4.3.2 第1课时 直线与平面平行 课件-2024-2025学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

第4章 立体几何初步 4.3 直线与直线、直线 与平面的位置关系 4.3.2 第1课时 直线与平面平行 1.了解直线与平面之间的位置关系,并能判断这些位置关系.(直观想象) 2.通过直观感知、操作确认,归纳出空间中线面平行的相关定理和性质.(数学抽象) 3.掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理,能利用以上定理解决空间中的相关平行性问题.(逻辑推理) 学习目标 如图是一扇打开的门,门在转动的过程中,门的竖直边缘所在的直线与墙面的位置关系是怎样的?由此思考:怎样才能证明直线与平面平行呢? 新课导入 6 知识点一:空间直线与平面的位置关系 新课导入 7 问题：(1)观察如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1,线段A1B所在的直线与长方体的六个面所在平面有几种位置关系? (2)直线a与平面α满足a∩α≠⌀,则直线a与平面α的位置关系包括哪些情况? 提示: (1)直线A1B在平面ABB1A1内,与平面CDD1C1平行,与其余四个面相交. (2)直线在平面内、直线与平面相交. 新课导入 8 知识点二:直线与平面平行的判定定理 文字语言 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行 图形语言 符号语言 若 a⊄ α,b⊂α,a∥b,则a∥α 作用 证明直线与平面平行 新课导入 9 思考： (1)直线在平面外,是否说明直线与平面一定平行? (2)如果直线a与平面α内的一条直线b平行,直线a与平面α一定平行吗? 提示: (1)不一定,也可能直线与平面相交. (2)不一定,直线a可能在平面α内. 新课导入 11 知识点三:直线与平面平行的性质定理 文字语言 一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行 图形语言 符号语言 若a∥α,a⊂β, α∩β=b ,则a∥b 作用 证明两条直线平行 新课导入 12 要点笔记 1.线面平行的性质定理包含三个条件:(1)a∥α;(2)a⊂β;(3)α∩β=b.这三个条件缺一不可. 2.当a∥α时,过a的任何平面与α的交线都与a平行,即a可以和α内的无数条直线平行,但不是任意的. 新课导入 13 思考： (1)如果直线和平面平行,那么这条直线与这个平面内的直线的位置关系是怎样的? (2)若直线a与平面α平行,则在平面α内与直线a平行的直线有多少条?这些直线的位置关系如何? 提示: (1)平行或者异面. (2)在平面α内与直线a平行的直线有无数条,这些直线互相平行. 新课导入 14 例1 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点N在BD上,点M在B1C上,且CM=DN. 求证:MN∥平面AA1B1B. 分析：(方法1)作ME∥BC,交BB1于点E,作NF∥AD,交AB于点F,连接EF,转化为证明MN∥EF. (方法2)连接CN并延长交BA所在直线于点P,连接B1P,转化为证明MN∥B1P. 探究一 直线与平面平行的判定 课题探究 16 证明： (方法1)如图①,作ME∥BC,交BB1于点E,作NF∥AD,交AB于点F,连接EF, 则EF⊂平面AA1B1B, ∴ME=NF.又ME∥BC∥AD∥NF, ∴四边形MEFN为平行四边形.∴MN∥EF. ∵MN⊄平面AA1B1B,EF⊂平面AA1B1B, ∴MN∥平面AA1B1B. ① 课题探究 17 (方法2)如图②,连接CN并延长交BA所在直线于点P, 连接B1P,则B1P⊂平面AA1B1B. ∵△NDC∽△NBP, ∵MN⊄平面AA1B1B,B1P⊂平面AA1B1B, ∴MN∥平面AA1B1B. ② 课题探究 18 反思感悟 证明线面平行的思路及步骤 证明直线与平面平行,可以用定义,也可以用判定定理,但说明直线与平面没有公共点 不是很容易(当然也可用反证法),所以更多的是用判定定理,用判定定理证明直线与平面平行的步骤如下: 课题探究 19 例2 如图,已知AB与CD是异面直线,且AB∥平面α,CD∥平面α,AC∩α=E,AD∩α=F, BD∩α=G,BC∩α=H. 求证:四边形EFGH是平行四边形. 分析：要证四边形EFGH是平行四边形,首先要证明四边形的对边平行,由于已知 条件中含AB∥平面α,CD∥平面α,且过AB,CD的平面均与平面α相交,因此首先考虑使用直线与平面平行的性质证明直线与直线平行. 