精品解析：2025年山东省济南市高新区中考数学一模试卷

6学科网 命组卷网 2025年山东省济南市高新区中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) -2025 1. 的倒数是() 1 1 A.2025 B.2025 C.-2025 D.2025 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了倒数，理解倒数的概念是解题的关键.倒数的定义是乘积为1的两个数互为倒数，根 据倒数的定义回答即可. 【详解】解：，一个数a的倒数为a, 1 1 .-2025的倒数为-2025=2025， 故选：B 2。“月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，呈榫卯结构，有利于采来拼装建造月球基地·如图， 这是“月壤砖”的示意图，其俯视图为() 正面 【答案】C 第1页/共37页 学科网命组卷网 【解析】 【分析】本题考查了判断几何体的三视图（判断简单组合体的三视图），熟练掌握简单组合体的三视图是 解题的关键.画出题中“月壤砖”的俯视图，与各选项中的视图进行对比即可得出答案， 【详解】解：根据题中“月壤砖”的示意图，可知其俯视图为 故选：C、 3.“中原2号”等4颗卫星搭乘长征二号丁运载火箭于2024年12月17日2时50分发射升空，“中原2 号”轨道高度为522000m.其中数据522000用科学记数法表示为() 0.522×106 B.5.22x10 c5.22x104 D.52.2x104 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤@<10，n为整数， 熟练掌握科学记数法的定义是解答本题的关键， 根据科学记数法的定义解答即可. 522000=5.22×105, 【详解】解： 故选：B 4.如图，已知1=∠2，∠3=125°，则∠4的度数为() 45 A B550 C650 D 75° 【答案】B 第2页/共37页 6学科网列组卷网 【解析】 【分析】本盟考查了平行线的性质与判定，根据4=2，可符，进而根据平行线的性质，即可求 解。 【详解】解：，∠1=∠2， :4% .∠3+∠4=180°， :∠3=125°， .∠4=180°-125°=55°， 故选：B 5.下列计算正确的是() A.a.a=a B2a'÷a2=a c.（a)2=a D.a+a2=a 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的除法、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项，熟练掌握各运算 法则是解题的关键.根据同底数幂的乘法、单项式除以单项式、幂的乘方与积的乘方、合并同类项法则逐 项计算判断即可， 【详解】解：A、aa3=a5 故此选项不符合题意； 2a3÷d=2a,故此选项不符合题意： c、（-a)2=a ,故此选项符合题意： D、·与4不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意： 故选：C 第3页/共37页 6学科网命组卷网 6用配方法解方程r-6x-5=0 时，下列配方结果正确的是() A.(x-3)}2=14 B.(x-3)2=5 c(x+3)2=14 D.(x+3)}2=5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，常数项移到右边，再配上一次项系数一半的平方即可. 【详解】解：x2-6x-5=0 :2-6x=5 则x2-6x+9=5+9,即(x-3}=14 故选：A. 7.商场举行摸奖促销活动，对于“抽到一等奖的概率为01”.下列说法正确的是() A.抽10次奖必有一次抽到一等奖 B.抽一次不可能抽到一等奖 C.抽10次也可能没有抽到一等奖 D.抽了9次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖 【答案】C 【解析】 【分析】根据概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现进行解答即可. 【详解】解：根据概率的意义可得“抽到一等奖的概率为0.1”就是说抽10次可能抽到一等奖，也可能没 有抽到一等奖， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了概率的意义，熟练掌握概率是对事件发生可能性大小的量的表现是解题的关键。 8.某乡镇的4个村庄A、B、C、D恰好位于正方形的4个顶点上，为了解决农民出行难问题，镇政府决定 修建连接各村庄的道路系统，使得每两个村庄都有直达的公路，设计人员给出了如下四个设计方案（实线 表示连接的道路) 第4页/共37页 命学科网命组卷网 D D A3030D F B B130°30 方案一 方案二 方案三 方案四 在上述四个方案中最短的道路系统是方案() A.一 B.二 C.三 D.四 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了作图设计，正方形的性质，解直角三角形等知识，设正方形的边长为，分别计算出 四种情况下需铺设的公路长，比较即可，掌握相关知识是解题的关键. 