八年级期中必刷卷-2024-2025学年八年级数学下学期期中考点大串讲（鲁教版）

2024-2025学年八年级数学下学期期中卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：鲁教版八年级下册（第6章+第7章+第8章（8.1-8.5））。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列各式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件： （1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：A、，不是最简二次根式； B、，不是最简二次根式； C、2不能再开方，是最简二次根式； D、，不是最简二次根式． 故选：C． 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．根据二次根式的加法运算对A选项进行判断；根据二次根式的除法法则对B选项进行判断；根据完全平方公式对C选项进行判断；根据平方差公式对D选项进行判断． 【详解】解：A．与不能合并，所以A选项不符合题意 B．，所以B选项不符合题意； C．，所以C选项不符合题意； D．，所以D选项符合题意 故选：D． 3．已知是一元二次方程的两个实数根，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根和系数的关系，代数式求值，由题意可得，，即得，再代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程根的定义及根和系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 4．如图，在正方形中，点，分别在和边上，，，则的面积为（    ） A．6 B．5 C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质，三角形的面积公式，平行四边形的判定和性质知识，熟练掌握相关知识是解题的关键；先根据正方形的性质可得，证明四边形是平行四边形，可得，由此计算，最后由直角三角形的面积公式求解即可 【详解】四边形是正方形， 四边形是平行四边形， 的面积为， 故选：C 5．如图，折叠矩形的一边，点D落在边上的点F处，已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，也考查了勾股定理，矩形的性质． 根据矩形的性质得，，再根据折叠的性质得，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，在中，根据勾股定理得，然后解方程即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ，， ∵折叠矩形的一边，使点落在边的点处， ， 在中，， 设，则， 在中，， ， 解得， ∴的长为． 故答案为：C． 6．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，边在轴上，若点的坐标为，则点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形，菱形的性质，勾股定理，由点的坐标得，，进而由菱形的性质得，利用勾股定理得，据此即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴，， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故选：． 7．对于实数定义新运算：，若关于的方程没有实数根，则的取值范围（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；由题中所给新定义运算可得方程，然后根据一元二次方程根的判别式可进行求解． 【详解】解：由题意可得方程：， 即， ∵该方程没有实数根， ∴， 解得：； 故选：A． 8．如图，中，E，F分别是，的中点，点D在上，延长交于N，，，，则（     ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质等知识点，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线的性质得到，然后根据直角三角形的性质得到，进而根据求解即可． 【详解】解： E，F分别是，的中点，， ， ，， ， ， 故选：C． 9．如图，点是菱形对角线上一动点，，，点，分别是边，的中点，则周长的最小值是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是轴对称最短路线问题及菱形的性质，勾股定理；先作点关于的对称点，连接 交于，此时有最小值．然后证明四边形 为平行四边形，即可求出 ，再求出的长即可求出答案． 【详解】如图，作点关于的对称点，连接 交于，此时有最小值，最小值为 的长． 菱形关于对称，是边上的中点， 是的中点， 又是边上的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，即的最小值为， 连结，过点作，垂足为点， ， 在中，， ， 的周长最小值是 ． 故选：D． 10．如图，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针旋转，得到． 延长交于点，连接，下列结论：①，②四边形是正方形，③若，则；其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 【答案】A 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质等知识．设交于，由及将绕点按顺时针方向旋转，得到，可得，即可得，从而判断①正确；由旋转的性质可得，，，由正方形的判定可证四边形是正方形，可判断②正确；过点作于，由等腰三角形的性质可得，，由“”可得，可得，由旋转的性质可得，从而可得，判断③正确． 【详解】解：设交于，如图： 四边形是正方形， ， ， 将绕点按顺时针方向旋转，得到， ，     ， ， ， ，故①正确； 将绕点按顺时针方向旋转， ，，， 又， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形，故②正确； 如图，过点作于， ，， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 又，， ， ， 将绕点按顺时针方向旋转， ， 四边形是正方形， ， ， ，故③正确； 正确的有：①②③， 故选：A． 