第十七章 方差与频数分布知识归纳与题型突破（10题型清单）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（北京版）

第十七章 方差与频数分布知识归纳与题型突破（10题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点1方差 （1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差． （2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是： s2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”） （3） 方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 知识点2 标准差 （1）标准差：样本方差的算术平方根表示样本的标准差，它也描述了数据对平均数的离散程度． 公式：s＝s2＝1n[（x1﹣x¯）2+（x2﹣x¯）2+…+（xn﹣x¯）2] （2） 标准差是反应一组数据离散程度最常用的一种量化形式，是表示精密确的最要指标．标准差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好。 知识点3 极差 （1）极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差． 极差＝最大值﹣最小值． （2）极差是刻画数据离散程度的一个统计量．它只能反映数据的波动范围，不能衡量每个数据的变化情况． （3）极差的优势在于计算简单，但它受极端值的影响较大． 知识点4频数与频率 （1）频数是指每个对象出现的次数． （2）频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比）．即频率＝频数÷总数 一般称落在不同小组中的数据个数为该组的频数，频数与数据总数的比值为频率．频率反映了各组频数的大小在总数中所占的分量． 知识点5频数（率）分布表 1、在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表． 2、列频率分布表的步骤： （1）计算极差，即计算最大值与最小值的差． （2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）． （3）将数据分组． （4）列频率分布表． 知识点6 频数（率）分布直方图 画频率分布直方图的步骤： （1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．（3）确定分点，将数据分组．（4）列频率分布表．（5）绘制频率分布直方图． 注：①频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率，频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率．直角坐标系中的纵轴表示频率与组距的比值，即小长方形面积＝组距×＝频率．②各组频率的和等于1，即所有长方形面积的和等于1．③频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，不利于分析数据分布的总体态势．④从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势，但是从直方图本身得不出原始的数据内容． 知识点7 频数（率）分布折线图 一般利用直方图画频数分布折线图，在频数分布直方图中，把每个小长方形上面的一条边的中点顺次连接起来，得到频数折线图． 注意：折线图要与横轴相交，方法是在直方图的左右两边各延伸一个假想组，并将频数折线两端连接到假想组中点，它主要显示数据的变化趋势． 知识点8 用样本估计总体 用样本估计总体是统计的基本思想． 1、用样本的频率分布估计总体分布： 从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况． 2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）． 一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确． 03 题型归纳 题型一　求方差 例题：1．已知一组数据3，4，x，5，6的平均数是4，则这组数据的方差是（   ） A．2 B．4 C．8 D．10 巩固训练 2．5个同学进行投篮比赛，投中的个数分别是6，8，10，7，9，这组数据的方差是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．为了弘扬中华传统文化，某班开展了背诵古诗词竞赛，满分10分．现从40名同学中随机抽取5名同学的得分，得到如下数据：6，6，8，10，10．该样本的方差是（） A． B． C． D． 4．