三角恒等变换、三角函数的图像与性质专项训练-2025届高三数学二轮复习

三角函数：三角恒等变换、三角函数的图像与性质专项训练 三角函数：三角恒等变换、三角函数的图像与性质专项训练 考点一 三角恒等变换 1．（24-25高三上·江苏连云港·期中）已知，则（    ） A．5 B． C．-5 D． 【答案】D 【详解】已知，可变形为. 因为，， 所以. 左边， 即. 右边， 即. 所以. 可得： . 即. 所以，也就是. 故选：D. 2．（2025·江西·二模）已知，若，当取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知，根据两角和与差的正弦公式展开可得： ，移项可得：． 因为，所以，，等式两边同时除以，得到． 根据两角差的正切公式可得：． 令，因为，所以，则． 根据基本不等式：，当且仅当，即，时等号成立． 所以，即当时，取得最大值． 因为，当时，． 当取得最大值时，， 故选：A． 3．（2025·云南玉溪·二模）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】左边 ， 右边， 即，化简可得， 即，. 故选：B 4．（2025·浙江杭州·二模）若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将平方得， 结合可得，即， 即， 即，故CD错误 又 ，故A对，B错； 故选：A 5．（2025·河北秦皇岛·二模）已知为锐角，且，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得， 即， 因此 即可得， 令，则， 令，则, 由可得， 因此可知当时，，此时在上单调递减， 当时，，此时在上单调递增， 因此可得当时，取得极小值，也是最小值， 即， 因此的最小值为. 故选：C 6．（2025·陕西咸阳·二模）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为且，，所以， 所以为锐角，则， 解得. 故选：A. 7．（2025·江苏·一模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由. 由. 由. 所以. 故选：B 8．（2025·湖南·二模）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以 . 故选：C 9．（2025·山东·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 . 故选：C. 10．（2025·河南·三模）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 即，可得， 即，． 因为，则， 可得， 又因为， 可得． 所以． 故选：D. 11．（2025·重庆·模拟预测·多选）已知 ，则以下等式可能成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】当时，满足，此时，故A正确； 若，则，故B错误； 因为，所以， 所以，故C正确，D错误. 故选：AC 12．（2025·河北·模拟预测·多选）下列各式中，值是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A，由，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，， 故C正确； 对于D，， 故D错误； 故选：AC． 13．（2025·江苏南京·一模·多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由，且，则，故A错误； 由，故B正确； 由，故C正确； 由，故D错误. 故选：BC. 14．（2025·浙江金华·二模）已知，则 . 【答案】/ 【详解】因为， 即，所以. 故答案为： 15．（2025·福建厦门·三模）已知，则 . 【答案】 【详解】，所以. 故答案为： 16．（2025·辽宁·一模）已知，则 ． 【答案】/ 【详解】由可得， ， ， ， ， . 故答案为：. 17．（2025·安徽黄山·二模）已知，都是锐角，，，则 ． 【答案】/ 【详解】由，可得，故， 因，代入解得， 可将看成方程的两根，解得 或， 因，都是锐角，且，由，解得， 而，故，则. 故答案为：. 考点二 三角函数的图像与性质 1．（2025·贵州·模拟预测）已知函数，若在区间上单调递增，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则， 因在区间上单调递增，则， 即且且， 若，则不等式组的解集为空集； 若，则； 若，则不等式组的解集为空集， 则的最大值为. 故选：C 2．（2025·天津河西·一模）已知函数图象的一条对称轴是，且在上有且仅有两个对称中心，则函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数图象的一条对称轴是， 则，解得， 当时，， 因为函数在上有且仅有两个对称中心，则，解得， 故，所以， . 故选：B. 3．（2025·河北秦皇岛·二模）已知函数，将的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，若的图象与的图象关于轴对称，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，， 由的图象与的图象关于轴对称，得对任意恒成立， 即对任意恒成立， 因此，解得，而， 则. 故选：B 4．（2025·湖南长沙·模拟预测）函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数的最小正周期， 所以函数的最小正周期为. 故选：B. 5．（2025·陕西渭南·二模）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，其中满足，. 