6.3 特殊的平行四边形 同步练 2024-2025学年 青岛版数学八年级下册

1．[2024·泸州期中]下列命题错误的是( ) A．对角线相等的四边形是矩形 B．平行四边形的对角线互相平分 C．矩形的四个内角都是直角 D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 2．[2024·青岛二模]两个矩形的位置如图所示，若∠1＝m°，则∠2的度数 为( ) 第2题图 A．(m－90)° B．(90－m)° C．(m－45)° D．(180－m)° 3．[2024·泸州]已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判定为▱ABCD为矩形的是( ) A．∠A＝90° B．∠B＝∠C C．AC＝BD D．AC⊥BD 4．[2024·青海]如图，在Rt△ABC中，D是AC的中点，∠BDC＝60°，AC＝6，则BC的长是( ) 第4题图 A．3 B．6 C. D．3 5．(多选)[2022·聊城]要检验一个四边形的桌面是否为矩形，不可行的测量方案是( ) A．测量两条对角线是否相等 B．度量两个角是否是90° C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等 D．测量两组对边是否分别相等 6．(多选)[2023·临江期末]如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，能够使四边形DBCE成为矩形的是( ) 第6题图 A．AB＝BE B．CE⊥DE C．∠ADB＝90° D．BE⊥DC 7．[2024·潮州期中]如图，在矩形ABCD中，AB＝10 cm，点E在线段AD上，且AE＝6 cm，动点P在线段AB上，从点A出发以2 cm/s的速度向点B运动，同时点Q在线段BC上，以v cm/s的速度由点B向点C运动，当△EAP与△PBQ全等时，v的值为( ) 第7题图 A．2 B．4 C．4或 D．2或 8．[2024·厦门期中]如图，四边形ABCD为一矩形纸带，点E，F分别在边AB，CD上，将纸带沿EF折叠，点A，D的对应点分别为A′，D′，若∠2＝35°，则∠1的度数为 ． 第8题图 9．[2024·长春期末]如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O作OE⊥AC，交AB于点E，连接CE，若矩形ABCD的周长是20 cm，则△BCE的周长是 _ ． 第9题图 10．[2024·泰安期中]如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，△ABC的面积为24，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值为 ． 第10题图 11．[2024·长春]如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，O是边AB的中点，∠AOD＝∠BOC.求证：四边形ABCD是矩形． 第11题图 12．[2024·镇江期中]如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，点E，F分别是BD，AC的中点，连接EF，EA，EC. (1)试判断EF与AC的位置关系，并说明理由； (2)若∠EAF＝25°，则∠ADC＝ °. 第12题图 13．[2024·聊城期中]如图，四边形ABCD为平行四边形，E为线段CD的中点，连接AC，AE，延长AE，BC交于点F，连接DF，∠ACF＝90°.求证：四边形ACFD是矩形． 第13题图 14．[2024·青岛二模]如图，以△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形ABD，等腰直角三角形BCE和等腰直角三角形ACF，连接DE，EF. 第14题图 (1)求证：△ABC≌△DBE； (2)当∠BAC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？请证明你的结论． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．[2024·泸州期中]下列命题错误的是( A ) A．对角线相等的四边形是矩形 B．平行四边形的对角线互相平分 C．矩形的四个内角都是直角 D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 2．[2024·青岛二模]两个矩形的位置如图所示，若∠1＝m°，则∠2的度数 为( D ) 第2题图 A．(m－90)° B．(90－m)° C．(m－45)° D．(180－m)° 3．[2024·泸州]已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判定为▱ABCD为矩形的是( D ) A．∠A＝90° B．∠B＝∠C C．AC＝BD D．AC⊥BD 4．[2024·青海]如图，在Rt△ABC中，D是AC的中点，∠BDC＝60°，AC＝6，则BC的长是( A ) 第4题图 A．3 B．6 C. D．3 5．(多选)[2022·聊城]要检验一个四边形的桌面是否为矩形，不可行的测量方案是( ABD ) A．测量两条对角线是否相等 B．