第二部分（非选择题 共110分） 2、 填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11．若在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件求解即可；． 【详解】解：由题意得，且， 解得且， 故答案为：且； 12．若与是被开方数相同的最简二次根式， . 【答案】 【分析】题考查了最简二次根式的概念，根据最简二次根式的定义列出a，b的方程求出，再代入计算求值． 【详解】解：∵与是被开方数相同的最简二次根式， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 13．若关于x的一元二次方程有两个实数根，则c的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，解一元一次不等式，列出判别式进行准确求解是解题的关键．根据一元二次方程有两个实数根，得到，建立关于c的不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解：一元二次方程有两个实数根， ， 解得：， 故答案为：． 14．已知平行四边形的两条邻边长，的长分别是关于x的方程的两个实数根，当 时，四边形是菱形． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系和平行四边形和菱形的性质．先根据菱形的性质得到，则根据根的判别式的意义得到，然后解关于m的方程即可解题． 【详解】解：由题可得：， 则方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 15．如图，在中，，为边上一动点，于，于，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短、三角形面积公式，由勾股定理得出，连接，证明四边形是矩形，得出，即当最小时，最小，当时，最小，由三角形面积公式求出的长即可得出答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， 如图，连接， ， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当最小时，最小， 当时，最小，由三角形面积公式得出， 即， 解得：， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 16．如图，在矩形中，边长，边长，对角线的垂直平分线分别与相交于点和相交于点O，动点分别从两点出发，分别绕和运动，点P的速度为，路径为．点Q的速度为，路径为两个动点返回起点后均停止运动．若点P和点Q同时出发，当四边形为平行四边形时，所用时间为 s． 【答案】 【分析】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、菱形的判定与性质，平行四边形的性质等知识；本题难度较大，综合性强，需要进行分类讨论，画出图形，运用平行四边形的性质才能得出结果． 证明，得出，再根据，证明四边形是菱形．设菱形的边长，则．在中，由勾股定理，算出，即得到，由作图可以知道，点在上时，点在上，此时四点不可能构成平行四边形；同理点在上时，点在或上，也不可能构成平行四边形．只有当点在上，点在上时，才能构成平行四边形．即可确定当以四点为顶点的四边形是平行四边形时，，由此列方程即可； 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴． ∴，． ∵垂直平分， ∴． 在和中， ， ， ∴． ， ∴四边形是菱形． 设菱形的边长，则． 在中，， 由勾股定理，得， 解得． ， 由作图可以知道，点在上时，点在上，此时四点不可能构成平行四边形； 同理点在上时，点在或上，也不可能构成平行四边形． ∴只有当点在上，点在上时，才能构成平行四边形． 当以四点为顶点的四边形是平行四边形时，． ∵点的速度为，点的速度为，运动时间为， ， ， 解得． ∴以四点为顶点的四边形是平行四边形时， ． 三、解答题（本大题共10小题（其中17-18题每题6分，19题7分，20-21题每题8分，22-23题每题9分，24题10分，25题11分，26题12分），满分86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．解下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题主要考查二次根式的四则混合运算； （1）先计算二次根式的乘法，再计算减法； （2）先用平方差公式计算，同时进行除法计算，最后计算加减法． 【详解】（1）解： （2）解： 18．选择合适的方法解方程． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先移项，再进行因式分解，得，令每个因式为0，进行计算，即可作答． （2）先移项，提公因式得，令每个因式为0，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解： 解得 （2）解： 解得 19．如图，在边长为的正方形中，是边的中点，点在边上，且．试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，正方形的性质，熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键． 由正方形的性质得，，由中点定义得，，，进而利用勾股定理及逆定理即可得解。 【详解】解：理由如下： 在正方形中，， ∵为中点， ∴，， 在中， ∴ 同理 ∵， ∴ ∴为直角三角形，且 ∴ 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，正方形的性质，中点定义，熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键. 20．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根为，且，求m的值． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据根的判别式得出，据此可得答案； （2）根据根与系数的关系得出，，代入得出关于的方程，解之可得答案． 本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握，是方程的两根时，，． 【详解】（1）证明： ， ∵ 无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由根与系数的关系，得，， 由，得， 解得． 21．如图，四边形是平行四边形，相交于点O，E为的中点，连接，过点E作于点F，过点O作于点G．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若四边形是菱形，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质可知，根据已知可得，所以，于点，于点，则，先证明四边形是平行四边形，再证是直角即可； （2）根据菱形的性质可知，根据已知可求出，然后利用等面积法求出即可． 本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的性质，熟记菱形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， 点是的中点， ． ， ， 于点，于点， ， 四边形是平行四边形 ， ， 四边形是矩形； （2）解：四边形是菱形， ，，，， ，， ，， 在中，， ， 即， ． 22．阅读以下材料：配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式； 再例如：求代数式的最小值，．可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)代数式的最大值为________； (2)已知：，，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解的应用、非负数的性质、完全平方公式的应用， （1）先配方，然后根据完全平方式的非负性求最大值即可； （2）由完全平方公式可得，代入可得，然后由完全平方式的非负性可得，，即可得解． 掌握非负数性质及完全平方公式是解题的关键，解题时要注意配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值． 【详解】（1）解：∵ ， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴代数式的最大值为， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴代数式的值为． 23．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，边与轴交于点G，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，求点E的坐标． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、勾股定理、坐标与图形，由正方形的性质可得，轴，轴，由折叠得，，设，则，由勾股定理求出，再由勾股定理计算得出，即可得解． 【详解】解：∵四边形是正方形，边在x轴上， ∴，轴，轴， 由折叠得，， 设，则， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴． 24．观察下列等式： 第一个等式： 第二个等式： 第三个等式： 按上述规律，回答以下问题： (1)按上面规律填空：_________________； (2)利用以上规律计算：； (3)求的值． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】本题考查规律型—数字的变化类，二次根式的混合运算， （1）先根据所给的式子找出第一、第二、第三个式子的规律，进而可求出第四个等式； （2）把所给式子相加，找出规律即可进行计算； （3）根据所给规律探索将原式转化为，再根据平方差公式易得结果； 解题的关键是通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． 【详解】（1）解：， 故答案为：；；； （2） ； （3） ． 25．问题背景：如图，在正方形中，边长为4，点M，N是边上两点，且，连接与相交于点O． (1)探索发现：探索线段与的关系，并说明理由； (2)探索发现：若点E，F分别是与的中点，计算的长； (3)拓展提高：延长至P，连接，若，请直接写出线段的长． 【答案】(1)，且，见解析； (2)； (3)． 【分析】（）由四边形是正方形，得，，证明，根据全等三角形的性质即可求证； （）连接并延长交于，连接，先证明，得，，则有，根据勾股定理求出即可； （）过点作于点，由勾股定理求出，根据等面积，得出，最后由勾股定理和线段和差即可求解． 【详解】（1）解：，且， 理由：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴线段和的关系为：，且； （2）解：连接并延长交于，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∵正方形的边长为，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过点作于点， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，勾股定理，等角对等边等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 26．综合与实践 【模型建立】 （1）如图1，在正方形中，，分别是边，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小明的探究思路如下：延长到点，使，连接，先证明，再证明．则，，之间的数量关系为_____． 【类比探究】 （2）如图2，在四边形中，，与互补，，分别是边，上的点，且，那么线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，在上，．若，，那么线段，，围成的三角形的面积为_____． 