第四单元 比例的意义、基本性质及应用（八个重难点突破）-2024-2025学年六年级下册数学重难点专题突破（人教版）

第四单元 比例的意义、基本性质及应用 一、比例的意义 二、比例的基本性质 三、解比例 四、比例尺的意义 五、比例尺的应用 六、应用比例尺画图 七、图形的放大与缩小作图 八、用比例解决问题 知识点1比例的意义和基本性质 1、比例的意义。 （1）比例的意义：表示两个比相等的式子叫作比例。 （2）判断两个比能否组成比例的方法：看两个比的比值是否相等，如果比值相等，那么就能组成比例；否则不能组成比例。 2、比例的各部分的名称。 组成比例的四个数，叫作比例的项，两端的两项叫作比例的外项，中间的两项叫作比例的内项。 3、比例的基本性质。 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质。 4、应用比例的基本性质判断两个比能否组成比例 先假设两个比能组成比例,再分别算出它们内、外项的积,如果内、外项的积相等,则能组成比例;如果内、外项的积不相等,则不能组成比例。 重难点一比例的意义 【典例1】把两个比值都是0.5的比，组成一个内项分别是4和5的比例是( )。 【答案】2∶4＝5∶10 【分析】表示两个比相等的式子叫比例，根据题干描述，即一个外项∶4＝0.5，5∶另一个外项＝0.5，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商，根据比值×后项＝前项，前项÷比值＝后项，分别计算出比例的两个外项，写出这个比例即可。 【解答】0.5×4＝2、5÷0.5＝10，这个比例是2∶4＝5∶10。 【变式1-1】红红用蜂蜜和水为家人调制了四杯蜂蜜水，蜂蜜和水的配比情况如下表所示。 第一杯 第二杯 第三杯 第四杯 蜂蜜（g） 12 12 15 18 水（g） 48 60 50 90 第( )杯和第( )杯的蜂蜜与水的质量比的比值相同，把它们组成一个比例是( )。 【答案】二 四 12∶60＝18∶90/18∶90＝12∶60 【分析】求比值：比的前项除以后项得到的商就是比值。可以是整数、小数或分数。 根据蜂蜜和水的配比情况及求比值的方法，分别求出蜂蜜与水的比值，再找出相同的，列出比例即可。 【解答】 12∶60＝18∶90或18∶90＝12∶60 第二杯和第四杯的蜂蜜与水的质量比的比值相同，把它们组成一个比例是12∶60＝18∶90（或18∶90＝12∶60）。 【变式1-2】可以用图( )与图( )的数据组成比例，写成比例是：( )。 【答案】A C 2∶1＝4∶2 【分析】表示两个比相等的式子叫比例，据此分别写出各三角形两直角边的比，求出比值，找到比值相等的两个比即可。 【解答】图A：2∶1＝2÷1＝2 图B：3∶2＝3÷2＝1.5 图C：4∶2＝4÷2＝2 可以用图A与图C的数据组成比例，写成比例是：2∶1＝4∶2。（写出的比例不唯一） 【变式1-3】妈妈和王阿姨一起去超市买菜，妈妈花4元买了2kg西红柿，王阿姨买了3kg西红柿花去6元。 (1)请你根据以上信息写出两个比：( )和( )。 (2)这两个比( )组成比例（填“能”或“不能”），我的判断理由是 。 【答案】(1)4∶2 6∶3 (2)能 这两个比的比值相等 【分析】（1）两个量相除，叫做两个量的比。从题意可知：可以用总价∶数量，也可以总价∶总价，数量∶数量。 （2）表示两个比相等的式子，叫做比例。计算出两个比的比值，只要比值相等就能组成比例。 【解答】（1）根据总价∶数量可得，4∶2、6∶3 （答案不唯一） （2）4∶2＝4÷2＝2     6∶3＝6÷3＝2 4∶2 ＝6∶3 这两个比能组成比例，我的判断理由是：因为这两个比的比值相等，这个比值也就是单价一样，都是每千克2元。 （答案不唯一） 重难点二 比例的基本性质 【典例2】把这个等式改写成两个不同的比例：( )，( )。 【答案】2∶＝3∶0.75 ∶2＝0.75∶3 【分析】比例的基本性质：比例的两个内项之积等于两个外项之积，根据比例的基本性质逆运算，即可解答（答案不唯一）。 【解答】2×0.75＝×3 2∶＝3∶0.75 ∶2＝0.75∶3 把2×0.75＝×3这个等式改写成两个不同的比例：2∶＝3∶0.75，∶2＝0.75∶3。 【变式2-1】在一个比例中，两个内项的积是最小的质数，一个外项是5，则另一个外项是( )；16的因数有( )个，选取其中的四个组成比例是( )。 【答案】/0.4 5 2∶1＝16∶8 【分析】已知一个比例的两个内项的积是最小的质数即2，根据比例的基本性质，那么这个比例的两个外项的积也是2；用两个外项的积除以已知的一个外项，即可求出另一个外项。 先列举出16所有的因数，并数出个数；再根据比例的意义，从中找出两组比值相等的数，即可组成比例。 【解答】另一个外项是：2÷5＝ 16的因数：1，2，4，8，16；有5个。 2∶1＝2÷1＝2，16∶8＝16÷8＝2，比值相等，可以组成比例2∶1＝16∶8。 填空如下： 在一个比例中，两个内项的积是最小的质数，一个外项是5，则另一个外项是（）；16的因数有（5）个，选取其中的四个组成比例是（2∶1＝16∶8）。 （比例不唯一） 【变式2-2】六年级男生人数的和女生人数的相等，男生和女生的人数比是( )，已知男生有100人，女生有( )人。 【答案】25∶24/ 96 【分析】在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质。从“六年级男生人数的和女生人数的相等”可得：男生人数×＝女生人数×，再根据比例的基本性质的逆运算，可得男生人数∶女生人数＝∶，再求出最简整数比即可。用男生人数100人除以男生对应的份数，即可求出一份的人数，再乘女生对应的份数，即可求出女生的人数。 【解答】根据分析可得： 男生人数×＝女生人数× 男生人数∶女生人数＝∶＝25∶24 100÷25×24＝96（人） 男生和女生的人数比是25∶24，已知男生有100人，女生有96人。 【变式2-3】在一个比例里，两个外项的积是，其中一个内项是，另一个内项是( )。 【答案】2 【分析】由“在一个比例里，两个外项的积是”，根据比例的性质“两内项的积等于两外项的积”，可知两个内项的积也是；再根据“其中一个内项是”，进而用两内项的积除以一个内项即可得到另一个内项的数值。 【解答】÷＝×＝2 在一个比例里，两个外项的积是，其中一个内项是，另一个内项是2。 知识点2解比例 1、解比例的意义和解比例。 （1）意义：求比例中的未知项，叫作解比例。 （2）方法：根据比例的基本性质把比例转化成乘法算式；解方程求出未知项的值。 重难点三解比例 【典例3】解方程或比例。 0.6∶＝∶           ＝          （3＋）÷＝4 【答案】＝5；＝；＝ 【分析】（1）先根据比例的基本性质把比例方程改写成0.6＝×，然后方程两边同时除以0.6，求出方程的解； （2）先根据比例的基本性质把比例方程改写成18＝7.5×4，然后方程两边同时除以18，求出方程的解； （3）先计算括号里面的加法，方程变成÷＝4，然后方程两边先同时乘，再同时除以4，求出方程的解。 【解答】（1）0.6∶＝∶ 解：0.6＝× 0.6＝3 ＝3÷0.6 ＝5 （2）＝ 解：18＝7.5×4 18＝30 ＝30÷18 ＝ （3）（3＋）÷＝4 解：÷＝4 ÷＝4 ÷×＝4× 4＝ ＝÷4 ＝× ＝ 【变式3-1】解方程（或解比例）。 3x＋0.6＝7.8        7.5∶0.5＝x∶6 【答案】x＝2.4；x；x＝90 【分析】根据等式的性质，方程两边同时减去0.6，两边再同时除以3； 根据等式的性质，方程两边同时乘，两边再同时乘； 根据比例的基本性质，把比例化为方程：0.5x＝7.5×6，两边再同时除以0.5。 【解答】3x＋0.6＝7.8 解：3x＋0.6－0.6＝7.8－0.6 3x＝7.2 3x÷3＝7.2÷3 x＝2.4 x÷＝1 解：x÷×＝1× x＝ ×x＝× x 7.5∶0.5＝x∶6 解：0.5x＝7.5×6 0.5x＝45 0.5x÷0.5＝45÷0.5 x＝90 【变式3-2】解方程或解比例。 ×（＋0.4）＝4.32              ＝ 【答案】＝6；＝12 【分析】（1）先算括号里面的加法，方程变成×0.9＝4.32，根据等式的性质，方程两边先同时除以0.9，再同时除以求解； （2）先根据比例的基本性质把比例方程改写成8（－3.6）＝4（＋4.8），然后把方程化简成8－28.8＝4＋19.2，根据等式的性质，方程两边先同时减去4，再同时加上28.8，最后同时除以4求解。 【解答】（1）×（＋0.4）＝4.32 解：×（0.5＋0.4）＝4.32 ×0.9＝4.32 ×0.9÷0.9＝4.32÷0.9 ＝4.8 ÷＝4.8÷ ＝4.8× ＝6 （2）＝ 解：8（－3.6）＝4（＋4.8） 8－8×3.6＝4＋4×4.8 8－28.8＝4＋19.2 8－28.8－4＝4＋19.2－4 4－28.8＝19.2 4－28.8＋28.8＝19.2＋28.8 4＝48 ＝48÷4 ＝12 【变式3-3】解方程或解比例。 0.6x＋5.4x＝7.2                                       【答案】x＝1.2；x x＝2；x 【分析】0.6x＋5.4x＝7.2，先化简方程左边含有x的算式，即求出0.6x＋5.4x的和，再根据等式的性质2，方程两边同时除以0.6＋5.4的和即可。 ∶＝x∶，根据比例的基本性质化为：x＝×，再根据等式的性质2，方程两边同时除以即可。 ＝，根据比例的基本性质化为：化为：3.6x＝4.5×1.6，再根据等式的性质2，方程两边同时除以3.6即可。 2－x＝，根据等式的性质1，方程两边同时加上x，再同时减去，再根据等式的性质2，方程两边同时除以即可。 【解答】0.6x＋5.4x＝7.2 解：6x＝7.2 6x÷6＝7.2÷6 x＝1.2 ∶＝x∶ 解：x＝× x＝ x÷＝÷ x＝×4 x＝ ＝ 解：3.6x＝4.5×1.6 3.6x＝7.2 3.6x÷3.6＝7.2÷3.6 x＝2 2－x＝ 解：2－x＋x＝＋x ＋x＝2 ＋x－＝2－ x＝2－ x＝ x÷＝÷ x＝× x＝ 知识点3比例的应用 1、比例尺的意义。 比例尺的意义：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫作这幅图的比例尺。 比例尺的计算：图上距离：实际距离=比例尺。 2、比例尺的种类。 按照表现形式分为数值比例尺和线段比例尺； 按照实际距缩小还是扩大分为缩小比例尺和扩大比例尺。 3、已知图上距离和实际距离，求比例尺。 已知图上距离和实际距离，求比例尺的方法：用图上距离比实际距离就可以求出比例尺，但要注意统一单位。 4、已知比例尺和图上距离，求实际距离。 （1）解方程；（2）直接用图上距离除以比例尺就是实际距离。 5、应用比例尺画图要做到三步走。 （1）根据实际距离与纸张的大小确定平面图的比例尺； （2）根据比例尺求出图上距离； （3）根据图上距离画出相应的平面图，并表明平面图的名称及比例尺。 6、图形的放大和缩小。 （1）保持图形原来的形状不变，但是和原图相比，图形变大了，叫作图形的放大； （2）保持图形原来的形状不变，但是和原图相比，图形变小了，叫作图形的缩小。 7、在方格纸上按一定的比将图形放大或缩小的方法。 放大或缩小后的图形与原来的图形相比，形状相同，但是大小发生了变化。 8、用正比例解决问题。 用正比例知识解决问题的步骤：（1）分析题意，找到两种相关联的量，判断它们是否成正比例；（2）如果成正比例，根据正比例的意义列出比例式；（3）解比例；（4）检验并写出答语。 9、用反比例解决问题。 用反比例知识解决问题的步骤：（1）分析题意，找到两种相关联的量，判断它们是否成反比例；（2）如果成反比例，那么根据反比例的意义列出比例式；（3）解比例；（4）检验并写出答语。 重难点四比例尺的意义 【典例4】两地的实际距离是600千米，在地图上的距离是6厘米，这幅地图的比例尺是（    ）。 A．6∶600 B．6∶60000000 C．1∶10000000 D．1∶100 【答案】C 【分析】比例出＝图上的距离∶实际距离，先将实际距离换算单位，高级单位转化为低级单位乘两个单位之间的进率，1千米＝100000厘米，再根据比例尺得出比，最后严根据比例的基本性质将比化简成最简整数比。 【解答】600千米＝60000000厘米 6∶60000000＝1∶10000000 则这幅地图的比例尺是1∶10000000。 故答案为：C 【变式4-1】工程师要研究一种精密零件，零件的实际长度为4mm，而画在图纸上是4dm，这幅图的比例尺是（    ）。 A．1∶1 B．100∶1 C．1∶100 【答案】B 【分析】比例尺＝图上距离：实际距离，据此代入数据解答即可，注意要统一单位。 【解答】4dm∶4mm ＝400mm∶4mm ＝400∶4 ＝（400÷4）∶（4÷4） ＝100∶1 这幅图的比例尺是100∶1。 故答案为：B 【变式4-2】把线段比例尺改写成数值比例尺是（    ）。 A．1∶50 B．1∶5000000 C．1∶50000000 D．1∶20000000 【答案】B 【分析】根据题意，从线段比例尺可知，1厘米表示50千米；根据比例尺的意义，比例尺＝图上距离∶实际距离，据此求出数值比例尺，即可解答。 【解答】50千米＝5000000厘米 数值比例尺是1∶5000000。 把线段比例尺改写成数值比例尺是1∶5000000。 故答案为：B 【变式4-3】2024年4月25日神舟18号航天飞船发射成功。其飞行器上有一精密零件，实际长度是5mm，画在图纸上是8cm，这张图纸的比例尺是（    ）。 A．5∶8 B．8∶5 C．1∶16 D．16∶1 【答案】D 【分析】已知一精密零件的实际长度是5mm，画在图纸上是8cm，根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”以及进率“1cm＝10mm”，求出这张图纸的比例尺。 【解答】8cm∶5mm ＝（8×10）mm∶5mm ＝80∶5 ＝（80÷5）∶（5÷5） ＝16∶1 这张图纸的比例尺是16∶1。 故答案为：D 重难点五比例尺的应用 【典例5】今年5月，某校八年级师生参加了“走城墙，筑梦想”研究旅行活动，师生徒步绕行城墙一周，路程共计约13.6千米。若按比例尺1∶50000缩小后，行走路程的总长度为（    ）。 A．272厘米 B．27.2厘米 C．136厘米 D．13.6厘米 【答案】B 【分析】13.6千米换算成厘米，再根据图上距离＝实际距离×比例尺，据此列式计算即可得解。 【解答】13.6千米＝1360000厘米 （厘米） 今年5月，某校八年级师生参加了“走城墙，筑梦想”研究旅行活动，师生徒步绕行城墙一周，路程共计约13.6千米。若按比例尺1∶50000缩小后，行走路程的总长度为27.2厘米。 故答案为：B 【变式5-1】如图，一辆汽车早上7：00从A地出发，以平均每小时60千米的速度行驶，10：30到达目的地，目的地应该是（    ）。 A．甲城 B．乙城 C．丙城 D．无法确定 【答案】B 【分析】用结束时刻－开始时刻＝经过时间，先求出行驶的时间，再根据路程＝速度×时间，求出汽车行驶的路程；再根据图上1厘米表示实际距离100千米，求出行驶的路程的图上距离，从图中可以看出从A地到甲城、乙城、丙城大约分别有1厘米、2厘米、3厘米，据此进行比较，即可解答。 【解答】10：30－7：00＝3.5（小时） 60×3.5＝210（千米） 210÷100＝2.1（厘米） 因为从A地到甲城、乙城、丙城大约分别有1厘米、2厘米、3厘米，所以目的地估计是乙城。 故答案为：B 【变式5-2】一个电子元件长6毫米，将它画在比例尺是50∶1的图纸上，图纸上该电子元件长（    ）厘米。 A．300 B．30 C．3 D．0.3 【答案】B 【分析】设图纸上该电子元件长x厘米，根据图上距离∶实际距离＝比例尺，可得：x∶6＝50∶1，再根据比例的基本性质解出比例即可。