函数与导数：指对幂比较大小、切线问题、零点问题专项训练-2025届高三数学二轮复习

函数与导数：指对幂比较大小、切线问题、零点问题专项训练 函数与导数：指对幂比较大小、切线问题、零点问题专项训练 考点一 指对幂比较大小 1．（24-25高三上·四川德阳·开学考试）已知，，，比较a，b，c的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）设，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·广东肇庆·阶段练习）已知，比较a，b，c的大小为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·贵州黔西·期末）已知函数，，零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·云南玉溪·开学考试）三个数，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）设，，，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知，，，试比较，，的大小（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·北京丰台·期末）函数，，的零点分别为，，，则，，，的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·福建莆田·期末）三个数，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）已知，，，比较，，的大小为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·湖北·期末）已知，则实数的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高二下·云南保山·期末）已知，比较三个数的大小，则有（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）三个数的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高二上·江苏南京·期末）三个数，，的大小顺序为（　　） A． B． C． D． 15．（24-25高一上·重庆长寿·期末）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 16．（24-25高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数，则大小顺序是（   ） A． B． C． D． 17．（2025·陕西宝鸡·二模）若，，则实数、、的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 考点二 切线问题 1．（24-25高二上·江苏盐城·期末）若直线是曲线的一条切线，则k的值为（　　） A． B． C．2 D． 2．（24-25高三上·湖北·期末）函数在处的切线与直线垂直，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·云南昆明·期中）已知函数和两点，，设曲线过原点的切线为，且，则所在的大致区间为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）曲线，的所有切线中，斜率最小的切线方程是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·山东青岛·阶段练习）已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（   ） A． B． C． D．1 6．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）设函数.若函数在和的切线互相平行，则两平行线之间距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·天津·阶段练习）设曲线在点处的切线与直线垂直，则a的值是（   ） A． B． C．2 D． 8．（2025·江西·一模）已知函数的图象在处的切线过原点，则所在的区间是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高二下·山东济宁·阶段练习）若直线为曲线的切线，则 . 10．（2025·河北·三模）曲线在处的切线斜截式方程为 . 11．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 . 12．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 ． 13．（24-25高二下·河南·阶段练习）曲线在点处的切线与坐标轴围成的封闭图形的面积为 14．（24-25高三上·山西运城·开学考试）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ． 15．（24-25高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 16．