6.3 特殊的平行四边形学案 2024-2025学年 青岛版数学八年级下册

正方形的定义 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 这既是正方形的定义又是它的判定方法． 正方形的性质 1．边：两组对边分别平行，四条边都相等． 2．角：四个角都是直角． 3．对角线：对角线互相平分、垂直且相等，并且每条对角线平分一组对角． 4．对称性：正方形是轴对称图形，有四条对称轴． 正方形既是特殊的矩形，也是特殊的菱形． 正方形的判定 1．边：一组邻边相等的矩形是正方形． 2．角：有一个角是直角的菱形是正方形． 3．对角线：对角线互相垂直的矩形是正方形． 对角线相等的菱形是正方形． 正方形的性质 典例1 [2024·重庆模拟]正方形具备而矩形不具备的性质是( A ) A．四条边都相等 B．四个角都是直角 C．对角线互相平分 D．对角线相等 根据正方形和矩形的性质，即可求解． 变式 [2024·厦门期末]如图，四边形ABCD是正方形，直线l是正方形ABCD的一条对称轴，E是边AD的中点，F是边AB的中点，点G在边BC上，且BG<CG，则点E关于直线l的对称点可能是( B ) 变式图 A．点G B．点F C．点C D．点D 与正方形的性质有关的计算 典例2 [2023春·鱼台期中]如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，若正方形ABCD周长为8，则EF＋EG等于( D ) 典例2图 A．16 B．8 C．4 D．2 只要证明EF＝AF，EG＝BF即可解决问题． 变式1 [2024·石家庄一模]如图，在正方形纸片ABCD上进行如下操作： 第一步：剪去矩形纸条AEFD； 第二步：从矩形纸片BCFE上剪去矩形纸条CFGH. 若矩形纸条AEFD和CFGH的面积相等，则AB的长度为( A ) 变式1图 A．30 cm B．15 cm C．16 cm D．90 cm 变式2 [2024·宝鸡一模]如图，正方形ABCD的边AD上有一点E，连接CE交对角线BD于点F，连接AF.若∠AFC＝140°，则∠DEC的度数为( C ) 变式2图 A．80° B．75° C．65° D．70° 正方形的判定 典例3 [2023春·任城期中]如图所示，△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B的平分线交于D点，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F.求证：四边形CEDF为正方形． 典例3图 利用矩形的判定方法以及角平分线的性质得出四边形CEDF为正方形． 证明：过点D作DN⊥AB于点N， 典例3图 ∵∠C＝90°，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F， ∴四边形FCED是矩形， 又∵∠A，∠B的平分线交于D点， ∴DF＝DE＝DN， ∴四边形FCED是正方形． 变式 [2023·青岛模拟]如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF. (1)求证：DE＝DF； (2)当∠A＝90°时，求证：四边形AFDE为正方形． 变式图 证明：(1)∵点D是BC的中点， ∴BD＝DC， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠DEB＝∠DFC＝90°， 在Rt△BDE和Rt△CDF中， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)， ∴DE＝DF； (2)∵DE⊥AB，DF⊥AC，∠A＝90°， ∴四边形AFDE是矩形， ∵DE＝DF， ∴矩形AFDE是正方形． 1．[2024·淄博期中]正方形具有而菱形不具有的性质是( B ) A．对角线平分一组对角 B．对角线相等 C．对角线互相垂直平分 D．四条边相等 2．[2024·德州期中]如图，在△ABC中，DE∥AC，DF∥AB，下列四个判断不正确的是( D ) 第2题图 A．四边形AEDF是平行四边形 B．如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形 C．如果AE＝AF，那么四边形AEDF是菱形 D．如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形 3．[2023·怀化]如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PE⊥AD于点E，PE＝3.则点P到直线AB的距离为3． 第3题图 4．[2024·淄博期中]如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上一点，且AC＝EC，连接AE，则∠BAE的度数为67.5°. 第4题图 5．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上一点，且△ACE是等边三角形． (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若∠AED＝2∠EAD，AB＝a.求四边形ABCD的面积． 第5题图 解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝OC， ∵△ACE是等边三角形， ∴EO⊥AC(三线合一)， 即BD⊥AC，∴四边形ABCD是菱形； (2)∵△ACE是等边三角形， ∴∠EAC＝60°， 由(1)知，EO⊥AC，AO＝OC， ∴∠AEO＝∠OEC＝30°，△AOE是直角三角形， ∵∠AED＝2∠EAD，∴∠EAD＝15°， ∴∠DAO＝∠EAO－∠EAD＝45°， ∵▱ABCD是菱形， ∴∠BAD＝2∠DAO＝90°， ∴菱形ABCD是正方形， ∴正方形ABCD的面积＝AB2＝a2. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 矩形在小学阶段我们叫做长方形． 矩形的性质 1．边：对边平行且相等． 2．角：矩形的四个角都是直角． 3．对角线：矩形的对角线相等且互相平分． 4．对称性：矩形是轴对称图形，它有两条对称轴，对边中点所在的直线是它的对称轴． 矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形，两条对角线把矩形分成四个等腰三角形． 直角三角形的性质定理2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个等腰三角形． 直角三角形斜边上的中线是常作辅助线之一． 矩形的判定 1．角：①有三个角是直角的四边形是矩形．②有一个角是直角的平行四边形是矩形． 2．对角线：对角线相等的平行四边形是矩形． 矩形的性质 典例1 [2024·宿迁期末]矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是( D ) A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．对角线相等 由矩形的性质和平行四边形的性质即可得出结论． 变式 [2024·甘肃]如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABD＝60°，AB＝2，则AC的长为( C ) 变式图 A．6 B．5 C．4 D．3 利用矩形的性质求线段的长度 典例2 [2024·鄂伦春自治旗期末]如图，矩形ABCD面积为40，点P在边CD上，PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E，F.若AC＝10，则PE＋PF＝( A ) 典例2图 A．4 B．5 C．8 D．10 连接OP，由矩形的性质得出OA＝OC＝OB＝OD＝AC＝5，S△COD＝S矩形ABCD＝10，结合S△COD＝S△POC＋S△DOP＝OD·FP＋OC·PE＝×5×(PE＋PF)，计算即可得出答案． 变式 [2023·苏州]如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是( C ) 变式图 A．一直增大 B．不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小 利用矩形的性质求角的度数 典例3 [2023·潍坊期末]如图，在矩形纸片ABCD中，把∠D沿直线AE折叠，使得点D落在BC边上的点F处．已知∠EAF与∠BAF的度数之比为2∶5，则∠DAF的度数是( C ) 典例3图 A．20° B．30° C．40° D．45° 根据矩形的性质得到∠BAD＝90°，由折叠得∠DAE＝∠FAE，设∠EAF＝2x，则∠BAF＝5x，得到9x＝90°，求出x＝10°，即可求出∠DAF的度数． 变式 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，已知∠CAE＝15°，求∠BOE的度数． 变式图 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠ABC＝90°，OB＝BD，OA＝AC，AC＝BD， ∴OA＝OB， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝45°， ∴BE＝AB，∠OAB＝∠BAE＋∠CAE＝60°， ∴△OAB是等边三角形， ∴OB＝AB，∠ABO＝60°， ∴∠OBE＝30°，OB＝BE， ∴∠BOE＝×(180°－30°)＝75°. 直角三角形的性质定理2 典例4 如图所示，锐角△ABC中，BE，CF是高，点M，N分别为BC，EF中点． 求证：MN⊥EF. 典例4图 找到图中直角三角形和斜边上的中线，得到等腰三角形FME，即可解答． 证明：连接ME，MF. 典例4图 ∵BE，CF是高， ∴△BFC与△BEC为直角三角形， 又∵点M为BC的中点， ∴ME＝BC，MF＝BC(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)． ∴ME＝MF. 又∵N为EF中点， ∴MN⊥EF. 变式 如图，点E在▱ABCD的边CD的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC且与BC的延长线相交于点F.求证：DF＝CE. 变式图 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∵AE∥BD， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∴AB＝DE， ∴CD＝DE， ∵EF⊥BC， ∴DF＝CE. 矩形的判定 典例5 [2024·淮南期中]如图，将平行四边形ABCD的边AB延长至点E，使BE＝AB，连接DE，EC，DE交BC于点O，∠A＝∠BOD.求证：四边形BECD是矩形． 典例5图 先证明四边形BECD为平行四边形，再证明BC＝ED即可得到结论． 证明：在平行四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD， 则BE∥CD. 又∵AB＝BE， ∴BE＝DC. ∴四边形BECD为平行四边形， ∴OB＝OC，OD＝OE. ∵AD∥BC，∴∠A＝∠OBE. 