度量两个角是否是90° C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等 D．测量两组对边是否分别相等 6．(多选)[2023·临江期末]如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，能够使四边形DBCE成为矩形的是( ABC ) 第6题图 A．AB＝BE B．CE⊥DE C．∠ADB＝90° D．BE⊥DC 7．[2024·潮州期中]如图，在矩形ABCD中，AB＝10 cm，点E在线段AD上，且AE＝6 cm，动点P在线段AB上，从点A出发以2 cm/s的速度向点B运动，同时点Q在线段BC上，以v cm/s的速度由点B向点C运动，当△EAP与△PBQ全等时，v的值为( D ) 第7题图 A．2 B．4 C．4或 D．2或 8．[2024·厦门期中]如图，四边形ABCD为一矩形纸带，点E，F分别在边AB，CD上，将纸带沿EF折叠，点A，D的对应点分别为A′，D′，若∠2＝35°，则∠1的度数为72.5°． 第8题图 9．[2024·长春期末]如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O作OE⊥AC，交AB于点E，连接CE，若矩形ABCD的周长是20 cm，则△BCE的周长是10_cm． 第9题图 10．[2024·泰安期中]如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，△ABC的面积为24，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值为． 第10题图 11．[2024·长春]如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，O是边AB的中点，∠AOD＝∠BOC.求证：四边形ABCD是矩形． 第11题图 证明：∵O是边AB的中点，∴OA＝OB， 在△AOD和△BOC中， ∴△AOD≌△BOC(ASA)，∴AD＝BC， ∵∠A＝∠B＝90°，∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠A＝∠B＝90°，∴四边形ABCD是矩形． 12．[2024·镇江期中]如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，点E，F分别是BD，AC的中点，连接EF，EA，EC. (1)试判断EF与AC的位置关系，并说明理由； (2)若∠EAF＝25°，则∠ADC＝ °. 第12题图 解：(1)EF⊥AC，理由： ∵∠BAD＝∠BCD＝90°，点E是BD的中点， ∴AE＝BD，CE＝BD， ∴AE＝CE， ∵点F是AC的中点， ∴EF⊥AC； (2)∵∠BAD＝∠BCD＝90°，点E是BD的中点， ∴AE＝CE＝DE， ∴∠DAE＝∠ADE，∠DCE＝∠CDE， ∵∠AEB＝∠DAE＋∠ADE，∠BEC＝∠DCE＋∠CDE， ∴∠AEC＝∠AEB＋∠BEC＝2(∠ADE＋∠CDE)＝2∠ADC， ∵AE＝CE，∠EAF＝25°， ∴∠ACE＝∠EAF＝25°， ∴∠AEC＝180°－∠EAF－∠ACE＝130°， ∴∠ADC＝∠AEC＝65°. 故答案为：65. 13．[2024·聊城期中]如图，四边形ABCD为平行四边形，E为线段CD的中点，连接AC，AE，延长AE，BC交于点F，连接DF，∠ACF＝90°.求证：四边形ACFD是矩形． 第13题图 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADE＝∠FCE， ∵E为线段CD的中点， ∴DE＝CE， 在△ADE和△FCE中， ∴△ADE≌△FCE(ASA)， ∴AE＝FE， ∴四边形ACFD是平行四边形， ∵∠ACF＝90°， ∴四边形ACFD是矩形． 14．[2024·青岛二模]如图，以△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形ABD，等腰直角三角形BCE和等腰直角三角形ACF，连接DE，EF. 第14题图 (1)求证：△ABC≌△DBE； (2)当∠BAC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？请证明你的结论． 解：(1)证明：∵△BCE和△ABD为等腰直角三角形， ∴∠DBA＝∠EBC＝90°，DB＝AB，EB＝BC， ∴∠DBE＋∠EBA＝90°，∠ABC＋∠EBA＝90°， ∴∠DBE＝∠ABC， ∴△ABC≌△DBE(SAS)； (2)当∠BAC＝135°时，四边形ADEF是矩形，证明： ∵△ABC≌△DBE， ∴DE＝AC，∠EDB＝∠BAC， ∵FA＝AC， ∴DE＝FA， ∵∠EDA＝∠EDB－∠BDA＝∠BAC－45°， ∠DAF＝360°－∠FAC－∠BAD－∠BAC ＝360°－90°－45°－∠BAC ＝225°－∠BAC， ∴∠EDA＋∠DAF＝180°， ∴DE∥FA， ∴四边形ADEF是平行四边形， ∵∠BAC＝135°，∠CAF＝90°，∠BAD＝45°， ∴∠DAF＝90°， ∴四边形ADEF是矩形． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．