（24-25高三下·湖南·开学考试）已知函数． (1)若，且与在切点处的切线相同，求的值； (2)在（1）的条件下，求函数的单调区间； (3)若与的图象有两个不同的交点，探究与在这两个交点处是否各存在一条与两函数图象相切的公切线？若存在，求出一组满足题意的的值；若不存在，给出证明． 17．（24-25高三上·浙江·开学考试）已知函数． (1)判断函数的零点个数，并说明理由； (2)求曲线与的所有公切线方程. 18．（24-25高三上·四川泸州·开学考试）已知函数，． (1)当时，恒成立，求实数a的取值范围； (2)当，时，求曲线与曲线公切线的条数； (3)若直线，是曲线与的两条公切线，且，的斜率之积为1，求a，b的关系式． 19．（23-24高二下·重庆·阶段练习）（1）已知函数，证明：，，． （2）已知函数，定义：若存在，，使得曲线在点与点处有相同的切线，则称切线为“自公切线”． ①证明：当时，曲线不存在“自公切线”； ②讨论曲线的“自公切线”的条数． 考点三 零点问题 1．（2025·宁夏银川·二模）已知函数. (1)若，求函数的单调区间； (2)若函数的极值点在区间内，求m的取值范围； (3)若有两个零点，求m的取值范围. 2．（24-25高二下·湖北孝感·期中）已知函数 (1)当时，讨论的单调性. (2)若，讨论函数的零点个数. 3．（2025·新疆·三模）已知函数，且． (1)当（为自然对数的底数）时，求函数在处的切线方程； (2)函数在上有且仅有两个零点，求a的取值范围． 4．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)当时，函数存在零点，且，求符合条件的所有整数的值； (3)当时，记函数的零点为，若对任意且，都有成立，求实数的最大值． 5．（2025·江苏南京·一模）已知函数． (1)若函数是增函数，求实数的取值范围； (2)试判断在上的零点个数． 6．（24-25高二下·山东枣庄·阶段练习）已知函数. (1)若函数有两个零点，，求的取值范围； (2)在（1）的条件下，求证：. 7．（24-25高二下·天津东丽·阶段练习）已知函数，其中 (1)求的单调区间和极值； (2)若对且，恒成立，求实数的取值范围； (3)若存在大于0的零点，求实数的取值范围 8．（24-25高三下·山西·阶段练习）已知函数，为的导数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论零点的个数； (3)设为的零点，证明：当时，． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$函数与导数：指对幂比较大小、切线问题、零点问题专项训练 函数与导数：指对幂比较大小、切线问题、零点问题专项训练 考点一 指对幂比较大小 1．（24-25高三上·四川德阳·开学考试）已知，，，比较a，b，c的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 因为， 所以，即， 所以，且， 所以， 又因为， 所以， 综上，， 故选：D. 2．（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）设，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数在上单调递增，可得， . 因函数在R上单调递增，则.故， 即. 故选：A 3．（24-25高三上·广东肇庆·阶段练习）已知，比较a，b，c的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数在上单调递增， 所以， 又，所以，又因为函数在上单调递减， 所以，因为， 所以，综上，. 故选：C. 4．（24-25高一上·贵州黔西·期末）已知函数，，零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为在上均单调递增， 则在上单调递增，且，， 则，则， 又因为，则，，则， 则. 故选：C. 5．（24-25高二下·云南玉溪·开学考试）三个数，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，， 所以， 故选：C. 6．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）设，，，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，且， 构造函数，可得， 当时，，单调递减， 又由，故，即. 选选：C. 7．（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知，，，试比较，，的大小（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设 则当时单调递减， 故 故进而， 设 由于函数和均为定义域内的单调递增函数， 所以为上的单调递增函数， 因此， 故， 故， 因此， 故选：B 8．（23-24高一上·北京丰台·期末）函数，，的零点分别为，，，则，，，的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，即， 令，即， 令，即，分别作出，，和的图象， 如图所示： 由图象可知：，所以. 