最后结果化成以厘米为单位的数。 【解答】解：设图纸上该电子元件长x厘米。 x∶6＝50∶1 x＝6×50 x＝300 300毫米＝30厘米 则图纸上该电子元件长30厘米。 故答案为：B 【变式5-3】聪聪和明明分别将学校的花坛画了下来（如下图）。如果聪聪是按1∶a画的，那么明明是按（    ）画的。    A．a∶1 B．1∶2a C．2a∶1 D．1∶a 【答案】B 【分析】已知聪聪画的比例尺和花坛的图上长度，根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”，求出这个花坛的实际长度； 又已知明明画的花坛的图上长度，根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”，即可求出明明画的比例尺。 【解答】实际长度： 10÷ ＝10×a ＝10a（cm） 明明画的比例尺： 5∶10a ＝（5÷5）∶（10a÷5） ＝1∶2a 明明是按1∶2a画的。 故答案为：B 【点评】本题考查比例尺的意义及应用，掌握图上距离、实际距离、比例尺之间的关系是解题的关键。 重难点六应用比例尺作图 【典例6】（1）A城市在B城市的南偏西40°方向900千米处，在图上标出A城市的位置。 （2）B城市在A城市的（    ）偏（    ）40°方向。 【答案】（1）见详解 （2）北；东 【分析】（1）已知比例尺为1∶30000000，A、B两城相距900千米，根据“图上距离＝实际距离×比例尺”以及进率“1千米＝100000厘米”，求出A、B两城的图上距离。 以B城市为观测点，以图上的“上北下南，左西右东”为准，结合方向、角度和距离确定图中A城市的位置。 （2）A城市在B城市的南偏西40°方向上，是以B城市为观测点；B城市在A城市的方向是以A城市为观测点；根据位置的相对性可知，观测点不同，方向相反，夹角的度数相同，距离相同，据此解答。 【解答】（1）900千米＝90000000厘米 90000000×＝3（厘米） 如图： （2）B城市在A城市的北偏东40°方向。 【变式6-1】黄晴家在学校正西方向300米，李海家在黄晴家北偏东45°方向100米处，王欣家在李海家正东方向400米处，先确定比例尺，再画出他们三家和学校的位置平面图。我选的线段比例尺是（    ），数值比例尺是（    ）。 【答案】；1∶10000 见详解 【分析】因为三家距离各自观测点的距离都是几百米，所以比例尺选择图上距离1厘米代表实际距离100米，画出线段比例尺，数值比例尺是1厘米∶100米＝1厘米∶10000厘米＝1∶10000，据此画出图即可。 【解答】线段比例尺： 数值比例尺：1∶10000 图上：黄晴家在学校正西方向（厘米）处； 李海家在黄晴家北偏东45°方向（厘米）处； 王欣家在李海家正东方向（厘米）处； 【变式6-2】小明家正北方向300米是科技馆，科技馆正东方向600米是动物园，动物园南偏西30°方向400米是书店。画出上述地点的平面图。（比例尺是1∶10000） 【答案】见详解 【分析】以图上的“上北下南，左西右东”为准，比例尺是1∶10000表示图上1厘米相当于实际距离100米。 在小明家正北方向上画300÷100＝3厘米长的线段即是科技馆； 在科技馆正东方向上画600÷100＝6厘米长的线段即是动物园； 在动物园南偏西30°方向上画400÷100＝4厘米长的线段即是书店。 【解答】10000厘米＝100米 比例尺1∶10000表示图上1厘米相当于实际距离100米。 300÷100＝3（厘米） 600÷100＝6（厘米） 400÷100＝4（厘米） 如图： 【变式6-3】以君君家为观测点，用直尺量角器画出其他三位小朋友家的位置。 （1）小海家在西偏北60°方向300米处。 （2）小贝家在东偏北45°方向400米处。 （3）豆豆家在南偏东30°方向200米处。 【答案】图见详解 【分析】根据地图方向的规定“上北下南，左西右东”，以君君家为观测点即可确定小海家、小贝家、豆豆家的方向，再根据小海家、小贝家、豆豆家与君君家的实际距离及图中所标注的线段比例尺即可分别求出小海家、小贝家、豆豆家与君君家的图上距离，从而画出小海家、小贝家、豆豆家的位置。 【解答】（1）300÷100＝3（厘米） 即小海家在君君家西偏北60°方向图上距离3厘米处； （2）400÷100＝4（厘米） 即小贝家在君君家东偏北45°方向图上距离4厘米处； （3）200÷100＝2（厘米） 即豆豆家在君君家南偏东30°方向图上距离2厘米处。 根据以上信息画图如下： 重难点七图形的放大与缩小作图 【典例7】画出三角形按1∶2缩小后的图形。 【答案】见详解 【分析】图中三角形按1∶2缩小，那么原来三角形的底、高都除以2，即是缩小后三角形的底和高，形状不变，据此画出缩小后的三角形。 【解答】缩小三角形的底：6÷2＝3 缩小三角形的高：2÷2＝1 如图： 【变式7-1】按3∶1的比画出三角形放大后的图形，按1∶2比画出缩小后的正方形。 【答案】见详解 【分析】按3∶1的比画出三角形放大后的图形，则原来三角形的底和高分别乘3，即是放大后三角形的底和高，形状不变，据此画出放大的三角形。 按1∶2比画出缩小后的正方形，则原来正方形的边长除以2，即是缩小后正方形的边长，据此画出缩小的正方形。 【解答】放大后三角形的底：3×3＝9 放大后三角形的高：2×3＝6 画一个底为9、高为6的三角形。 缩小后正方形的边长：4÷2＝2 画一个边长为2的正方形。 如图： 【变式7-2】把图形按照3∶1放大后画出来。 【答案】见详解 【分析】把图形按照n∶1放大，就是将图形的每一条边放大到原来的n倍，放大后图形与原图形对应边长的比是n∶1。圆的周长＝2×圆周率×半径，将圆按照3∶1放大，就是将圆的半径按3∶1放大，根据画圆的方法：把圆规的两脚分开，定好两脚的距离，即半径；把有针尖的一只脚固定在一点上，即圆心；把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。画出放大后的圆即可。 【解答】 【变式7-3】按要求在下面方格纸上画图。 （1）将下面梯形按2∶1放大。 （2）画出三角形ABC向下平移4格，再向右平移3格后的图形。 （3）将三角形ABC绕B点逆时针旋转90°，画出旋转后的图形。 【答案】（1）（2）（3）见详解 【分析】（1）将梯形按2∶1放大，则原来梯形的上底、下底和高都乘2，即是扩大后梯形的上底、下底和高，据此画出扩大后的梯形。 （2）根据平移的特征，把三角形ABC的各顶点分别先向下平移4格，再向右平移3格，依次连接即可得到平移后的图形。 （3）根据旋转的特征，将三角形ABC绕B点逆时针旋转90°，点B位置不变，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同度数，即可画出旋转后的图形。 【解答】如图： 重难点八比例的应用 【典例8】古代我国沿海居民利用海水制食盐，将海水引入盐田，晒干后得到海盐，此法称为“盐田法”。已知500千克海水能晒制15千克海盐，那么引入17500吨海水，可以晒制多少吨海盐？（用比例解） 【答案】525吨 【分析】分析题目，设引入17500吨海水，可以晒制x吨海盐，再根据海水的质量∶海盐的质量的比值不变列出比例500∶15＝17500∶x，最后解出比例即可。 【解答】解：设引入17500吨海水，可以晒制x吨海盐。 500∶15＝17500∶x 500x＝15×17500 500x＝262500 x＝262500÷500 x＝525 答：引入17500吨海水，可以晒制525吨海盐。 【变式8-1】“神舟十号”绕地球飞行2圈大约需要180分钟，照这样计算，“神舟十号”飞船450分钟能绕地球飞行多少圈？（用比例解答） 【答案】5圈 【分析】用比例解决问题只要比例两边的比统一即可，设“神舟十号”飞船450分钟能绕地球飞行x圈，根据飞行圈数∶时间＝2∶180，列出比例解答即可。 【解答】解：设“神舟十号”飞船450分钟能绕地球飞行x圈。 