又∵∠A＝∠BOD， ∴∠BOD＝2∠A， 又∵∠BOD＝∠OBE＋∠OEB， ∴∠OBE＝∠OEB， ∴OB＝OE， ∴OC＋OB＝OD＋OE，即BC＝ED， ∴平行四边形BECD为矩形． 变式 [2023·常州期中]如图，△ABC中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE延长线于点F. (1)求证：△ADE≌△CFE； (2)连接AF，CD.如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形，证明你的结论． 变式图 解：(1)证明：∵CF∥AB， ∴∠ADE＝∠CFE，∠DAE＝∠FCE， ∵点E是AC的中点， ∴AE＝CE， 在△ADE和△CFE中， ∴△ADE≌△CFE(AAS)； (2)当AC＝BC时，四边形ADCF是矩形，证明如下： 由(1)已证：△ADE≌△CFE， ∴AD＝CF， ∵点D是AB的中点， ∴AD＝DB，∴CF＝DB， ∵CF∥AB， ∴四边形ADCF是平行四边形． ∵AC＝BC，点D是AB的中点， ∴CD⊥AB， ∴四边形ADCF是矩形． 1．[2024·成都]如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是( C ) 第1题图 A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠ACB＝∠ACD 2．[2024·贵阳期末]如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知AB＝5，OE⊥BD，△DOE的面积为，则DE的长为( B ) 第2题图 A．5 B．6 C．7 D. 3．[2024·沙坪坝期中]如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且∠OAD＝55°，则∠ODC＝35°． 第3题图 4．[2024·德州期中]如图，在Rt△AEB和Rt△AFB中，∠AEB＝∠AFB＝90°，O为AB的中点，连接EF，OE，若∠EAF＝50°，则∠OEF＝40°． 第4题图 5．[2023·江门期中节选]如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，F是AC中点，AN是∠ABC的外角∠MAC的平分线，延长DF交AN于点E.连接CE. 求证：四边形ADCE是矩形． 第5题图 证明：∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线， ∴∠MAE＝∠MAC， ∵∠MAC＝∠B＋∠ACB， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∴∠MAE＝∠B， ∴AN∥BC， ∴∠EAF＝∠DCF，∠AEF＝∠CDF， ∵F为AC的中点， ∴AF＝FC， 在△AFE和△CFD中， ∴△AFE≌△CFD(AAS)， ∴AE＝CD， ∴四边形ADCE为平行四边形， ∵AB＝AC，点D为BC中点， ∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°， ∴四边形ADCE为矩形． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 这既是菱形的定义，又是菱形的判定方法． 菱形的性质定理 1．定理1：菱形的四条边都相等． 2．定理2：菱形的两条对角线互相垂直． 菱形的性质归纳： 边：对边平行，四条边相等． 角：对角相等，邻角互补． 对角线：对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角． 对称性：菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线是它的对称轴． 菱形的判定 1．边：①四条边相等的四边形是菱形． ②有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 2．对角线：③对角线互相垂直的平行四边形是菱形． ④对角线互相垂直且平分的四边形是菱形． 在菱形的判定中，如果给出的条件是四边形，可利用①④，如果条件给出的是平行四边形，可以利用②③. 菱形的面积 公式1：菱形的面积＝底×高． 公式2：菱形的面积＝对角线乘积的一半． 利用菱形的性质求角度 典例1 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠DHO＝α，则∠DAB的度数是( B ) 典例1图 A．α B．2α C．90°－α D．90°－2α 由四边形ABCD是菱形，可得OB＝OD，AC⊥BD，又由DH⊥AB，∠DHO＝α，可求得∠OHB的度数，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证得OH＝OB＝BD，继而求得∠ABD的度数，然后求得∠CAB的度数． 变式 [2024·西安期末]如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，BA＝BE，则∠AED＝( D ) 变式图 A．95° B．105° C．100° D．110° 利用菱形的性质求线段长 典例2 [2023春·文登期中]如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，E，F分别为AD，DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE＋CF的长度( B ) 典例2图 A．