【详解】解：设正方形边长为a, :四边形ABCD是正方形， .AB=BC=CD=AD=a,∠ABC=90°，∠ACB=45°， BD=AC= AB AB a =√2a sin∠4CB sin45° v2 2 ∴.方案一需铺设公路为：AB+AD+CD=3a, 方案二：需铺设公路为：4C+BD=V2a+V2a=2√2a 方案三需铺设公路为： BC+CD+AC=2a+2a 方案四如图所示： G A文30307D E B13030 第5页/共37页 6学科网命组卷网 AD=a, 4G=a 2 .∠EAG=30°， a AF=AG 2 GE=AG.tan300=ax_3 cos30°V5 39 2'36a 2 EF-a-2GE=a-2x3 -a-B 3a, 3 :方案四需铺设公路3ax4+ a- 综上，方案四需铺设公路最短， 故选：D 9如图，菱形ABCD中，点E是CD中点，连按AE、BE,若BE1CD,B=V万，则该菱形的面 积是() D B A.V3 B.2V5 cvi D.2V万 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质，得到∠ABE=∠BEC=90°，设CE=x,则AB=BC=CD=2x,利用勾股定理 第6页/共37页 6学科网命组卷网 列方程，求得CB=↓，BC=2,再利用勾股定理，求得BE=V5,可求出菱形的面积 【详解】解：BE⊥CD。 、.∠BEC=90°， “四边形 ABCD 是菱形， ∴AB=BC=CD ABA∥CD .∠ABE=∠BEC=90° “点是 E CD 中点， :.CE-1CD 2 设CE=x,则AB=BC=CD=2x, 由勾股定理得： BE2=AE2-AB2 BC2 -CE2 (7-(2x)=(2x-x2, 解得：x=1或x=-1(舍)， ∴.CE=1BC=2x=2 由勾股定理得：BE=VBC2-CE2=V5 菱形的面积=CDBE=25 故选B。 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题关键 10关于面数y=(x+m-(x-).下列说法正确的是() A无论m取何值，函数图像总经过点(，0)和(-1-2) 第7页/共37页 6学科网命组卷网 1 m≠ B.当2时，函数图像与x轴总有2个交点 若m>2,则当x<1时，y随x的增大而减小 C.若 D.当m>0时，函数有最小值4m -m+1 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的性质逐个求解即可. 【详解】解：A.,当x=1时，y=(x+m-1)(x-1)=0, 当x=-1时，y=(x+m-1)(x-1)=2, .图像过(1,0)和(-1,2)， 故选项错误，不符合题意； B.,当=0时，y=(x+m-1)(x-1)=1-x, ∴.该函数与x轴只有一个交点 故选项错误，不符合题意： m-1 C.,当>2时，函数为开口向上的抛物线，则y=(x+-1)(x-1)=(x+m)(x-1), 1-m 1 ∴.该函数的对称轴为直线x=2(1+m)=2m<1, .当x<1时，y随x的增大而可能减小也可能增大， 故选项错误，不符合题意； D.‘若>0时，二次函数在顶点处取得最小值， 1 1 ∴.当x=2m时，y=(x+m-1)(x-1)=4m-叶1， 故选项正确，符合题意. 故选：D 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，二次函数的最值，二次函数的增减性，熟悉二次函数与坐标 第8页/共37页 6学科网组卷网 轴的交点坐标、对称轴，顶点坐标等求法，是解题的关键. 二、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11.若分式一有意义，则实数x的取值范围是 【答案】x≠1 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件 根据分式有意义的条件是分母不为零计算即可. 3 【详解】解：要使分式x一有意义， 则分母x-1≠0. 即x≠1. 故答案为：x≠1. 12.如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成.向游戏板随机投掷一枚飞镖（每次飞镖均落 在纸板上)，击中阴影区域的概率是 以 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了求几何概率，熟练掌握几何概率的计算方法是解题的关键. 飞镖游戏板由大小相等的9个小正方形格子构成，阴影区域由大小相等的4个小正方形格子构成，根据概 率公式计算即可得到答案. 【详解】解：，飞镖游戏板由大小相等的9个小正方形格子构成，阴影区域由大小相等的4个小正方形格 子构成， 第9页/共37页 命学科网组卷网 4 .击中阴影区域的概率是9， × 故答案为：9. 13.如图所示的图形叫弧三角形，又叫莱洛三角形，是机械学家莱洛首先进行研究的.弧三角形是这样画 ABC A,B, 的：先画正三角形 然后分别以点 C为圆心，AB长为半径画弧.若正三角 ABC的边长为 2cm cm ,则弧三角形的周长为 C 【答案】2π 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质得到∠A=∠B=∠C=60°，根据弧长公式求出AB的长，计算即可， 【详解】解：，△ABC是正三角形， ∴.