等差数列的公差为2，且，，成等比数列，记为数列的前项和，且. (1)求，的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的首项为， 因为，，成等比数列，所以， 又因为公差，所以，解得， 故. 对于数列，当时，，解得. 当时，由，可得， 两式相减，可得，即， 因为，所以，可得， 所以数列是以2为首项，为公比的等比数列，所以. （2）由（1）知，， 可得， 所以 则， 两式相减，可得 ， 所以. 5．（24-25高二下·山东淄博·阶段练习）已知数列的前项和为，满足，且，数列满足． (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）因为，所以是以1为首项，为公差的等差数列， 所以，， 当时，， 又满足关系， 故． 数列，当时，， 当时，， 时，满足， 所以，． （2）由题可知， ①， ②， ①②得． 则③， ④ ③④得 ， 所以． 6．（24-25高二下·广东江门·阶段练习）已知数列满足：，且对于任意正整数，均有． (1)设，证明：为等差数列； (2)设，为数列的前项和，为数列的前项和，若对任意的恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）数列满足：，且对于任意正整数，均有． 等式两边同时除以可得， 因为，则，且， 所以，数列是首项为，公差为的等差数列. （2）由（1）可得，所以，， ， ， 则， 上述两个等式作差可得 ， 所以，， 因为对任意的恒成立，即， 参变分离可得，令，则， ， 当时，，即， 当且时，，即数列从第二项开始单调递减， 所以，数列的最大项的值为，故， 因此，实数的取值范围是. 7．（24-25高二下·北京·阶段练习）已知数列的前项和为，数列满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)若，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）因为数列的前项和为， 所以当，； 当，； 显然满足， 所以. （2）因为数列满足，，， 所以， 数列的通项公式. （3）由（1）（2）得， 所以数列的前项和， 所以， 所以. 所以. 8．（24-25高二下·湖北孝感·期中）已知两个数列与，满足，且 (1)求证：是等差数列. (2)记，求数列的前项和 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由知. 则， ， 所以是以1为首项，1为公差的等差数列. （2）由（1）知， ， ， 相减得：， ， 得. 考点二 裂项相消法 1．（24-25高三下·山西晋中·阶段练习）已知数列的前n项和为，，. (1)证明：数列为等比数列； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由题意，， 又，解得， ，① ，② ②减①得， 所以，即， 所以数列为以为首项，以3为公比的等比数列. （2）由（1）知，， 所以， 当时，， 所以，即， 经检验，当时，满足上式， 所以， 因为， 所以 . 2．（2025·河北秦皇岛·二模）已知数列是公差大于2的等差数列，其前项和为，，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1) (2). 【详解】（1）设等差数列的公差为，则，， 由，，成等比数列，得，而，解得， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）得， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 所以. 3．（24-25高二下·辽宁·阶段练习）记为数列的前项和，且为等差数列，为等比数列，，. (1)求的值； (2)探究是否存在唯一的最大项； (3)证明：. 【答案】(1) (2)最大项不唯一 (3)证明见解析 【详解】（1）因为为等差数列，取前项知、、成等差数列，即， 因为为等比数列，取前项知、、成等比数列，即， 代入得，即，也即， 所以（舍去）或，因为，故. （2）由（1）可得，即， 则， 当时，则，可得， 当时，则，可得， 当时，，可得，此时，数列单调递减， 所以，即数列的最大项不唯一. （3）因为， 于是， 因此. 4．（2025·陕西渭南·二模）已知等差数列满足是关于的方程的两个根. (1)求. (2)求数列的通项公式. (3)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）数列是等差数列，设公差为， 由根与系数关系得， 于是有，则， 故，则； （2）由（1）知，故， 由根与系数关系知； （3）由（2）得， 所以 5．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知数列满足，. (1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式： (2)记，求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【详解】（1）因为， 所以， 对上式两边同时取倒数有： 所以，又因为，所以， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列. 因为数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以， 所以， 所以数列的通项公式为. （2）因为，所以，所以， 所以， 6．