x∶450＝2∶180 180x＝450×2 180x÷180＝900÷180 x＝5 答：“神舟十号”飞船450分钟能绕地球飞行5圈。 【变式8-2】李叔叔从家开车去济南，每小时行80千米，3.5小时到达。返回时，如果速度提高25%，那么多少小时可以返回家中？（用比例解） 【答案】2.8小时 【分析】将原来的速度看作单位“1”，先利用原来的速度乘（1＋25%）求出提高后的速度，再根据速度×时间＝路程列出比例，解比例即可。 【解答】解：设x小时可以返回家中。 80×（1＋25%）x＝80×3.6 80×1.25x＝280 100x＝280 100x÷100＝280÷100 x＝2.8 答：2.8小时可以返回家中。 【变式8-3】李老师应该付给邮局多少钱？ 【答案】468元 【分析】表示两个比相等的式子，叫做比例。根据总价÷数量＝单价，可以设李老师应该付给邮局x元，则312元∶8份＝x∶12份，据此列出比例方程，并求解。 【解答】解：李老师应该付给邮局x元， 312∶8＝x∶12 8x＝312×12 8x＝3744 8x÷8＝3744÷8 x＝468 答：李老师应该付给邮局468元。 一、填空题 1．如果（、均不为0），那( )∶( )。 【答案】6 5 【分析】在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质。从题意可知：可以看作两个外项相乘， 可以看作两个内项相乘，据此列出比例即可。 【解答】如果（、均不为0），那∶＝6∶5。 2．汽车厂按1∶20的比生产了一批汽车模型。轿车模型长24.3cm，轿车的实际长度( )，公共汽车长11.76m，公共汽车模型的长度是( )。 【答案】4.86m 58.8cm 【分析】设轿车的实际长度是xcm，根据模型长度∶实际长度＝1∶20，列出比例式解比例；设公共汽车模型的长度是ycm，根据模型长度∶实际长度＝1∶20，列出比例式解比例，据此解答。 【解答】解：设轿车的实际长度是xcm。 24.3∶x＝1∶20 x＝24.3×20 x＝486 486cm＝4.86m 解：设公共汽车模型的长度是ycm。 11.76m＝1176cm y∶1176＝1∶20 20y＝1176 20y÷20＝1176÷20 y＝58.8 因此轿车的实际长度是4.86m；公共汽车模型的长度是58.8cm。 3．在一个比例中，两个内项的积是最小的质数，一个外项是5，则另一个外项是( )；16的因数有( )个，选取其中的四个组成比例是( )。 【答案】/0.4 5 2∶1＝16∶8 【分析】已知一个比例的两个内项的积是最小的质数即2，根据比例的基本性质，那么这个比例的两个外项的积也是2；用两个外项的积除以已知的一个外项，即可求出另一个外项。 先列举出16所有的因数，并数出个数；再根据比例的意义，从中找出两组比值相等的数，即可组成比例。 【解答】另一个外项是：2÷5＝ 16的因数：1，2，4，8，16；有5个。 2∶1＝2÷1＝2，16∶8＝16÷8＝2，比值相等，可以组成比例2∶1＝16∶8。 填空如下： 在一个比例中，两个内项的积是最小的质数，一个外项是5，则另一个外项是（）；16的因数有（5）个，选取其中的四个组成比例是（2∶1＝16∶8）。 （比例不唯一） 4．在比例里，两个外项互为倒数，其中一个内项是，另一个内项是( )。 【答案】/0.4 【分析】如果两个数的乘积为1，我们就说这两个数互为倒数，则两个外项的乘积为1，在比例中，两个内项的乘积等于两个外项的乘积，则两个内项的乘积为1，所求内项＝1÷已知内项，据此解答。 【解答】分析可知，两个内项的乘积为1。 1÷ ＝1÷ ＝1× ＝ 所以，另一个内项是。 5．“中国天眼”是目前全球最大的球面射电望远镜，它的球面口为圆，直径500米，是当今天文学研究的利器。我国科学家在的设计图纸上画出球面口的直径是( )厘米。 【答案】50 【分析】从比例尺1∶1000可知：实际长度是图上长度的1000倍，将图上长度看作单位“1”，用实际直径（500米）÷1000，即可求出图上直径长度，结果换算成厘米即可，1米＝100厘米；据此解答。 【解答】根据分析： 500÷1000＝0.5（米） 0.5米＝50厘米 图纸上画出球面口的直径是50厘米。 6．一幅地图上的线段比例尺是，将它改写成数值比例尺是( )；如果两地间的实际距离是600米，那么在这幅地图上要画( )厘米。 【答案】1∶5000/ 12 【分析】由题可知，线段比例尺表示图上1厘米相当于实际距离50米；根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”，将它改写成数值比例尺； 已知两地间的实际距离是600米，根据“图上距离＝实际距离×比例尺”求出两地的图上距离。注意单位的换算：1米＝100厘米。 【解答】1厘米∶50米 ＝1厘米∶5000厘米 ＝1∶5000 600米＝60000厘米 60000×＝12（厘米） 线段比例尺改写成数值比例尺是1∶5000；如果两地间的实际距离是600米，那么在这幅地图上要画12厘米。 7．一个图形的周长是12cm，面积是8cm2，将这个图形按1∶2缩小后，它的周长是( )cm，面积是( )cm2。 【答案】6 2 【分析】图形按1∶2缩小，各边均缩小到原来的。我们所学过的周长是几条边之和，所以，图形按1∶2缩小，边长之和（周长）也是原来的；我们所学过的面积包括底×高，长×宽和底×高÷2，所以，图形按1∶2缩小，面积缩小到原来的（×）即，据此解答。 【解答】由分析可知： 图形按1∶2缩小， 周长：12×＝6（cm） 面积：8××＝2（cm2） 一个图形的周长是12cm，面积是8cm2，将这个图形按1∶2缩小后，它的周长是6cm，面积是2cm2。 8．如果6个矿泉水空瓶可以换2包糖，21个矿泉水瓶可以换 包糖。 【答案】7 【分析】根据比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例；用6个矿泉水空瓶可以换2包糖，所以每包糖的可以换（6÷2）瓶矿泉水瓶，用比表示就是6∶2；设用21个矿泉水空瓶可以换x包糖，所以每包糖的可以换（21÷x）瓶矿泉水空瓶，用比表示就是21∶x；两个比的比值相等，据此写出比例。 【解答】解：设21个矿泉水瓶可以换x包糖。 21∶x＝6∶2 6x＝2×21 6x＝42 6x÷6＝42÷6 x＝7 所以：21个矿泉水瓶可以换7包糖。 二、选择题 9．如图，三角形a边上的高为b，c边上的高为d。根据这些信息，下面式子中不成立的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】三角形a边上的高为b，c边上的高为d，结合三角形的面积＝底×高÷2，表示出该三角形的面积；可知得等量关系：ab÷2＝cd÷2，进而由ab＝cd；接下来根据比例的基本性质：两个外项的积等于两个内项的积‌，找到成立的比例式，据此解答即可。 【解答】因为a×b÷2＝c×d÷2 ab÷2×2＝cd÷2×2 所以ab＝cd A．，即ab＝cd，符合题意； B．，即ab＝cd，符合题意； C．，即ab＝cd，符合题意； D．，即ad＝bc，不符合题意； 故答案为：D 10．袁隆平团队培育的第三代杂交水稻刷新了杂交水稻双季亩产记录，亩产量情况如下表。 产量/千克 1500 3000 4500 6000 面积/亩 1 2 3 4 根据表中的数据可以组成比例的是（    ）。 A．1500∶1＝3000∶2 B．4500∶3＝4∶6000 C．＝ D．1500∶6000＝4∶1 【答案】A 【分析】表示两个比相等的式子叫做比例。根据比例的意义，分别求出各选项中比的比值，比值相等的能组成比例；反之，比值不相等的，就不能组成比例。 【解答】A．1500∶1＝1500÷1＝1500 3000∶2＝3000÷2＝1500 比值相等，可以组成比例：1500∶1＝3000∶2； B．4500∶3＝4500÷3＝1500 4∶6000＝4÷6000＝ 比值不相等，4500∶3与4∶6000不能组成比例； C．