∠A=∠B=∠C=60°， 60π×22π .AB的长=1803(cm), 2 则弧三角形的周长=3 ×3=2π， 故答案为：2π 【点睛】本题考查的是弧长的计算、等边三角形的性质，掌握弧长公式是解题的关键， 14科技小组为了验证某电路的电压U(V)、电流I(A)、电阻R(2)三者之间的关系：/一R,测得 第10页/共37页 6学科网命组卷网 数据如下： R(2) 100 200 220 400 I(4) 2.2 1.1 0.55 那么，当电阻R=552时，电流1=A. 【答案】4 【解析】 【分析】由表格数据得到定值U=220V,代入电阻值即可求解： 【详解】解：：100×2.2=200×1.1=220×1=400×0.55=220 .U=220v I= 220=4 ∴.当电阻R=552时，55 A, 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查变量间的关系，根据表格得到电压的值是解题的关键， 15.如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边CD上，DE=2,过点E作EF∥BC,分别 交AC,AB于点GF,M,N分别是AG,BE的中点，则MN的长是 A D M E B 【答案】 13 【解析】 第11页/共37页 6学科网 组卷网 AFED BFEC 和 △AFG 都是矩形，由 AG 【分析】先证四边形 是等腰直角三角形，M是的中点，可得 ∠FMC=90° FC 由“矩形的对角线相等且互相平分”可 得FC=BE,且N是FC的中点.根据勾股定理 求出BE的长，即可求出MW的长， A 【详解】 B 解：如图，连接FM、FC, :四边形ABCD是正方形， ∴.ABI‖DC,∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90° 又EF∥BC. .∠AFE=∠ABC=90° .∠BFE=90°， ∴，四边形AFED和BFEC都是矩形， .AF=DE=2」 .'∠FAG=45° ∴.△AFG 是等腰直角三角形. M是AG的中点， 第12页/共37页 6学科网 命组卷网 .FM⊥AC ∴.∠FMC=90° ,四边形BFEC是矩形， .FC=BE=VBC2+CE2=V6+42=213 又，N是BE的中点， N是FC的中点， :.MN=1FC-3 故答案为： v13 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，以及“直角三角形斜边中线等于斜边一半”」 熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键. 三、解答题：（本大题共10个小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤) 16计：1-(5-八+2as5+8 【答案) 2-1 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，实数的混合运算，负整数指数幂的意义，熟练掌握运算法则是 解答本题的关键.先根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂、立方根的意义，特殊角的三角函数值化简， 再算加减 【华新1解原=4-1+2×2+(-2+(-2) 2 第13页供37页 6学科网列组卷网 =4-1+V2-2-2 =√2-1 4(x+1)≤7x+10 17.求不等式组 x-5<x-8 的非负整数解 3 【答案】0,1,2,3： 【解析】 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键.分别求出不等式组 中两个不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，求出非负整数解即可； [4(x+1)≤7x+10① 【详解】解： x-5<x-8② 3 解不等式①得：x之-2， 7 x< 解不等式②得： 2, 7 -2≤x< .不等式组的解集为： 2 ,不等式组的所有非负整数解为：0,1,2,3. I8.已知：如图，在口ABCD中，延长线AB至点E,延长CD至点F,使得BE=DF.连接EF,与对角线 AC交于点O.求证：OE=OF, 第14页/供37页 6学科网6组卷网 B 【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB=CD,AB‖DC, ∴.∠F=LE,∠DCA=LCAB, .AB=CD,FD=BE, ∴.CF=AE, 在△COF和△AOE中， '∠F=LE,CF=AE,∠DCA=LCAB, .△COF2△AOE, ∴.OE=OF 【解析】 【分析】先由平行四边形的性质得出AB=CD,AB‖DC,再得出∠F=∠E,CF=AE,∠DCA=∠CAB,即可推 出△COF≌△AOE,从而得到结论. 【详解】略 19.如图1是某种云梯车，如图2是其示意图，当云梯OD升起时，液压杆AB与底盘OC的夹角为∠2. AB=3m ,某一工作时刻，当 ∠1=31°，∠2=53° 已知液压杆 时.