一组数据2，3，2，3，5的方差是（   ） A．1.2 B．3 C．5.2 D．6 题型二　根据方差判断稳定性 例题：5．某射击训练队的小姜、小徐、小林三位同学在一次备战射击比赛中，各射击枪的成绩分别如下表所示： 成绩/环 第一枪 第二枪 第三枪 第四枪 小姜 小徐 小林 则他们成绩较为稳定的是（   ） A．小姜同学 B．小徐同学 C．小林同学 D．一样稳定 巩固训练 6．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是9.1环，方差分别为，，，，则射击成绩最稳定的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 7．已知甲、乙两人10次标枪的平均成绩相同，落点如图所示，对于方差，的描述正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定 8．在初三毕业数学综评中，学校需要收集初中六个学期中的期末检测成绩来评定，甲、乙、丙、丁的平均成绩均是95分（总分120分），而方差分别为10.39，7.25，8.72，0.46，则这四人中成绩最稳定的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 题型三　根据方差做决策 例题：9．为参加全国冬季运动会，山西某运动俱乐部赛前预备在四位短道速滑运动员中选取一名发挥优秀且稳定的运动员参赛．他们的训练成绩如下表所示，那么派出的队员应为（    ） 甲 乙 丙 丁 平均时间 50.1 51.3 50.1 50.1 方差 0.9 0.9 1.3 57.8 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 巩固训练 10．在“一分钟跳绳”项目的三次测试中，某班4名同学所得成绩的平均数及方差如下，如果选一名同学代表班级参加学校运动会，那么最适合的是（   ） 甲 乙 丙 丁 平均数 189 192 189 192 方差 61 24 31 17 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 11．甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）和方差如表所示，根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（   ） 甲 乙 丙 丁 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 12．八年级1班准备选一名同学参加踢毽子比赛，现将参加选拔的甲、乙、丙三名同学各10次预赛成绩的情况统计如下，如果要选成绩较好且稳定的同学参赛，那么应选择（   ） 甲 乙 丙 平均数 98 98 95 方差 A．甲同学 B．乙同学 C．丙同学 D．无法确定 题型四　求极差 例题：13．一组数据：7，5，9，3，9，15，则这组数据的极差是（   ） A．12 B．9 C．7 D．8 巩固训练 14．一组数据5、3、、4的极差是（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 15．2024年12月26号，滨海的最高气温为，最低气温为，则该日的气温极差为（    ） A． B． C． D． 16．一组数据的极差是3，则另一组数据的极差是（　　） A．3 B．4 C．6 D．9 题型五　求频数 例题：17．一个样本有50个数据，落在某一组内的频率是0.3，那么落在这一组内的频数是（   ） A．50 B．30 C．15 D．3 巩固训练 18．小明在纸上写出一组数字“”，则这组数字中出现2的频数是（   ） A． B． C．3 D．5 19．在一个样本中，45个数据分别落在5个小组内，第1、2、3、4小组的频数分别是3、7、12、8，则第5小组的频数是（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 20．将100个数据分成8组，如下表，则第6组的频数x为（    ） 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 频数 11 14 12 16 10 x 12 10 A．12 B．13 C．14 D．15 题型六　求频率 例题：21．在的各数位中，“2”出现的频率是（   ） A．6 B．4 C． D． 巩固训练 22．某人在射击练习中共射击6次，其中有3次在8环以上，他在这6次射击中，成绩在8环以上的频率是（   ）． A．3 B．2 C．0.3 D．0.5 23．一次数学测试后，某班50名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12、9、11、8，则第5组的频率是（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 24．在某学校秋季运动会上，参加男子跳高的12名同学的成绩（单位：m）记录如下：．