＝ ＝1500 比值不相等，与不能组成比例； D．1500∶6000＝1500÷6000＝ 4∶1＝4÷1＝4 比值不相等，1500∶6000与4∶1不能组成比例。 故答案为：A 11．若a∶b＝3∶5，那么下列等式中成立的是（    ）。 A．3a＝5b B．a∶5＝3∶b C．b∶5＝a∶3 D．＝ 【答案】C 【分析】根据比例的基本性质，把a∶b＝3∶5和各选项中的比例式都改写成两数相乘的式子，再对比，得出结论。 比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 【解答】若a∶b＝3∶5，根据比例的基本性质可得：5a＝3b； A．3a＝5b，不符合题意 B．由a∶5＝3∶b可得：ab＝3×5，不符合题意； C．由b∶5＝a∶3可得：5a＝3b，符合题意； D．由＝可得：3a＝5b，不符合题意。 故答案为：C 12．比例5∶3＝15∶9的内项3增加6，要使比例成立，外项9应增加（    ）。 A．6 B．18 C．27 D．12 【答案】B 【分析】根据比例的基本性质：比例的两个内项之积等于两个外项之积，先求出增加后两个内项的积，再除以5，求出外项9增加后的值，再减去9，据此解答。 【解答】内项3增加6，增加后内项为：3＋6＝9。 9×15＝135 135÷5＝27 27－9＝18 比例5∶3＝15∶9的内项3增加6，要使比例成立，外项9应增加18。 故答案为：B 13．比例尺是1∶5000000表示地图上1cm距离相当于实际距离（    ）。 A．50m B．50km C．5km D．500km 【答案】B 【分析】图上距离与实际距离的比叫做比例尺。据此可知：比例尺是1∶5000000表示实际距离是图上距离的5000000倍。用图上距离×5000000即可得实际距离。再根据1km＝100000cm，将结果换算成以km为单位即可。 【解答】1×5000000＝5000000（cm） 5000000cm＝50km 比例尺是1∶5000000表示地图上1cm距离相当于实际距离50km。 故答案为：B 14．在长0.5米、宽0.4米的纸上，画出长450米、宽360米的学校平面图，选择（    ）的比例尺比较合适。 A．1∶100 B．1∶150 C．1∶1000 D．1∶9500 【答案】C 【分析】0.5米＝50厘米；0.4米＝40厘米；根据各选项的比例尺和实际距离，求出图上距离，图上距离的长不超过50厘米，宽不超过40厘米，且不能偏小的即为所求。 【解答】0.5米＝50厘米；0.4米＝40厘米 450米＝45000厘米；360米＝36000厘米 A．45000×＝450（厘米） 36000×＝360（厘米） 450厘米＞50厘米；360厘米＞40厘米，不符合。 B．45000×＝300（厘米） 36000×＝240（厘米） 300厘米＞50厘米；240厘米＞40厘米，不符合。 C．45000×＝45（厘米） 36000×＝36（厘米） 45厘米＜50厘米；36厘米＜40厘米，符合题意； D．45000×≈4.74（厘米） 36000×≈3.79（厘米） 4.74厘米、3.79厘米偏小，不符合题意。 在长0.5米、宽0.4米的纸上，画出长450米、宽360米的学校平面图，选择1∶1000的比例尺比较合适。 故答案为：C 15．一个直角三角形的两条直角边分别是3厘米和4厘米，按照1∶4的比例放大后，面积是（    ）平方厘米。 A．12 B．24 C．48 D．96 【答案】D 【分析】根据题意，按照1∶4的比例放大，放大后的两条直角边分别是（3×4）厘米，（4×4）厘米，求出放大后的两条直角边，再根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，代入数据，即可求出面积。 【解答】（3×4）×（4×4）÷2 ＝12×16÷2 ＝192÷2 ＝96（平方厘米） 一个直角三角形的两条直角边分别是3厘米和4厘米，按照1∶4的比例放大后，面积是96平方厘米。 故答案为：D 16．某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度，在点F处竖立一根长为1.5米的标杆DF，如下图所示，量出DF的影子EF的长度为1米，再量出旗杆AC的影子BC的长度为6米，那么旗杆AC的高度为（    ）。 A．6米 B．7米 C．8.5米 D．9米 【答案】D 【分析】设旗杆AC的高度为x米，根据旗杆高度∶旗杆影长＝标杆高度∶标杆影长，列出比例式，求出x的值即可。 【解答】解：设旗杆AC的高度为x米。 x∶6＝1.5∶1 x＝6×1.5 x＝9 故答案为：D 【点评】用比例解决问题只要等号两边的比统一即可。 三、计算题 17．解方程或比例。 0.75x＋3×0.8＝7.5                  42∶＝x∶ 【答案】6.8；；50； 【分析】（1）根据解方程的方法可得：先计算3×0.8＝2.4，，然后再根据等式的性质，方程两边同时减去2.4，然后再同时除以0.75求解即可。 （2）根据解方程的方法可得：先提取公因数x，再计算＋＝，然后再根据等式的性质，方程两边同时除以求解即可。 （3）根据比例的性质可得，先把比例式转化成两外项积等于两内项积的形式：x＝42×，然后再根据等式的性质，方程两边同时除以求解。 【解答】（1）0.75x＋3×0.8＝7.5 0.75x＋2.4＝7.5 0.75x＋2.4－2.4＝7.5－2.4 0.75x＝5.1 0.75x÷0.75＝5.1÷0.75 x＝6.8 （2） （3）42∶＝x∶ x＝42× x＝30 x÷＝30÷ x＝ x＝50 四、作图题 18．（1）画出三角形先绕O点逆时针方向旋转90°，再向左平移两格后的图形。 （2）画出原来三角形按2∶1放大后的图形。 【答案】见详解 【分析】（1）根据旋转的特征，三角形绕点O逆时针旋转90°，先把点O所在的两条直角边分别绕此点按逆时针方向旋转90°，再画出旋转后的三角形的斜边，得到旋转后的三角形；把旋转后的三角形的三个顶点都向左平移两格得到它们的对应点，再把对应点依次连接起来组成三角形，据此画图。 （2）原来三角形按2∶1放大，也就是把对应的底和高都扩大到原来的2倍，已知三角形的底有3格，高有2格，则放大后的三角形的底是3×2＝6（格），高是2×2＝4（格），据此画图。 【解答】 五、解答题 19．2020年我国正式进入5G网络时代。李叔叔原来用4G网络下载一部电影需要9分钟，他现在用5G网络下载同一部电影，所用的时间与用4G下载所用时间的比是1∶10，那么他用5G网络下载这部电影要用多少分钟？（用比例解） 【答案】0.9分钟 【分析】根据题意可知，用5G网络下载所用的时间∶用4G下载所用时间＝1∶10，据此列出比例方程，并求解；运用比例的基本性质求解，在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质；据此解答。 【解答】解：设他用5G网络下载这部电影要用x分钟。 x∶9＝1∶10 10x＝9×1 10x＝9 x＝9÷10 x＝0.9 答：他用5G网络下载这部电影要用0.9分钟。 20．一项工程甲乙两队合做10天完成。乙丙两队合做8天完成。现在甲乙丙三队合做1天后，余下的工程乙还要16.5天完成，乙单独做这项工程要几天完成？ 【答案】20天 【分析】把这项工程看作单位“1”，甲乙两队合做10天完成，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，用1÷10＝，求出甲乙的工作效率和；用1÷8＝，求出乙丙的工作效率和；设乙单独做这项工程要x天完成；用1÷x＝，求出乙的工作效率；再用甲乙工作效率和－乙的工作效率，求出甲的工作效率，即（－）；用乙丙两队的工作效率和－乙的工作效率，求出丙的工作效率，即（－）再把甲的工作效率＋乙的工作效率＋丙的工作效率，求出甲乙丙的工作效率和，即（－＋＋－），再用甲乙丙的工作效率和×1，求出甲乙丙三队1天的工作量；即（－＋＋－）×1；根据工作总量＝工作效率×工作时间；用余下的工程乙需要的天数×乙的工作效率，求出剩下的工作量，即（16.5×）；再加上甲乙丙三队1天的工作量＝工作总量，列方程：（－＋＋－）×1＋16.5×＝1，解方程，即可解答。 