2024-2025学年人教版八年级数学下册微专题系列第19章一次函数 微专题一一次函数中的数学思想

2024-2025学年人教版八年级数学下微专题系列 第19章一次函数 微专题一 一次函数中的数学思想 一次函数作为数学中的重要工具，蕴含了丰富的数学思想。以下是其中最核心的几种思想及其应用示例： 一、数形结合思想 数形结合思想通过将数量关系与图形结合，使抽象问题直观化。 【例1】．如图，根据图中信息解答下列问题： (1)求关于的不等式的解集； (2)当时，求的取值范围． 【跟踪训练1-1】．我们通过学习一次函数知道研究函数的一般路径是：通过生活实例抽象出函数模型，再用描点法画出函数图象，结合函数图象从分布、增减性和最值等方面研究函数的性质，最后和相关知识联系起来解决实际问题．请结合一次函数的学习经验探究函数的图象和性质． … 0 1 2 3 … y … 2.5 1.5 1 2 2.5 … (1)列表并写出表中、的值，其中_____、_____． (2)在下面的直角坐标系中画出该函数的图象： (3)观察（2）中的图象，写出关于该函数的两条结论： 结论1：_____； 结论2：_____． (4)写出方程的解，并说明此方程的解是如何得到的． 【跟踪训练1-2】．如图，经过点的一次函数与正比例函数交于点． (1)求的值； (2)请直接写出不等式组的解集． 【跟踪训练1-3】．（1）在如图所示的平面直角坐标系中，用图象法求二元一次方程组，的解； （2）求（1）中图象与x轴所围成的三角形的面积．    二、转化思想 转化思想通过将复杂问题转化为简单问题，利用函数性质解决实际问题 代数与几何转化  【例2】．如图，直线：与直线：相交于点． (1)求的值； (2)写出方程组的解； (3)写出时，的取值范围． 【跟踪训练2-1】．已知函数的图象，利用图象回答下列问题： (1)直接写出方程的解； (2)直接写出不等式的解集； (3)若，直接写出的取值范围． 【跟踪训练2-2】．如图，一次函数的图象与轴分别交于两点，与正比例函数交于点． (1)关于的方程的解是________； (2)关于的二元一次方程组的解为_______，关于的不等式的解集为_______； (3)关于的不等式的解集为_______，不等式的解集为_______． 【跟踪训练2-3】．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴、轴分别交于两点． (1)若点的坐标分别为．直接写出下列各小题答案． 方程的解是______． 方程组的解是______． 不等式的解集是______． 不等式的解集是______． (2)若点的坐标分别为，直线的表达式为，求的面积； (3)在（）的基础上，点是轴上的一点，且使得是等腰三角形，直接写出所有符合条件条件的点的坐标． 三、分类讨论思想 分类讨论思想通过将问题分为不同类别，确保结果的完整性和准确性。 【例3】．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B，点P为坐标平面内一点． (1)将直线向下平移5个单位，所得直线的解析式是 　； (2)直接写出与直线关于x轴对称的直线的解析式； (3)若点P在x轴上，且，求点P的坐标； 【跟踪训练3-1】．一次函数（k为常数，且）． (1)若点在一次函数的图象上， ①求k的值； ②设，则当时，求P的最大值． (2)若当时，函数有最大值M，最小值N，且，求此时一次函数y的表达式． 【跟踪训练3-2】．如图，在平面直角坐标系中，，点点． (1)点的坐标为_____； (2)点是线段上一动点．若是等腰三角形，请求出所有符合要求的点的坐标； (3)已知直线正好将分成面积相等的两部分．请确定和的关系式． 【跟踪训练3-3】．如图，直角坐标系中，一次函数的图象分别与，轴交于，两点，正比例函数的图象与交于点． (1)求的值及的解析式； (2)求的值； (3)若点为直线上不与点、重合的一个动点．当的面积是5时，求点的坐标； 4、 函数思想 （1）实际应用建模 ：（2）几何与代数结合 ： 【例4】．春节期间，某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品1件和乙商品1件共需元，购进甲商品件和乙商品件共需元． (1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)商场决定甲商品以每件元出售，乙商品以每件元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的倍，请你求出获利最大的进货方案． 【跟踪训练4-1】．