函数与导数：双变量问题、极值点偏移问题、导数新定义问题专项训练-2025届高三数学三轮复习

函数与导数：双变量问题、极值点偏移问题、导数新定义问题专项训练 函数与导数：双变量问题、极值点偏移问题、导数新定义问题专项训练 考点一 双变量问题 1．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，不等式恒成立，求实数a的值； (3)设不同正数m，n满足，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)1 (3)证明见解析 【详解】（1）先确定定义域为， 对求导，则. 令，即，解得. 当时，在上，，即，所以在上单调递增； 在上，，即，所以在上单调递减. 当时，在上，，即，所以在上单调递减； 在上，，即，所以在上单调递增. 综上所得，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，. 因为恒成立，即恒成立，等价于恒成立. 令，. 对求导得. 因为恒成立且，所以是的最大值点，则. ，解得. 当时，，再令，对求导得，所以在上单调递减. 当时，，即，单调递增； 当时，，即，单调递减.所以，满足条件，故. （3）由得，两边取对数整理得， 令.则. ，在递增，递减，则 又，当， 不妨设，则. 记，，则， 在递增，则，即. 又 因为在递减，所以，则. 原命题得证. 2．（24-25高二下·四川眉山·阶段练习）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)设（为自然对数的底数），当时，对任意，存在，使，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）由题意可知：函数的定义域为， 且，， ①当时，令得；令得； 可知在内单调递增；在内单调递减； ②当时，令得；令得； 可知在内单调递增，在内单调递减； 综上所述：当时，在内单调递增；在内单调递减； 当时，在内单调递增，在内单调递减. （2）当时，由（1）可知：函数在上递增，在上递减， 即当时，函数取得极小值，同时也是最小值. 若对任意，存在，使， 等价于为，即，整理可得， 构建，则， 由，得，或（舍）， 当时，；当时，； 可知函数在内单调递增，函数在内单调递减， 则当时，取得极大值同时也是最大值， 且，， 可知，则函数的最小值为， 可得，所以实数的取值范围为. 3．（24-25高三下·江西·阶段练习）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求的零点个数； (3)若有两个极值点，证明：当时，. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）当时，，所以， 所以，所以曲线在点处的切线斜率， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）当时，，定义域为， ， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 所以在上单调递减， 又， 所以存在唯一的，使得. 又在上单调递减，所以当时，的零点个数为1. （3）的定义域为， 因为有两个极值点，有两个极值点，意味着有两个不同正根. 设，其导数. 若，，在递增，不会有两个正根. 当，令，得.在，递增；在，递减. 要使有两个正根，需，即，解得. 所以当时，有两个极值点. 所以，且， 所以，所以， 所以，当时， ， 令，即证当时，对恒成立. 令，则. 因为，所以，所以， 所以在上单调递增，所以，即， 所以当时，恒成立. 4．（2025·河南信阳·一模）已知函数，其导函数为. (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)若，是函数的两个零点，求证：. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）函数的定义域为，. 当时，恒成立，在上单调递增； 当时，由，解得：；由，解得：. 在上单调递减，上单调递增. 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，上单调递增. （2）要使恒成立，只需恒成立. 由（1）可知，当时，在上单调递增，且， ∴当时，，不合题意，舍去. 当时，在上单调递减，上单调递增， ， 只需，即在时恒成立. 记，，则 当时，，单调递增；当时，，单调递减； ，， 只有符合题意. 综上所述，实数的取值范围为. （3）由（1）可知，当时，在上单调递增，函数不可能有两个零点，不合题意，舍去. 当时，在上单调递减，上单调递增， 当时，；当时，. 要使函数有两个零点，只需，解得：. 已知，不妨设，则有. 单调递增，要证，只需. ，只需证 即证， 由单调性可知，， 在上单调递减，即证. 