在这12名同学的成绩中，跳高成绩为出现的频率为（   ） A． B． C． D．3 题型七　求组数 例题：25．一组数据中最小值是154.5，最大值是183，若选择组距为4，则组数应该是 ． 巩固训练 26．已知样本中有30个数据，最小值是21，最大值是42，若组距为2，那么应分得的组数是 ． 27．一组数据，其中最大值是169，最小值是146，对这组数据进行整理时，组距是4，则组数为 ． 28．一组数据的最大值是131，最小值是88，将这组数据进行分组时，取组距为5，则组数是 ． 题型八　样本估计总体 例题：29．某厂加工了200个工件，质检员从中随机抽取10个工件检测了它们的质量(单位：g)，得到的数据如下： 50.03   49.99     49.98     50.01     50.00 49.97   49.99     50.04     50.02     50.02 当一个工件的质量x(单位：g)满足 时，评定该工件为一等品．根据以上数据，估计这200个工件中一等品的个数是 ． 巩固训练 30．我市关心下一代工作委员会为了了解全市初三学生的视力状况，从全市30000名初三学生中随机抽取了500人进行视力测试，发现其中视力不良的学生有100人，则可估计全市30000名初三学生中视力不良的约有 人． 31．为保护野生动物灰鹤的数量，鸟类保护协会在该湿地中捕捉了60只灰鹤，戴上识别卡后放回，再利用鸟类智能识别追踪系统统计了飞回来的佩有识别卡的灰鹤频率，绘制了如图所示的折线统计图，由此估计该湿地有灰鹤 只． 32．某区有1200名学生参加了“垃圾分类"知识竞赛，为了解本次竞赛成绩分布情况，竞赛组委会从中随机抽取部分学生的成绩(得分都是整数)作为样本，绘制成频率分布直方图(如图) ．请根据提供的信息估计该区本次竞赛成绩在89.5分~ 99.5分的学生有 名． 题型九 频数分布直方图 例题：33．某城市共100家邮政企业，为了解该城市企业4月份收入的情况，从中随机抽取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万元）的数据如下，根据以上数据，估计该城市邮政企业中收入超过1400万的有 家． 巩固训练 34．某校抽取了部分学生的一分钟跳绳测试成绩，将测试成绩整理后作出如图所示的统计图．小红计算出与两组的频率差是，小明计算出组的频率为，结合统计图中的信息，可知这次共抽取了 名学生的一分钟跳绳测试成绩． 35．某中学八年级甲、乙、丙三个班中，每班的学生人数都是40人．某次数学考试的成绩统计如下： 丙班数学成绩频数分布表 分数段（分） 人数 1 4 15 11 9 根据图表提供的信息（每组分数含最小值，不含最大值），则三个班中，分这一组人数最多的班是 班（填“甲”“乙”或“丙”）． 36．为了解某校七年级学生参加消防知识竞赛的成绩（均为整数），从中抽取了的学生的竞赛成绩，整理后绘制了如图所示的频数直方图（各组只含最小值，不含最大值）．若竞赛成绩在90分及以上的学生可以获得奖励，则估计该校获得奖励的七年级学生有 人． 题型十　频数分布折线图 例题：37．某市月份天的最高气温情况如图所示，将1日—日气温的方差记为，日—日气温的方差记为．分析统计图，可知：______．（填“＞、＝、＜”）      巩固训练 38．如图是某校八年级部分同学跳高测试成绩的频数分布折线图（折线图中每一组包括前一个边界值，不包括后一个边界值），从图中可知：频数最大的这组组中值是 ；跳高成绩低于有 人．    39．某校开展了“科技托起强国梦”征文活动，该校对初二年级六个班上交征文的篇数进行了统计，绘制了如图所示的折线统计图，则1班上交征文篇数的频率是 ． 40．如图是23名射击运动员的一次测试成绩的频数分布折线图，则这23名运动员射击成绩的中位数是 环． 试卷第42页，共43页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十七章 方差与频数分布知识归纳与题型突破（10题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点1方差 （1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差． （2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是： s2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”） （3） 方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 知识点2 标准差 （1）标准差：样本方差的算术平方根表示样本的标准差，它也描述了数据对平均数的离散程度． 公式：s＝s2＝1n[（x1﹣x¯）2+（x2﹣x¯）2+…+（xn﹣x¯）2] （2） 标准差是反应一组数据离散程度最常用的一种量化形式，是表示精密确的最要指标．标准差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好。 