6 用导数研究函数的性质 6.1 函数的单调性 第2课时 函数单调性的综合问题-【创新教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册五维课堂（北师大版2019）

数学(BS)·选择性必修第二册 令f'()<0,则(r+)(-)<0. .一<,且x0 时,f(x)>0; 函数的单调递减区间为(一,0)和(0.). 综上所述,函数的单调递增区间为(-,一)和(,+). 单调递减区间为(一,0)和(0,). 当堂达标 1.C[.f(x)在(-o,1),(4,十)上是减函数,在(1,4) 故(1)在_一(6) 上单调递增, 上为增函数,*'当x 1或x4时,f(x)<0;当1<r 4 时,f(x)>0.故选C.] ##### 1上单调递减. 2.C [对于A选项,函数y=x^为偶函数,在(0,十o)上递 增,在(-,0)上递减;对于B选项,函数y-2在R上 综上,当k<0时,f(x)在(一oo,十)上单调递增;当 递减;对于C选项,y'-1-sinx一0在R上恒成立,则函 0时。f(2)在#,#.(+#单# 数y一x十cos文在其定义域R上递增;对于D选项,函数 增,在#)上词。# y-r在(0,十oo)上递减,故选:C.] 3.D [/(x)-cosx- 间(0,n)上,当0<时,满足cosx>.了 [例2][解析]设g(1)-f2),因为f’(x)·x<f(2), 4.解:f(x)-(x-k十1)e*.令f(x)-0,得x=k-1. 所以g‘(x)-f(c)-/()<0→g(x)是(0,+oo)上 当x变化时,f'(x)与f(x)的变化情况如表: 2 (-c,-1)-1 (-1,+) 的减函数,因为f(3)一0,所以g(3)-0; 因此 ()0→g(v)>0-g(3)→t<3.’'x→0..0<r /) 0 2 f(x) <3. 所以f(2)o的解集为(0,3). 所以f(x)的单调递减区间是(一,b一1),单调递增区间 7 是(-1,十). [答案](0,3) 第2课时 函数单调性的综合问题 变式训练 课堂互动学案 2.B [·'f(x)对于任意的xe[o.,吾)满足f(t)cosx十 [例1][解]函数f(x)的定义域为(0,十o),f(x)-ay f)则g(c)= +1-+1ar*+x-(a+1) f(x)sinx<o,令g(x)- cos' #(#2)c0()sin<o.·-8()在[0,)上单调 (1)当a-o时,f(x)--1,由f(x)>o,得x>1,由 cos2r f'(x)<0,得0 x<1.'f(x)在(0,1)内为减函数,在 ()~_()()() #_# 1.可得() (1,十)内为增函数. o ():-1) (2)当a>0时,f(x)一一 #2f() ) “a>o_-a1<o.由f(x)>o,得x→1,由f(x)< [例3] [解] 由已知得f(x)=3r^②-a,因为f(x)在 (一,十oo)上是单调增函数,所以f(x)-3r-a→ 0.得0r1. 在(-,+)上恒成立,即a<3r*对xR恒成立,因 &.f(x)在(0,1)内为减函数,在(1,十)内为增函数. 为3r?>0,所以只需a<0.又因为a-0时,f(x)-3x^} 综上所述,当a0时,f(x)在(0.1)内为减函数,在(1,+) 0.f(x)=-1在R上是增函数,所以a>0. 内为增函数. 母题变式 变式训练 1.[解]由f(x)=3r②}-a,①当a<o时,f(x)>0 1.解:f(x)-3r2-b. '.f(x)在(-oo,十)上为增函数。 当k=0时,f(x)一r,故f(x)在(-o,十)上单调 递增。 当k0时,f(x)-3r-k>0,故f(x)在(-oo,+x)上 单调递增, 3 ·100· 参考答案 33上为减画数,.f(x)的单调递 .f()在 4.解:函数f(x)一kx-lnx的定义域为(0,十),f(x)-k 3.3) -1-1 当>0时,x-1 0..'f(x) 0,则f(x)在(0.+×)上 2.[解] 由题意可知f(x)-3r2-a<0在(-1,1)上恒成 单调递减。 立.(-1)<。 当 →o时,由/(n)<0,即1<0,解得0<#<士;# /(1<0 ) 由广()>0,即10,解得→>## 3.[解].f(x)=r-ar-1,.f(x)-3r?-a,由f(x) .当 >0时,f(2)的单调减区间为(0.),单调增 ③ 区间为() 3 综上所述,当k0时,f(x)的单调递减区间为(0,十o0); 变式训练 当h>0时,f(x)的单调减区间为(o.).单调递增区 3.解:(1)h(x)-lnx- ()-1-axr-2. #为(#,~).# .h(x)在(0,十)上存在单调递减区间, 6.2 函数的极值 .当r(0.+0)时,--ax-2<0有解,即a→1-2 课前预习学案 7 有解,设G( )--..只要aG(i)即可。 知识梳理 完) 知识点一、1.都小于 极大值点 极大值 而G(x)-(-1)-1.v.G(c)mn-1.-a>-1. 2.都大于 极小值点 极小值 [思考] 故a的取值范围是ala>-1,且a:0. (2)''h(x)在[1,4]上单调递减, 1.[提示]函数的极大值不一定大于极小值。 .e[1,4]时,n'(c)-1-ax-2<o恒成立, 2.[提示]不一定,如f(r)-r,f(0)=0,但x=0不是f(x) 即-2恒成立,:aG(x)max,而G(x)= 一的极值点,所以,当f(xo)一0时,要判断x一x。是否为 72) f(x)的极值点,还要看/(x)在x。两侧的符号是否相反 知识点三、1.极大值点 极小值点 不是极值点 预习自测 1.(1)×(2)×(3)×(4) -7. 2.C [设y一f(r)的图像与工轴的交点从左到右横坐标依次 为r.r,r,x,则f(x)在x=r.r-x处取得极大值,在r -r,r-.x:处取得极小值.] 当堂达标 3.B [①y-r}在R上单调递增,无极值;②y-x2十1在(一 1.A [f(x)=x在(-1,1)内单调递增,但f(x)=3r^} .0)上单调递减,在(0,十)上单调递增,故y一r^②十1在 (一1r1),故命题甲是命题乙的充分不必要条件。] 