6 用导数研究函数的性质 6.1 函数的单调性 第1课时 函数的单调性与导数-【创新教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册五维课堂（北师大版2019）

§６　用导数研究函数的性质 ６．１　函数的单调性 第１课时　函数的单调性与导数 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与 导数的关系． ２．能利用导数研究函数的单调性． ３．对于多项式函数,能求不超过三次的多项式函 数的单调区间． １．在学习函数单调性与导数的关系中提升直观想象、数 学抽象的核心素养． ２．在研究多项式函数的单调性与单调区间的基础上达成 逻辑推理、数学运算的核心素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　竖直向下抛一乒乓球,乒乓球的高度h是时间t 的函数,横轴表示时间t,纵轴表示乒乓球的高度h, 观察乒乓球竖直向上的瞬时速度(只考虑其正负)和 球的高度变化趋势(上升/下降),你能得到什么规律? 提示:下降瞬时速度为负,上升瞬时速度为正. [知识梳理] [知识点]　 导数的符号与函数的单调性之间具有如 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 下性质 􀪋􀪋􀪋 (１)若在某个区间内,函数y＝f(x)的导数f′(x)＞ ０,则在这个区间内,函数y＝f(x)单调递增; (２)若在某个区间内,函数y＝f(x)的导数f′(x)＜ ０,则在这个区间内,函数y＝f(x)单调递减; (３)若在某个区间内,f′(x)≥０且只在有限个点为 ０,则在这个区间内,函数y＝f(x)单调递增; (４)若在某个区间内,f′(x)≤０且只在有限个点为 ０,则在这个区间内,函数y＝f(x)单调递减．　　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 如果在某个区间内恒有f′(x)＝０,那么函 数f(x)有什么特性? [预习自测] １．判断下列说法是否正确(正确的打“√”,错误的打 “×”) (１)函数f(x)在区间(a,b)上都有f′(x)＜０,则函 数f(x)在这个区间上单调递减． (　　) (２)若函数f(x)是定义在R上的增函数,那么一定 有f′(x)＞０． (　　) (３)在某个区间内,f′(x)＞０(f′(x)＜０)是函数 f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件． (　　) (４)判断函数单调性时,在区间内的个别点f′(x) ＝０,不影响函数在此区间的单调性． (　　) ２．函数y＝f(x)的图像如图所示,则 (　　) A．f′(３)＞０　　　　　B．f′(３)＜０ C．f′(３)＝０ D．f′(３)的正负不确定 ３．函数f(x)＝２x－lnx的单调递减区间为 (　　) A．０,１２ æ è ç ö ø ÷ B．１２ ,＋∞æ è ç ö ø ÷ C．１２ ,２æ è ç ö ø ÷ D．(－∞,２) ４．函数f(x)＝１＋x－sinx 在(０,２π)上单调递 　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５５􀅰 第二章　导数及其应用 　　　导数与函数图像的关系 [例１]　设函数f(x)在定义域内可导,y＝f(x)的图 像如图所示,则导函数y＝f′(x)可能为 (　　) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性 的定义简单的多,只需判断导数在该区间内的 正负即可． ２．通过图像研究函数单调性的方法 (１)观察原函数的图像重在找出“上升”“下降”产 生变化的点,分析函数值的变化趋势; (２)观察导函数的图像重在找出导函数图像与x 轴的交点,分析导数的正负． 􀳀[变式训练] １．设f′(x)是函数f(x)的导函数,将y＝f(x)和y＝ f′(x)的图像画在同一个直角坐标系中,不正确 的是 (　　) 　　　判断或证明函数的单调性 [例２]　(１)函数f (x)＝２x－sinx 在(－∞,＋∞) 上是 (　　) A．增函数　　　　　　B．减函数 C．先增后减 D．不确定 (２)求证:f(x)＝ex＋１ex 在(０,＋∞)上是增函数． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 利用导数证明或判断函数单调性的思路 求函数f(x)的 导数f′(x) 若f′(x)＞０,则y＝f(x) 在(a,b)上单调递增 → 若f′(x)＜０,则y＝f(x) 在(a,b)上单调递减 → 若恒有f′(x)＝０,则y＝f(x) 在(a,b)上是常数函数,不具 有单调性 → 􀳀[变式训练] ２．