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，已知3辆A型汽车和4辆B型汽车的进价共计120万元；4辆A型汽车和3辆B型汽车的进价共计132万元． (1)求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用96万元购进以上两种型号的新能源汽车若干辆（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； (3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利4000元，销售1辆B型汽车可获利3000元，在（2）的购买方案中，当这些新能源汽车全部售出时，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【跟踪训练4-2】．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点与y轴交于点C，过点C的直线与x轴正半轴交于点B，的面积是面积的3倍． (1)求点B的坐标； (2)线段上有点P，当直线把分成面积相等的两部分时，直接写出直线的解析式； (3)在射线和射线上分别取点E和点F，且，将沿直线翻折得到，点O的对应点为点，若点到直线和直线的距离相等，直接写出点的坐标． 【跟踪训练4-3】．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线交轴于点． (1)求出的值； (2)求直线的解析式； (3)若点在轴上，当的面积为时，求点的坐标． 五、方程思想 方程思想通过列方程（组）求解未知数，验证函数关系 （1）待定系数法 ：（2）应用题建模  【例5】．某乐队举行专场音乐会，为学校师生提供了两种优惠方案，教师票每张100元，学生票每张50元．方案一：购买一张教师票赠送1张学生票；方案二：按总价的付款．新星学校有4名教师与名学生购票听音乐会，若付款总金额为（元）． (1)分别写出两种方案中与的函数关系式； (2)至少有多少名学生参加时，选择方案二的购票方案比方案一便宜？ 【跟踪训练5-1】．东风商场文具部的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元，该商场为促销制定了两种优惠方案，甲方案：买一支毛笔就赠送一本书法练习本；乙方案：按购买金额打九折付款．某校欲为校书法小组购买这种毛笔10支，书法练习本本． (1)分别写出两种优惠方法实际付款金额（元），（元）与（本）之间的函数关系式； (2)比较购买同样多的书法练习本时，按哪种优惠办法付款更省钱？ 【跟踪训练5-2】．一次函数的图象经过点和两点． (1)求该一次函数的表达式； (2)求出该函数图象与x轴的交点坐标． 【跟踪训练5-3】．如图，在平面直角坐标系中，直线过点，且与x轴交于点A． (1)求的函数表达式； (2)将向下平移个单位长度得到直线，若平移后的直线经过点A关于y轴的对称点，求n的值． 六、对称思想 对称思想在特定函数中体现，但一次函数通常通过平移、伸缩等变换实现对称性。 总结 ：一次函数的学习需注重这些数学思想的培养，通过数形结合、转化、分类讨论等方法，将抽象问题具体化，提高解题效率。同时，结合函数思想与方程思想，可以更全面地解决实际应用问题1。 【例6】．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B，点P为坐标平面内一点． (1)将直线向下平移5个单位，所得直线的解析式是 　； (2)直接写出与直线关于x轴对称的直线的解析式； (3)若点P在x轴上，且，求点P的坐标； 【跟踪训练6-1】．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点，求这个一次函数的表达式． 【跟踪训练6-2】．我们学习过光的反射定律：反射光线和入射光线、法线在同一平面上，反射光线和入射光线分居法 线两侧，反射角等于入射角．在平面直角坐标系中，放置一平面镜（点H在y轴上），从点处发射的光线照射到平面镜上的点处时，反射光线经过点，如图所示． (1)求光线所在直线的表达式． (2)若从点处发射的光线，经过平面镜反射后恰好经过点，求此时在平面镜上入射点的坐标． 【跟踪训练6-3】．已知直线的解析式为． (1)将直线向右平移1个单位长度后得到的直线的函数解析式为_______； (2)将（1）中的直线向上平移2个单位长度后得到的直线的函数解析式为_______； (3)直线关于轴对称的直线的函数解析式为_______． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版八年级数学下微专题系列 第19章一次函数 微专题一 一次函数中的数学思想（解析版） 一次函数作为数学中的重要工具，蕴含了丰富的数学思想。