方法一：，即证. 令，其中. ， 单调递增， 又，，即. 成立. . . 方法二：，即证. 而， 由得，， 且，. 令，则， 在上单调递减，， ，，可得， ，，，即， 又在上单调递减，. 5．（24-25高三上·天津南开·期末）已知函数. (1)求曲线在其零点处的切线方程； (2)若方程有两个解，且. （i）求实数的取值范围； （ii）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）， （ii） 【详解】（1）令得，且， 零点处切线的斜率为，切点的坐标为， 故零点处的切线方程为； （2）（i）由得， 设，则， ①    当时，，单调递减，则方程至多有一个解； ②    当时，当时，，单调递增；    当时，，单调递减； 若方程有两个解，则，解得， 设，则， 所以在单调递减，从而，即. 所以，又， 所以时，方程有两个解. （ii）由得,所以，， 设，则有，即，， 由得，即， 设，则， 设，则， 设，则， 当，，单调递增， 当，，单调递减， 且，， 所以存在唯一的，使得， 当，，单调递增， 当，，单调递减， 且，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以， 所以，即的取值范围是. 6．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）已知函数，函数． (1)若没有任何一段区间使函数与函数同时单调递增或同时单调递减，求的取值范围； (2)若方程有两个不同的解． ①求的取值范围； ②若，证明：. 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【详解】（1）解：， 令得，当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减． 令得，当时，；当时，， 故在上单调递减，在上单调递增． 当，即时，满足题意； 若，则与在上同时单调递增，矛盾； 若，则与在上同时单调递减，矛盾． 综上所述，． （2），整理得， 即方程有两个不同的解， 即方程有两个不同的解． ①解：令，则，当时，；当时，， 故在区间上单调递减，在区间上单调递增，． 当趋近于0时，趋近于，当趋近于时，趋近于，故当时，方程有两个解． 则方程，令，则，即在内单调递增，故方程最多有一个解， 要使方程有两个不同的解，则方程有两个不同的解，即，且方程的解满足，故只需，即即可． 所以的取值范围是． ②证明：由题意，是方程两个不同的解． 设，则， 解得， 所以， 令，则，令， 则，故在区间上单调递增，，即， 所以在区间上单调递增，即，所以成立． 7．（24-25高三上·江苏宿迁·阶段练习）已知函数． (1)讨论函数的单调区间； (2)当时，证明：； (3)函数有两个零点、，求证：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）函数的定义域为， ， 当时，对任意的，， 由可得，由可得， 此时，函数的减区间为，增区间为； 当时，由可得，由可得或， 此时函数的减区间为，增区间为、； 当时，对任意的，， 此时函数的增区间为； 当时，由可得，由可得或， 此时，函数的减区间为，增区间为、. 综上所述，当时，函数的减区间为，增区间为； 当时，函数的减区间为，增区间为、； 当时，的增区间为，无减区间； 当时，函数的减区间为，增区间为、. （2）当时，， 即证， 令，即证，即证， 因为，则函数在上单调递增， 当时，；当时，， 所以函数的值域为， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以函数的减区间为，增区间为，则， 故，即，故原不等式得证. （3）， 因为函数有两个零点、，不妨设， 则，所以，， 整理可得，即， 要证，即证， 即证， 令，即证， 令，其中，则， 所以函数在上为增函数，则， 即，即，故原不等式得证. 8．（24-25高三上·山西·阶段练习）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)已知有两个极值点，且， （i）求实数a的取值范围； （ii）求的最小值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【详解】（1）当时，， 则，得， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）（i）， 又是函数的两个极值点，所以是方程的两个正根 则，解得， 经检验，当时，符合题意. 所以实数的取值范围为. （ii）由（i）知，则，， ， 令， 则， 当时，，则单调递减 当时，，则单调递增 故当时，取得最小值， 所以，即的最小值为. 考点二 极值点偏移问题 1．