知识点3 极差 （1）极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差． 极差＝最大值﹣最小值． （2）极差是刻画数据离散程度的一个统计量．它只能反映数据的波动范围，不能衡量每个数据的变化情况． （3）极差的优势在于计算简单，但它受极端值的影响较大． 知识点4频数与频率 （1）频数是指每个对象出现的次数． （2）频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比）．即频率＝频数÷总数 一般称落在不同小组中的数据个数为该组的频数，频数与数据总数的比值为频率．频率反映了各组频数的大小在总数中所占的分量． 知识点5频数（率）分布表 1、在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表． 2、列频率分布表的步骤： （1）计算极差，即计算最大值与最小值的差． （2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）． （3）将数据分组． （4）列频率分布表． 知识点6 频数（率）分布直方图 画频率分布直方图的步骤： （1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．（3）确定分点，将数据分组．（4）列频率分布表．（5）绘制频率分布直方图． 注：①频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率，频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率．直角坐标系中的纵轴表示频率与组距的比值，即小长方形面积＝组距×＝频率．②各组频率的和等于1，即所有长方形面积的和等于1．③频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，不利于分析数据分布的总体态势．④从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势，但是从直方图本身得不出原始的数据内容． 知识点7 频数（率）分布折线图 一般利用直方图画频数分布折线图，在频数分布直方图中，把每个小长方形上面的一条边的中点顺次连接起来，得到频数折线图． 注意：折线图要与横轴相交，方法是在直方图的左右两边各延伸一个假想组，并将频数折线两端连接到假想组中点，它主要显示数据的变化趋势． 知识点8 用样本估计总体 用样本估计总体是统计的基本思想． 1、用样本的频率分布估计总体分布： 从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况． 2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）． 一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确． 03 题型归纳 题型一　求方差 例题：1．已知一组数据3，4，x，5，6的平均数是4，则这组数据的方差是（   ） A．2 B．4 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据平均数求未知数据，求方差，根据平均数的定义列出关于x的方程，解方程求出x，再根据方差计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴这组数据的方差是， 故选：A． 巩固训练 2．5个同学进行投篮比赛，投中的个数分别是6，8，10，7，9，这组数据的方差是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了方差的计算方法，方差等于样本中各数据与平均数差的平方之和再除以样本个数． 先由平均数的公式计算出平均数，再根据方差的公式计算即可． 【详解】解：平均数， 方差． 故选：A． 3．为了弘扬中华传统文化，某班开展了背诵古诗词竞赛，满分10分．现从40名同学中随机抽取5名同学的得分，得到如下数据：6，6，8，10，10．该样本的方差是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了方差的有关知识，正确的求出平均数，并正确代入方差公式是解决问题的关键．结合方差公式先求出这组数据的平均数，然后代入公式求出即可． 【详解】解：平均数为：， 故选：A． 4．一组数据2，3，2，3，5的方差是（   ） A．1.2 B．3 C．5.2 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了方差的求法，熟练运用方差公式求方差是解决本题的关键． 先求得这组数据的平均数，再根据方差公式求解即可． 【详解】解∶平均数为， 方差为， 故选∶A． 题型二　根据方差判断稳定性 例题：5．