以下是其中最核心的几种思想及其应用示例： 一、数形结合思想 数形结合思想通过将数量关系与图形结合，使抽象问题直观化。 【例1】．如图，根据图中信息解答下列问题： (1)求关于的不等式的解集； (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，两直线交点问题等知识，数形结合是解题的关键． （1）根据图象和y轴的交点坐标进行解答即即可； （2）一次函数的图象知，两条直线的交点坐标是，据此进行解答即可． 【详解】（1）解：∵直线与y轴的交点是， ∴当时，， 即不等式的解集是； （2）解：由一次函数的图象知，两条直线的交点坐标是，当函数的图象在的下面时，有． ∴当时， 【跟踪训练1-1】．我们通过学习一次函数知道研究函数的一般路径是：通过生活实例抽象出函数模型，再用描点法画出函数图象，结合函数图象从分布、增减性和最值等方面研究函数的性质，最后和相关知识联系起来解决实际问题．请结合一次函数的学习经验探究函数的图象和性质． … 0 1 2 3 … y … 2.5 1.5 1 2 2.5 … (1)列表并写出表中、的值，其中_____、_____． (2)在下面的直角坐标系中画出该函数的图象： (3)观察（2）中的图象，写出关于该函数的两条结论： 结论1：_____； 结论2：_____． (4)写出方程的解，并说明此方程的解是如何得到的． 【答案】(1)2、 (2)图见解析 (3)图象是轴对称图形；当时，随的增大而增大 (4)，过程见解析 【分析】本题主要考查了函数的图象与性质． （1）利用求函数值的方法解答即可； （2）利用描点法画函数图象即可； （3）根据图象写出两条结论即可； （4）根据和的图象交点即可求出答案． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 故答案为：， （2）如图，即为所求， （3）由图象可知，图象是轴对称图形；当时，随的增大而增大， 故答案为：图象是轴对称图形；当时，随的增大而增大 （4）如图，根据和的图象交点为，得到方程的解为， 【跟踪训练1-2】．如图，经过点的一次函数与正比例函数交于点． (1)求的值； (2)请直接写出不等式组的解集． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数与一元一次不等式的问题，解题的关键是能够确定有关待定系数的值，难度不大． （1）将点和点P的坐标代入一次函数的解析式求得m、b的值，然后将点P的坐标代入正比例函数解析式即可求得a的值即可； （2）直接根据函数的图象结合点P的坐标确定不等式的解集即可． 【详解】（1）解：∵正比例函数与过点的一次函数交于点， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴； （2）解：根据函数的图象，可得不等式的解集为：． 【跟踪训练1-3】．（1）在如图所示的平面直角坐标系中，用图象法求二元一次方程组，的解； （2）求（1）中图象与x轴所围成的三角形的面积．    【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），三角形面积公式，掌握相关知识是解题的关键． （1）作出函数和函数的图象，由二元一次方程组，的解即函数和函数的图象的交点的横、纵坐标即可求解； （2）分别由图象得出两函数与轴的交点坐标，代入三角形面积公式即可． 【详解】解：（1）在平面直角坐标系中作出函数和函数的图象：    ∵二元一次方程组，的解即函数和函数的图象的交点的横、纵坐标， ∵由图象知：函数和函数的图象的交点坐标为， ∴二元一次方程组的解为； （2）由图象知：函数与轴的交点坐标为， 当时，即， ∴， ∴函数的图象与轴的交点坐标， ∴（1）中图象与轴所围成的三角形的面积为：． 二、转化思想 转化思想通过将复杂问题转化为简单问题，利用函数性质解决实际问题 代数与几何转化  【例2】．如图，直线：与直线：相交于点． (1)求的值； (2)写出方程组的解； (3)写出时，的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题主要考查了求一次函数图象上的点的坐标，一次函数与二元一次方程组，数形结合思想，转化思想，对于（1），将点代入可得答案； 对于（2），方程问题转化为函数图像与x轴交点，根据两条直线的交点即为对应方程组的解解答； 对于（3），观察图象，从交点向右，且在x轴上方，即符合题意． 【详解】（1）∵点在直线上， ∴， 解得； （2）观察图象可知， 方程组的解是； （3）当时，． 【跟踪训练2-1】．