（24-25高二下·内蒙古乌兰察布·阶段练习）已知函数，为实数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若函数在处取得极值，是函数的导函数，且，，证明：. 【答案】(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为 (3)证明见解析 【详解】（1）当时，，， ，故， 故函数在处的切线方程为，即； （2）定义域为， ， 令，解得，令，解得， 故的单调递增区间为，单调递减区间为； （3）由题意得，解得， 故，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 可知函数在处取得极值，故符合题意， 因为，， 令，，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 且当时，恒成立，，当时，， 画出的图象如下： 故， 令，， ， 因为，所以，， 故在上单调递减， 又，故在上恒成立， 即，， 因为，所以，所以， 其中，故， 其中，，在上单调递增， 所以，即. 2．（24-25高二下·福建莆田·阶段练习）已知函数. (1)讨论导函数的零点个数情况； (2)若有两个不同极值点、.当时，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）因为函数的定义域为， 且，由可得， 令，其中，则， 由可得，列表如下： 增 极大值 减 所以，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，的极小值为， 且当时，；当时，. 如下图所示： 当时，即当时，直线与函数只有一个公共点， 当时，即当时，直线与函数有两个公共点， 当时，即当时，直线与函数无交点. 综上所述，当时，函数只有一个零点； 当时，函数有两个零点； 当时，函数无零点. （2）由，即，得， 要证明，只需证明， 而， 令，则，欲证明， 即证明，只需证明即可， 令， 求导得， 令，当时，， 则在单调递增，故， 则，令在时单调递增，则， 因此，即，所以. 3．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程. (2)若有两个极值点，． （i）证明：； （ii）证明：. 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【详解】（1）函数，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）（i）函数，求导得， 令，得， 设，求导得，， 令，得， 当时，；当时，，函数在上递减，在上递增， 于是，由有两个极值点，得方程有两个实根， 即有两个实根，则. （ii）由（i）知，是方程的两个实根，即，且， 设，求导得， 令，则当时，， 即函数在上单调递增，则，即当时，， 于是函数在上单调递增，则，因此， 则，即，而，又在上单调递减， 因此，所以. 4．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知函数，其中为自然对数的底数． (1)当时，求的单调区间； (2)若方程有两个不同的根． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 【答案】(1)在区间内单调递增，在区间内单调递减； (2)（i）；（ii）证明见解析. 【详解】（1）由题意得，，则， 由，解得． 当时，单调递增， 当时，单调递减； 综上，在区间内单调递增，在区间内单调递减； （2）（i）由，得， 设， 由（1）得在区间内单调递增，在区间内单调递减， 又，当时，，且当时，， 所以当时，方程有两个不同的根，即方程有两个不同的根， 故的取值范围是．                                      （ii）不妨设，则，且． 法一： 当时，结合（i）知，即； 当时，． 设 则 所以在区间内单调递增， 则，即， 所以 又在区间内单调递减， 所以，即， 又，所以， 故，所以，得证． 法二： 设，， 则， 所以在区间内单调递增，又， 所以，即． 又，所以， 又在区间内单调递减． 所以，即， 又，所以，得证． 5．（24-25高三上·河北·阶段练习）已知函数. (1)若该函数在单调递增，求的取值范围. (2)当时，若方程有两个实数根，且，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析. 【详解】（1）由题意， 当时，，在上单调递增，满足题意； 当时，当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 又该函数在单调递增，故， 综上可知，的取值范围为 （2）当时，， 由（1）可知在上单调递减，在上单调递增， 所以，令， 则， 所以在上单调递减，，即， 令，则，故， 又在上单调递增，，所以， 故 6．