【解答】解：设乙单独做这项工程要x天完成。 （－＋＋－）×1＋16.5×＝1 （＋－）＋＝1 －＋＝1 ＋＝1 ＝1－ ＝ 31x＝15.5×40 31x＝620 x＝620÷31 x＝20 答：乙单独做这项工程要20天完成。 【点评】明确工作总量、工作效率、工作时间三者的关系，是解答本题的关键。 21．我国一颗人造地球卫星绕地球运行3周约需要5.7小时，另一颗人造地球卫星绕地球运行20周约需要38小时，两颗人造地球卫星绕地球运行的周数和所需时间的比是否可以组成比例？如果可以，请写出这个比例。 【答案】可以；3∶5.7＝20∶38 【分析】根据比例的意义，表示两个比相等的式子叫比例，据此分别写出两颗人造地球卫星绕地球运行的周数和所需时间的比，求出比值，比值相等即可组成比例，据此分析。 【解答】3∶5.7＝3÷5.7＝＝ 20∶38＝20÷38＝＝ 3∶5.7＝20∶38 答：两颗人造地球卫星绕地球运行的周数和所需时间的比可以组成比例，3∶5.7＝20∶38。 22．洒渔乡李叔叔家有一个长方形苹果园，小明将这个果园绘制在图纸上。如图，如果每10平方米种一棵苹果树，那么这个果园一共种了多少棵苹果树？ 【答案】450棵 【分析】先根据实际距离＝图上距离÷比例尺，计算出果园的长和宽，再根据长方形面积＝长×宽，计算出果园的面积，最后除以10即可得这个果园一共种了多少棵苹果树。 【解答】2.5÷＝5000（厘米） 5000厘米＝50米 4.5÷＝9000（厘米） 9000厘米＝90米 50×90＝4500（平方米） 4500÷10＝450（棵） 答：这个果园一共种了450棵苹果树。 【点评】本题主要考查了实际距离、图上距离和比例尺的关系，以及长方形面积公式，长方形的面积＝长×宽。 23．你知道吗？比例在生活中的应用可谓方方面面，比如制作地图离不开比例，绘制地图也离不开比例，就连警察破案也会用到比例呢！一个月黑风高的夜晚，一个小偷悄悄闯进一户人家，当主人发现时，小偷早已逃之夭夭。警察赶到案发现场后，对现场的一双脚印是又测量，又拍照。现场测量的脚印长度为26厘米，人的脚长∶身高＝1∶7，警察根据地面的脚印，就可以判断出小偷大约有多高。请你帮警察算一算，小偷大约有多高？ 【答案】182厘米 【分析】根据题意列出比例式为26∶x＝1∶7，由此进行解答即可。 【解答】解：设小偷大约有x厘米高。 26∶x＝1∶7 x＝26×7 x＝182 答：小偷大约有182厘米高。 【点评】本题考查解比例的问题，根据题意列出比例式，根据比例的性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 24．小明从一幅比例尺是1∶12000000的地图上量得他家到北京的距离是4厘米，他家到北京的实际距离是多少千米？ 【答案】480千米 【分析】分析题目，先根据实际距离＝图上距离÷比例尺求出小明家到北京的实际距离，再根据1千米＝100000厘米把实际距离换算成以千米为单位即可。 【解答】4÷ ＝4×12000000 ＝48000000（厘米） 48000000厘米＝480千米 答：他家到北京的实际距离是480千米。 25．如图所示是丫丫从家乘坐出租车去图书馆的路线图，已知出租车3千米以内（含3千米）按起步价8.5元收费，以后每增加1千米车费就增加1.6元（不足1千米按1千米计算）。请你按图中提供的信息算一算，丫丫从家到图书馆至少应付多少元？ 【答案】13.3元 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，先求出丫丫从家乘坐出租车去图书馆实际距离；再用实际距离－3千米，求出超出部分的路程，用超出部分的路程×1.6，求出超出部分需要付的钱数，再加上3千米需要付的钱数，即可解答，注意单位名数的换算。 【解答】7÷＋4.6÷ ＝7×50000＋4.6×50000 ＝350000＋230000 ＝580000（厘米） 580000厘米＝5.8千米 5.8千米≈6千米 （6－3）×1.6＋8.5 ＝3×1.6＋8.5 ＝4.8＋8.5 ＝13.3（元） 答：丫丫从家到图书馆至少应付13.3元。 26．下图是一张某地城际轨道列车的运行路线图。 （1）这列城际轨道列车最终的目的地在C站。C站位于B站东偏南20°方向，距离B站12千米的位置上。请你在图上标出C站的位置。 （2）如果城际轨道列车的平均运行速度是200千米/时，途中每个站点停留2分钟。行完全程需要多长时间？ 【答案】（1）见详解 （2）20.2分钟 【分析】（1）图上1厘米表示实际距离6千米，用12除以6求出C站与B站的图上距离，根据上北下南，左西右东，结合角度和距离标出C站的位置即可； （2）把200千米/时化成千米/分钟，全程长：6×9＝54（千米），根据时间＝路程÷速度，求出行完全程（假设每个站点都不停留）的时间，再加上途中每个站点停留的2分钟，即2×2＝4（分钟），就是行完全程需要的时间。 【解答】（1）12÷6＝2（厘米） 如图： （2）200千米/时＝千米/分钟 6×9＝54（千米） 54÷＋2×2 ＝54×＋4 ＝16.2＋4 ＝20.2（分钟） 答：行完全程需要20.2分钟。 27．用两种方法解决下面的问题。 学校购回一批粉笔，其中白粉笔是彩色粉笔的3倍。开学后平均每周用去36盒白粉笔和8盒彩色粉笔，用了几周后，白粉笔已用完，还剩下36盒彩色粉笔。学校购回彩色粉笔多少盒？ 方法一：解设（                           ）。 方法二：解设（ ）。 36x＝3（8x＋36） （1）你能看懂上面的做法吗？请将他是怎样设x的补充完整。 （2）如果按照以上两种列式方法进行解答，方法（    ）还没有求出彩色粉笔盒数，请把它求出来。 【答案】（1）彩色粉笔有x盒；用了x周 （2）二；108盒 【分析】（1）方法一是按照用的周数相等为等量关系列方程的，故设彩色粉笔有x盒；方法二是用白粉笔是彩色粉笔的3倍为等量关系列方程的，故设用了x周。 （2）因为求出x的值就是用的周数，所以方法二还没有求出彩色粉笔盒数，用周数乘8所得积加36就得彩色粉笔数。据此作答。 【解答】（1）方法一：解设彩色粉笔有x盒。 方法二：解设用了x周。 （2）解：设用了x周。 彩色粉笔：9×8＋36 ＝72＋36 ＝108（盒） 答：方法二还没有求出彩色粉笔盒数，彩色粉笔有108盒。 28．下图每个小正方形的边长表示1厘米。 （1）图中A点的位置是（    ）。 （2）画出将图中△ABC按2∶1的比例放大后的图形△A′B′C′。 （3）画出一个与图中△A′B′C′面积相等的平行四边形。 【答案】（1）（6，7） （2）（3）见详解 【分析】（1）用数对来表示物体的位置即可，第一个数字表示列，第二个数字表示行； （2）△ABC按2∶1的比例放大，只要数出三角形的底、高各自的格数，然后分别乘2，据此画出三角形即可； （3）观察△A′B′C′可知：三角形的底是8厘米，高是4厘米，所以它的面积是8×4÷2＝16（平方厘米），即平行四边形的面积是16平方厘米。据公式：平行四边形的面积＝底×高，可画一个底是4厘米，高是4厘米的平行四边形。 【解答】综上分析所述，（1）图中A点的位置是，横向6格，纵向7格，所以数对表示位置为（6，7） （2）（3）（平行四边形不唯一） 29．想一想，在方格中画一画。 （1）图中的平行四边形沿高分成了两部分，把其中的三角形向（    ）平移（    ）格，平行四边形就变成了长方形。 （2）把三角形ABC绕点A顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。旋转后，点B的新位置用数对表示是（    ）。 （3）画出图中下方梯形的另一半，使它成为轴对称图形。再画出这个轴对称图形按照1∶2缩小后的图形。 