[2024·济宁期中]矩形、菱形、正方形都具有的性质是( B ) A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线平分对角 2．[2024·安康期中]在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如下关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是( D ) 第2题图 A．③有一组邻边相等 B．②对角线互相垂直 C．④有一个角是直角 D．①一条对角线与其中一边相等 3．[2024·南京期中]如图，在正方形ABCD内作等边三角形AED，连接BE，CE，则∠EBC的度数为( A ) 第3题图 A．15° B．20° C．22.5° D．30° 4．[2023·宁波模拟]边长为a的正方形按如图所示分割成五个小矩形，其中⑤号小矩形是边长为b的正方形，若①号小矩形的周长为c，且满足2a－2b＝c，则下列小矩形中一定是正方形的是( D ) 第4题图 A．① B．② C．③ D．④ 5．[2024·烟台期中]如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC和AD边上，BE＝1，AF＝5，AE∥CF，则△ABE的面积为( C ) 第5题图 A．6 B．5 C．3 D. 6．[2024·聊城期中]如图，在正方形ABCD的外侧作等边△ADE，连接BE交AC于点F，交AD于点H，连接DF并延长交AB于点G，下列结论：①∠CFD＝60° ②S△BGF＝S△DHF ③△AHE≌△FGB ④∠DHE＝∠EDF.其中正确的结论有( D ) 第6题图 A．①②③ B．①②③④ C．①③④ D．①②④ 7．(多选)[2023·岱岳区期末]小明在学习了正方形以后，给同桌小文出了道题：从条件①AB＝BC ②∠ABC＝90° ③AC＝BD ④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使平行四边形ABCD为正方形．现有下列四种选法你认为正确的是( ABD ) A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 8．[2024·商丘期末]如图，将正方形B的一个顶点与正方形A的对角线的交点重合放置．若正方形A的面积为4，则阴影部分面积为1． 第8题图 9．[2023·武汉期中]如图，在▱ABCD中，AD＝2AB＝2，∠ABC＝60°，E，F是对角线BD上的动点，且BE＝DF，M，N分别是边AD，边BC上的动点．下列四个结论：①存在无数个平行四边形MENF ②存在无数个矩形MENF ③存在无数个菱形MENF ④存在两个正方形MENF.其中正确的结论是①②③(填序号)． 第9题图 10．[2024·淄博期中]如图，已知平行四边形ABCD和正方形CEFG，其中点E在AD上，若∠ECD＝35°，∠AEF＝15°，则∠B＝70°． 第10题图 11．[2023·富锦期末]如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B，D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE＝5，BF＝8，则EF的长为13． 第11题图 12．[2024·吉林二模]已知： 在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，它的两边分别交CB，DC于点M，N，AH⊥MN于点H，连接BH, 则下列结论：①BM＋DN＝MN ②△ABM≌△ADN ③∠BAM＝∠BHM，其中结论一定正确的序号是①③． 第12题图 解析：延长CB至E，使BE＝DN. 第12题图 ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠D＝∠ABE＝90°， 在Rt△AEB和Rt△AND中， ∴Rt△AEB≌Rt△AND(SAS)， ∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD， ∵∠MAN＝45°， ∴∠DAN＋∠BAM＝45°， ∴∠EAB＋∠BAM＝45°， ∴∠EAN＝90°， ∴∠EAM＝∠NAM＝45°， 在△AEM和△ANM中， ∴△AEM≌△ANM(SAS)， ∴EM＝MN ∴EM＝BM＋BE＝BM＋DN＝MN，故①正确； ∵BM＝DN不一定成立， ∴△ABM≌△ADN不一定成立，故②不正确； ∵△AEM≌△ANM， ∴∠AMB＝∠AMH， 又∵AM＝AM，∠ABM＝∠AHM＝90°， ∴△ABM≌△AHM(AAS)， ∴AB＝AH，MB＝MH， ∴AM⊥BH， ∴∠HBM＋∠AMB＝90°， 又∵∠BAM＋∠AMB＝90°， ∴∠BAM＝∠BHM，故③正确． 13．[2024·济南期末]如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，BE＝CF，连接AF，DE交于点G，求证： (1)△ADF≌△DCE； (2)AF⊥DE. 第13题图 证明：(1)∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD＝BC，∠ADC＝∠DCB＝90°， ∵BE＝CF， ∴BC－BE＝CD－CF，即CE＝DF， 在△ADF和△DCE中， ∴△ADF≌△DCE(SAS)； (2)由(1)知△ADF≌△DCE， ∴∠DAF＝∠CDE， ∵∠ADC＝90°，即∠CDE＋∠EDA＝90°， ∴∠DAF＋∠EDA＝90°， ∴∠AGD＝180°－(∠DAF＋∠EDA)＝90°， ∴AF⊥DE. 14．