某射击训练队的小姜、小徐、小林三位同学在一次备战射击比赛中，各射击枪的成绩分别如下表所示： 成绩/环 第一枪 第二枪 第三枪 第四枪 小姜 小徐 小林 则他们成绩较为稳定的是（   ） A．小姜同学 B．小徐同学 C．小林同学 D．一样稳定 【答案】C 【分析】本题考查数据的稳定性分析，即通过计算方差或标准差来比较数据的波动程度．先计算每位同学成绩的平均数，再计算每位同学成绩的方差（每个数据与平均数差的平方的平均数），然后比较方差的大小，方差最小的同学成绩最稳定．解题的关键是掌握：方差的计算公式；方差越小，数据波动越小，成绩越稳定． 【详解】解：小姜同学的成绩分析： （环）， ； 小徐同学的成绩分析： （环）， ； 小林同学的成绩分析： （环）， ； ∵， ∴小林同学成绩的方差最小， ∴小林同学的成绩最稳定． 故选：C． 巩固训练 6．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是9.1环，方差分别为，，，，则射击成绩最稳定的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查方差，先比较大小，再根据方差越小，数据越稳定求解即可． 【详解】解：∵， ∴，又每人10次射击成绩的平均数均是9.1环， ∴射击成绩最稳定的是丁， 故选：D． 7．已知甲、乙两人10次标枪的平均成绩相同，落点如图所示，对于方差，的描述正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了方差与数据集中性的关系，方差越小，数据越集中，据此可得答案． 【详解】解：由图可知，乙的成绩比甲的成绩更加的集中， ∵甲和乙的平均成绩相同， ∴， 故选：C． 8．在初三毕业数学综评中，学校需要收集初中六个学期中的期末检测成绩来评定，甲、乙、丙、丁的平均成绩均是95分（总分120分），而方差分别为10.39，7.25，8.72，0.46，则这四人中成绩最稳定的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，熟练掌握方差的意义是解题的关键．根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案． 【详解】解：方差越小，成绩就越稳定，， 方差为0.46的丁是四人中成绩最稳定的一个， 故选：D． 题型三　根据方差做决策 例题：9．为参加全国冬季运动会，山西某运动俱乐部赛前预备在四位短道速滑运动员中选取一名发挥优秀且稳定的运动员参赛．他们的训练成绩如下表所示，那么派出的队员应为（    ） 甲 乙 丙 丁 平均时间 50.1 51.3 50.1 50.1 方差 0.9 0.9 1.3 57.8 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题考查了平均数和方差，方差它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．根据方差的意义先比较出甲、乙、丙、丁的大小，再根据平均数的意义即可求出答案． 【详解】解：由表可知从平均时间看，甲、丙、丁的成绩一样且好于乙， 从方差看，丁成绩波动幅度太大，甲与乙成绩最稳定， ∴结合平均时间与方差看，甲发挥优秀且稳定， 故选：A． 巩固训练 10．在“一分钟跳绳”项目的三次测试中，某班4名同学所得成绩的平均数及方差如下，如果选一名同学代表班级参加学校运动会，那么最适合的是（   ） 甲 乙 丙 丁 平均数 189 192 189 192 方差 61 24 31 17 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题主要考查了用平均数和方差做决策，根据题意可知应该选择平均数大且方差小的那名同学参加运动会，据此可得答案． 【详解】解；从平均数来看，应该从乙、丁中选取一人参加运动会， 从方差来看，应该选择丁参加运动会， 故选：D． 11．甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）和方差如表所示，根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（   ） 甲 乙 丙 丁 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题考查了利用平均数和方差进行决策，熟练掌握平均数和方差的意义是解题的关键．根据方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，数据越不稳定；方差越小，数据越稳定，结合表中数据，先找出平均数最大的运动员；再根据方差的意义，找出方差最小的运动员即可． 【详解】解：由表中数据可知，射击成绩的平均数最大的是甲，射击成绩方差最小的也是甲， 从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择甲， 故选：A． 12．八年级1班准备选一名同学参加踢毽子比赛，现将参加选拔的甲、乙、丙三名同学各10次预赛成绩的情况统计如下，如果要选成绩较好且稳定的同学参赛，那么应选择（   ） 甲 乙 丙 平均数 98 98 95 方差 A．