(１)利用导数判断下列函数的单调性: ①f(x)＝x３＋３x;②f(x)＝sinx－x,x∈(０,π); ③f(x)＝x－１x ． (２)证明函数f(x)＝lnxx 在区间(０,２)上单调 递增． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６５􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第二册 　　　求函数的单调区间 [例３]　求下列函数的单调区间． (１)f(x)＝３x２－２lnx;(２)f(x)＝x２􀅰e－x; (３)f(x)＝x＋１x． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 利用导数求函数单调区间的步骤 (１)确定函数f(x)的定义域． (２)求导数f′(x)． (３)由f′(x)＞０(或f′(x)＜０),解出相应的x的 范围．当f′(x)＞０时,f(x)在相应的区间上是增 函数;当f′(x)＜０时,f(x)在相应区间上是减 函数． (４)结合定义域写出单调区间． 􀳀[变式训练] ３．求函数f(x)＝x＋bx (b＞０)的单调区间． [当堂达标] １．设函数f(x)的图像如图所示,则导函数f′(x)的图 像可能为 (　　) ２．下列函数中,在其定义域上为增函数的是 (　　) A．y＝x４ B．y＝２－x C．y＝x＋cosx D．y＝－x １ ２ ３．若函数f(x)＝sinx－１２x ,则函数f(x)在区间(０, π)上的单调增区间为 (　　) A．０,π６ æ è ç ö ø ÷ B．π３ ,πæ è ç ö ø ÷ C．０,π２ æ è ç ö ø ÷ D．０,π３ æ è ç ö ø ÷ ４．求函数f(x)＝(x－k)ex 的单调区间． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７５􀅰 第二章　导数及其应用 参考答案 §6用导数研究函数的性质 x-ln 6.1函数的单调性 (2)证明：因为fx)=n兰，所以f(x)= 第1课时函数的单调性与导数 -I-Ins 课前预习学案 知识梳理 因为0<x<2,所以lnx<1n2<1. [思考] 所以()=1-血二>0，即画数在区间(0,2)上单调 [提示]f(x)是常数函数。 预习自测 递增. 1.(1)√(2)×(3)/(4)√ [例3][解] (1)函数的定义域为(0，+∞).f(x) 2.B[由题中图像可知，函效f(x)在(2,5)上单调递减，故 6r-2,令f()=0,得x1= 在(2,5)上有f(x)<0.故f(3)<0.] 32 （含去），当x变 3 3.A[fr)的定义骏为(0，+o∞，因为f)=2-士<0， 化时，f(x),f(x)变化如下表： √3 解得r<号，所以函数fx)=2r一nr的单调递减区同 03 3 f() 0 为0,2)门 f(r) 4.增[，f(x)=1+x-sinx,∴.f(x)=1-cos,:x∈ (0,2x), ∴.函数f(x)的单调递减区间为 0 单调递增区间 ∴cosx∈[-1,1).∴.f(x)=1-cosx>0.∴.函数f(x) 在(0,2x)上单调递增.] 为（停+） 课堂互动学案 (2)函数的定义战为(-o0,+∞).：f(x)=(x2)'e1十 [例1门D[由函数的图像知：当x<0时，函数单调递增， 导数应始终为正：当x>0时，函数先增后减再增，导数应 x2(e)'=2xe1-x2e 先正后负再正，对照选项，只有D正确，] =ex(2x-x2),令f(x）=0,由于er>0,∴x1=0,x2 变式训练 =2, 1.D[A,B,C均有可能；对于D,若C为导函数，则y=f 当r变化时，f(x),f(x)变化如下表： (x)应为增函数，不符合：若C2为导函数，则y=f(x)应 -8∞，0)】 0 (0,2) 2 (2,+∞) 为减蓝数，也不符合] (x 0 + 0 [例2](1)[解析]f(x)=2.x-sinx,∴.f'(x)=2 cosx>0在（一o∞，十∞）上恒成立，.f(x)在 (x 4 (一00，十0∞)上是增函数. ∴.f(x)的单调递减区间为（一0∞，0）和(2，十o∞)，单调逅 [答案]A 增区间为(0,2). (2[证明]“fu)=e+之fu)=-e-e (3)盛数的定义域为（一0,0）U(0,+©o). (e2x一1)，当x∈(0，十oo)时，由指数函数的性质知er> f)=1-子令fx)=0,得n=-1=1,当x 0,e2r>1,f(x)>0,因此函数f(x)=g+1在(0，+ 变化时，f(x),f(x)变化如下表： ∞)上是增函数. -1,0)(0,1) (1,+o) 变式训练 (x) 2.