已知函数的图象，利用图象回答下列问题： (1)直接写出方程的解； (2)直接写出不等式的解集； (3)若，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，一次函数图象解不等式， （1）根据图示，时，，结合图象可求解； （2）根据图示，当时，图象在轴上方，由此即可求解； （3）根据图示，结合（2）的结果，当时，满足条件，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，当时，， ∴的解为； （2）解：根据图示，当时，图象在轴上方，即， ∴不等式的解集为； （3）解：由（2）可得，当时，，当时，， ∴时，． 【跟踪训练2-2】．如图，一次函数的图象与轴分别交于两点，与正比例函数交于点． (1)关于的方程的解是________； (2)关于的二元一次方程组的解为_______，关于的不等式的解集为_______； (3)关于的不等式的解集为_______，不等式的解集为_______． 【答案】(1) (2)； (3)； 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数与二元一次方程组，结合图象，利用数形结合思想解决问题是解题的关键． （1）根据一次函数与x轴的交点坐标求出方程的解即可； （2）根据两条直线的交点坐标求出方程组的解即可；根据图象求出不等式的解集即可； （3）根据一次函数与x轴，y轴的交点坐标求出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象与x轴交于点， 方程的解是； （2）解：两直线的交点坐标为， 关于x，y的方程组的解是； 根据函数图象可知：当时，一次函数的图象的图象在一次函数的上面， ∴于的不等式的解集为； （3）解：根据函数图象可知：当时，一次函数的图象在x轴的上面， ∴关于的不等式的解集为； 根据函数图象可知：当时，一次函数的函数值小于4， ∴不等式的解集为． 【跟踪训练2-3】．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴、轴分别交于两点． (1)若点的坐标分别为．直接写出下列各小题答案． 方程的解是______． 方程组的解是______． 不等式的解集是______． 不等式的解集是______． (2)若点的坐标分别为，直线的表达式为，求的面积； (3)在（）的基础上，点是轴上的一点，且使得是等腰三角形，直接写出所有符合条件条件的点的坐标． 【答案】(1)；；；； (2)； (3)或或或． 【分析】（）根据交点坐标及函数图象即可求解； （）利用待定系数法求出的解析式，再联立函数解析式求出点坐标，最后根据三角形面积公式计算即可求解； （）设点的坐标为，可得，分点分别为顶点三情况解答即可求解； 本题考查了一次函数与一元一次方程和不等式，一次函数的交点问题，勾股定理，等腰三角形的定义，坐标与图形，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵直线与轴的交点为， ∴方程的解为， 故答案为：； ∵直线与直线的交点为， ∴方程组的解为， 故答案为：； 由图象可得，当时，， ∴不等式的解集是， 故答案为：； 由函数图象可得，当时，， ∴不等式的解集是， 故答案为：； （2）解：把代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 由得，， ∴， ∴； （3）解：设点的坐标为 ∵， ∴， 当点为顶点时，， ∴， ∴或， ∴点的坐标为或； 当点为顶点时，， ∴点的坐标为； 当点为顶点时，则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或或或． 三、分类讨论思想 分类讨论思想通过将问题分为不同类别，确保结果的完整性和准确性。 【例3】．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B，点P为坐标平面内一点． (1)将直线向下平移5个单位，所得直线的解析式是 　； (2)直接写出与直线关于x轴对称的直线的解析式； (3)若点P在x轴上，且，求点P的坐标； 【答案】(1) (2)yx﹣4 (3)或 【分析】本题考查次一函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，菱形的判定及性质，轴对称的性质是解题的关键． （1）由图形平移的性质求解即可； （2）求出A、B点坐标，然后求出A、B关于x轴的对称点坐标，由待定系数法求函数解析式即可； （3）由题意可知是等腰直角三角形，则，由此可求P点坐标． 