（参考数据： sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60 D D B C 图1 图2 (1)求此时液压杆顶端B到底盘OC的距离； 第15页/共37页 6学科网命组卷网 (2)求此时AO的长.（精确到小数点后一位） 【答案】(1)此时液压杆顶端B到底盘OC的距离为2.4m (2)此时AO的长为2.2m 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键： (I)如图：过B点作BH⊥OC于H点，在Rt△ABH中利用正弦的定义求出BH的长即可； (2)先在Rt△ABH中利用余弦的定义求出AH,再在Rt△OBH中利用正切的定义求出OH,然后利用 OA=OH-AH 计算即可， 【小问1详解】 解：如图：过B点作BH⊥OC于H点， D 夕 A 在Rt△ABH中， sin22=BH AB .BH=3×sin53°=3×0.80=2.4m, 答：此时液压杆顶端B到底盘OC的距离为2.4m. 【小问2详解】 解：在RtAABH中， Cos22=AH! AB, 第16页/供37页 6学科网命组卷网 .AH=3×cos53°=3×6.60=1.8m, 在Rt△OBH中，anCI=BH OH, 0m2424 tan31°0.6， .OA=OH-AH=4-1.8=2.2m 答：此时AO的长为2.2m. 20.如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D,DE⊥AC. B (1)求证：DE是⊙O的切线. (2)已知：BC=8cm,AD=3cm,求线段AE的长. 【答案】 (1)证明：连接OD, B ..OA=OB, .O是AB的中点， D是BC的中点， ∴.OD∥AC 第17页/共37页 6学科网6组卷网 又.DE⊥AC, .OD⊥DE .OD是⊙0的半径， .DE是⊙O的切线： 9 (2)5cm 【解析】 【分析】(1)连接OD,证明∠EDO=90°即可得到DE是⊙O的切线： (2)根据线段中点的定义和勾股定理即可得到结论. 【详解】解：(1)略 (2)D是BC的中点，BC=8cm, ∴，BD=CD=2BC=4(cm), ,AB是⊙O的直径， AD⊥BC, ∴，AC=AB, ..AD=3cm, :AC=VAD2+CD2=3+4=5(cm）, ,DE⊥AC, CD.AD4×312 ..DE=AC 55 (cm), ∴AE=VAD2-DE2 12 32 9 5 (cm). 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，直角三角形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握切线 的判定是解题的关键 21.为提高学生的网络认知，筹备“工业互联网”研学活动，请专家作主题报告. 【收集数据】为了解学生的研学意向，在随机抽取的部分学生中下发调查问卷. 第18页/供37页 6学科网命组卷网 “工业互联网”主题日学生研学意向调查问卷 请选择您的研学意向，并在其后“口”内打“√”（每名同学必选且只能选择其中一 项)· A.数字孪李生口B.人工智能口C.应用5G口D.工业机器人口E.区块链口 【整理数据】所有问卷全部收回且有效，根据调查数据绘制成两幅不完整的统计图. “工业互联网”主题日学生研究意向调查结果统计图 人数 14 12 10 10% 10 A E 6 D 25% B DE领域 【分析数据】请根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1)求本次调查所抽取的学生人数，并直接补全条形统计图： (2)求扇形统计图中领域“E”对应扇形的圆心角的度数： 【做出决策】请合理安排报告，补全活动日程表 (3)学校有600名学生参加本次活动，其中选择聆听B、D的报告学生各有多少？ (4)在确保听取报告的每名学生都有座位的情况下，请你合理安排B,D两场报告，补全此次活动日程表. “工业互联网”主题日活动日程表 地点（座位数）时间 1号多功能厅(200座) 2号多功能厅(100座) 8:00-9:30 E A 10:00-11:30 ① 13:00-14:30 ② 设备检修暂停使用 【答案】(1)40人， 补全条形图如图： 第19页/供37页 命学科网命组卷网 1人数 1 10 8 6 A B CDE领域 (2)72° (3)90人和180人 (4)由(3)知：聆听B报告学生有90人，聆听D报告学生180人，故安排如下： “工业互联网”主题日活动日程表 1号多功能厅(200 2号多功能厅(100 地点（座位数）时间 座) 座) 8:00-9:30 E A 10:00-11:30 C 不 13:00-14:30 D 设备检修暂停使用 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，从统计图表中有效的获取信息，是解题的关键： (1)用选择A的学生人数除以所占的比例求出调查的总人数，进而求出选择D的学生人数补全条形图即 可； (2)用360度乘以选择E的学生人数所占的比例进行求解即可： (3)利用样本估计总体的思想，进行求解即可： (4)根据人数进行合理安排填表即可。 