[2024·菏泽期中]如图，在△ABC中，O是AC边上一动点，过点O作BC的平行线，交∠BCA的平分线于点E，交外角∠ACD的平分线于点F. (1)求证：EO＝OF； (2)连接AE，AF，当点O沿AC移动到AC的中点时，四边形AECF是什么特殊四边形？说明理由； (3)若点O是AC边的中点，四边形AECF是否能成为正方形？如果能，对△ABC有什么要求？ 第14题图 解：(1)证明：∵EF∥BC， ∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF， 又∵CE平分∠BCO，CF平分∠DCO， ∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF， ∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC， ∴EO＝CO，FO＝CO， ∴EO＝FO； (2)当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形；理由： ∵当点O运动到AC的中点时，AO＝CO， 又∵EO＝FO， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵FO＝CO， ∴AO＝CO＝EO＝FO， ∴AO＋CO＝EO＋FO，即AC＝EF， ∴四边形AECF是矩形； (3)△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，理由： 由(2)知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形， ∴AC＝EF，AO＝CO，EO＝FO， ∵四边形AECF是正方形， ∴AC⊥EF， ∴∠EOC＝90°， ∵EF∥BC， ∴∠ACB＝180°－∠EOC＝90°， ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°. 15．[2024·烟台期中]如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD上一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于点F，连接CE，CP. 第15题图 (1)如图1，若四边形ABCD为正方形，判断△PCE的形状并说明理由； (2)如图2，若四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝120°，判断△PCE的形状并说明理由． 解：(1)△PCE是等腰直角三角形，理由： 如图1， 图1 第15题图 ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC，∠ADB＝∠CDB＝45°，∠ADC＝90°， 在△PDA和△PDC中， ∵ ∴△PDA≌△PDC(SAS)， ∴PA＝PC，∠3＝∠1， ∵PA＝PE， ∴PE＝PC，∠2＝∠3， ∴∠1＝∠2. ∵∠EDF＝90°，∠DFE＝∠PFC， ∴∠EPC＝∠EDF＝90°， ∴△PCE是等腰直角三角形； (2)△PCE是等边三角形， 理由：如图2， 图2 第15题图 ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝DC，∠ADB＝∠CDB， ∠ADC＝∠ABC＝120°， 在△PDA和△PDC中， ∵ ∴△PDA≌△PDC(SAS)， ∴PA＝PC，∠3＝∠1. ∵PA＝PE， ∴PE＝PC，∠2＝∠3， ∴∠1＝∠2. ∵∠DFE＝∠PFC， ∴∠EPC＝∠EDC. ∵∠ADC＝120°， ∴∠EDC＝60°， ∴∠EPC＝60°， ∴△PCE是等边三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．[2023·界首市期末]下列不属于菱形性质的是( D ) A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．每一条对角线平分一组内角 D．两条对角线相等 2．[2023·邯郸三模]依据所标识的数据，下列平行四边形一定为菱形的是( C ) 3．[2024·枣庄期中]如图，将矩形ABCD对折，使边AB与CD，BC与AD分别重合，展开后得到四边形EFGH.若AB＝2，BC＝4，则四边形EFGH的面积为( B ) 第3题图 A．2 B．4 C．5 D．6 4．[2024·淄博期中]如图，矩形AEFG的顶点E，F分别在菱形ABCD的边AB和对角线BD上，连接EG，CF.若EG＝5，则CF的长为( A ) 第4题图 A．5 B．4 C．3 D．6 5．[2024·威海期中]如图，对于线段AB，小慧同学按照下列步骤画出一个四边形：(1)以点A为圆心，以大于AB的长为半径作弧；(2)以点B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于点C，D；(3)连接AC，BC，AD，BD，CD.对于四边形ACBD，添加下列条件无法判定为菱形的是( A ) 第5题图 A．AB＝CD B．AC＝BC C．∠ACD＝∠BCD D．