【详解】（1）解：直线向下平移5个单位，得到， 即， 故答案为：； （2）解∶令，则， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∴B点关于x轴的对称点， 设直线：关于x轴对称的直线解析式为， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵点P在x轴上，，， ∴ ∴点P在直线的两侧，， ∴或． 【跟踪训练3-1】．一次函数（k为常数，且）． (1)若点在一次函数的图象上， ①求k的值； ②设，则当时，求P的最大值． (2)若当时，函数有最大值M，最小值N，且，求此时一次函数y的表达式． 【答案】(1)①；②P的最大值为5； (2)一次函数解析式为或． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征． （1）①把已知点的坐标代入中即可得到k的值； ②用x表示P得到，根据一次函数的性质，时，P的值最大，然后计算自变量为5所对应的函数值即可； （2）当时，，，则，当时，，，则，然后分别解方程求出k，从而得到对应的一次函数解析式． 【详解】（1）解：①把代入得， 解得； ②当时，， ∴， ∵y随x的增大而增大， ∴当时，时，P的值最大， 当时，， 即P的最大值为5； （2）解：当时，，， ∵， ∴， 解得， 此时一次函数解析式为； 当时，，， ∵， ∴， 解得， 此时一次函数解析式为； 综上所述，一次函数解析式为或． 【跟踪训练3-2】．如图，在平面直角坐标系中，，点点． (1)点的坐标为_____； (2)点是线段上一动点．若是等腰三角形，请求出所有符合要求的点的坐标； (3)已知直线正好将分成面积相等的两部分．请确定和的关系式． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据题意求出，根据平行四边形的性质得到，于是得到点B的坐标； （2）设，根据当，当，和三种情况分类讨论即可； （3）连接交于，根据平行四边形的性质得到，求得，即可得到结论． 【详解】（1）解：点A坐标是，点O坐标是， ， 平行四边形是平行四边形， ， ， ； （2）解：点是线段上一个动点， 设， 是等腰三角形， ①当时， ， ； ②当时，则点在的垂直平分线上， ； ③时， ， （不符合题意，舍去）， 综上所述，或； （3）解：如图：连接交于， 平行四边形， 点A坐标是，点坐标是， ， 由于正好将平行四边形分成面积相等的两部分， 直线过， ， ， 故． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． 【跟踪训练3-3】．如图，直角坐标系中，一次函数的图象分别与，轴交于，两点，正比例函数的图象与交于点． (1)求的值及的解析式； (2)求的值； (3)若点为直线上不与点、重合的一个动点．当的面积是5时，求点的坐标； 【答案】(1)，； (2)15 (3)点的坐标为或． 【分析】本题考查了一次函数与几何综合、正比例函数，熟练掌握一次函数和正比例函数的图象与性质是解题关键． （1）将代入直线的解析式即可得的值；再利用待定系数法即可得直线的解析式； （2）先求出点的坐标，从而可得的长，再利用三角形的面积公式求解即可得； （3）设，根据题意得，据此求解即可得． 【详解】（1）解：将点代入一次函数得：， 解得； ∴， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则直线的解析式为； （2）解：对于一次函数， 当时，，解得， 即，， 当时，，即，， 由（1）知：， ∴； （3）解：设， 由题意得， 解得或， 或， ∴点的坐标为或． 4、 函数思想 （1）实际应用建模 ：（2）几何与代数结合 ： 【例4】．春节期间，某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品1件和乙商品1件共需元，购进甲商品件和乙商品件共需元． (1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)商场决定甲商品以每件元出售，乙商品以每件元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的倍，请你求出获利最大的进货方案． 【答案】(1)甲、乙两种商品每件的进价分别是元、元 (2)获利最大的进货方案是购买甲种商品件，乙种商品件 【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． （1）根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题； （2）根据题意可以得到利润与甲种商品的关系，由甲种商品的数量不少于乙种商品数量的倍，可以得到甲种商品的取值范围，从而可以求得获利最大的进货方案，以及最大利润． 