(1)解：①因为f(x)=x3十3.x,所以f(x)=3.x2十3= 3(x2+1)>0, f(r) 所以f(.x)=x3+3.x在R上单调递增. ∴函数f(x)的单调递减区间为（一1,0）和(0,1)，单调递 ②因为f(x)=sinx-x,x∈(0，x),所以f(x)=cosx 增区间为(-∞，一1)和(1，十∞). 1<0, 变式训练 所以f(x)=sinx-x在(0，x)上单调道减. 3.解：函数f(x)的定义战为（一∞，0）U(0,十oo),f'(x)= ③因为f(x)=1-1. r∈（-∞，0)U(0,+o∞)，所以 (+)=1 f)=>0. 令f'(x)>0,则之x+6)x-6)>0.>减x< 所以函教f(x)=1-1在(-60,0)和(0，十0)上单调 6 递增. ∴函数的单调递增区间为（一∞，一√万）和(W6,十). ·99· 数学(BS)·选择性必修第二册 令f'(x)<0,则(x+6)(-6)K0, 当>0时，令f(x)=0,得r=士 3 .一万<x<万，且x≠0. 当x∈ 3 时，f(x)>0: ,函数的单调递减区间为（一石，0）和(0，石). 3 综上所迷，函数的单调递增区间为（一∞，一石）和（厅，十∞）， 当x日 ，巫]时，f)<0: 3 3 单调递减区间为（一6,0）和(0W历). 当堂达标 当e(.+时r>0 1.C[f(x)在(-∞，1)，(4，+∞)上是减函数，在(1,4) 上为增函数，.当x<1或x>4时，f(x)<0:当1<x<4 故f在(0，-圆·（区，+）上单拥递增， 时，f(x)>0.故选C.] 2.C[对于A选项，数y=x为偶函数，在(0，十o∞)上递 在（匹，）上单消。 增，在（一o∞，0）上递减：对于B选项，函数y=2在R上 综上，当k≤0时，f(x)在（一o0,十∞）上单调递增：当k> 诡减：对于C选项，y'=1一sinx≥0在R上恒成立，则函 数y=x十cosx在其定义战R上递增：对于D选项，函数 0助f)在(，-)(+小上单河运 y=-x在(0，十o∞)上道减.故选：C.] 3D[)=cas-合由了)>0得cos>名·在区 同0，a上，当0<晋时满足ms>] [例2】[解析]设g(x)=f2,因为f(x)·r<fx), x 4.解：f(x)=(x-k十1)e2.令f'(x)=0,得x=k-1. 所以g(r)=·f）-f<0g(x)是0，+o上 当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如表： (-o0,k-1) k-1 (k-1,十∞) 的减函数，因为f(3)=0,所以g(3)=0, f(.x) 0 因此2>0→g(x)>0=g(3)→r<3.:x>0,…0<x f(r) e4-1 <3. 所以f(.x)的单调递减区间是（一∞，k一1），单调递增区间 所以f2>0的解集为(0,3. x 是(k-1,+c∞). [答案](0,3) 第2课时函数单调性的综合问题 变式训练 课堂互动学案 2.B[fx)对于任意的x∈[0，)满足f(r)cosx+ [例1][解]函数f(x)的定义域为(0，十∞)，f(.x)=ax +1-a+-g2+x-(a+1 f(.x)sinx<0,令g(x)= f(r) 则g'(x)= cos (1)当a=0时，f(x)=1,由f(r)>0,得x>1,由 fos)L<0,∴gx)在[0受)上单谓递 cos'r f(x)<0,得0<x<1.∴.f(x)在(0,1)内为减函数，在 (1,十∞)内为增函数. coscos日 (2)当a>0时，f(x)= >f()门 x :a>0-a+<0.由f(x)>0,得x>1,由f(x)< [例3][解]由已知得f(x)=3x2-a,因为f(x)在 (一∞，+0∞)上是单调增函数，所以(x)=3x2-a≥0 0,得0<x<1. 在（一∞，+∞）上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立，图 ,f(x)在(0,1)内为减蓝数，在(1，十o)内为增蓝数， 为3x2≥0，所以只需a≤0.又因为a=0时，f(x)=3x≥ 综上所述，当a0时，f(x)在(0,1)内为诚函数，在(1，十∞) 0,f(x)=x3-1在R上是增盛数，所以a≤0. 内为增函数， 母题变式 变式训练 1.[解]由f(.x)=3x2-a,①当a≤0时，f(x)≥0， 1.解：f(x）=3x2-k. .f(x)在(-∞，十∞)上为增函数 当k=0时，f(x)=x3.故f(x)在(-∞，+∞)上单调 递增. @当>0时，◆x2-a=0,将x=士，当-< 3 当k<0时，f(x)=3x2-k>0,故f(x)在(-0∞，十o∞)上 单调递增， <3@时，f(x)<0. 3 ·100·