（2024高二下·云南曲靖·学业考试）已知函数． (1)若只有一个零点，求的值； (2)若有两个零点，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）函数， 令得 当时，在单调递增； 当时，在单调递减； 所以函数在时取最大值， 当时，函数;当 时，函数    ; 根据函数的单调性可知当最大值为0时，函数只有一个零点， 易知， 所以； （2）证明： 不妨设要证明：，只需要证，易知 由（1）可知在单调递增，在单调递减； 所以只要证明，即证， 设函数而， 并且在区间上 即在单调递增，所以 从而所以 所以 7．（23-24高二下·重庆·期末）已知函数． (1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (2)若函数恰有两个极值点，且的最大值为，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意可得在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 则，故，即； （2），令， 由函数有两个极值点， 则有两个变号零点， ， 当时，，不符，故舍去； 当时，则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 又， 又当时，，则， 故此时此时至多存在一个零点，不符，故舍去； 当时，则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 有，则，故， 则有，， 则，即，同理， 则，故， 即， 由的最大值为，令，则有， 即，令，， 则 ， 令，， 则恒成立， 故在上单调递增，则， 则，故在上单调递增， 则. 8．（23-24高二下·江苏苏州·期末）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的最大值； (3)若关于的方程有两个实根，，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1），， 又，则有， 即曲线在处的切线方程为； （2）由题意可得在上恒成立， 令，则， 令，则， 则当时，，故在上单调递增， 则当时，， 当时，，故在上单调递增， 有，符合要求， 当时，由，， 则存在，使，即当时，， 当，， 故在上单调递减，在上单调递增， 则，不符合要求，故舍去， 综上所述，，故实数的最大值为； （3）， 由，即有有两个实根，， 令，， 当时，恒成立，不可能有两个实根，故舍去； 当，则时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 则有，即， 又， 不妨令，则有， 有，令，，即有， 则有，即， 即，则要证，只需证， 即证， 令，即证， 令，， 则恒成立， 故在上单调递减，故， 即有在时恒成立，故得证； 由（2）可知，当时，在上恒成立， 即在上恒成立， 则当时，，即， 由，则、， 故，， 则，， 又，即，即， 即，则有， 整理得，即，即， 即； 综上，得证. 考点三 导数新定义问题 1．（24-25高三下·安徽·阶段练习）若函数的图象上存在三点，且，使得直线与的图象在点处的切线平行，则称为在区间上的“中值点”． (1)若函数在区间上的中值点为，证明：成等差数列． (2)已知函数，存在，使得． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）当时，记在区间上所有可能的中值点之和为，证明：． 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）；（ii）证明见解析. 【详解】（1）由题意知. 因为， 又， 所以，即， 所以成等差数列. （2）（i）， 设，则， 当时，单调递增，当时，单调递减. 故，且当时，，当时，. 若，则恒有，所以在上单调递减，不符合题意； 若，则在和上分别存在一个零点，记为， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增，当时，，即单调递减， 故存在，满足. 所以的取值范围是. （ii）因为，所以中值点满足， 由（i）知当时，即有两个零点， 所以在区间上所有可能的中值点即. 先证明： 由，得. 要证，即证. 设， 则. 设，当时，， 所以在上单调递增，所以， 所以当时，，所以在上单调递减. 所以当时，，即. 因为，所以，即， 又，再结合在上单调递减， 可得，从而. 令，得， 所以. 2．（24-25高二上·山西阳泉·期末）如果函数的导数，可记为.若，则表示曲线，直线以及轴围成的“曲边梯形”的面积. (1)求曲线在上与轴围成的封闭图形的面积； (2)当时，求证：； (3)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）由，得. 