6.3.5平面向量数量积的坐标表示学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

平面向量数量积的坐标表示学案 【学习目标】 1.理解平面向量数量积的坐标表示. 2.会用向量的坐标求数量积，向量的模及两个向量的夹角. 3.会用两个向量的坐标判断它们是否具有垂直关系. 【课前知识准备】 一.平面向量数量积的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角θ 数量积 两个向量的数量积等于它们 ，即a·b＝ 向量垂直 a⊥b⇔ 二.三个重要的公式（模，夹角） （1）向量的模：设a＝（则|a|＝ . （2）两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝ . （3）向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝ . 注意：由三角函数值cos θ 求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π. 【思考】 思考: 已知a＝（， b＝（，怎样用a与b方向上的投影是什么？ 【例题讲解】 例1.已知点A(1,2), B(2,3), C(-2,5), 则△ABC是什么形状？证明你的猜想.（教材P34） 变式训练1：以原点和A（5，2）为两个顶点作等腰三角形OAB，∠B=90°，求点B的坐标. 例2. （1）已知a=(5,-7), b=(-6,-4)，求a·b及a，b的夹角θ（精确到1°）（教材P35） （2）已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|等于(　　) A．4 B．2 C．8 D．8 变式训练2：已知向量a＝(-1,3)，b＝(2,-3)， （1）求a·b （2）求(a＋b)·(2a－b)． 例3.（1）若向量a＝(-1,2)，b＝(x,-3)，，向量a＋2b与向量2a-b平行时，则a·b值为____． （2）已知a＝(4，3)，b＝(－1，2)． (1)求a与b夹角的余弦值； (2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值． 变式训练3：（1）已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)．若向量a，b的夹角为，则实数m＝(　　) A．2　　　B. C．0 D．－ (2)已知向量a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，且a与b的夹角为钝角，试求实数λ的取值范围． 【课后巩固练习】 1.已知向量，，若，则实数的值为    ． A. B. C. D. 2.已知向量，，若，则(    ) A. B. C. D. 3.已知集合且且，为坐标原点，当时，定义：，若，则“存在使”是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.已知正方形的边长为，，，则的值为(    ) A. B. C. D. 5.人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离设，，则曼哈顿距离，余弦距离，其中为坐标原点已知，，则的最大值近似等于(    ) 参考数据：， A. B. C. D. 6.已知向量，，则“”是“，的夹角是钝角”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7.已知向量，，则，(    ) A. B. C. D. 8.如图，在平面四边形中，，，，，若点为边上的动点，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 9.已知动点，，为坐标原点，则当时，下列说法正确的是(    ) A. 有最小值 B. 有最小值，且最小值小于 C. 恒成立 D. 存在使得 10.对非零向量，定义运算“”：，其中为与的夹角，则(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若中，，则 D. 若中，，则是等腰三角形 11.已知，，，则在方向上的投影向量是          ． 12.已知向量在正方形网格中的位置如图所示若网格纸上小正方形的边长为，则 ______． 13.如图，一个半径为的半圆，、两点为直径的三等分点，、两点为弧上的三等分点，则           ． 14.已知向量，在正方形网格中的位置如图所示，向量满足，且若网格纸上小正方形的边长为，则           ，           ． 如图，在直角梯形中，，，，，为的中点，为上靠近的四等分点，直线与交于点． 求的余弦值 若，求实数的值． 16.已知向量，，且． 求的值； 若，且，求的值． 17.已知向量，． 求 求与夹角的余弦值 若与共线，求实数的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$