所以函数的最小正周期为. 故选：C. 6．（2025·浙江金华·二模）某美妙音乐的模型函数为，则关于该函数下列说法正确的是（   ） A．最小正周期为 B．是偶函数 C．在区间上单调递增 D．最大值为 【答案】C 【详解】A选项：，A选项错误； B选项：，B选项错误； C选项：，当时，，，，函数单调递增，C选项正确； D选项：，当时，，此时，，，即三项无法同时取到最大值，D选项错误. 故选：C. 7．（2025·甘肃·二模·多选）函数，则（    ） A．函数最小正周期为 B．是函数的一条对称轴 C．函数图象有对称中心 D．若有四个解，则 【答案】AB 【详解】对于A：， 函数图像如下： 可得函数的最小正周期为，故A正确； 对于B：由图可得是函数的一条对称轴，故B正确； 对于C：根据函数图象可知函数没有对称中心，故C错误； 对于D：由图可得当函数时，，所以有四个解，则也可以是，D选项错误. 故选：AB. 8．（2025·河南开封·二模·多选）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时间（单位：）时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式确定，则下列说法正确的是（    ） A．小球在开始振动（即）时在平衡位置上方处 B．每秒钟小球能往复振动次 C．函数的图象关于直线对称 D．小球从到时运动的路程是 【答案】ACD 【详解】当时，，故A正确； 小球往复振动的周期为，所以每秒钟小球能往复振动次，故B错误； 因为，所以函数的图象关于直线对称，故C正确； 由，又， ， 所以小球从到时运动的路程是，故D正确. 故选：ACD. 9．（2025·河南新乡·二模·多选）将函数图象上每个点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（    ） A． B．的最小正周期为 C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 【答案】ACD 【详解】依题意可得， 因为，故A正确； ，故B错误； 由，可知点为对称中心，由，可知在处取最小值，故C，D均正确. 故选：ACD 10．（2025·福建厦门·三模·多选）已知直线为函数图象的一条对称轴，则（    ） A．的最小正周期为 B． C． D．的图象关于点对称 【答案】BC 【详解】，其中， 则的最小正周期为，故选项A错误； ， 因为直线为函数图象的一条对称轴， 所以，即， 解得，故选项B正确； 由B可知，， 因为，所以，故选项C正确； ，故选项D错误. 故选：BC. 11．（2025·云南昆明·模拟预测·多选）已知函数，则（    ） A．是偶函数 B．是的一个周期 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递减 【答案】AC 【详解】因为， 对任意的，，则恒成立，即函数的定义域为， 因为，所以是偶函数，A正确； 因为，则， 所以不是的周期，B错误； 因为， 所以的图象关于直线对称，C正确； 因为 ， 当时，则，所以，，，则， 故在区间上单调递增，D错误， 故选：AC. 12．（2025·贵州铜仁·三模·多选）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．是的对称轴 C．在区间上单调递增 D．是有实根的充要条件 【答案】AC 【详解】对于进行化简，根据平方差公式可得 ． 对于A，根据余弦函数的周期公式，可得最小正周期，故A正确． 对于B，，而余弦函数对称轴处函数值应为，所以不是的对称轴，故B错误． 对于C，当时，，此时在上单调递增，所以在区间上单调递增，故C正确． 对于D，的值域是，所以是有实根的充要条件，故D错误． 故选：AC. 13．（2025·河南·三模·多选）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．直线是的图象的一条对称轴 B．为奇函数 C．在区间内有两个零点 D．若且，则的最小值为 【答案】AC 【详解】对于A，当时，， 所以直线是图象的一条对称轴，A正确． 对于B，， ，不是奇函数，B错误． 对于C，令，即． 在区间内，，结合在上的图象可知， 直线与的图象有两个交点， 则有两解， 所以在区间内有两个零点，C正确． 对于D，因为，所以， 若且，则，． 当时，，； 当时，，， 则，其最小值为，D错误． 故选：AC 14．（2025·广西南宁·二模·多选）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．在区间内有3个零点 C．在区间上单调递增 D．的图象关于直线对称 【答案】ACD 【详解】， 对于A，最小正周期为，故A正确， 对于B，令,则，解得，故在区间内符合条件的零点有，只有两个，故B错误， 对于C，当，故，故在区间上单调递增，C正确， 对于D, ，故的图象关于直线对称，故D正确， 故选：ACD 15．（2025·河北保定·一模·多选）已知函数，则（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数关于点中心对称 C．函数的图像向左平移个单位，得到的函数图像关于轴对称 D．函数在上不单调，则的取值范围为 【答案】ACD 【详解】函数， 对于A选项：∵，∴，A选项正确； 对于B选项：令，解得，∴是函数的一个对称中心，B选项不正确； 对于C选项：平移后的函数，函数图像关于轴对称，C选项正确； 对于D选项：，当时，，∴，要想函数不单调，则，∴，D选项正确. 故选：ACD. 16．（2025·河北秦皇岛·二模·多选）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B．点是图象的一个对称中心 C．方程在区间上有2026个实数解 D．