由题意可得所求面积. 令，则是常数） 所以， 即曲线在上与轴围成的封闭图形的面积为. （2）令，可得（是常数）， 所以， 要证，只需证， 令， 当时，， 所以在上单调递减，所以当时，， 所以，即. （3）由（2）得，当时，. 因为，所以. 即. 所以. . . . 累加可得 ， 即， 所以. 3．（24-25高三上·江苏扬州·阶段练习）在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线：上的曲线段，其弧长为，当动点从沿曲线段运动到点时，点的切线也随着转动到点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当越接近，即越小，就越能精确刻画曲线在点处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线在点处的曲率.（其中，分别表示在点处的一阶、二阶导数） (1)求单位圆上圆心角为的圆弧的平均曲率； (2)求椭圆在处的曲率； (3)定义为曲线的“柯西曲率”.已知在曲线上存在两点和，若且处的“柯西曲率”相同，求的最小值. 【答案】(1)1 (2) (3) 【详解】（1）易知单位圆上圆心角为的圆弧， 所以， （2）由题意，因为在第一象限，所以， ，， 故，，故 （3），， 故，其中， 令，，则，设，则， 令，， 时，，在递减， 时，，在递增， 故； 令， ， 令， 则，当时，恒成立， 故在上单调递增， 可得，即， 故有， 则在递增， 故， 故的最小值为. 4．（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）若为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凸函数”.也可设可导函数在上的导函数为，若在区间上单调递减，则称为区间上的凸函数. 若为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凹函数”.也可设可导函数在上的导函数为.若在区间单调递增；则称为区间上的凹函数.（这里关于凹凸函数的不等式即为著名的琴生不等式.） (1)讨论函数，的凹凸性，并求锐角中，求的最小值； (2)已知函数. （ⅰ）当时，讨论的凹凸性； （ⅱ）平面直角坐标系中的点称为函数的“切点”，当且仅当过点恰好能作曲线的条切线，其中.当时，点在轴右侧且为的“切点”，求点的集合.（不需要写出求解过程） 【答案】(1)在上为凹函数; 的最小值为； (2)（ⅰ）当时，是上的凹函数，上的凸函数； 当时，是上的凸函数，上的凹函数; 当时，是上的凸函数，上的凹函数. （ⅱ）点的集合为： 【详解】（1）因为所以 所以所以函数在上为凹函数. 因为在上为凹函数，由琴生不等式有： 即 整理有:当且仅当时等号成立. 所以在锐角中，的最小值为. （2）（ⅰ） 所以令， 所以，令有：， 即 当时，解得，当时时，当时， 所以是上的凹函数，上的凸函数. 当时，解得或， 若时，即时， 当或时，当时， 所以是上的凸函数，上的凹函数; 若时，即时， 当或时，当时， 所以是上的凸函数，上的凹函数; 综上所述：当时，是上的凹函数，上的凸函数； 当时，是上的凸函数，上的凹函数; 当时，是上的凸函数，上的凹函数. （ⅱ）当时，，为的“切点” 所以，设，切点为， 所以过点的切线方程为：， 所以， 因为这样的切点有3个，则有3个解， 所以有3个实根， 即关于的方程：有三个不同的实数跟。. 令，则直线与曲线恰有三个不同的交点. 所以， 当时， 由有：，有：或， 所以在为增函数，在和为减函数. 所以的极小值为：，的极大值为： 所以： 当时，，为单调递减，不符合题意. 当时， 由有：，有：或， 所以在为增函数，在和为减函数. 所以的极小值为：的极大值为：， 所以： 综上所述：点的集合为： 5．（24-25高三上·上海·阶段练习）记，分别为函数，的导函数.若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”；若仅满足则称为函数与的一个“点”. (1)证明：函数与不存在“点”，但存在“点”； (2)若函数与存在“点”，求实数的值； (3)已知，其中实数且．