逐渐增加 B．恒等于4 C．先减小再增加 D．恒等于2 证明△ABE≌△DBF(ASA)，可得AE＝DF，根据线段的和可知：AE＋CF＝AB，是一定值，可作判断． 变式 [2024·德州期末]如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE，OB＝6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为( B ) 变式图 A．4 B．4.5 C．6 D．9 利用菱形的性质证明 典例3 [2023春·历下期末]如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC和CD上，且CE＝CF，连接AE，AF. 求证：AE＝AF. 典例3图 根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可． 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝CD， ∵CE＝CF， ∴BE＝DF. 在△ABE与△ADF中， ∴△ABE≌△ADF(SAS)， ∴AE＝AF. 变式 [2024·济南三模]如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，AE＝CF，连接DE，DF.求证：∠AFD＝∠CED. 变式图 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝CD， ∴∠DAC＝∠DCA， ∵AE＝CF， ∴AC－AE＝AC－CF，即CE＝AF， 在△ADF和△CDE中， ， ∴△ADF≌△CDE(SAS)， ∴∠AFD＝∠CED. 菱形的判定 典例4 [2024·娄底一模]如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AD，E，F是对角线BD上的点，且BE＝DF，连接AE，CF，AF，CE.求证：四边形AFCE是菱形． 典例4图 连接AC，交BD于点O，证明平行四边形ABCD是菱形，得AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，再证明EO＝FO，则四边形AECF是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论． 证明：如图，连接AC交BD于点O， 典例4图 ∵AB＝AD，四边形ABCD是平行四边形， ∴平行四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO， ∵BE＝DF， ∴OB－BE＝OD－DF， 即EO＝FO， ∴四边形AECF是平行四边形， 又∵AC⊥BD， ∴四边形AFCE是菱形． 变式 [岳阳中考]如图，点E，F分别在▱ABCD的边AB，BC上，AE＝CF，连接DE，DF.请从以下三个条件：①∠1＝∠2 ②DE＝DF ③∠3＝∠4中，选择一个合适的作为已知条件，使▱ABCD为菱形． (1)你添加的条件是 ；(填序号) (2)添加了条件后，请证明▱ABCD为菱形． 变式图 解：(1)添加的条件是∠1＝∠2或∠3＝∠4， 故答案为：①或③； (2)证明：添加①，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C， 在△ADE和△CDF中， ∴△ADE≌△CDF(AAS)， ∴AD＝CD， ∴▱ABCD为菱形； 添加③，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C， 在△ADE和△CDF中， ∴△ADE≌△CDF(ASA)， ∴AD＝CD， ∴▱ABCD为菱形． 菱形的性质与判定的综合 典例5 [2024·呼伦贝尔]如图，在平行四边形ABCD中，点F在边AD上，AB＝AF，连接BF，点O为BF的中点，AO的延长线交边BC于点E，连接EF. 典例5图 (1)求证：四边形ABEF是菱形； (2)若平行四边形ABCD的周长为22，CE＝1，∠BAD＝120°，求AE的长． (1)根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可；(2)证明△ABE是等边三角形，求出AB可得结论． 解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，即AF∥BE， ∴∠AFB＝∠EBF，∠FAE＝∠BEA， ∵O为BF的中点， ∴BO＝FO， ∴△AOF≌△EOB(AAS)， ∴BE＝FA， ∵AF∥BE， ∴四边形ABEF是平行四边形， 又∵AB＝AF， ∴四边形ABEF是菱形； (2)∵AD＝BC，AF＝BE， ∴DF＝CE＝1， ∵平行四边形ABCD的周长为22， ∴菱形ABEF的周长为22－2＝20， ∴AB＝20÷4＝5， ∵四边形ABEF是菱形， ∴∠BAE＝∠BAD＝×120°＝60°， 又∵AB＝BE， ∴△ABE是等边三角形， ∴AE＝AB＝5. 变式 [2024·雅安]如图，点O是▱ABCD对角线的交点，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F. 变式图 (1)求证：△ODE≌△OBF； (2)当EF⊥BD时，DE＝15 cm，分别连接BE，DF，求此时四边形BEDF的周长． 