【详解】（1）解：设甲、乙两种商品每件的进价分别是元， ， 解得， 即甲、乙两种商品每件的进价分别是元、元； （2）解：设购买甲种商品件，获利为元， ， ， 解得， ∴当时，取得最大值， 即获利最大的进货方案是购买甲种商品件，乙种商品件． 【跟踪训练4-1】．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，已知3辆A型汽车和4辆B型汽车的进价共计120万元；4辆A型汽车和3辆B型汽车的进价共计132万元． (1)求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用96万元购进以上两种型号的新能源汽车若干辆（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； (3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利4000元，销售1辆B型汽车可获利3000元，在（2）的购买方案中，当这些新能源汽车全部售出时，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)A，B两种型号的汽车每辆进价分别为24万元，12万元； (2)共3种购买方案：分别为购进A型车1辆，B型车6辆或购进A型车2辆，B型车4辆或购进A型车3辆，B型车2辆； (3)购进A型车1辆，B型车6辆获利最大，最大利润是22000元． 【分析】（1）设A型汽车每辆进价为x万元，B型汽车每辆进价为y万元，根据“辆A型汽车和3辆B型汽车的进价共计120万元；3辆A型汽车和4辆B型汽车的进价共计132万元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，解方程即可得到结论； （3）设在（）的条件下，这些新能源汽车全部售出时，获得利润为w元，根据总利润两种汽车利润之和列出函数解析式，再由函数的性质求最值． 【详解】（1）解：设A，B两种型号的汽车每辆进价分别为x万元，y万元， 根据题意得：， 解得， 答：A，B两种型号的汽车每辆进价分别为24万元，12万元； （2）解：设购进A型汽车m辆，B型汽车n辆，则， ， ，n均为正整数， 或或， 共3种购买方案：分别为购进A型车1辆，B型车6辆或购进A型车2辆，B型车4辆或购进A型车3辆，B型车2辆； （3）解：设在（）的条件下，这些新能源汽车全部售出时，获得利润为w元， 根据题意得：， ， 随m的增大而减小， 当时，w最大，最大值为22000， 此时， 购进A型车1辆，B型车6辆获利最大，最大利润是22000元． 【点睛】本题考查了一次函数、二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组，二元一次方程，一次函数解析式． 【跟踪训练4-2】．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点与y轴交于点C，过点C的直线与x轴正半轴交于点B，的面积是面积的3倍． (1)求点B的坐标； (2)线段上有点P，当直线把分成面积相等的两部分时，直接写出直线的解析式； (3)在射线和射线上分别取点E和点F，且，将沿直线翻折得到，点O的对应点为点，若点到直线和直线的距离相等，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一次函数的综合应用，涉及三角形面积，待定系数法求一次函数解析式，含角的直角三角形三边关系勾股定理等知识，解题的关键是根据已知得出含特殊角的直角三角形． （1）根据的面积是面积的3倍，，可得，可得点B的坐标； （2）根据直线把分成面积相等的两部分，则可得点为的中点，再用待定系数法即得直线的解析式； （3）由，，可得，过作于K，点到直线和直线的距离相等，知在的平分线上，即，设与交于F，则，根据，可证，O关于的对称点正好在上，若，则O关于对称点即为，在中，，，可得是的中位线，即可求解． 【详解】（1）解：∵的面积是面积的3倍， ∴， ∵， ∴， ∴点B的坐标； （2）解：如图： 将代入得：， ∴， ∴， 令得， ∴， ∵直线把分成面积相等的两部分， 点为的中点， 则， ∴， 设直线的解析式为， 将代入得： ， 解得， ∴直线的解析式为； （3）解：如图，在上作, ∵，， ∴，， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ∴ ∴， 如图，过作于K， ∵点到直线和直线的距离相等， ∴在的平分线上，即， 设与交于F，则， ∵， ∴， ∴， ∴此时O关于的对称点正好在上， 若，则O关于对称点即为， 在中，，， ∵O关于对称点为， ∴， ∴， ∵， ∴是的中位线，， ∴， ∴． 