AD∥BC 6．(多选)如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，E是线段BD上一动点(点E不与点B，D重合)，当△ABE是等腰三角形时，∠EAD的度数为( AC ) 第6题图 A．30° B．70° C．60° D．40° 7．[2024·滨州期中]如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为BC的中点，连接EO并延长交AD于点F，∠ABC＝60°，BC＝2AB.下列结论：①AB⊥AC ②AD＝4OE ③四边形AECF是菱形 ④S△BOE＝S△ABC.其中，判断正确的是( D ) 第7题图 A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 8．[2024·菏泽期中]如图，在菱形ABCD中，∠ADC＝140°，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于两点M，N，作直线MN交AD于点E，连接BE，BD，则∠EBD的度数为30°． 第8题图 9．[2023·贵州模拟]如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，若AB＝2，∠A＝120°，则A，C两点间的距离为2． 第9题图 10．[2023春·德州期中]如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，H为AB边上的一点，∠BHD＝90°，连接OH，若OA＝5，OH＝2，则菱形ABCD的面积为20． 第10题图 11．[2024·泰安三模]如图，已知菱形ABCD，连接AC，若∠B＝120°，AC＝6，点F在AD上，点E在AC上，连接DE，EF，则DE＋FE的最小值是3． 第11题图 解析：如图，连接BF，BD，BE，设AC，BD交于O， 第11题图 ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，AD＝AB，OA＝AC＝3，OA⊥BD，∠BAC＝∠CAD， ∵AE＝AE， ∴△ABE≌△ADE(SAS)， ∴DE＝BE， ∴DE＋FE＝BE＋FE≥BF， ∴当B，E，F三点共线，且BF⊥AD时，DE＋FE有最小值，最小值是BF的长度， ∵∠ABC＝120°，∠BAD＋∠ABC＝180°， ∴∠BAD＝60°， ∴△ABD是等边三角形，则AD＝AB＝BD， ∴S△ABD＝AD·BF＝BD·OA， ∴BF＝OA＝3， ∴DE＋FE的最小值为3. 12．[2024·烟台期中]如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F. 求证：BE＝DF. 第12题图 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴CD＝BC，∠ABC＝∠ADC， ∴∠CBE＝∠CDF， ∵CE⊥AB，CF⊥AD， ∴∠E＝∠F＝90°， 在△CBE和△CDF中， ∴△CBE≌△CDF(AAS)，∴BE＝DF. 13．[2024·威海期中]如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，CF∥AB，交DE的延长线于点F，连接AF，CD.当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形？写出你认为正确的条件，并进行证明． 第13题图 解：AC⊥BC.理由： ∵CF∥AB， ∴∠ADF＝∠CFD，∠DAC＝∠FCA. ∵点E是AC的中点，∴AE＝CE. ∴△ADE≌△CFE(AAS)． ∴AD＝CF. ∵CF∥AD，∴四边形ADCF是平行四边形． ∵AC⊥BC，点D是AB的中点， ∴CD＝AB＝AD. ∴四边形ADCF是菱形． 14．[2024·宿迁]如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝DC＝BC，E是BC的中点．下面是甲、乙两名同学得到的结论： 甲：若连接AE，则四边形ADCE是菱形； 乙：若连接AC，则△ABC是直角三角形． 请选择一名同学的结论给予证明． 第14题图 证明：选择甲：如图1， ∵AD＝DC＝BC，E是BC的中点． ∴CE＝BC＝AD， ∵AD∥BC， ∴四边形ADCE是平行四边形， ∵AD＝CD， ∴四边形ADCE是菱形； 第14题图 选择乙：如图2，连接AE，DE，DE交AC于O， ∵AD＝DC＝BC，E是BC的中点． ∴BE＝CE＝BC＝AD， ∵AD∥BC， ∴四边形ADCE是平行四边形，四边形ABED是平行四边形， ∵AD＝CD，∴四边形ADCE是菱形； ∴AC⊥DE，∴∠EOC＝90°， ∵四边形ABED是平行四边形， ∴DE∥AB，∴∠BAC＝∠EOC＝90°， ∴△ABC是直角三角形． 15．如图，在▱ABCD中，AF是∠BAD的平分线，交BC于点F，与DC的延长线交于点N.CE是∠BCD的平分线，交AD于点E，与BA的延长线交于点M，连接BE，EF. (1)试判断四边形AFCE的形状，并说明理由； (2)若BE⊥ME，证明四边形ABFE是菱形． 