故选：. 9．（23-24高一上·福建莆田·期末）三个数，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，角的终边与单位圆交于点，单位圆与轴正半轴交于点，过点作单位圆的切线，与的延长线交于点，则，， ，， ，所以，即，则 又，所以 故选：A 10．（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）已知，，，比较，，的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】易知， . 故选：B 11．（24-25高一上·湖北·期末）已知，则实数的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数单调递增， 则， 由单调递增， 则， 由单调递减， 则，即， 所以. 故选：B. 12．（23-24高二下·云南保山·期末）已知，比较三个数的大小，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则， 所以在上单调递增，故时，恒成立，即， 所以有，故； 设，则， 所以在上单调递减，故时，恒成立，即，所以有，，得， 综上：， 故选：A． 13．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）三个数的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，，； 设，则， 当时，，所以单调递增，当时，，所以单调递减， 又，所以，即，所以. 故选：D 14．（23-24高二上·江苏南京·期末）三个数，，的大小顺序为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，则， 当时，则，可得， 可知在上单调递减， 因为，，， 且，则，所以． 故选：D． 15．（24-25高一上·重庆长寿·期末）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 的零点可以看成函数与图象交点的横坐标，根据函数图象可知， 同理的零点可以看成函数与图象交点的横坐标，根据函数图象可知， 的零点可以看成函数与图象交点的横坐标，可得， 因此， 故选：D. 16．（24-25高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数，则大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在R上单调递增，故在R上单调递增， 由，则， 所以，即. 故选：C 17．（2025·陕西宝鸡·二模）若，，则实数、、的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，，可得，， 因为对数函数为上的增函数，则， 幂函数在上为增函数，则，故. 故选：B. 考点二 切线问题 1．（24-25高二上·江苏盐城·期末）若直线是曲线的一条切线，则k的值为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】D 【详解】设切点坐标为， 易知，因此， 所以切线方程为，即， 可得，即，可得， 所以. 故选：D 2．（24-25高三上·湖北·期末）函数在处的切线与直线垂直，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数，求导得， 在处的切线斜率为， 又在处的切线与直线垂直， 所以，解得. 故选：B. 3．（24-25高三上·云南昆明·期中）已知函数和两点，，设曲线过原点的切线为，且，则所在的大致区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知：的定义域为，且， 设切点坐标为，则切线的斜率， 则切线的方程为， 若切线过原点，则，解得， 可在切线的， 若，且直线的斜率， 则，即，整理可得， 构建，则， 可知为的非零零点， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则分别在、内至多一个零点 且， 又因为，所以所在的大致区间为. 故选：C. 4．（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）曲线，的所有切线中，斜率最小的切线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，， 则， 由，则， 当，即时，， 又，即在点处切线的斜率最小为， 则此时的切线方程为：，即， 故选：D. 5．（24-25高二下·山东青岛·阶段练习）已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】对求导可得：. 可得切线的斜率. 将直线转化为斜截式，可知直线斜率. 因为函数的图像在点处的切线与直线垂直， 根据两直线垂直斜率之积为，可得，即. 可得：， 故，即实数的值为. 故选：C. 6．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）设函数.