【详解】解：(1)本次调查所抽取的学生人数为：4÷10%=40（人）： 选择D的学生人数为：40-4-6-10-8=12，补全条形图如图： 第20页/供37页 6学科网命组卷网 1人数 12 10 8 6 6 A B CDE领域 360°× 8 =72° (2)领域“E”对应扇形的圆心角的度数为： 40 (3)选择听B报告学生有：60×0-90（人）： 40 选择聆听D报告学生有： 12=180 600× 40 (人)： (4)由(3)知：聆听B报告学生有90人，聆听D报告学生180人，故安排如下： “工业互联网”主题日活动日程表 1号多功能厅(200 2号多功能厅(100 地点（座位数）时间 座) 座) 8:00-9:30 区 10:00-11:30 C B 13:00-14:30 D 设备检修暂停使用 22.春节期间，某商场计划购进甲、乙两种商品，己知购进甲商品1件和乙商品1件共需120元，购进甲商 品3件和乙商品2件共需280元. (1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)商场决定甲商品以每件50元出售，乙商品以每件100元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种 商品共100件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案. 【答案】(1)甲、乙两种商品每件的进价分别是40元、80元 第21页/供37页 学科网命组卷网 (2)获利最大的进货方案是购买甲种商品80件，乙种商品20件 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是 明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和不等式的性质解答。 (1)根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题： (2)根据题意可以得到利润与甲种商品的关系，由甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍，可以得 到甲种商品的取值范围，从而可以求得获利最大的进货方案，以及最大利润. 【小问1详解】 解：设甲、乙两种商品每件的进价分别是x元， x+y=120 3x+2y=280, x=40 解得y=80, 即甲、乙两种商品每件的进价分别是40元、80元； 【小问2详解】 解：设购买甲种商品Q件，获利为w元， w=(50-40)a+(100-80)100-a)=-10a+2000 .a≥4(100-a) 解得a≥80」 当a=80时，w取得最大值， 即获利最大的进货方案是购买甲种商品80件，乙种商品20件 k y= 23.如图，在平面直角坐标系xO少中，直线y=-x+5与y轴交于点A,与反比例函数x的图象的一个 第22页/供37页 6学科网命组卷网 B(a,4) 交点为 ,过点B作AB的垂线I. (1)求点A的坐标及反比例函数的表达式： (2)若点C在直线I上，且△ABC的面积为5，求点C的坐标： (3)P是直线I上一点，连接A,以P为位似中心画△PDE,使它与△PAB位似，相似比为m.若点 D,E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值. 【答案】(1)点A的坐标为(0,5)，反比例函数的表达式为x: 6,9).(-4,-1) (2)点C的坐标为 或 111 (3)点P的坐标为 14 m的值为3 【解析】 y=-x+5 【分析】(1)利用直线 解析式可的点C的坐标，将 点Ba9代入y=-x+5 得a的值，再 将点B代入反比例函数解析式可得k的值，从而得解： (2)设直线I于y轴交于点M,由点B的坐标和直线I是AB的垂线先求出点M的坐标，再用待定系数法 厌直我L的武y=x3,C点华标为61+3，根接Sc三)M。一E5,分别代费 第23页/供37页 命学科网命组卷网 点B与点C的横坐标)可得点C的横坐标，从而得解： (3)位似图形的对应点与位似中心三点共线可知点B的对应点也在直线I上，不妨设为点E,则点A的对 应点是点D,直线1与双曲线的解析式联立方程组得到E(4,-),由△PAB∽△PDE得到AB∥DE, 继而得到直线AB与直线DE的解析式中的一次项系数相等，设直线DE的解析式是：y=-X+历，将 E(4,-)代入y=-x+b求得DE的解析式是：y-x-5,再将直线DE与双曲线的解析式联立求得 D(-1,-4) ，再用待定系数法求出AD的解析式是y=9X+5,利用直线AD的解析式与直线1的解析式 联立求得点P的坐标为 4 用两间的兴公式到即2P气2从而求祠 4 m=Ep =3 BP 【小问1详解】 解：令七=0 y=-x+5=5 ,则 0,5) ,点A的坐标为 B(a,4) 将点 代入少=-x+5 ：4=-a+5 解得：a=1 B1,4) k 将点B1,4代入y=x得： 1 解得：k=4 第24页/供37页 6学科网命组卷网 4 ∴.反比例函数的表达式为x; 【小问2详解】 y=-x+5 解：设直线I于y轴交于点M,直线 与x轴得交点为N, 2 令y=-x+5= 解得：x5 WN(5,0) ..OA=ON=5. 又：∠AON=90° ∴.