第15题图 解：(1)四边形AFCE是平行四边形， 理由：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD＝∠BCD，AD∥BC， ∴∠FAD＝∠BFA. ∵AF是∠BAD的平分线， CE是∠BCD的平分线， ∴∠FAD＝∠BAD，∠BCE＝∠BCD， ∴∠FAD＝∠BCE，∴∠BFA＝∠BCE， ∴AF∥CE， 又∵AD∥BC， ∴四边形AFCE是平行四边形； (2)如图，∵AF是∠BAD的平分线，且∠FAD＝∠BFA， ∴∠BFA＝∠BAF， ∴BA＝BF， ∵BE⊥ME， ∴∠BEM＝90°， ∵AF∥CE， 第15题图 ∴∠BOA＝∠BEM＝90°，即BO⊥AF， 又∵在△ABF中，BA＝BF， ∴∠ABE＝∠FBE， ∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠FBE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴BA＝AE，∴BF＝AE， 又∵AD∥BC， ∴四边形ABFE是平行四边形， 又∵BA＝BF，∴四边形ABFE是菱形. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．[2023·界首市期末]下列不属于菱形性质的是( ) A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．每一条对角线平分一组内角 D．两条对角线相等 2．[2023·邯郸三模]依据所标识的数据，下列平行四边形一定为菱形的是( ) 3．[2024·枣庄期中]如图，将矩形ABCD对折，使边AB与CD，BC与AD分别重合，展开后得到四边形EFGH.若AB＝2，BC＝4，则四边形EFGH的面积为( ) 第3题图 A．2 B．4 C．5 D．6 4．[2024·淄博期中]如图，矩形AEFG的顶点E，F分别在菱形ABCD的边AB和对角线BD上，连接EG，CF.若EG＝5，则CF的长为( ) 第4题图 A．5 B．4 C．3 D．6 5．[2024·威海期中]如图，对于线段AB，小慧同学按照下列步骤画出一个四边形：(1)以点A为圆心，以大于AB的长为半径作弧；(2)以点B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于点C，D；(3)连接AC，BC，AD，BD，CD.对于四边形ACBD，添加下列条件无法判定为菱形的是( ) 第5题图 A．AB＝CD B．AC＝BC C．∠ACD＝∠BCD D．AD∥BC 6．(多选)如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，E是线段BD上一动点(点E不与点B，D重合)，当△ABE是等腰三角形时，∠EAD的度数为( ) 第6题图 A．30° B．70° C．60° D．40° 7．[2024·滨州期中]如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为BC的中点，连接EO并延长交AD于点F，∠ABC＝60°，BC＝2AB.下列结论：①AB⊥AC ②AD＝4OE ③四边形AECF是菱形 ④S△BOE＝S△ABC.其中，判断正确的是( ) 第7题图 A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 8．[2024·菏泽期中]如图，在菱形ABCD中，∠ADC＝140°，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于两点M，N，作直线MN交AD于点E，连接BE，BD，则∠EBD的度数为 ． 第8题图 9．[2023·贵州模拟]如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，若AB＝2，∠A＝120°，则A，C两点间的距离为 ． 第9题图 10．[2023春·德州期中]如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，H为AB边上的一点，∠BHD＝90°，连接OH，若OA＝5，OH＝2，则菱形ABCD的面积为 ． 第10题图 11．[2024·泰安三模]如图，已知菱形ABCD，连接AC，若∠B＝120°，AC＝6，点F在AD上，点E在AC上，连接DE，EF，则DE＋FE的最小值是 ． 第11题图 12．[2024·烟台期中]如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F. 求证：BE＝DF. 第12题图 13．[2024·威海期中]如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，CF∥AB，交DE的延长线于点F，连接AF，CD.当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形？写出你认为正确的条件，并进行证明． 第13题图 14．[2024·宿迁]如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝DC＝BC，E是BC的中点．下面是甲、乙两名同学得到的结论： 甲：若连接AE，则四边形ADCE是菱形； 乙：若连接AC，则△ABC是直角三角形． 请选择一名同学的结论给予证明． 第14题图 15．