若函数在和的切线互相平行，则两平行线之间距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数，求导得， 依题意，，即，解得， 则两条切线的斜率为，对应的两个切点为， 切线方程为和，即和， 切线过定点，切线过定点， 所以两平行线之间距离的最大值为. 故选：C 7．（24-25高二下·天津·阶段练习）设曲线在点处的切线与直线垂直，则a的值是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 所以曲线在点处的切线的斜率为， 因为切线与直线垂直，所以， 所以. 故选：. 8．（2025·江西·一模）已知函数的图象在处的切线过原点，则所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以. 因为的图象在处的切线过原点，则， 即，即. 设，因为在上均单调递增，且函数值为正， 所以在上单调递增，且，， 所以. 故选：. 9．（24-25高二下·山东济宁·阶段练习）若直线为曲线的切线，则 . 【答案】 【详解】因为，所以， 设切点为，则切线方程为， 化简可得， 又因为是曲线y的切线，所以， 解得. 故答案为：. 10．（2025·河北·三模）曲线在处的切线斜截式方程为 . 【答案】 【详解】解：因为， ， 所以切线方程为， 即. 故答案为： 11．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 . 【答案】 【详解】由题意可得， 设直线与曲线的切点为，则 又切点在曲线上，所以，联立解得，即. ，设直线与曲线的切点为， 所以，又， 联立两式，解得. 故答案为：2 12．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 ． 【答案】 【详解】因为，所以，又， 故曲线在点处的切线方程为，即． 由可得， 解得． 故答案为：. 13．（24-25高二下·河南·阶段练习）曲线在点处的切线与坐标轴围成的封闭图形的面积为 【答案】/0.25 【详解】所以， ∴曲线在点处的切线斜率， ∴切线方程：， 切线与坐标轴交点为， ∴封闭图形的面积：. 故答案为：. 14．（24-25高三上·山西运城·开学考试）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】∵， ∴， 设切点为，则，切线斜率, 切线方程为， ∵切线过原点， ∴， 整理得：, ∵切线有两条， ∴，解得或， ∴的取值范围是, 故答案为： 15．（24-25高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 【答案】2 【详解】设上点处的切线和在点处的切线相同， ，， 故，故， 上点处的切线方程为， 显然在切线上，故， 即，即， 解得， 故. 故答案为：2 16．（24-25高三下·湖南·开学考试）已知函数． (1)若，且与在切点处的切线相同，求的值； (2)在（1）的条件下，求函数的单调区间； (3)若与的图象有两个不同的交点，探究与在这两个交点处是否各存在一条与两函数图象相切的公切线？若存在，求出一组满足题意的的值；若不存在，给出证明． 【答案】(1)． (2)单调递增区间为，无单调递减区间 (3)不存在，理由见解析 【详解】（1）易得，则， ，， ，解得； （2）由题意可得， 则，等号仅在时取得， 故在单调递增， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间； （3）由题意可转化为两次与轴相切， ， 可转化为存在两个变号零点， 设，其中， ， 显然，则在区间和上为正，在区间上为负， 若，则； 若，则不可能与轴相切两次，故不存在． 17．（24-25高三上·浙江·开学考试）已知函数． (1)判断函数的零点个数，并说明理由； (2)求曲线与的所有公切线方程. 【答案】(1)1个，理由见解析 (2) 【详解】（1）函数的定义域为：， ，在单调递增 又，存在唯一零点，在之间． （2）， 以上的点为切点的切线方程为 以上的点为切点的切线方程为： 令 则，得，即． 设，函数，则． 当时，单调递减，当时，单调递增，， 的解为，又． 和存在唯一一条公切线为． 18．（24-25高三上·四川泸州·开学考试）已知函数，． (1)当时，恒成立，求实数a的取值范围； (2)当，时，求曲线与曲线公切线的条数； (3)若直线，是曲线与的两条公切线，且，的斜率之积为1，求a，b的关系式． 【答案】(1)； (2)2； (3). 【详解】（1）当时，由得，则， 设，则， 因为在上均单调递减，所以在上单调递减， 又，所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在单调递减， 所以，则，所以实数a的取值范围为. （2）设直线为的公切线，的切点为，的切点为， 因为， 所以切线方程为， 所以且， 因为，所以，得，故， 所以，令，则， 易知为减函数，且， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在单调递减，故， 又当趋近于0或时，趋近于， 所以总有两个不相等的实数根，因此直线有两条. （3）由题意知，存在实数，使得在处的切线与在处的切线重合， 所以，即， 则，， 由得，所以， 题目转化为有两个不相等的实数根，且互为倒数， 不妨设两根为. 