若使函数与区间内存在三个“点”，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）令，可得，解得或， 对函数有，对函数，有， 令，解得， 故、是函数与的“点”， 但函数与不存在“点”，即得证； （2）对函数，有，对函数，有， 由函数函数与存在“点”， 则方程组有解，即有，即， 则； （3），， 则有题意可得满足，且的有三个， 令，则， 当，则，当，则， 令，， 令，则，即， 当时，， 则当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故， 不妨令，则，令， 则，则，即，故， 则，故，，则； 故当时， ，则在上有两个零点， 设这两个零点为，且， 当时，，则，故单调递增； 当时，，则，故单调递减； 当时，，则，故单调递增； 则，即，即， 则， 令，则， 当时，，故单调递减 当时，，故单调递增， 由且，故，则， 故，故， 又时，单调递减，故， 即的极大值， 令，则为减函数，又，， 故存在，，由，关于直线对称， 故必有一个交点落在上，使得， ，又，则， ， 故，又为减函数，故， 又时，单调递减，故，即的极小值， 且时，，时，， 故在上有三个零点，即方程有三个解； 当时，，则在上单调递增， 在上只有一个零点， 则在上最多只有两个零点，不符合题意； 当时，，， 又有两个零点，是的两个极值点， 由极值均不为，故无解； 综上：当时，函数与区间内存在三个“点”. 6．（24-25高三上·广东·阶段练习）定理：如果函数在闭区间上的图象是连续不断的曲线，在开区间内每一点存在导数，且，那么在区间内至少存在一点c，使得，这是以法国数学家米歇尔•罗尔的名字命名的一个重要定理，称之为罗尔定理，其在数学和物理上有着广泛的应用. (1)设，记的导数为，试用上述定理，说明方程根的个数，并指出它们所在的区间； (2)如果在闭区间上的图象是连续不断的曲线，且在开区间内每一点存在导数，记的导数为，试用上述定理证明：在开区间内至少存在一点c，使得； (3)利用（2）中的结论，证明：当时，（为自然对数的底数）. 【答案】(1)根有3个，且分别位于，，这三个区间内 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）注意到，则由罗尔定理， 在内存在，使； 在内存在，使： 在内存在，使. 综上，的根有3个，且分别位于，，这三个区间内. （2）证明：构造函数， 则注意到，由罗尔定理， 则在上至少存在一点c，使 即在开区间内至少存在一点c，使得； （3）证明：当时，. 因函数为上连续函数，. 由（2），又，则在上存在， 使； 又，则在上存在 又令，当时，， 则在上单调递增， 又 则 所以： 7．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）设是定义在区间上的连续函数，若存在区间，使得在上单调递增，在上单调递减，则称为“含峰函数”，为“峰点”，称为的一个“含峰区间”. (1)判断下列函数是否为“含峰函数”？若是，请指出“峰点”；若不是，请说明理由： （i）； （ii）. (2)已知是“含峰函数”，且是它的一个“含峰区间”，求的最大值； (3)设是“含峰函数”，是它的一个“含峰区间”，并记的最大值为.若，且，求的最小值. 【答案】(1)（i）是“含峰函数”，“峰点”为 （ii）不是 “含峰函数” (2) (3) 【详解】（1）（i）由，， 当或时，，当或时，， 所以在和上单调递增，在和上单调递减， 故存在区间，该函数在上单调递增，在上单调递减， 故是“含峰函数”， “峰点”为， （ii），，则在上是增函数， 故不是“含峰函数”； （2）由题意在上存在极大值点， 的定义域是， ， 因为，令得，（舍去）， 当时，，当时，， 因此在上单调递增，在上单调递减， 则有，解得，又，所以的最大值是； （3）由， 则， 若， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 此时不为 “含峰函数”， 则有两个不等实根， 设这两根分别为、且， 则有， ，， 由，故在上不为减函数， 若，则当时，，即在上单调递减，矛盾，故； 由，故在上不为增函数， 若，则当时，，即在上单调递增，矛盾，故； 故有， 故当时，，当时，， 即在、上单调递减，在、上单调递增， 故，故 ， 由，即， ，即， 令，解得， 故当时，，当时，， 故当时， ， 由，故， 当时， ， 由，故， 综上所述，的最小值为，此时，. 8．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）2024年9月25日，我国向太平洋发射了一发洲际导弹，我国洲际导弹技术先进，飞行轨迹复杂，飞行时需要导弹上的计算机不断计算导弹飞行轨迹的弯曲程度，导弹的陀螺仪才能引导导弹精准命中目标.为此我们需要刻画导弹飞行轨迹的弯曲程度. 如图所示的光滑曲线上的曲线段，其弧长为，当动点从沿曲线段运动到点时，点的切线也随着转动到点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当越接近，即越小，就越能精确刻画曲线在点处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线在点处的曲率.