若，则的单调递增区间为 【答案】AB 【详解】由函数图象可知，最小正周期满足，即，所以， 又因为函数图象过点，将其代入函数可得， 即，解得， 又因为，所以，， 所以，故A正确； 对于B，因为函数的对称中心是， 所以令，可得，当时，， 所以，点是图象的一个对称中心，故B正确； 对于C，令，得. 当时，即，则在区间上，共有1013个实数解； 当时，即，则在区间上，共有1012个实数解. 综上，方程在区间上有个实数解，故C错误； 对于D，由函数定义域可知，， 又因为函数在上单调递减，所以要使函数单调递增，即函数单调递减，且， 所以，解得. 所以，的单调递增区间为，故D错误. 故选：AB. 17．（2025·贵州·二模·多选）已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 【答案】ABC 【详解】已知，根据二倍角公式，可得. 进一步整理可得， 即. 对于选项A：根据正弦函数的最小正周期（），对于，，所以，故选项A正确. 对于选项B：对于，当时，，所以的图象关于点对称，故选项B正确. 对于选项C：若函数的图象关于直线对称，则为函数的最值. 当时，，因为的最大值为，最小值为，所以的图象关于直线对称，故选项C正确. 对于选项D：令，，解不等式可得： ，.当时，单调递增区间为，而区间并不完全在内，所以在区间上不是单调递增的，故选项D错误. 故选：ABC. 18．（2025·山东·模拟预测·多选）已知函数，将的图象先向右平移个单位，再把横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数图象，则（   ） A． B．和在上都是增函数 C．和的图象都关于直线对称 D．将的图象向右平移个单位长度后得到的图象与的图象重合 【答案】ABD 【详解】由题知， 对于选项A，因为，所以选项A正确， 对于选项B，当时，，， 由的性质知，和在上都是增函数，所以选项B正确， 对于选项C，因为，， 所以和的图象均不关于直线对称，故选项C错误， 对于选项D，因为，向右平移个单位长度后得到， 又，所以选项D正确， 故选：ABD. 19．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知“”表示小于x的最大整数，例如，.若恰好有四个解，那么的范围是 . 【答案】 【详解】，如图为满足题意的两种情况： 即或，解得； 故的范围是， 故答案为：. 20．（23-24高一上·浙江湖州·期末）已知，其中，且，若函数在区间上有且只有三个零点，则的范围为 ． 【答案】 【详解】因为函数的周期为，再由可知， 函数的一条对称轴是， 所以，，得，， 又，所以， 所以，当，， 由函数在区间上有且只有三个零点， 所以，解得：. 故答案为： 21．（24-25高三下·福建龙岩·阶段练习）已知，函数在上单调递增，则的最大值为 . 【答案】 【详解】令，所以问题转化为在单调递增， 所以， 故答案为：. 22．（2025·北京石景山·一模）已知函数（其中，，）．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选出两个作为已知，使得函数唯一确定． (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最大值和最小值． 条件①：； 条件②：是的对称中心； 条件③：可以由函数平移得到． 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答．按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)最大值为2，最小值为 【详解】（1）①，由，得； ②，由是的对称中心，得， 则，； ③，由， 因为可以由函数平移得到， 则，. 由上述可知，要使函数唯一确定，则必须要选③. 选①③，由上述可知，，，， 则，即， 所以或，， 则或，， 又，则，即. 选②③，由上述可知，，，，， 则，，即，， 又，则，即. （2）由，得， 则，则， 所以函数在上的最大值为2，最小值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$三角函数：三角恒等变换、三角函数的图像与性质专项训练 三角函数：三角恒等变换、三角函数的图像与性质专项训练 考点一 三角恒等变换 1．（24-25高三上·江苏连云港·期中）已知，则（    ） A．5 B． C．-5 D． 2．（2025·江西·二模）已知，若，当取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 3．（2025·云南玉溪·二模）若，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·浙江杭州·二模）若，，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025·河北秦皇岛·二模）已知为锐角，且，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·陕西咸阳·二模）已知，，则（   ） A． B． C． D． 7．（2025·江苏·一模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 8．（2025·湖南·二模）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．（2025·山东·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 10．（2025·河南·三模）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 11．（2025·重庆·模拟预测·多选）已知 ，则以下等式可能成立的有（    ） A． B． C． D． 12．（2025·河北·模拟预测·多选）下列各式中，值是的是（   ） A． B． C． D． 13．（2025·江苏南京·一模·多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 14．