由得， 整理得， 则， 所以. 19．（23-24高二下·重庆·阶段练习）（1）已知函数，证明：，，． （2）已知函数，定义：若存在，，使得曲线在点与点处有相同的切线，则称切线为“自公切线”． ①证明：当时，曲线不存在“自公切线”； ②讨论曲线的“自公切线”的条数． 【答案】（1）证明见解析 （2）①证明见解析，②答案见解析 【详解】（1）要证，即证， 根据不等式性质可知，若时上式成立，则时上式也成立， 不妨设，即证， 即证， 令，则， 令，则，在上单调递增， ，所以，在上单调递增， ,当时，有， 即，所以原不等式成立. 所以，，． （2）①当时，，， 假设在点与点处存在“自公切线”， 则的斜率， 同时， 故，由（1）得，故上式不成立，故假设不成立， 所以当时，曲线不存在“自公切线”. ②当时，，， 当时，左右导数不相等，在处不可导， 因为，所以，为偶函数， 又由①得，当时，曲线不存在“自公切线”， 所以当时，曲线也不存在“自公切线”， 假设在点与点处存在“自公切线”， 则和只可能一正一负，不妨设，， 则的斜率， 同时， 所以即， 所以或，即或， 当时，因为，所以， 所以，令，则， 当时，，在上单调递增，， 所以没有零点，此时没有满足题意的，即没有“自公切线”； 当时，时，，单调递减， 时，，单调递增， ，，时，， 当时，，没有零点，即没有“自公切线”； 当时，，有一个零点，即有一条“自公切线”； 当时，，有两个零点，即有两条“自公切线”. 当时，，又，，所以， 因为，所以， 所以，令，则，令， 由对勾函数知在上单调递减，在上单调递增， ，而， 所以当时，有一个解，即有一条“自公切线”； 当时，有两个解，即有两条“自公切线”； 当或时，无解，即没有“自公切线”. 当且时，， 所以当时，与同时成立，只有一条“自公切线”. 综上，当时，没有“自公切线”； 当时，有一条“自公切线”； 当时，有四条“自公切线”； 当时，有两条“自公切线”. 考点三 零点问题 1．（2025·宁夏银川·二模）已知函数. (1)若，求函数的单调区间； (2)若函数的极值点在区间内，求m的取值范围； (3)若有两个零点，求m的取值范围. 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为 (2) (3) 【详解】（1）当时，，的定义域为. 则， 令，则，即，解得， 令，则，即，解得. 函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）由可得：的定义域为，. 要使函数的极值点在内，需满足在上有解. 因为的定义域为， 所以在上有解， 则，解得， 即m的取值范围为. （3）由（2）知，. 则. 当时，有，则，此时函数在上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意； 当时，令，得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则. 又因为当时，；当时，， 所以要使有两个零点，须满足恒成立. 令， 则恒成立；， 所以函数在上单调递增， 又因为， 所以，解得. 综上所述，m取值的范围为. 2．（24-25高二下·湖北孝感·期中）已知函数 (1)当时，讨论的单调性. (2)若，讨论函数的零点个数. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【详解】（1）的定义域为 ，令得 ①当时，恒成立，则无递增区间，递减区间为； ②当时，，令，得，令得， 的递增区间为，递减区间为和； ③当时，，令，得，令得， 的递增区间为，递减区间为和， 综上：当时，无递增区间，递递减区间为； 当时，的递增区间为，递减区间为和； 当时，的递增区间为，递减区间为和. （2）若， 令，得，即， 也即，再令， 则在单调递增，故，所以， 可得，令， 令得，所以在上单调递增，在上单调递减， 且当；，所以， 综上：当时，该函数有0个零点； 当或时，该函数有1个零点； 当时，该函数有2个零点. 3．（2025·新疆·三模）已知函数，且． (1)当（为自然对数的底数）时，求函数在处的切线方程； (2)函数在上有且仅有两个零点，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)且． 【详解】（1）因为，所以，， ，， 所以函数在处的切线方程为． （2） 因为函数在上有且仅有两个零点， 所以方程有且仅有两个不同的实数根，即方程有且仅有两个不同的实数根． 令，则方程有且仅有两个不同的实数根， ∵， 所以在区间上，，单调递增， 在区间上，，单调递减且， ∴， ∵与 有两个交点， ∴，结合图像解得且． 4．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)当时，函数存在零点，且，求符合条件的所有整数的值； (3)当时，记函数的零点为，若对任意且，都有成立，求实数的最大值． 【答案】(1)减区间为，增区间为 (2)1 (3) 【详解】（1）当时，函数的定义域为， ，令，则或， 当或时，，，， 所以函数在上严格减，在上严格增， 故函数的减区间为，增区间为； （2）证明：函数的定义域为， ，令，则或， 当时，因为， 所以当或时，，，， 所以函数在上递减，在上递增， 所以的极小值为，极大值为， 因为，， 且在上是减函数，所以至多有一个零点． 