如图，在▱ABCD中，AF是∠BAD的平分线，交BC于点F，与DC的延长线交于点N.CE是∠BCD的平分线，交AD于点E，与BA的延长线交于点M，连接BE，EF. (1)试判断四边形AFCE的形状，并说明理由； (2)若BE⊥ME，证明四边形ABFE是菱形． 第15题图 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．[2024·济宁期中]矩形、菱形、正方形都具有的性质是( ) A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线平分对角 2．[2024·安康期中]在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如下关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是( ) 第2题图 A．③有一组邻边相等 B．②对角线互相垂直 C．④有一个角是直角 D．①一条对角线与其中一边相等 3．[2024·南京期中]如图，在正方形ABCD内作等边三角形AED，连接BE，CE，则∠EBC的度数为( ) 第3题图 A．15° B．20° C．22.5° D．30° 4．[2023·宁波模拟]边长为a的正方形按如图所示分割成五个小矩形，其中⑤号小矩形是边长为b的正方形，若①号小矩形的周长为c，且满足2a－2b＝c，则下列小矩形中一定是正方形的是( ) 第4题图 A．① B．② C．③ D．④ 5．[2024·烟台期中]如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC和AD边上，BE＝1，AF＝5，AE∥CF，则△ABE的面积为( ) 第5题图 A．6 B．5 C．3 D. 6．[2024·聊城期中]如图，在正方形ABCD的外侧作等边△ADE，连接BE交AC于点F，交AD于点H，连接DF并延长交AB于点G，下列结论：①∠CFD＝60° ②S△BGF＝S△DHF ③△AHE≌△FGB ④∠DHE＝∠EDF.其中正确的结论有( ) 第6题图 A．①②③ B．①②③④ C．①③④ D．①②④ 7．(多选)[2023·岱岳区期末]小明在学习了正方形以后，给同桌小文出了道题：从条件①AB＝BC ②∠ABC＝90° ③AC＝BD ④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使平行四边形ABCD为正方形．现有下列四种选法你认为正确的是( ) A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 8．[2024·商丘期末]如图，将正方形B的一个顶点与正方形A的对角线的交点重合放置．若正方形A的面积为4，则阴影部分面积为 ． 第8题图 9．[2023·武汉期中]如图，在▱ABCD中，AD＝2AB＝2，∠ABC＝60°，E，F是对角线BD上的动点，且BE＝DF，M，N分别是边AD，边BC上的动点．下列四个结论：①存在无数个平行四边形MENF ②存在无数个矩形MENF ③存在无数个菱形MENF ④存在两个正方形MENF.其中正确的结论是 (填序号)． 第9题图 10．[2024·淄博期中]如图，已知平行四边形ABCD和正方形CEFG，其中点E在AD上，若∠ECD＝35°，∠AEF＝15°，则∠B＝ ． 第10题图 11．[2023·富锦期末]如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B，D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE＝5，BF＝8，则EF的长为 ． 第11题图 12．[2024·吉林二模]已知： 在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，它的两边分别交CB，DC于点M，N，AH⊥MN于点H，连接BH, 则下列结论：①BM＋DN＝MN ②△ABM≌△ADN ③∠BAM＝∠BHM，其中结论一定正确的序号是 ． 第12题图 13．[2024·济南期末]如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，BE＝CF，连接AF，DE交于点G，求证： (1)△ADF≌△DCE； (2)AF⊥DE. 第13题图 14．[2024·菏泽期中]如图，在△ABC中，O是AC边上一动点，过点O作BC的平行线，交∠BCA的平分线于点E，交外角∠ACD的平分线于点F. (1)求证：EO＝OF； (2)连接AE，AF，当点O沿AC移动到AC的中点时，四边形AECF是什么特殊四边形？说明理由； (3)若点O是AC边的中点，四边形AECF是否能成为正方形？如果能，对△ABC有什么要求？ 第14题图 15．[2024·烟台期中]如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD上一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于点F，连接CE，CP. 第15题图 (1)如图1，若四边形ABCD为正方形，判断△PCE的形状并说明理由； (2)如图2，若四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝120°，判断△PCE的形状并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$