1-ln 一0处取得极小值:③y-x在(-,0)上单调递减,在(0 2.A [因为r(c)--ln1-1n.当x(e+o) +o)上单调递增,故y-xl在x-0处取得极小值;④y-2 。 在R上单调递增,无极值,] 时,1-lnx 0,所以fx) 0,所以f(x)在(e,+oo)上为 4.解析:由f(v)-3r-6x=0,解得x=0或x-2. 单调递减函数,故f(a)>f(b).] 当工变化时,f(r)的变化情况如下表: 3.解析:由题意得函数f(x)的定义域为(0,十o),f(r) 2^+ax十1<o的解集为(.1),所以不 (-0) (0.2) 2 1+2x十a= 0 (2,+oo) /() 0 0 f(x) , 极大值 极小值 n--3. '当r一2时,f(x)取得极小值. 答案:-3 答案:2 ·101·第２课时　函数单调性的综合问题 　　　讨论函数的单调性 [例１]　讨论函数f(x)＝１２ax ２＋x－(a＋１)lnx(a ≥０)的单调性． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思 路 点 拨]　 求函数的定义域 → 求f′(x) 分a＞０,a＝０ → 解不等式f′(x)＞０或f′(x)＜０→ 表述f(x)的单调性 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 讨论函数f(x)单调性的步骤 (１)确定函数f(x)的定义域; (２)求导数f′(x),并求方程f′(x)＝０的根; (３)利用f′(x)＝０的根将函数的定义域分成若干 个子区间,在这些子区间上讨论f′(x)的正 负,由符号确定f(x)在该区间上的单调性． 􀳀[变式训练] １．已知函数f(x)＝x３－kx＋k２,讨论f(x)的单 调性． 　　　构造函数利用函数的单调性求解不等式或比较大小 [例２]　已知定义在(０,＋∞)上的函数f(x)的导函 数为f′(x)且满足f′(x)􀅰x＜f(x),f(３)＝０,则 f(x) x ＞０ 的解集为　　　　． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 根据题中所给条件构造函数,求导判定函数 的单调性,利用函数的单调性求解不等式或比较 函数式的大小,是考题中的重要题型． 􀳀[变式训练] ２．设 函 数 f(x)的 导 函 数 为 f′(x),且 当 x∈ ０,π２[ ö ø ÷时,f′(x)cosx＋f(x)sinx＜０,f(０)＝０, 下列判断中,一定正确的是 (　　) A．f π６ æ è ç ö ø ÷＞２f π３ æ è ç ö ø ÷　　B．f π４ æ è ç ö ø ÷＞ ２f π３ æ è ç ö ø ÷ C．f(ln２)＞０ D．f π６ æ è ç ö ø ÷＜ ２f π４ æ è ç ö ø ÷ 　　　已知函数的单调性求参数的范围 [例３]　已知函数f(x)＝x３－ax－１在 R上为单调 递增函数,求实数a的取值范围． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　f(x)单调递增→f′(x)≥０恒成立 → 分离参数求a的范围 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８５􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第二册 [母题变式] １．(变条件)若函数f(x)＝x３－ax－１的单调减区间 为(－１,１),求a的取值范围． ２．(变条件)若函数f(x)＝x３－ax－１在(－１,１)上 单调递减,求a的取值范围． ３．(变条件)若函数f(x)＝x３－ax－１在(－１,１)上 不单调,求a的取值范围． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．解答本题注意:可导函数f(x)在(a,b)上单调 递增(或单调递减)的充要条件是f′(x)≥０(或 f′(x)≤０)在(a,b)上恒成立,且f′(x)在(a,b) 上的任何子区间内都不恒等于０． ２．已知f(x)在区间(a,b)上的单调性,求参数范 围的方法 (１)利用集合的包含关系处理f(x)在(a,b)上单 调递增(减)的问题,则区间(a,b)是相应单调 区间的子集; (２)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a,b)上单 调递增(减)的问题,则f′(x)≥０(f′(x)≤０) 在(a,b)内恒成立,注意验证等号是否成立． 􀳀[变式训练] ３．已知函数f(x)＝lnx,g(x)＝１２ax ２＋２x,a≠０． (１)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区 间,求a的取值范围; (２)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[１,４]上单调递 减,求a的取值范围． [当堂达标] １．命题甲:对任意x∈(a,b),有f′(x)＞０;命题乙: f(x)在(a,b)内单调递增．命题甲是命题乙的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ２．若f(x)＝lnxx ,e＜a＜b,则 (　　) A．f(a)＞f(b) B．f(a)＝f(b) C．f(a)＜f(b) D．f(a)f(b)＞１ ３．已知函数f(x)＝lnx＋x２＋ax的单调递减区间为 １ ２ ,１æ è ç ö ø ÷ ,则a的值为　　　　． ４．试求函数f(x)＝kx－lnx的单调区间． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９５􀅰 第二章　导数及其应用