解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CB， ∴∠OED＝∠OFB， ∵点O是▱ABCD对角线的交点， ∴OD＝OB， 在△ODE和△OBF中， ∴△ODE≌△OBF(AAS)； (2)连接BE，OF，由(1)知， △ODE≌△OBF， 变式图 ∴DE＝BF， ∵DE∥BF， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∵EF⊥BD， ∴▱BEDF是菱形， ∴DF＝BF＝BE＝DE＝15 cm， ∴DF＋BF＋BE＋DE＝4DE＝4×15＝60(cm)， ∴四边形BEDF的周长为60 cm. 1．[2023·聊城期中]矩形具有而菱形不一定具有的性质是( B ) A．对角相等 B．对角线相等 C．对边相等 D．对角线互相平分 2．[2024·济宁期中]下列条件：①一组对边平行且相等 ②对角线互相平分 ③对角线互相垂直 ④对角线相等 ⑤一组邻边相等 ⑥一个角为直角．从中选取两个，能判定一个四边形为菱形的序号为( B ) A．①② B．①③ C．②④ D．②⑥ 3．[2024·济南期中]如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝8，则四边形CODE的周长为( A ) 第3题图 A．16 B．8 C．12 D．10 4．[2023·绍兴期中]如图，在菱形ABCD中，∠ADC＝128°，P是对角线AC，BD的交点，点E在CB的延长线上，且PE＝PA.则∠APE＝52度． 第4题图 5．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F. (1)求证：四边形ADCF是菱形； (2)若AC＝6，AB＝10，求菱形ADCF的面积． 第5题图 解：(1)证明：∵E是AD的中点， ∴AE＝DE， ∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DBE， 在△AEF和△DEB中， ∴△AEF≌△DEB(AAS)， ∴AF＝DB， ∵D是BC的中点， ∴AF＝DB＝DC， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵∠BAC＝90°，D是BC的中点， ∴AD＝CD＝BC， ∴四边形ADCF是菱形； (2)∵∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝10， ∴S△ABC＝AC·AB＝×6×10＝30， ∴S△ADC＝S△ABC＝15， ∴S菱形ADCF＝2S△ADC＝30. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 矩形的定义 有一个角是 的平行四边形叫做矩形． 矩形在小学阶段我们叫做长方形． 矩形的性质 1．边：对边平行且相等． 2．角：矩形的四个角都是 ． 3．对角线：矩形的对角线 且 ． 4．对称性：矩形是轴对称图形，它有两条对称轴，对边中点所在的直线是它的对称轴． 矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形，两条对角线把矩形分成四个等腰三角形． 直角三角形的性质定理2 直角三角形斜边上的中线等于 ． 直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个等腰三角形． 直角三角形斜边上的中线是常作辅助线之一． 矩形的判定 1．角：①有三个角是 的四边形是矩形．②有一个角是 的 是矩形． 2．对角线：对角线 的平行四边形是矩形． 矩形的性质 典例1 [2024·宿迁期末]矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是( ) A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．对角线相等 由矩形的性质和平行四边形的性质即可得出结论． 变式 [2024·甘肃]如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABD＝60°，AB＝2，则AC的长为( ) 变式图 A．6 B．5 C．4 D．3 利用矩形的性质求线段的长度 典例2 [2024·鄂伦春自治旗期末]如图，矩形ABCD面积为40，点P在边CD上，PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E，F.若AC＝10，则PE＋PF＝( ) 典例2图 A．4 B．5 C．8 D．10 变式 [2023·苏州]如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是( ) 变式图 A．一直增大 B．不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小 利用矩形的性质求角的度数 典例3 [2023·潍坊期末]如图，在矩形纸片ABCD中，把∠D沿直线AE折叠，使得点D落在BC边上的点F处．已知∠EAF与∠BAF的度数之比为2∶5，则∠DAF的度数是( ) 典例3图 A．20° B．30° C．40° D．45° 变式 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，已知∠CAE＝15°，求∠BOE的度数． 变式图 直角三角形的性质定理2 典例4 如图所示，锐角△ABC中，BE，CF是高，点M，N分别为BC，EF中点． 求证：MN⊥EF. 典例4图 变式 如图，点E在▱ABCD的边CD的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC且与BC的延长线相交于点F.求证：DF＝CE. 