【跟踪训练4-3】．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线交轴于点． (1)求出的值； (2)求直线的解析式； (3)若点在轴上，当的面积为时，求点的坐标． 【答案】(1) ； (2) ； (3)或． 【分析】本题主要考查了一次函数与几何的综合、用待定系数法求一次函数解析式． 把点的坐标代入直线的解析式，可得关于的一元一次方程，解方程求出的值即可； 把点、的坐标代入，可得关于、的方程组，解方程组求出、的值，即可得到直线的解析式； 根据三角形的面积公式可得：，当时，可得，解方程求出的值即为点的横坐标，从而可得，解方程求出的值即可． 【详解】（1）解：把点的坐标代入直线的解析式， 可得：， ； （2）解：由可知点的坐标为， 把点和点的坐标代入直线， 可得：， 解得：， 直线的解析式为； （3）解：如下图所示，过点作轴， 则的面积为， 解得：， 当时，可得， 解得：， 点的坐标为， 设点的坐标为， 则有， ， 解得：或， 点的坐标为或． 五、方程思想 方程思想通过列方程（组）求解未知数，验证函数关系 （1）待定系数法 ：（2）应用题建模  【例5】．某乐队举行专场音乐会，为学校师生提供了两种优惠方案，教师票每张100元，学生票每张50元．方案一：购买一张教师票赠送1张学生票；方案二：按总价的付款．新星学校有4名教师与名学生购票听音乐会，若付款总金额为（元）． (1)分别写出两种方案中与的函数关系式； (2)至少有多少名学生参加时，选择方案二的购票方案比方案一便宜？ 【答案】(1)方案一中与的函数关系式为，方案二中与的函数关系式为 (2)至少有13名学生参加时，选择方案二的购票方案比方案一便宜 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式的应用，正确理解两种优惠方案是解题关键． （1）方案一：根据付款总金额4名教师的费用名学生的费用即可得；方案二：根据付款总金额（4名教师的费用名学生的费用）即可得； （2）结合（1）的答案，根据选择方案二的购票方案比方案一便宜建立一元一次不等式，解不等式求出的最小正整数解即可得． 【详解】（1）解：由题意得：方案一：， 方案二：， 答：方案一中与的函数关系式为，方案二中与的函数关系式为． （2）解：由题意得：， 解得， ∵为正整数， ∴的最小值为13， 答：至少有13名学生参加时，选择方案二的购票方案比方案一便宜． 【跟踪训练5-1】．东风商场文具部的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元，该商场为促销制定了两种优惠方案，甲方案：买一支毛笔就赠送一本书法练习本；乙方案：按购买金额打九折付款．某校欲为校书法小组购买这种毛笔10支，书法练习本本． (1)分别写出两种优惠方法实际付款金额（元），（元）与（本）之间的函数关系式； (2)比较购买同样多的书法练习本时，按哪种优惠办法付款更省钱？ 【答案】(1)； (2)买书法练习本50本时，乙种优惠方法省钱；买书法练习本50本时，甲、乙两种优惠方法付款相同；买书法练习本大于10本小于50本时，甲种优惠方法省钱 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，解一元一次不等式，解决本题的关键是读懂题意，列出符合题意的函数关系式．解决方案类问题，会用分类讨论的思想是解题的关键． （1）根据（元）毛笔总价钱本练习本总价钱和（元）（毛笔总价钱练习本总价钱），列式即可； （2）比较（1）中的关系式即可，要注意分情况讨论． 【详解】（1）解：当时， ； ； （2）解：①当时，． 即买书法练习本50本时，乙种优惠方法省钱； ②当时，． 即买书法练习本50本时，甲、乙两种优惠方法付款相同； ③当时，． 即买书法练习本大于10本小于50本时，甲种优惠方法省钱． 【跟踪训练5-2】．一次函数的图象经过点和两点． (1)求该一次函数的表达式； (2)求出该函数图象与x轴的交点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数解析式，直线与坐标轴的交点．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，直线与坐标轴的交点是解题的关键． （1）待定系数法求解即可； （2）分别令，计算求出对应的的值，然后作答即可． 【详解】（1）解：设一次函数解析式为， 将和代入得， 解得， 一次函数解析式为． （2）解：令，可得，解得， 一次函数与轴的交点坐标为． 【跟踪训练5-3】．