（2025·湖北武汉·一模）已知数列的首项为，前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)求满足的的最小值； (3)已知，记数列的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)最小值为 (3)证明见解析 【详解】（1）由已知， 则， 即，则，，，， 等式左右分别相加可得， 则； （2）由（1）得，且， 即， 化简可得， 又，即， 所以满足的的最小值为； （3）依题意得，， 则， 又，所以， 所以， 即. 7．（24-25高二下·安徽安庆·阶段练习）在数列中，且对任意，，，是公差为的等差数列. (1)写出数列的前5项，并求出数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)，，，，， (2)证明见解析【详解】（1）由题设可得，，，，. 因为，，是公差为的等差数列，所以， 从而有，，…，， 累加可得，所以 又，，是公差为的等差数列，故 综上所述当是奇数时，，当是偶数时，，即 （2）由题设， 当是奇数时 当是偶数时； 所以，且对任意，， 所以时 因此， 8．（24-25高二下·山东淄博·阶段练习）已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式． (2)已知，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）数列中，，当时，， 两式相减得，即，由，得， 因此数列是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以数列的通项公式． （2）由（1）知，， 所以． 考点三 分组（并项）求和 1．（24-25高二下·北京房山·阶段练习）在数列中，，. (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和公式. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1），又， 数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）得：，. （3）由（2）得：. 2．（24-25高二下·贵州铜仁·阶段练习）已知等比数列各项均为正数，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设公比为， 由，得，所以（舍去）， 所以； （2）由（1）得， 所以. 3．（24-25高三下·海南·阶段练习）在数列中，已知，． (1)求，； (2)证明：是等比数列； (3)求数列的前n项和． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）由题意知，∴． ∵，∴． （2）由，整理得， 又，∴是首项为2，公比为3的等比数列. （3）由（2）可知，∴， ∴ ． 4．（2025·辽宁·三模）已知正数的整数部分记为，例如. (1)若，求数列的前项和. (2)设. ①求； ②求数列的通项公式； ③求数列的前100项和. 【答案】(1) (2)①；②；③ 【详解】（1）， 当时，. （2）①， 因为，且，所以. ②令，则， 则， 所以. 因为，所以， 又为正整数，所以. ③方法一： 因为 ， 所以数列的前100项和为. 方法二： 数列的前100项和为 . 5．（2025·浙江嘉兴·三模）记为数列的前项和，已知，，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，若对任意，，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）时，，解得或，因为，所以， 时，，得， 因为，所以，又， 故数列是首项为3，公差为2的等差数列， 所以数列的通项公式为； （2）解法一：由，所以， 当为偶数时， ， 当为奇数时， ， 所以， 因为对任意的，成立， 所以，当为奇数时，即，所以， 不等号的右边可看作关于的二次函数，对称轴为， 因为为奇数，所以时，，则 当为偶数时，，所以， 同理可得，因为为偶数，所以时，，则， 综上，. 解法二：由， 当为偶数时， . 当为奇数时， ， 所以（下同解法一） 解法三：因为对任意的，成立， 则，即求的最小值，令， 当为奇数时， 则，所以最小值一定在为奇数时取到， 当为奇数时， ， 当时，，当时，， 所以当为奇数时，， 则的最小值为， 所以. 6．（24-25高二下·河南南阳·阶段练习）在数列中，已知. (1)证明：是等比数列； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为， 且， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列. （2）由（1）知：. 所以， 所以. 7．（23-24高二下·云南玉溪·阶段练习）已知数列是等差数列，数列是等比数列，且，，. (1)求数列，的通项公式. (2)对任意的正整数，，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 解得所以 （2） 数列的前项和为 8．（2025·江西·模拟预测）已知数列分别是等比数列和等差数列，是数列的前项和.若. (1)求和及； (2)设是等比数列，对任意的，当时，有恒成立. （i）当时，求证：； （ii）设数列，求数列的前项和. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【详解】（1）因为，则，所以公比为，从而， 故； 又，则，公差为， 从而. （2）（i）由题意对任意时恒成立， 则； 又对任意时恒成立， 则， 综上，. （ii）由（i）知，， 猜想，否则，若数列的公比，当足够大时，无法保证恒成立； 若数列的公比，当足够大时，无法保证恒成立，所以， . 2 学科网（北京）股份有限公司 $$