【答案】（1）右；7 （2）画图见详解；（16，4） （3）见详解 【分析】 （1）决定平移后图形的位置的要素：一是平移的方向，二是平移的距离。如图，确定平移方向，数出平移的格数即可； （2）作旋转一定角度后的图形步骤：根据题目要求，确定旋转中心、旋转方向和旋转角；分析所作图形，找出构成图形的关键点；找出关键点的对应点：按一定的方向和角度分别作出各关键点的对应点；作出新图形，顺次连接作出的各点即可。 用数对表示位置时，通常把竖排叫列，横排叫行。一般情况下，确定第几列时从左往右数，确定第几行时从前往后数。表示列的数在前，表示行的数在后，中间用逗号“，”隔开，数对加上小括号。 （3）补全轴对称图形的方法：找出图形的关键点，依据对称轴画出关键点的对称点，再依据图形的形状顺次连接各点，画出最终的轴对称图形。 把图形按照1：n缩小，就是将图形的每一条边缩小到原来的，缩小后图形与原图形对应边长的比是1：n 【解答】（1）图中的平行四边形沿高分成了两部分，把其中的三角形向右平移7格，平行四边形就变成了长方形。 （2）作图如下；旋转后，点B的新位置用数对表示是（16，4）。 （3） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四单元 比例的意义、基本性质及应用 一、比例的意义 二、比例的基本性质 三、解比例 四、比例尺的意义 五、比例尺的应用 六、应用比例尺画图 七、图形的放大与缩小作图 八、用比例解决问题 知识点1比例的意义和基本性质 1、比例的意义。 （1）比例的意义：表示两个比相等的式子叫作比例。 （2）判断两个比能否组成比例的方法：看两个比的比值是否相等，如果比值相等，那么就能组成比例；否则不能组成比例。 2、比例的各部分的名称。 组成比例的四个数，叫作比例的项，两端的两项叫作比例的外项，中间的两项叫作比例的内项。 3、比例的基本性质。 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质。 4、应用比例的基本性质判断两个比能否组成比例 先假设两个比能组成比例,再分别算出它们内、外项的积,如果内、外项的积相等,则能组成比例;如果内、外项的积不相等,则不能组成比例。 重难点一比例的意义 【典例1】把两个比值都是0.5的比，组成一个内项分别是4和5的比例是( )。 【变式1-1】红红用蜂蜜和水为家人调制了四杯蜂蜜水，蜂蜜和水的配比情况如下表所示。 第一杯 第二杯 第三杯 第四杯 蜂蜜（g） 12 12 15 18 水（g） 48 60 50 90 第( )杯和第( )杯的蜂蜜与水的质量比的比值相同，把它们组成一个比例是( )。 【变式1-2】可以用图( )与图( )的数据组成比例，写成比例是：( )。 【变式1-3】妈妈和王阿姨一起去超市买菜，妈妈花4元买了2kg西红柿，王阿姨买了3kg西红柿花去6元。 (1)请你根据以上信息写出两个比：( )和( )。 (2)这两个比( )组成比例（填“能”或“不能”），我的判断理由是 。 重难点二 比例的基本性质 【典例2】把这个等式改写成两个不同的比例：( )，( )。 【变式2-1】在一个比例中，两个内项的积是最小的质数，一个外项是5，则另一个外项是( )；16的因数有( )个，选取其中的四个组成比例是( )。 【变式2-2】六年级男生人数的和女生人数的相等，男生和女生的人数比是( )，已知男生有100人，女生有( )人。 【变式2-3】在一个比例里，两个外项的积是，其中一个内项是，另一个内项是( )。 知识点2解比例 1、解比例的意义和解比例。 （1）意义：求比例中的未知项，叫作解比例。 （2）方法：根据比例的基本性质把比例转化成乘法算式；解方程求出未知项的值。 重难点三解比例 【典例3】解方程或比例。 0.6∶＝∶           ＝          （3＋）÷＝4 【变式3-1】解方程（或解比例）。 3x＋0.6＝7.8        7.5∶0.5＝x∶6 【变式3-2】解方程或解比例。 ×（＋0.4）＝4.32              ＝ 【变式3-3】解方程或解比例。 0.6x＋5.4x＝7.2                                       知识点3比例的应用 1、比例尺的意义。 比例尺的意义：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫作这幅图的比例尺。 比例尺的计算：图上距离：实际距离=比例尺。 2、比例尺的种类。 按照表现形式分为数值比例尺和线段比例尺； 按照实际距缩小还是扩大分为缩小比例尺和扩大比例尺。 3、已知图上距离和实际距离，求比例尺。 已知图上距离和实际距离，求比例尺的方法：用图上距离比实际距离就可以求出比例尺，但要注意统一单位。 4、已知比例尺和图上距离，求实际距离。 （1）解方程；（2）直接用图上距离除以比例尺就是实际距离。 5、应用比例尺画图要做到三步走。 （1）根据实际距离与纸张的大小确定平面图的比例尺； （2）根据比例尺求出图上距离； （3）根据图上距离画出相应的平面图，并表明平面图的名称及比例尺。 6、图形的放大和缩小。 （1）保持图形原来的形状不变，但是和原图相比，图形变大了，叫作图形的放大； （2）保持图形原来的形状不变，但是和原图相比，图形变小了，叫作图形的缩小。 7、在方格纸上按一定的比将图形放大或缩小的方法。 放大或缩小后的图形与原来的图形相比，形状相同，但是大小发生了变化。 8、用正比例解决问题。 用正比例知识解决问题的步骤：（1）分析题意，找到两种相关联的量，判断它们是否成正比例；（2）如果成正比例，根据正比例的意义列出比例式；（3）解比例；（4）检验并写出答语。 9、用反比例解决问题。 用反比例知识解决问题的步骤：（1）分析题意，找到两种相关联的量，判断它们是否成反比例；（2）如果成反比例，那么根据反比例的意义列出比例式；（3）解比例；（4）检验并写出答语。 重难点四比例尺的意义 【典例4】两地的实际距离是600千米，在地图上的距离是6厘米，这幅地图的比例尺是（    ）。 A．6∶600 B．6∶60000000 C．1∶10000000 D．1∶100 【变式4-1】工程师要研究一种精密零件，零件的实际长度为4mm，而画在图纸上是4dm，这幅图的比例尺是（    ）。 A．1∶1 B．100∶1 C．1∶100 【变式4-2】把线段比例尺改写成数值比例尺是（    ）。 A．1∶50 B．1∶5000000 C．1∶50000000 D．1∶20000000 【变式4-3】2024年4月25日神舟18号航天飞船发射成功。其飞行器上有一精密零件，实际长度是5mm，画在图纸上是8cm，这张图纸的比例尺是（    ）。 A．5∶8 B．8∶5 C．1∶16 D．16∶1 重难点五比例尺的应用 【典例5】今年5月，某校八年级师生参加了“走城墙，筑梦想”研究旅行活动，师生徒步绕行城墙一周，路程共计约13.6千米。若按比例尺1∶50000缩小后，行走路程的总长度为（    ）。 A．272厘米 B．27.2厘米 C．136厘米 D．13.6厘米 【变式5-1】如图，一辆汽车早上7：00从A地出发，以平均每小时60千米的速度行驶，10：30到达目的地，目的地应该是（    ）。 A．甲城 B．乙城 C．丙城 D．无法确定 【变式5-2】一个电子元件长6毫米，将它画在比例尺是50∶1的图纸上，图纸上该电子元件长（    ）厘米。 A．300 B．30 C．3 D．0.3 【变式5-3】聪聪和明明分别将学校的花坛画了下来（如下图）。如果聪聪是按1∶a画的，那么明明是按（    ）画的。    A．a∶1 B．1∶2a C．2a∶1 D．1∶a 重难点六应用比例尺作图 【典例6】（1）A城市在B城市的南偏西40°方向900千米处，在图上标出A城市的位置。 （2）B城市在A城市的（    ）偏（    ）40°方向。 【变式6-1】黄晴家在学校正西方向300米，李海家在黄晴家北偏东45°方向100米处，王欣家在李海家正东方向400米处，先确定比例尺，再画出他们三家和学校的位置平面图。