甲同学 B．乙同学 C．丙同学 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查利用平均数和方差作决策．先找出平均数大，再找出方差小的，进行判断即可．掌握方差越小，成绩越稳定，是解题的关键． 【详解】解：由表格可知，甲和乙的平均数相同大于丙的平均数，乙的方差小于甲的方差， ∴乙的成绩较高，且比较稳定， ∴应该选择乙； 故选：B． 题型四　求极差 例题：13．一组数据：7，5，9，3，9，15，则这组数据的极差是（   ） A．12 B．9 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查极差的定义，熟练掌握极差的定义是解题的关键，根据极差的定义：一组数据中最大数减去最小数的值，计算即可得到答案． 【详解】解：由题可得：这组数据中最大数为：，最小数为：3， ∴这组数据的极差为：， 故选：A． 巩固训练 14．一组数据5、3、、4的极差是（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查的是极差．极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差． 根据极差的概念计算即可． 【详解】解：数据中最大数据为5，最小数据， 则极差为：． 故选：C． 15．2024年12月26号，滨海的最高气温为，最低气温为，则该日的气温极差为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用最大值减去最小值即可求得极差．本题考查了极差的定义，解题的关键是了解最大值与最小值的差是极差，难度不大． 【详解】解：该日的气温极差为． 故选：D． 16．一组数据的极差是3，则另一组数据的极差是（　　） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】A 【分析】本题考查极差的定义，不妨设一组数据中第p个数据最大，第q个数据最小，则，在另一组数据中最大值一定是第p个数据，最小值一定是第q个数据，根据极差定义即可求解． 【详解】解：一组数据的极差是3，不妨设第p个数据最大，第q个数据最小，则， 则在另一组数据中最大值一定是第p个数据，最小值一定是第q个数据， 则极差为． 故选：A． 题型五　求频数 例题：17．一个样本有50个数据，落在某一组内的频率是0.3，那么落在这一组内的频数是（   ） A．50 B．30 C．15 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了频数，频率，总数的关系式，熟练掌握频数与频率的关系是解题的关键．根据频数等于频率乘以总数，结合题意即可求解． 【详解】解：． 故选C． 巩固训练 18．小明在纸上写出一组数字“”，则这组数字中出现2的频数是（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了频数的判断，根据出现的次数即可确定频数，理解频数表示出现的次数是解题的关键． 【详解】解：一组数字“”中出现了次， ∴这组数字中出现的频数为， 故选：D． 19．在一个样本中，45个数据分别落在5个小组内，第1、2、3、4小组的频数分别是3、7、12、8，则第5小组的频数是（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】C 【分析】本题考查频数和频率的知识，注意掌握每个小组的频数等于数据总数减去其余小组的频数，即各小组频数之和等于数据总和. 由总数减去其它四组的数据就是第四组的频数． 【详解】解：根据题意可得：第1、2、3、4个小组的频数分别为3、7、12、8， 共， ∵样本总数为45， 故第5小组的频数是， 故选：C 20．将100个数据分成8组，如下表，则第6组的频数x为（    ） 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 频数 11 14 12 16 10 x 12 10 A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】D 【分析】本题考查了频数，根据频数的概念结合表格中数据求解，即可解题． 【详解】解：由题知，， 故选：D． 题型六　求频率 例题：21．在的各数位中，“2”出现的频率是（   ） A．6 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了频数与频率，熟练掌握频率频数总次数是解题的关键．根据“频率频数总次数”计算即可解答． 【详解】解∶ 在的各数位中，“2”出现的频率是． 故选∶D． 巩固训练 22．某人在射击练习中共射击6次，其中有3次在8环以上，他在这6次射击中，成绩在8环以上的频率是（   ）． A．3 B．2 C．0.3 D．0.5 【答案】D 【分析】本题考查频率的计算．