∠OAW=45° 40,B1,4) .AB=V1-0)2+(4-5)}2=2 又：直线I是AB的垂线即∠ABM=90°，∠OAW=45°， .AB=BM=2.AM=4B2+BM2=2 :M(0,3) 第25页/供37页 6学科网命组卷网 设直线的解析式是：少=r+乌 k+b=4 将点M(0,3),点BL,4)代入y=kx+b得：=3 k=1 解得：b=3 一直线的解析式是： y=x+3 设点C的坐标是（么1+3） Sa=4M,一-2×2×-=5，云分别代太点B与点C的标华标 解得：t=-4或6， 当t=-4时，t+3=-1； 当t=6时，t+3=9, 6,9)(-4,-1) 点C的坐标为 或 【小问3详解】 ,位似图形的对应点与位似中心三点共线， ∴点B的对应点也在直线I上，不妨设为点E,则点A的对应点是点D, 4 y= 点E是直线I与双曲线x的另一个交点， 4 y= 将直线1与双曲线的解析式联立得： y=x+3 x=1x=-4 解得：y=4或y=-1 第26页/供37页 6学科网列组卷网 :E(4,-) 画出图形如下： 又.△PAB△PDE .∠PAB=∠PDE .AB∥DE ∴，直线AB与直线DE的解析式中的一次项系数相等， 设直线DE的解析式是：y=-x+b 将点E(4,-)代入y=-x+b得：-1=-（4)+6 解得： b2=-5 :直线DE的解析式是：归-X-5 4 y= 点D也在双曲线x上， 4 y=- ∴点D是直线DE与双曲线x的另一个交点， 第27页/供37页 6学科网命组卷网 y=4 将直线与双曲线的解析式联立得： DE y=-x-5 x=-1 x=-4 解得：y=-4或y=-1 :D(1,-4) 设直线D的解析式是：y=x+ -k3+b=-4 将点A0,5):D(-1,4)代入y=x+b得：b,=5 [k=9 解得：b=5 ∴直线1D的解析式是：y=9x+5」 y=9x+5 又将直线4D的解析式与直线I的解析式联立得： y=x+3 X=- 4 解得： 11 y=4 “〔》 n-44- (+(a 第28页/共37页 命学科网 命组卷网 m= B3 BP 【点睛】本题考查直线与坐标轴的交点，求反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质，反比例函数综 合一几何问题，三角形的面积公式，位似的性质等知识，综合性大，利用联立方程组求交点和掌握位似的 性质是解题的关键。 24在平面直角坐标系中，点0是坐标原点，抛物线'=+x(a≠0)经过点43,3)，对称轴为直线 x=2 (1求06 的值； B,C (2)已知点 在抛物线上，点8的横坐标为，点C的横坐标为+1. 【十.过点B作轴的垂线交直线 A 于点D,过点C作x轴的垂线交直线OA于点E. (i)当 0<t<2 时，求△OBD与△ACE 与 面积之和； 3 (ⅱ)在抛物线对称轴右侧，是否存在点B,使得以B,C,D,E为顶点的四边形的面积为2？若存在，请 求出点B的横坐标的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)a=-1,b=4 5 f= (2)(i)2;(2) 2 【解析】 【分析】(1)待定系数法求解析式即可求解： (2)(1)根据题意画出图形，得出B(化-子+4)，C+1,-(++4(+刃，D心，)， 第29页/供37页 6学科网列组卷网 -+3(0<t≤3) 北+4+小可得g0-十+3仁0到 c-00-9e42sm 3 (ⅱ)根据（ⅰ）的结论，分2<t<3和t>3分别求得梯形的面积，根据四边形的面积为2建立方程， 解方程进而即可求解。 【小问1详解】 9a+3b=3 解：依题意， b =2 2a a=-1 解得：b=4, .y=-x2+4x 【小问2详解】 OA y=kx (i)设直线“的解析式为 A3,3) 3=3k 解得：k=1, “直线y=尤， 如图所示，依题意，B,-+4),C+,-(++4(+,D(,),E+1,1+1, 第30页/供37页 6学科网6组卷网 -2-1 012345x :D=-+->) -t+3t(0<t≤3) s-0-40-09到 BDx1+2CE3-1-1)-2 ∴.当0<t<2时，△OBD与△ACE的面积之和为2 2 (iⅱ)当点B在对称右侧时，则t>2, :CE=2-t-2 当2<1<3时， BD=-12+3 5eemc--+3+r-1-2k1H-1 ,t-1= 3 5 I= 解得：2， 第31页供37页 命学科网命组卷网 y个 2 )1 23 4 当>3时，BD=1-3 8esf-3+r-1-2k1r-2-1 .2-21-1=3 2+V14 2-V14 解得： 2(舍去)或‘= 2(舍去) 4 3 B 0123456 5 f= 综上所述，2. 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，面积问题，待定系数法求二次函数解析式，分类讨论，熟练掌握 二次函数的性质是解题的关键。 第32页/共37页 6学科网命组卷网 25.如图，在矩形ABCD中，AD=4,M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连接EM并延长交线段 CD的延长线于点F. (1)如图1，求证：AE=D; (2)如图2，若AB=2,过点M作MG⊥EF交线段BC于点G,判断△GEF的形状，并说明理由： (3)如图3，若4B=2W5 过点M作MG⊥EF交线段BC的延长线于点G. ①直接写出线段AE长度的取值范围： ②判断△GEF的形状，并说明理由. 