变式图 矩形的判定 典例5 [2024·淮南期中]如图，将平行四边形ABCD的边AB延长至点E，使BE＝AB，连接DE，EC，DE交BC于点O，∠A＝∠BOD.求证：四边形BECD是矩形． 典例5图 变式 [2023·常州期中]如图，△ABC中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE延长线于点F. (1)求证：△ADE≌△CFE； (2)连接AF，CD.如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形，证明你的结论． 变式图 1．[2024·成都]如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是( ) 第1题图 A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠ACB＝∠ACD 2．[2024·贵阳期末]如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知AB＝5，OE⊥BD，△DOE的面积为，则DE的长为( ) 第2题图 A．5 B．6 C．7 D. 3．[2024·沙坪坝期中]如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且∠OAD＝55°，则∠ODC＝ ． 第3题图 4．[2024·德州期中]如图，在Rt△AEB和Rt△AFB中，∠AEB＝∠AFB＝90°，O为AB的中点，连接EF，OE，若∠EAF＝50°，则∠OEF＝ ． 第4题图 5．[2023·江门期中节选]如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，F是AC中点，AN是∠ABC的外角∠MAC的平分线，延长DF交AN于点E.连接CE. 求证：四边形ADCE是矩形． 第5题图 学科网（北京）股份有限公司 $$ 菱形的定义 有一组邻边 的平行四边形叫做菱形． 这既是菱形的定义，又是菱形的判定方法． 菱形的性质定理 1．定理1：菱形的四条边都 ． 2．定理2：菱形的两条对角线 ． 菱形的性质归纳： 边：对边平行，四条边相等． 角：对角相等，邻角互补． 对角线：对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角． 对称性：菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线是它的对称轴． 菱形的判定 1．边：①四条边 的四边形是菱形． ②有一组邻边 的平行四边形是菱形． 2．对角线：③对角线互相 的平行四边形是菱形． ④对角线 且 的四边形是菱形． 在菱形的判定中，如果给出的条件是四边形，可利用①④，如果条件给出的是平行四边形，可以利用②③. 菱形的面积 公式1：菱形的面积＝底×高． 公式2：菱形的面积＝对角线乘积的一半． 利用菱形的性质求角度 典例1 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠DHO＝α，则∠DAB的度数是( ) 典例1图 A．α B．2α C．90°－α D．90°－2α 变式 [2024·西安期末]如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，BA＝BE，则∠AED＝( ) 变式图 A．95° B．105° C．100° D．110° 利用菱形的性质求线段长 典例2 [2023春·文登期中]如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，E，F分别为AD，DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE＋CF的长度( ) 典例2图 A．逐渐增加 B．恒等于4 C．先减小再增加 D．恒等于2 变式 [2024·德州期末]如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE，OB＝6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为( ) 变式图 A．4 B．4.5 C．6 D．9 利用菱形的性质证明 典例3 [2023春·历下期末]如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC和CD上，且CE＝CF，连接AE，AF. 求证：AE＝AF. 典例3图 变式 [2024·济南三模]如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，AE＝CF，连接DE，DF.求证：∠AFD＝∠CED. 变式图 菱形的判定 典例4 [2024·娄底一模]如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AD，E，F是对角线BD上的点，且BE＝DF，连接AE，CF，AF，CE.求证：四边形AFCE是菱形． 典例4图 变式 [岳阳中考]如图，点E，F分别在▱ABCD的边AB，BC上，AE＝CF，连接DE，DF.请从以下三个条件：①∠1＝∠2 ②DE＝DF ③∠3＝∠4中，选择一个合适的作为已知条件，使▱ABCD为菱形． (1)你添加的条件是 ；(填序号) (2)添加了条件后，请证明▱ABCD为菱形． 变式图 菱形的性质与判定的综合 典例5 [2024·呼伦贝尔]如图，在平行四边形ABCD中，点F在边AD上，AB＝AF，连接BF，点O为BF的中点，AO的延长线交边BC于点E，连接EF. 典例5图 (1)求证：四边形ABEF是菱形； (2)若平行四边形ABCD的周长为22，CE＝1，∠BAD＝120°，求AE的长． 