首先，需要明确频率的定义：频率=频数÷总次数．题目中给出某人射击6次，其中3次在8环以上，因此需要将8环以上的次数（频数）除以总射击次数（6次），得到频率． 【详解】解：根据频率公式：，   因此，成绩在8环以上的频率为0.5．   故选：D． 23．一次数学测试后，某班50名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12、9、11、8，则第5组的频率是（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】B 【分析】此题考查了频数与频率，根据第1～4组的频数，求出第5组的频数，即可确定出其频率． 【详解】解：根据题意得第5组的频数为：， 则第5组的频率为， 故选：B． 24．在某学校秋季运动会上，参加男子跳高的12名同学的成绩（单位：m）记录如下：．在这12名同学的成绩中，跳高成绩为出现的频率为（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查简单概率计算．根据题意数出出现的个数，再由概率公式计算即可． 【详解】解：∵根据题意出现的个数为3次， ∴跳高成绩为出现的频率为：， 故选：A． 题型七　求组数 例题：25．一组数据中最小值是154.5，最大值是183，若选择组距为4，则组数应该是 ． 【答案】8 【分析】本题考查的是组数的计算．利用组数等于（最大值最小值）组距，进行求解即可． 【详解】解：， ∴组数应该为8； 故答案为：． 巩固训练 26．已知样本中有30个数据，最小值是21，最大值是42，若组距为2，那么应分得的组数是 ． 【答案】11 【分析】本题考查频数分布表，掌握组距，分组数的方法：组距（最大值最小值）组数是解题的关键．先计算出该组数据的极差，根据组数极差组距即可求解． 【详解】解：最小值是21，最大值是42， ， ， 那么应分得的组数是11， 故答案为：11． 27．一组数据，其中最大值是169，最小值是146，对这组数据进行整理时，组距是4，则组数为 ． 【答案】6 【分析】本题考查频数分布表，调查收集数据的过程与方法，求出最大值与最小值的差，再根据组距、组数、极差的关系进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：6． 28．一组数据的最大值是131，最小值是88，将这组数据进行分组时，取组距为5，则组数是 ． 【答案】9 【分析】本题考查频数分布表，掌握数据分组的方法是正确解答的前提． 根据组数（最大值最小值）组距进行计算即可． 【详解】解：（组） 故答案为：9． 题型八　样本估计总体 例题：29．某厂加工了200个工件，质检员从中随机抽取10个工件检测了它们的质量(单位：g)，得到的数据如下： 50.03   49.99     49.98     50.01     50.00 49.97   49.99     50.04     50.02     50.02 当一个工件的质量x(单位：g)满足 时，评定该工件为一等品．根据以上数据，估计这200个工件中一等品的个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了用样本估计总体，熟练掌握知识点是解题的关键．先计算出10个工件中为一等品的频率，再乘以总数200即可求解． 【详解】解：10个工件中为一等品的有49.99，50.01，50.00，49.99这4个， ∴这200个工件中一等品的个数为个， 故答案为：80． 巩固训练 30．我市关心下一代工作委员会为了了解全市初三学生的视力状况，从全市30000名初三学生中随机抽取了500人进行视力测试，发现其中视力不良的学生有100人，则可估计全市30000名初三学生中视力不良的约有 人． 【答案】6000 【分析】本题考查了样本估计总体，属于简单题，熟悉频率的计算公式是解题关键． 先求出500名学生中视力不良的学生所占的频率，再用30000乘以频率即可解题． 【详解】解：500名学生中视力不良的学生所占的频率为， ∴30000名学生中视力不良的学生有名， 故答案为：6000． 31．为保护野生动物灰鹤的数量，鸟类保护协会在该湿地中捕捉了60只灰鹤，戴上识别卡后放回，再利用鸟类智能识别追踪系统统计了飞回来的佩有识别卡的灰鹤频率，绘制了如图所示的折线统计图，由此估计该湿地有灰鹤 只． 【答案】400 【分析】本题考查了频数与频率、折线统计图，用“频数÷频率=总数”可得答案． 【详解】解：（只）， 即估计该湿地约有灰鹤400只． 故答案为：400． 32．某区有1200名学生参加了“垃圾分类"知识竞赛，为了解本次竞赛成绩分布情况，竞赛组委会从中随机抽取部分学生的成绩(得分都是整数)作为样本，绘制成频率分布直方图(如图) ．请根据提供的信息估计该区本次竞赛成绩在89.5分~ 99.5分的学生有 名． 【答案】180 【分析】根据，计算求出成绩在89.5分~ 99.5分的学生的频率，然后乘以计算求解即可． 