又因为，所以， 所以，函数只有一个零点，且；； （3）因为， 所以任意且， 由（2）可知且， 因为函数在上是增函数，在上是减函数， 所以，，所以， 当时，， ， 的最小值为， 所以使得恒成立的的最大值为． 5．（2025·江苏南京·一模）已知函数． (1)若函数是增函数，求实数的取值范围； (2)试判断在上的零点个数． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【详解】（1）由题意得，且在定义域内恒成立. 则在定义域内恒成立，令，对求导可得，，时，，即单调递减， 时，，即单调递增， 所以，则，故实数的取值范围为； （2）I由（1），当时，在上单调递增. 注意到，时，， 则此时在上有一个零点； II当时，令， 则，. 则在上单调递增，在上单调递减， 注意到，， 则存在，使. ①若，即，则. 则此时在上单调递增，在上单调递减. 注意到时，，， 则，使；注意到， i若，则此时有一个零点； ii若，则使，则此时有两个零点； ②若，因在上单调递增， 则存在，使. 则，. 则此时在上单调递增，在上单调递减. 由①分析，在存在零点，又注意到， 则此时有一个零点. 综上可得：当时，在上有一个零点； 当时，在上有2个零点. 6．（24-25高二下·山东枣庄·阶段练习）已知函数. (1)若函数有两个零点，，求的取值范围； (2)在（1）的条件下，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）当时，函数在上单调递增，至多一个零点，不符合题意. . 由可得：. 令，得；令，得， 故在上单调递减，在上单调递增, . 又当时，，， 结合的单调性，要使函数有两个零点，，须满足，解得. 当时，， （证明，令， 则. 令，得；令，得， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 则，即，证得） 由零点的存在性定理可得：在和上各有一个零点 综上可得：当时，有且仅有两个零点，， 所以的取值范围为. （2）证明：由（1）可知，是函数的两个零点， 所以，，解得，， 则. 设， 则，解得，. 要证， 只要证， 即证. 令， 则， 所以函数在上单调递增， 所以， 即证得. 7．（24-25高二下·天津东丽·阶段练习）已知函数，其中 (1)求的单调区间和极值； (2)若对且，恒成立，求实数的取值范围； (3)若存在大于0的零点，求实数的取值范围 【答案】(1)减区间为，增区间为，极小值为，无极大值 (2) (3) 【详解】（1）解：由函数，可得， 令，解得， 当时，；当时，， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 当时，函数取得极小值，极小值为， 所以函数的减区间为，增区间为，极小值为，无极大值. （2）解：由函数，可得， 设，可得， 因为对且，恒成立， 可得对，函数为单调递增函数， 即对，函数在上恒成立， 即在上恒成立，即在上恒成立， 令，由二次函数的性质，可得在上单调递增， 可得，转化为在上恒成立， 当时，得到，所以， 所以实数的取值范围为. （3）解：由， 可得，其中， 则， 因为，令，解得或， 当时，令，解得或； 令，解得， 所以函数在单调递增，在上单调递递减， 因为，此时函数在上没有零点，不符合题意，舍去； 当时，此时恒成立，所以在上为单调递增函数， 因为，此时函数在上没有零点，不符合题意，舍去； 当时，令，解得或；令，解得， 所以函数在单调递增，在上单调递递减， 当时，， 结合图象，要使得函数在存在零点， 则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 8．（24-25高三下·山西·阶段练习）已知函数，为的导数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论零点的个数； (3)设为的零点，证明：当时，． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）当时，，则， 故，，曲线在点处的切线方程为． （2）因为，且，故零点的个数等价于函数在零点的个数． 当时，，没有零点． 当时，，令，则， 且当时，，单调递减，当时，，单调递增． 又，当时，，此时没有零点； 当时，，此时有一个零点． 若，则，又，，， 结合的单调性可知，在区间和各恰有一个零点， 即在区间存在一个零点，在区间存在一个零点． 综上，当时，没有零点；当时，有一个零点；当时，有两个零点． （3）（i）若，由（2）可知，在区间没有零点，且， 故在区间单调递增，，且此时． 因为，故． 设，则，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，故． 故当时，． （ii）若，由（2）可知，在区间存在一个零点， 即在存在唯一极大值点，故当时，． 由（2）可知，，且， 故当时，都有． 又因为，且在区间单调递增， 故存在唯一零点，且满足． 设， 则，． 由上可知，在区间单调递减，且， 故，此时也有． 综上，由（i），（ii）可知，当时，． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$