变式 [2024·雅安]如图，点O是▱ABCD对角线的交点，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F. 变式图 (1)求证：△ODE≌△OBF； (2)当EF⊥BD时，DE＝15 cm，分别连接BE，DF，求此时四边形BEDF的周长． 1．[2023·聊城期中]矩形具有而菱形不一定具有的性质是( ) A．对角相等 B．对角线相等 C．对边相等 D．对角线互相平分 2．[2024·济宁期中]下列条件：①一组对边平行且相等 ②对角线互相平分 ③对角线互相垂直 ④对角线相等 ⑤一组邻边相等 ⑥一个角为直角．从中选取两个，能判定一个四边形为菱形的序号为( ) A．①② B．①③ C．②④ D．②⑥ 3．[2024·济南期中]如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝8，则四边形CODE的周长为( ) 第3题图 A．16 B．8 C．12 D．10 4．[2023·绍兴期中]如图，在菱形ABCD中，∠ADC＝128°，P是对角线AC，BD的交点，点E在CB的延长线上，且PE＝PA.则∠APE＝ 度． 第4题图 5．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F. (1)求证：四边形ADCF是菱形； (2)若AC＝6，AB＝10，求菱形ADCF的面积． 第5题图 学科网（北京）股份有限公司 $$ 正方形的定义 有一组 相等，并且有一个角是 的平行四边形叫做正方形． 这既是正方形的定义又是它的判定方法． 正方形的性质 1．边： 平行， 相等． 2．角：四个角都是 ． 3．对角线：对角线互相 、 且 ，并且每条对角线平分一组对角． 4．对称性：正方形是轴对称图形，有四条对称轴． 正方形既是特殊的矩形，也是特殊的菱形． 正方形的判定 1．边：一组邻边相等的 是正方形． 2．角：有一个角是直角的 是正方形． 3．对角线：对角线 的矩形是正方形． 对角线 的菱形是正方形． 正方形的性质 典例1 [2024·重庆模拟]正方形具备而矩形不具备的性质是( ) A．四条边都相等 B．四个角都是直角 C．对角线互相平分 D．对角线相等 根据正方形和矩形的性质，即可求解． 变式 [2024·厦门期末]如图，四边形ABCD是正方形，直线l是正方形ABCD的一条对称轴，E是边AD的中点，F是边AB的中点，点G在边BC上，且BG<CG，则点E关于直线l的对称点可能是( ) 变式图 A．点G B．点F C．点C D．点D 与正方形的性质有关的计算 典例2 [2023春·鱼台期中]如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，若正方形ABCD周长为8，则EF＋EG等于( ) 典例2图 A．16 B．8 C．4 D．2 只要证明EF＝AF，EG＝BF即可解决问题． 变式1 [2024·石家庄一模]如图，在正方形纸片ABCD上进行如下操作： 第一步：剪去矩形纸条AEFD； 第二步：从矩形纸片BCFE上剪去矩形纸条CFGH. 若矩形纸条AEFD和CFGH的面积相等，则AB的长度为( ) 变式1图 A．30 cm B．15 cm C．16 cm D．90 cm 变式2 [2024·宝鸡一模]如图，正方形ABCD的边AD上有一点E，连接CE交对角线BD于点F，连接AF.若∠AFC＝140°，则∠DEC的度数为( ) 变式2图 A．80° B．75° C．65° D．70° 正方形的判定 典例3 [2023春·任城期中]如图所示，△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B的平分线交于D点，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F.求证：四边形CEDF为正方形． 典例3图 变式 [2023·青岛模拟]如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF. (1)求证：DE＝DF； (2)当∠A＝90°时，求证：四边形AFDE为正方形． 变式图 1．[2024·淄博期中]正方形具有而菱形不具有的性质是( ) A．对角线平分一组对角 B．对角线相等 C．对角线互相垂直平分 D．四条边相等 2．[2024·德州期中]如图，在△ABC中，DE∥AC，DF∥AB，下列四个判断不正确的是( ) 第2题图 A．四边形AEDF是平行四边形 B．如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形 C．如果AE＝AF，那么四边形AEDF是菱形 D．如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形 3．[2023·怀化]如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PE⊥AD于点E，PE＝3.则点P到直线AB的距离为 ． 第3题图 4．[2024·淄博期中]如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上一点，且AC＝EC，连接AE，则∠BAE的度数为 °. 第4题图 5．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上一点，且△ACE是等边三角形． (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若∠AED＝2∠EAD，AB＝a.求四边形ABCD的面积． 第5题图 学科网（北京）股份有限公司 $$