（2025·浙江金华·二模）已知，则 . 15．（2025·福建厦门·三模）已知，则 . 16．（2025·辽宁·一模）已知，则 ． 17．（2025·安徽黄山·二模）已知，都是锐角，，，则 ． 考点二 三角函数的图像与性质 1．（2025·贵州·模拟预测）已知函数，若在区间上单调递增，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·天津河西·一模）已知函数图象的一条对称轴是，且在上有且仅有两个对称中心，则函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·河北秦皇岛·二模）已知函数，将的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，若的图象与的图象关于轴对称，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·湖南长沙·模拟预测）函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·陕西渭南·二模）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·浙江金华·二模）某美妙音乐的模型函数为，则关于该函数下列说法正确的是（   ） A．最小正周期为 B．是偶函数 C．在区间上单调递增 D．最大值为 7．（2025·甘肃·二模·多选）函数，则（    ） A．函数最小正周期为 B．是函数的一条对称轴 C．函数图象有对称中心 D．若有四个解，则 8．（2025·河南开封·二模·多选）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时间（单位：）时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式确定，则下列说法正确的是（    ） A．小球在开始振动（即）时在平衡位置上方处 B．每秒钟小球能往复振动次 C．函数的图象关于直线对称 D．小球从到时运动的路程是 9．（2025·河南新乡·二模·多选）将函数图象上每个点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（    ） A． B．的最小正周期为 C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 10．（2025·福建厦门·三模·多选）已知直线为函数图象的一条对称轴，则（    ） A．的最小正周期为 B． C． D．的图象关于点对称 11．（2025·云南昆明·模拟预测·多选）已知函数，则（    ） A．是偶函数 B．是的一个周期 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递减 12．（2025·贵州铜仁·三模·多选）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．是的对称轴 C．在区间上单调递增 D．是有实根的充要条件 13．（2025·河南·三模·多选）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．直线是的图象的一条对称轴 B．为奇函数 C．在区间内有两个零点 D．若且，则的最小值为 14．（2025·广西南宁·二模·多选）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．在区间内有3个零点 C．在区间上单调递增 D．的图象关于直线对称 15．（2025·河北保定·一模·多选）已知函数，则（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数关于点中心对称 C．函数的图像向左平移个单位，得到的函数图像关于轴对称 D．函数在上不单调，则的取值范围为 16．（2025·河北秦皇岛·二模·多选）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B．点是图象的一个对称中心 C．方程在区间上有2026个实数解 D．若，则的单调递增区间为 17．（2025·贵州·二模·多选）已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 18．（2025·山东·模拟预测·多选）已知函数，将的图象先向右平移个单位，再把横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数图象，则（   ） A． B．和在上都是增函数 C．和的图象都关于直线对称 D．将的图象向右平移个单位长度后得到的图象与的图象重合 19．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知“”表示小于x的最大整数，例如，.若恰好有四个解，那么的范围是 . 20．（23-24高一上·浙江湖州·期末）已知，其中，且，若函数在区间上有且只有三个零点，则的范围为 ． 21．（24-25高三下·福建龙岩·阶段练习）已知，函数在上单调递增，则的最大值为 . 22．（2025·北京石景山·一模）已知函数（其中，，）．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选出两个作为已知，使得函数唯一确定． (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最大值和最小值． 条件①：； 条件②：是的对称中心； 条件③：可以由函数平移得到． 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答．按第一个解答计分． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$