如图，在平面直角坐标系中，直线过点，且与x轴交于点A． (1)求的函数表达式； (2)将向下平移个单位长度得到直线，若平移后的直线经过点A关于y轴的对称点，求n的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数的图象与性质、坐标与图形变化——轴对称，掌握相关知识点是解题的关键． （1）代入点到，利用待定系数法即可求解； （2）先求出点A的坐标，得出点A关于y轴的对称点的坐标，再根据一次函数的平移，设出的函数表达式，再代入对称点的坐标即可求出n的值． 【详解】（1）解：代入点，得， 解得：， 的函数表达式为． （2）解：令，则， 解得：， ， 点A关于y轴的对称点为， 将向下平移个单位长度得到直线， 设的函数表达式为， 代入得，， 解得：， n的值为2． 六、对称思想 对称思想在特定函数中体现，但一次函数通常通过平移、伸缩等变换实现对称性。 总结 ：一次函数的学习需注重这些数学思想的培养，通过数形结合、转化、分类讨论等方法，将抽象问题具体化，提高解题效率。同时，结合函数思想与方程思想，可以更全面地解决实际应用问题1。 【例6】．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B，点P为坐标平面内一点． (1)将直线向下平移5个单位，所得直线的解析式是 　； (2)直接写出与直线关于x轴对称的直线的解析式； (3)若点P在x轴上，且，求点P的坐标； 【答案】(1) (2)yx﹣4 (3)或 【分析】本题考查次一函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，菱形的判定及性质，轴对称的性质是解题的关键． （1）由图形平移的性质求解即可； （2）求出A、B点坐标，然后求出A、B关于x轴的对称点坐标，由待定系数法求函数解析式即可； （3）由题意可知是等腰直角三角形，则，由此可求P点坐标． 【详解】（1）解：直线向下平移5个单位，得到， 即， 故答案为：； （2）解∶令，则， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∴B点关于x轴的对称点， 设直线：关于x轴对称的直线解析式为， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵点P在x轴上，，， ∴ ∴点P在直线的两侧，， ∴或． 【跟踪训练6-1】．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点，求这个一次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象与几何变换，关键是正确得出函数解析式的系数．根据函数的图象与直线平行，且经过点，即可得出k和b的值，即得出了函数解析式． 【详解】解：因为一次函数的图象由函数的图象平移得到， 所以， 因为函数图象经过点， 所以， 解得， 所以一次函数的表达式为． 【跟踪训练6-2】．我们学习过光的反射定律：反射光线和入射光线、法线在同一平面上，反射光线和入射光线分居法 线两侧，反射角等于入射角．在平面直角坐标系中，放置一平面镜（点H在y轴上），从点处发射的光线照射到平面镜上的点处时，反射光线经过点，如图所示． (1)求光线所在直线的表达式． (2)若从点处发射的光线，经过平面镜反射后恰好经过点，求此时在平面镜上入射点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，对称的性质； （1）设光线所在直线的表达式为，把、代入解析式列方程求解即可； （2）设光线所在直线的表达式为，则，法线为直线，则关于的对称点在直线上，把、代入解析式列方程求解即可． 【详解】（1）解：设光线所在直线的表达式为， ∵光线经过点、， ∴， 解得， ∴光线所在直线的表达式为； （2）解：设光线所在直线的表达式为，则，法线为直线， ∴关于的对称点在直线上 ∴光线经过点、， ∴， 解得， ∴光线所在直线的表达式为， ∴此时在平面镜上入射点． 【跟踪训练6-3】．已知直线的解析式为． (1)将直线向右平移1个单位长度后得到的直线的函数解析式为_______； (2)将（1）中的直线向上平移2个单位长度后得到的直线的函数解析式为_______； (3)直线关于轴对称的直线的函数解析式为_______． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】求一次函数解析式的方法为待定系数法。 【拓展】两直线平行或垂直时，两直线对应解析式的系数关系： 位置关系 两直线平行 两直线垂直 图示 系数关系 且 （1）；（2）；（3）． 学科网（北京）股份有限公司 $$