探究二 直线与平面平行性质定理的应用 课题探究 22 证明： 因为AB∥平面α,AB⊂平面ABC, 平面ABC∩平面α=EH, 所以AB∥EH, 因为AB∥平面α,AB⊂平面ABD, 平面ABD∩平面α=FG, 所以AB∥FG, 所以EH∥FG, 同理由CD∥平面α, 可证EF∥GH, 所以四边形EFGH是平行四边形. 课题探究 23 反思感悟 1.利用线面平行的性质定理解题的步骤 2.运用线面平行的性质定理时,应先确定线面平行,再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线,然后确定线线平行. 课题探究 24 延伸探究 (1)本例中添加条件异面直线AB与CD垂直,其他条件不变, 判断四边形EFGH的形状. (2)本例中若添加条件AB=CD,能否得出四边形EFGH为菱形?说明理由. 课题探究 25 解： (1)由例2知AB∥EH,CD∥EF, 又因为AB⊥CD,所以EH⊥EF. 又因为四边形EFGH是平行四边形, 所以四边形EFGH是矩形. (2)不能.理由如下:由例2知AB∥EH, 则 又因为CD∥EF，所以 因为AB=CD,所以要得到EH=EF,需CE=AE. 由题意知CE=AE不一定成立,所以由AB=CD不能得出四边形EFGH为菱形. 课题探究 26 例3 已知正三棱柱ABC-A'B'C'中,D是AA'上的点,E是B'C'的中点,且A'E∥平面DBC'. 试判断点D在AA'上的位置,并给出证明. 探究三 直线与平面平行性质定理在探索性问题中的应用 课题探究 27 解： D为AA'的中点. 证明如下:取BC的中点F,连接AF,EF, 设EF与BC'交于点O, 连接DO,易证A'E∥AF. 所以点A',E,F,A共面于平面A'EFA. 因为A'E∥平面DBC',A'E⊂平面A'EFA, 且平面DBC'∩平面A'EFA=DO, 所以A'E∥DO. 在平行四边形A'EFA中, 因为O是EF的中点(因为EC'∥BF,且EC'=BF), 所以D为AA'的中点. 课题探究 28 反思感悟 解答与平行有关的探索性题目的方法与步骤 (1)有中点这一条件时,一般试探性地以中点为基础作辅助线或面, 然后再证明是否满足条件. (2)关于平行的性质定理是作证明和计算的理论依据. (3)一般步骤:取点、连线、成形→探索论证→计算(作答). 课题探究 29 1.圆台的底面内的任意一条直径与另一个底面的位置关系是(　　) A.平行 B.相交 C.在平面内 D.不确定 答案： A 解析： 圆台底面内的任意一条直径与另一个底面无公共点,则它们平行. 当堂检测 36 2.直线l是平面α外的一条直线,下列条件可能推出l∥α的是(　　) A.l与α内的一条直线不相交 B.l与α内的两条直线不相交 C.l与α内的无数条直线不相交 D.l与α内的任意一条直线不相交 答案： D 解析： 由线面平行的定义知直线l与平面α无公共点,则l与α内的 任意一条直线不相交. 当堂检测 37 3.(多选题)下列结论正确的是(　　) A.直线a∥平面α,直线b⊂α,则a∥b B.若直线a⊂α,直线b⊄α,则a,b无公共点 C.若直线a⊄α,则a∥α或a与α相交 D.若直线a∩α=A,则a⊄α 答案： CD 解析： 结合直线与平面的位置关系可知,A,B错误,C,D正确. 当堂检测 38 4.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,与BC平行的平面是　　　　　　　;与BC1平行的平面是　　　　　　;与平面A1B1C1D1和平面A1B1BA都平行的棱是　　　　　.  答案： 平面A1B1C1D1与平面ADD1A1　平面ADD1A1　DC 解析： 观察题图,根据判定定理可知,与BC平行的平面是平面A1B1C1D1与 平面ADD1A1;与BC1平行的平面是平面ADD1A1;因为与平面A1B1C1D1平行的棱 有AB,CD,与平面A1B1BA平行的棱有CD,C1D1,所以与其都平行的棱是DC. 当堂检测 39 5.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,E,F分别是PB,PC的中点. 证明:EF∥平面PAD. 证明： ∵在△PBC中,E,F分别是PB,PC的中点, ∴EF∥BC. 又BC∥AD, ∴EF∥AD, ∵AD⊂平面PAD, EF⊄平面PAD, ∴EF∥平面PAD. 当堂检测 40 课堂小结 位置关系 图形语言 符号语言 公共点 直线在平面内 a⊂α 直线上所有的点都是公共点 直线和平面相交 a∩α=A 有且只有一个公共点 直线和平面平行 a∥α 没有公共点 且. ∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中,CM=DN,B1C=BD,∴B1M=NB. ∴.又AD=BC, ∴. 又CM=DN,B1C=BD, ∴.∴MN∥B1P. $$