【答案】（1） （2），理由见解析； （3）2 【分析】（1）沿着小明的思路，先证，再证，即可得出结论； （2）延长至点M，使得，连接，先证，再证，即可得出结论； （3）将绕点A逆时针旋转得到，连接，则，得，因此 ，可证得，则，，得、、围成的三角形面积，即可求解． 【详解】解∶（1）， 理由如下∶延长到点，使，连接， 四边形是正方形， ，， ． 在和中， ． ，， ，， ， ． 在和中， ． ． ． ， ． 故答案为∶． （2），理由如下∶ 延长至点M，使得，连接，如图2∶ 与互补， ． ， ． ， ， ，． ， ． ． ， ． ，， ． ． ，， ． （3）将绕点A逆时针旋转得到，连接，如图3， 已知， 则，，，． ． ， ． ，， ． ． ． ，， 、、围成的三角形面积为、、围成的三角形面积． ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、正方形的性质以及四边形和三角形面积等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级数学下学期期中卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：鲁教版八年级下册（第6章+第7章+第8章（8.1-8.5））。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列各式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知是一元二次方程的两个实数根，则的值等于（    ） A． B． C． D． 4．如图，在正方形中，点，分别在和边上，，，则的面积为（    ） A．6 B．5 C．3 D． 5．如图，折叠矩形的一边，点D落在边上的点F处，已知，则（　　） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，边在轴上，若点的坐标为，则点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 7．对于实数定义新运算：，若关于的方程没有实数根，则的取值范围（   ） A． B． C．且 D．且 8．如图，中，E，F分别是，的中点，点D在上，延长交于N，，，，则（     ） A．2 B． C．1 D． 9．如图，点是菱形对角线上一动点，，，点，分别是边，的中点，则周长的最小值是(   ) A． B． C． D． 10．如图，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针旋转，得到． 延长交于点，连接，下列结论：①，②四边形是正方形，③若，则；其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 第二部分（非选择题 共110分） 2、 填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11．若在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 12．若与是被开方数相同的最简二次根式， . 13．若关于x的一元二次方程有两个实数根，则c的取值范围为 ． 14．已知平行四边形的两条邻边长，的长分别是关于x的方程的两个实数根，当 时，四边形是菱形． 15．如图，在中，，为边上一动点，于，于，连接，则的最小值为 ． 16．如图，在矩形中，边长，边长，对角线的垂直平分线分别与相交于点和相交于点O，动点分别从两点出发，分别绕和运动，点P的速度为，路径为．点Q的速度为，路径为两个动点返回起点后均停止运动．若点P和点Q同时出发，当四边形为平行四边形时，所用时间为 s． 三、解答题（本大题共10小题（其中17-18题每题6分，19题7分，20-21题每题8分，22-23题每题9分，24题10分，25题11分，26题12分），满分86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．解下列各题： (1)； (2)． 18．选择合适的方法解方程． (1) (2) 19．如图，在边长为的正方形中，是边的中点，点在边上，且．试判断与的位置关系，并说明理由． 20．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根为，且，求m的值． 21．如图，四边形是平行四边形，相交于点O，E为的中点，连接，过点E作于点F，过点O作于点G．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若四边形是菱形，，求的长． 22．阅读以下材料：配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式； 再例如：求代数式的最小值，．可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)代数式的最大值为________； (2)已知：，，求代数式的值． 23．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，边与轴交于点G，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，求点E的坐标． 24．观察下列等式： 第一个等式： 第二个等式： 第三个等式： 按上述规律，回答以下问题： (1)按上面规律填空：_________________； (2)利用以上规律计算：； (3)求的值． 25．问题背景：如图，在正方形中，边长为4，点M，N是边上两点，且，连接与相交于点O． (1)探索发现：探索线段与的关系，并说明理由； (2)探索发现：若点E，F分别是与的中点，计算的长； (3)拓展提高：延长至P，连接，若，请直接写出线段的长． 26．综合与实践 【模型建立】 （1）如图1，在正方形中，，分别是边，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小明的探究思路如下：延长到点，使，连接，先证明，再证明．则，，之间的数量关系为_____． 【类比探究】 （2）如图2，在四边形中，，与互补，，分别是边，上的点，且，那么线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，在上，．若，，那么线段，，围成的三角形的面积为_____． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$