我选的线段比例尺是（    ），数值比例尺是（    ）。 【变式6-2】小明家正北方向300米是科技馆，科技馆正东方向600米是动物园，动物园南偏西30°方向400米是书店。画出上述地点的平面图。（比例尺是1∶10000） 【变式6-3】以君君家为观测点，用直尺量角器画出其他三位小朋友家的位置。 （1）小海家在西偏北60°方向300米处。 （2）小贝家在东偏北45°方向400米处。 （3）豆豆家在南偏东30°方向200米处。 重难点七图形的放大与缩小作图 【典例7】画出三角形按1∶2缩小后的图形。 【变式7-1】按3∶1的比画出三角形放大后的图形，按1∶2比画出缩小后的正方形。 【变式7-2】把图形按照3∶1放大后画出来。 【变式7-3】按要求在下面方格纸上画图。 （1）将下面梯形按2∶1放大。 （2）画出三角形ABC向下平移4格，再向右平移3格后的图形。 （3）将三角形ABC绕B点逆时针旋转90°，画出旋转后的图形。 重难点八比例的应用 【典例8】古代我国沿海居民利用海水制食盐，将海水引入盐田，晒干后得到海盐，此法称为“盐田法”。已知500千克海水能晒制15千克海盐，那么引入17500吨海水，可以晒制多少吨海盐？（用比例解） 【变式8-1】“神舟十号”绕地球飞行2圈大约需要180分钟，照这样计算，“神舟十号”飞船450分钟能绕地球飞行多少圈？（用比例解答） 【变式8-2】李叔叔从家开车去济南，每小时行80千米，3.5小时到达。返回时，如果速度提高25%，那么多少小时可以返回家中？（用比例解） 【变式8-3】李老师应该付给邮局多少钱？ 一、填空题 1．如果（、均不为0），那( )∶( )。 2．汽车厂按1∶20的比生产了一批汽车模型。轿车模型长24.3cm，轿车的实际长度( )，公共汽车长11.76m，公共汽车模型的长度是( )。 3．在一个比例中，两个内项的积是最小的质数，一个外项是5，则另一个外项是( )；16的因数有( )个，选取其中的四个组成比例是( )。 4．在比例里，两个外项互为倒数，其中一个内项是，另一个内项是( )。 5．“中国天眼”是目前全球最大的球面射电望远镜，它的球面口为圆，直径500米，是当今天文学研究的利器。我国科学家在的设计图纸上画出球面口的直径是( )厘米。 6．一幅地图上的线段比例尺是，将它改写成数值比例尺是( )；如果两地间的实际距离是600米，那么在这幅地图上要画( )厘米。 7．一个图形的周长是12cm，面积是8cm2，将这个图形按1∶2缩小后，它的周长是( )cm，面积是( )cm2。 8．如果6个矿泉水空瓶可以换2包糖，21个矿泉水瓶可以换 包糖。 二、选择题 9．如图，三角形a边上的高为b，c边上的高为d。根据这些信息，下面式子中不成立的是（    ）。 A． B． C． D． 10．袁隆平团队培育的第三代杂交水稻刷新了杂交水稻双季亩产记录，亩产量情况如下表。 产量/千克 1500 3000 4500 6000 面积/亩 1 2 3 4 根据表中的数据可以组成比例的是（    ）。 A．1500∶1＝3000∶2 B．4500∶3＝4∶6000 C．＝ D．1500∶6000＝4∶1 11．若a∶b＝3∶5，那么下列等式中成立的是（    ）。 A．3a＝5b B．a∶5＝3∶b C．b∶5＝a∶3 D．＝ 12．比例5∶3＝15∶9的内项3增加6，要使比例成立，外项9应增加（    ）。 A．6 B．18 C．27 D．12 13．比例尺是1∶5000000表示地图上1cm距离相当于实际距离（    ）。 A．50m B．50km C．5km D．500km 14．在长0.5米、宽0.4米的纸上，画出长450米、宽360米的学校平面图，选择（    ）的比例尺比较合适。 A．1∶100 B．1∶150 C．1∶1000 D．1∶9500 15．一个直角三角形的两条直角边分别是3厘米和4厘米，按照1∶4的比例放大后，面积是（    ）平方厘米。 A．12 B．24 C．48 D．96 16．某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度，在点F处竖立一根长为1.5米的标杆DF，如下图所示，量出DF的影子EF的长度为1米，再量出旗杆AC的影子BC的长度为6米，那么旗杆AC的高度为（    ）。 A．6米 B．7米 C．8.5米 D．9米 三、计算题 17．解方程或比例。 0.75x＋3×0.8＝7.5                  42∶＝x∶ 四、作图题 18．（1）画出三角形先绕O点逆时针方向旋转90°，再向左平移两格后的图形。 （2）画出原来三角形按2∶1放大后的图形。 五、解答题 19．2020年我国正式进入5G网络时代。李叔叔原来用4G网络下载一部电影需要9分钟，他现在用5G网络下载同一部电影，所用的时间与用4G下载所用时间的比是1∶10，那么他用5G网络下载这部电影要用多少分钟？（用比例解） 20．一项工程甲乙两队合做10天完成。乙丙两队合做8天完成。现在甲乙丙三队合做1天后，余下的工程乙还要16.5天完成，乙单独做这项工程要几天完成？ 21．我国一颗人造地球卫星绕地球运行3周约需要5.7小时，另一颗人造地球卫星绕地球运行20周约需要38小时，两颗人造地球卫星绕地球运行的周数和所需时间的比是否可以组成比例？如果可以，请写出这个比例。 22．洒渔乡李叔叔家有一个长方形苹果园，小明将这个果园绘制在图纸上。如图，如果每10平方米种一棵苹果树，那么这个果园一共种了多少棵苹果树？ 23．你知道吗？比例在生活中的应用可谓方方面面，比如制作地图离不开比例，绘制地图也离不开比例，就连警察破案也会用到比例呢！一个月黑风高的夜晚，一个小偷悄悄闯进一户人家，当主人发现时，小偷早已逃之夭夭。警察赶到案发现场后，对现场的一双脚印是又测量，又拍照。现场测量的脚印长度为26厘米，人的脚长∶身高＝1∶7，警察根据地面的脚印，就可以判断出小偷大约有多高。请你帮警察算一算，小偷大约有多高？ 24．小明从一幅比例尺是1∶12000000的地图上量得他家到北京的距离是4厘米，他家到北京的实际距离是多少千米？ 25．如图所示是丫丫从家乘坐出租车去图书馆的路线图，已知出租车3千米以内（含3千米）按起步价8.5元收费，以后每增加1千米车费就增加1.6元（不足1千米按1千米计算）。请你按图中提供的信息算一算，丫丫从家到图书馆至少应付多少元？ 26．下图是一张某地城际轨道列车的运行路线图。 （1）这列城际轨道列车最终的目的地在C站。C站位于B站东偏南20°方向，距离B站12千米的位置上。请你在图上标出C站的位置。 （2）如果城际轨道列车的平均运行速度是200千米/时，途中每个站点停留2分钟。行完全程需要多长时间？ 27．用两种方法解决下面的问题。 学校购回一批粉笔，其中白粉笔是彩色粉笔的3倍。开学后平均每周用去36盒白粉笔和8盒彩色粉笔，用了几周后，白粉笔已用完，还剩下36盒彩色粉笔。学校购回彩色粉笔多少盒？ 方法一：解设（              ）。 方法二：解设（ ）。 36x＝3（8x＋36） （1）你能看懂上面的做法吗？请将他是怎样设x的补充完整。 （2）如果按照以上两种列式方法进行解答，方法（    ）还没有求出彩色粉笔盒数，请把它求出来。 28．下图每个小正方形的边长表示1厘米。 （1）图中A点的位置是（    ）。 （2）画出将图中△ABC按2∶1的比例放大后的图形△A′B′C′。 （3）画出一个与图中△A′B′C′面积相等的平行四边形。 29．想一想，在方格中画一画。 （1）图中的平行四边形沿高分成了两部分，把其中的三角形向（    ）平移（    ）格，平行四边形就变成了长方形。 （2）把三角形ABC绕点A顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。旋转后，点B的新位置用数对表示是（    ）。 （3）画出图中下方梯形的另一半，使它成为轴对称图形。再画出这个轴对称图形按照1∶2缩小后的图形。 学科网（北京）股份有限公司 $$