（其中，分别表示在点处的一阶、二阶导数） (1)求函数在点处的曲率； (2)已知函数，求函数的曲率的最大值. (3)设函数，，若存在，使得的曲率为0，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）， ，， ，， 所以函数在点处的曲率为. （2），，， 由定义知为非负数，由题意得， ， ， ， 令，，令， 则在上恒成立， 在上单调递增，即， ，当且仅当时取到，所以曲率的最大值为. （3）证明：由题意可得，， 若曲率为0，则，即，即， 令，，则，得， 在上，，在上，， 故在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，也是最大值，， 又时，恒成立， 又，所以有两个解. 设为，，， 又，所以，可设，， 所以，，， 化简可得，则. 要证，即证， 需要证，即证， 令， 所以在上单调递增， 所以，得证. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$函数与导数：双变量问题、极值点偏移问题、导数新定义问题专项训练 函数与导数：双变量问题、极值点偏移问题、导数新定义问题专项训练 考点一 双变量问题 1．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，不等式恒成立，求实数a的值； (3)设不同正数m，n满足，证明：． 2．（24-25高二下·四川眉山·阶段练习）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)设（为自然对数的底数），当时，对任意，存在，使，求实数的取值范围. 3．（24-25高三下·江西·阶段练习）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求的零点个数； (3)若有两个极值点，证明：当时，. 4．（2025·河南信阳·一模）已知函数，其导函数为. (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)若，是函数的两个零点，求证：. 5．（24-25高三上·天津南开·期末）已知函数. (1)求曲线在其零点处的切线方程； (2)若方程有两个解，且. （i）求实数的取值范围； （ii）若恒成立，求实数的取值范围. 6．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）已知函数，函数． (1)若没有任何一段区间使函数与函数同时单调递增或同时单调递减，求的取值范围； (2)若方程有两个不同的解． ①求的取值范围； ②若，证明：. 7．（24-25高三上·江苏宿迁·阶段练习）已知函数． (1)讨论函数的单调区间； (2)当时，证明：； (3)函数有两个零点、，求证：． 8．（24-25高三上·山西·阶段练习）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)已知有两个极值点，且， （i）求实数a的取值范围； （ii）求的最小值． 考点二 极值点偏移问题 1．（24-25高二下·内蒙古乌兰察布·阶段练习）已知函数，为实数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若函数在处取得极值，是函数的导函数，且，，证明：. 2．（24-25高二下·福建莆田·阶段练习）已知函数. (1)讨论导函数的零点个数情况； (2)若有两个不同极值点、.当时，证明：. 3．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程. (2)若有两个极值点，． （i）证明：； （ii）证明：. 4．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知函数，其中为自然对数的底数． (1)当时，求的单调区间； (2)若方程有两个不同的根． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 5．（24-25高三上·河北·阶段练习）已知函数. (1)若该函数在单调递增，求的取值范围. (2)当时，若方程有两个实数根，且，证明：. 6．（2024高二下·云南曲靖·学业考试）已知函数． (1)若只有一个零点，求的值； (2)若有两个零点，证明：． 7．（23-24高二下·重庆·期末）已知函数． (1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (2)若函数恰有两个极值点，且的最大值为，求证：． 8．（23-24高二下·江苏苏州·期末）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的最大值； (3)若关于的方程有两个实根，，求证：． 考点三 导数新定义问题 1．（24-25高三下·安徽·阶段练习）若函数的图象上存在三点，且，使得直线与的图象在点处的切线平行，则称为在区间上的“中值点”． (1)若函数在区间上的中值点为，证明：成等差数列． (2)已知函数，存在，使得． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）当时，记在区间上所有可能的中值点之和为，证明：． 2．（24-25高二上·山西阳泉·期末）如果函数的导数，可记为.若，则表示曲线，直线以及轴围成的“曲边梯形”的面积. (1)求曲线在上与轴围成的封闭图形的面积； (2)当时，求证：； (3)求证：. 3．（24-25高三上·江苏扬州·阶段练习）在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线：上的曲线段，其弧长为，当动点从沿曲线段运动到点时，点的切线也随着转动到点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当越接近，即越小，就越能精确刻画曲线在点处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线在点处的曲率.（其中，分别表示在点处的一阶、二阶导数） (1)求单位圆上圆心角为的圆弧的平均曲率； (2)求椭圆在处的曲率； (3)定义为曲线的“柯西曲率”.已知在曲线上存在两点和，若且处的“柯西曲率”相同，求的最小值. 4．（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）若为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凸函数”.也可设可导函数在上的导函数为，若在区间上单调递减，则称为区间上的凸函数. 若为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凹函数”.也可设可导函数在上的导函数为.若在区间单调递增；则称为区间上的凹函数.（这里关于凹凸函数的不等式即为著名的琴生不等式.） (1)讨论函数，的凹凸性，并求锐角中，求的最小值； (2)已知函数. （ⅰ）当时，讨论的凹凸性； （ⅱ）平面直角坐标系中的点称为函数的“切点”，当且仅当过点恰好能作曲线的条切线，其中.当时，点在轴右侧且为的“切点”，求点的集合.（不需要写出求解过程） 5．（24-25高三上·上海·阶段练习）记，分别为函数，的导函数.若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”；若仅满足则称为函数与的一个“点”. (1)证明：函数与不存在“点”，但存在“点”； (2)若函数与存在“点”，求实数的值； (3)已知，其中实数且．若使函数与区间内存在三个“点”，求实数的取值范围． 6．（24-25高三上·广东·阶段练习）定理：如果函数在闭区间上的图象是连续不断的曲线，在开区间内每一点存在导数，且，那么在区间内至少存在一点c，使得，这是以法国数学家米歇尔•罗尔的名字命名的一个重要定理，称之为罗尔定理，其在数学和物理上有着广泛的应用. (1)设，记的导数为，试用上述定理，说明方程根的个数，并指出它们所在的区间； (2)如果在闭区间上的图象是连续不断的曲线，且在开区间内每一点存在导数，记的导数为，试用上述定理证明：在开区间内至少存在一点c，使得； (3)利用（2）中的结论，证明：当时，（为自然对数的底数）. 7．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）设是定义在区间上的连续函数，若存在区间，使得在上单调递增，在上单调递减，则称为“含峰函数”，为“峰点”，称为的一个“含峰区间”. (1)判断下列函数是否为“含峰函数”？若是，请指出“峰点”；若不是，请说明理由： （i）； （ii）. (2)已知是“含峰函数”，且是它的一个“含峰区间”，求的最大值； (3)设是“含峰函数”，是它的一个“含峰区间”，并记的最大值为.若，且，求的最小值. 8．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）2024年9月25日，我国向太平洋发射了一发洲际导弹，我国洲际导弹技术先进，飞行轨迹复杂，飞行时需要导弹上的计算机不断计算导弹飞行轨迹的弯曲程度，导弹的陀螺仪才能引导导弹精准命中目标.为此我们需要刻画导弹飞行轨迹的弯曲程度. 如图所示的光滑曲线上的曲线段，其弧长为，当动点从沿曲线段运动到点时，点的切线也随着转动到点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当越接近，即越小，就越能精确刻画曲线在点处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线在点处的曲率.（其中，分别表示在点处的一阶、二阶导数） (1)求函数在点处的曲率； (2)已知函数，求函数的曲率的最大值. (3)设函数，，若存在，使得的曲率为0，求证：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$