分 M D M D D E B 图1 图2 GC B 图3 【答案】 (1)如图1， F M B 图1 证明：在矩形ABCD中，∠EAM=∠FDM=90°，∠AMB=∠FMD. .AM-DM, ∴.△AEM≌△DFM. ..AF=DF (2)△GEF是等腰直角三角形. 证明：过点G作GH⊥AD于H,如图2， 第33页/供37页 6学科网6组卷网 B 图2 ,∠A=∠B=∠AHG=90°， ∴，四边形ABGH是矩形， ∴.GH=AB=2. ,MG⊥EF, ∴.∠GME=90 ∴.∠AME+∠GMH=90° ,'∠AME+∠AEM=90°， ∴.∠AEM=∠GMH. ∴.△AEM≌△HMG. ∴.ME=MG. .∠EGM=45o」 由(1)得△AEM≌△DFM, ∴.ME=M .MG⊥EF, ..GE-GF .∠EGF=2∠EGM=90° △GEF是等腰直角三角形. 2W5 (3)①3<AE≤2V3: ②△GEF是等边三角形. 证明：过点G作GH⊥AD交AD延长线于点H,如图4， 第34页/供37页 6学科网组卷网 图4 ,∠A=∠B=∠AHG=90°， .四边形ABGH是矩形， GHI-AB=2V3 MG⊥EF, ∴.∠GME=90°」 .∠ALME+∠GMH=90 .∠AME+∠AEM=-90, ∴.∠AEM=∠GMH. 又，∠A=∠GHM=90, ∴.△AEM∽△HMG. EM AM .MG GH. 在Rt△GME中， MG GH ∴tan∠MEG=EMAM=V3 .∠MEG=60° 由(I)得△AEM≌△DFM ∴.ME=MF .MG⊥EF, ..GE-GF ,△GBF是等边三角形. 【解析】 第35页/供37页 学科网命组卷网 【分析】(1)由条件可以得出AM-DM,∠A=∠ADF=9O°，∠AME-∠DMF,可以证明 △AEM≌△DFM,就可以得出结论. (2)过点G作GH LAD于H,通过条件可以证明△AEM≌△MG,得出ME-MG,进而得出 ∠EGM=45°，再由(1)的结论可以得出∠EGF=90°，从而得出结论， (3)①当点G、C重合时利用三角形相似就可以求出AE的值，从而求出AE的取值范围. EM AM ②过点G作GH⊥AD交AD延长线于点H,证明△AEM△MG,可以得出MGGH,从而求出 tam∠MEG=V3 就可以求出∠MEG=60°，就可以得出结论. 【详解】解：(1)略 (2)略 (3)①当C、G重合时，如图3 B 图3 CG ,四边形ABCD是矩形， .∠A=∠ADC=90, ∴.∠AME+∠AEM=-90°、 .MG EF. ∴.∠EMG=90° ∴.∠AME+∠DMC=90°， .∠AEM=∠DMC. ∴.△AEM∽△DMC AE AM .MD CD, 第36页/供37页 6学科网命组卷网 AE 2 .223, 2V5 ..AE=3 2√5 ·.3<AE2V5, ②略 【点睛】本题是一道相似形的综合题，考查了全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，三角 函数值的运用，等边三角形的判定，等腰直角三角形的判定.在解答时添加辅助线构建全等形和相似形是 关键. 第37页/共37页 2025年山东省济南市高新区中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. “月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，呈榫卯结构，有利于采来拼装建造月球基地．如图，这是“月壤砖”的示意图，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 3. “中原号”等颗卫星搭乘长征二号丁运载火箭于年月日时分发射升空，“中原号”轨道高度为．其中数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（    ） A. B. C. D. 6. 用配方法解方程时，下列配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 商场举行摸奖促销活动，对于“抽到一等奖的概率为0.1”．下列说法正确的是（ ） A. 抽10次奖必有一次抽到一等奖 B. 抽一次不可能抽到一等奖 C. 抽10次也可能没有抽到一等奖 D. 抽了9次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖 8. 某乡镇的4个村庄A、B、C、D恰好位于正方形的4个顶点上，为了解决农民出行难问题，镇政府决定修建连接各村庄的道路系统，使得每两个村庄都有直达的公路，设计人员给出了如下四个设计方案（实线表示连接的道路） 在上述四个方案中最短的道路系统是方案（　　） A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 9. 如图，菱形中，点是中点，连接、，若，，则该菱形的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 关于函数．下列说法正确的是（ ） A. 无论m取何值，函数图像总经过点和 B. 当时，函数图像与x轴总有2个交点 C. 