【详解】解：由频率分布直方图可知，成绩在89.5分~ 99.5分的学生频率为， ∴估计该区本次竞赛成绩在89.5分~ 99.5分的学生有（名）， 故答案为：180． 题型九 频数分布直方图 例题：33．某城市共100家邮政企业，为了解该城市企业4月份收入的情况，从中随机抽取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万元）的数据如下，根据以上数据，估计该城市邮政企业中收入超过1400万的有 家． 【答案】 【分析】本题考查了条形统计图，样本估计总体，用乘以超过1400万的企业在25家企业中的占比，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 巩固训练 34．某校抽取了部分学生的一分钟跳绳测试成绩，将测试成绩整理后作出如图所示的统计图．小红计算出与两组的频率差是，小明计算出组的频率为，结合统计图中的信息，可知这次共抽取了 名学生的一分钟跳绳测试成绩． 【答案】 【分析】本题考查了频数分布直方图及频率，由已知条件可得的频率为，由频数分布直方图得的频数是，即可求解；能从频数分布直方图获取正确信息，会利用频率进行求解是解题的关键． 【详解】解：由题意得 的频率为， 抽取的学生人数为（名）， 故答案为：． 35．某中学八年级甲、乙、丙三个班中，每班的学生人数都是40人．某次数学考试的成绩统计如下： 丙班数学成绩频数分布表 分数段（分） 人数 1 4 15 11 9 根据图表提供的信息（每组分数含最小值，不含最大值），则三个班中，分这一组人数最多的班是 班（填“甲”“乙”或“丙”）． 【答案】甲 【分析】本题主要考查了频数分布表，频数分布直方图，扇形统计图等知识点，熟练掌握各种统计图表并从中正确获取信息是解题的关键． 由“丙班数学成绩频数分布表”可得丙班中分这一组的人数，由“甲班数学成绩频数直方图”可得甲班中分这一组的人数，由“乙班数学成绩各分数段人数扇形统计图”可得乙班中分这一组的人数，然后比较即可得出答案． 【详解】解：由“丙班数学成绩频数分布表”可得，丙班中分这一组的人数为人， 由“甲班数学成绩频数直方图”可得，甲班中分这一组的人数为人， 由“乙班数学成绩各分数段人数扇形统计图”可得，乙班中分这一组的人数为人， 在三个班中，分这一组人数最多的班是甲班， 故答案为：甲． 36．为了解某校七年级学生参加消防知识竞赛的成绩（均为整数），从中抽取了的学生的竞赛成绩，整理后绘制了如图所示的频数直方图（各组只含最小值，不含最大值）．若竞赛成绩在90分及以上的学生可以获得奖励，则估计该校获得奖励的七年级学生有 人． 【答案】2000 【分析】本题考查频数分布直方图，样本估计总体，根据频数分布直方图求出调查人数，进而求出七年级学生总人数，最后再求出成绩在90分以上的学生人数即可． 【详解】解：参加竞赛的总人数为：（人） 则七年级学生总人数为：， ∴该校获得奖励的七年级学生有：（人） 故答案为：2000 题型十　频数分布折线图 例题：37．某市月份天的最高气温情况如图所示，将1日—日气温的方差记为，日—日气温的方差记为．分析统计图，可知：______．（填“＞、＝、＜”）      【答案】 【分析】根据折线图的气温波动大小即可判断方差的大小． 【详解】解：根据折线图可以看出，1日—日气温的比日—日气温的波动小， 所以； 故答案为：． 巩固训练 38．如图是某校八年级部分同学跳高测试成绩的频数分布折线图（折线图中每一组包括前一个边界值，不包括后一个边界值），从图中可知：频数最大的这组组中值是 ；跳高成绩低于有 人．    【答案】 【分析】根据折线图所给出的数据以及折线图的特点，直接得出频数最大的这组组中值以及跳高成绩低于的人数即可． 【详解】解：根据所给的图形可得： 频数最大的这组组中值是， 跳高成绩低于有人， 故答案为：；． 【点睛】本题考查了频数分布折线图，从图中获取必要的信息是解题的关键，在作图题时必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断． 39．某校开展了“科技托起强国梦”征文活动，该校对初二年级六个班上交征文的篇数进行了统计，绘制了如图所示的折线统计图，则1班上交征文篇数的频率是 ． 【答案】． 【分析】先找出各班交的征文篇数，计算出上交总篇数，利用频率=即可求出． 【详解】二年级六个班上交征文的篇数分别为：8,3,4,6,7,4， 上交篇目总和=8+3+4+6+7+4=32篇， 1班上交征文篇数的频率=， 故答案为：． 【点睛】本题考查折线统计图，利用折线图获取信息，掌握频率，频数与总数关系公式是解题关键． 40．如图是23名射击运动员的一次测试成绩的频数分布折线图，则这23名运动员射击成绩的中位数是 环． 【答案】9 【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，据此可得． 【详解】∵共有23个数据， ∴射击成绩的中位数是第12个数据，即中位数为9， 故答案为：9． 试卷第42页，共43页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$