若，则当时，y随x的增大而减小 D. 当时，函数有最小值 二、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11. 若分式有意义，则实数的取值范围是___________． 12. 如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上），击中阴影区域的概率是_______． 13. 如图所示的图形叫弧三角形，又叫莱洛三角形，是机械学家莱洛首先进行研究的．弧三角形是这样画的：先画正三角形，然后分别以点为圆心，长为半径画弧．若正三角形的边长为，则弧三角形的周长为_________． 14. 科技小组为了验证某电路的电压U（V）、电流I（A）、电阻三者之间的关系：，测得数据如下： 100 200 220 400 2.2 1.1 1 0.55 那么，当电阻时，电流________A． 15. 如图，四边形是边长为6的正方形，点E在边上，，过点E作，分别交，于点G，F，M，N分别是，的中点，则的长是_______________． 三、解答题：（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： 17. 求不等式组的非负整数解 18. 已知：如图，在ABCD中，延长线AB至点E，延长CD至点F，使得BE=DF．连接EF，与对角线AC交于点O．求证：OE=OF． 19. 如图1是某种云梯车，如图2是其示意图，当云梯升起时，液压杆与底盘的夹角为．已知液压杆，某一工作时刻，当时．（参考数据：） （1）求此时液压杆顶端B到底盘的距离； （2）求此时的长．（精确到小数点后一位） 20. 如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC． （1）求证：DE是⊙O的切线． （2）已知：BC＝8cm，AD＝3cm，求线段AE的长． 21. 为提高学生的网络认知，筹备“工业互联网”研学活动，请专家作主题报告． 【收集数据】为了解学生的研学意向，在随机抽取的部分学生中下发调查问卷． “工业互联网”主题日学生研学意向调查问卷 请选择您的研学意向，并在其后“□”内打“√”（每名同学必选且只能选择其中一项）． A．数字孪生□B．人工智能□C．应用5G□D．工业机器人□E．区块链□ 【整理数据】所有问卷全部收回且有效，根据调查数据绘制成两幅不完整的统计图． 【分析数据】请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）求本次调查所抽取的学生人数，并直接补全条形统计图； （2）求扇形统计图中领域“E”对应扇形的圆心角的度数； 【做出决策】请合理安排报告，补全活动日程表 （3）学校有600名学生参加本次活动，其中选择聆听B、D的报告学生各有多少？ （4）在确保听取报告的每名学生都有座位的情况下，请你合理安排B，D两场报告，补全此次活动日程表． “工业互联网”主题日活动日程表 地点（座位数）时间 1号多功能厅（200座） 2号多功能厅（100座） E A C ① ② 设备检修暂停使用 22. 春节期间，某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品1件和乙商品1件共需元，购进甲商品件和乙商品件共需元． （1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？ （2）商场决定甲商品以每件元出售，乙商品以每件元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的倍，请你求出获利最大的进货方案． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作AB的垂线l． （1）求点A的坐标及反比例函数的表达式； （2）若点C在直线l上，且的面积为5，求点C的坐标； （3）P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值． 24. 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线经过点，对称轴为直线． （1）求的值； （2）已知点在抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为．过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点． （ⅰ）当时，求与的面积之和； （ⅱ）在抛物线对称轴右侧，是否存在点，使得以为顶点的四边形的面积为？若存在，请求出点的横坐标的值；若不存在，请说明理由． 25. 如图，在矩形ABCD中，AD＝4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F． （1）如图1，求证：AE＝DF； （2）如图2，若AB＝2，过点M作MG⊥EF交线段BC于点G，判断△GEF的形状，并说明理由； （3）如图3，若AB＝，过点M作MG⊥EF交线段BC的延长线于点G． ①直接写出线段AE长度的取值范围； ②判断△GEF的形状，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $