5 简单复合函数的求导法则-【创新教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册五维课堂（北师大版2019）

参考答案 变式训练 4.解：(1)y=(x3e2)'=(.r3)'e+x3(e)'=3x2e+x3e. 2.解：(1)由题可知，当x=一1时，y=一3，故点在曲线上，求 (2)y= (2 sin2sinr)r2-2sin( 导得： (x2)2 y=2x+2)-(2x-1D_ 5 2x cos r-4r sin x 2rcos r-4 sin (x十2)2 +2,所以当x=-1时得 切线斜率k=5.故切线方程为5.x-y十2=0. §5简单复合函数的求导法则 答案：5.x-y十2=0 课前预习学案 (2)解：设P(x0,%)为切点，则切线斜率为k=广(x)= 知识梳理 3x8-2, 知识点一x的函数复合函数y=f(g(x) 故切线方程为y一%=(3.x号一2)(x一x0),① [思考] (x0%)在曲线上，∴y0=x-2x0.② 1.[提示]函数y=log2(x十1)是由y=log24及u=x+1两个 又(1，一1)在切线上， 函数复合而成的， .将②式和(1，-1)代入①式得-1-(.x8-2x0)=(3x8 预习自测 1.(1)/ (2)/(3)×(4)X -2)(1-x0). 2.A 解得0=1或0=一之k=1或=-号 3.D[f'(x)=3x2+cos3x·(3xy=3x2+3cos3.x.] 故所求的切线方程为y十1=x一1或y十1 4解折：y=[(贤-3r)门--m(子-）小(-3) =-子-1D,即x-y-2=0或5r十4y-1=0. 3sn(任-3r） [例3][解析]因为点P是曲线y=x2-lnx-1上任意 一点，所以当点P处的切线和直线y=x一3平行时，点卫 答案：3sin(千-3u） 到直线y=x一3的距离最小，因为直线y=x一3的针率 课堂互动学案 等于1，确线y=2-1n1一1的等教)/=2江-子◆y [例1][解】(1)函效y=e2r+1可看作函数y=e“和u= 2.x十1的复合函数， 1,可得x=1或x=一名（含去），所以在南线y=2-n口 .yz=yw'·uz'=(e")y'(2x+1)'=2e"=2e2r+1 一1与直线y=x一3平行的切线经过的切点坐标为(1， 1 (②》函数y2一—1序可看作函数)=“和u=2x一1的 0),所以点P到直线y=x-3的最小距离为d=山一3到 复合函数， 2 y'=yw'·4'=(u3)'(2x-1)/=-6ut= =√2 [答案]C -6(2.x-1)-4=-6 (2.r-1) 变式训练 (3)函数y=5l0g2(1-x)可看作函数y=51og2w和u=1 3.解析：y=(x十a)e,∴y'=(x十1十a)e, 一x的复合函数， 设切点为(x0,y0),则%=(0十a)e,切线斜率k=(x0 ∴y'=yw'·Wx=(5log2w)y'·(1-x)/= 一5 +1+a)e。, uln 2 切线方程为：y-(ro十a)e。=(xo十1十a)e2a(x-x0), 5 =x-11n2 ,切线过原点，.-(xo十a)e=(xo十1十a)e(-xo), (4)函教y=sin(元x十g)可以看成函数y=sinu,u=元x 整理得：x号十a0一a=0, 十g的复合函敏， 切线有两条，.△=a2+4a>0,解得a<-4或a>0, ∴yz'=yw'·u,'=(sinu)'·(πx+g)'=cosu·x ∴a取值范图是(-∞，一4)U(0,十∞)， rcos(rx十p). 答案：(-∞，-4)U(0,十∞) 变式训练 当堂达标 1.解：(1)令u=3.x-2,则y=10“, 1.B[,点(1，-1)在曲线y=x3-3x2+1上，该，点处切线 所以yx=y'w·4z'=10ln10·(3.x-2)'=3X103x-8 的斜率为k=y1,=1=(3x2-6.x)x=1=3-6=-3,∴.切 lh10. 线方程为y十1=-3(x-1),即y=-3.x+2.] (2)令u=e十x2,则y=lnu, 2.C[:f(.x)=2x+2f(1),∴.f(1)=2+2f(1),解得 所以，=.，=士e+y ·(e+ f(1)=-2 e+r? .f(x)=2x-4.∴.子(0)=-4.] 2x)=e+2x 3.解析：因为y=a·x1,所以在点(1,2)处的切线斜率k er+r?. =a,切钱方程为y一2=a(x一1).又切钱过原点，故0一2 (3)设y=2sinu,w=3r- 6 =a(0-1),解得a=2. 答案：2 则y,=y.·d:=2cosu×3=6co(3x-看） ·97· 数学(BS)·选择性必修第二册 (4)设y=4+,=1-2x, 即实数m的值为8或-12. 则yx=y。·wx=(w)y·(1-2x)'=- 所以20是该数列的第10项. 2.[解]由题意可知，切线方程为y一1=2x,即2x一y十1 2)=(1-2.x)-t =0. [例2】[解]（1：(h3)=×3/=子 令x=0得y=1:令y=0得x=- 1-In 3. .y= (In 3x)'e"-(In 3c)(e)' (er)2 变式训练 =1-xIn 3r rer 3.(1)解：由曲线y=f(x)过(0,0)点，可得ln1十1十b=0, (2)y=(x√1+x)'=x'W1+x2+xW1+x) 故b=-1. -+7+=自+2中Z 由f)=lnx+1D+v中T+ar+6,得f)-十 W1+r 1+x2 1 十a,则f0)=1+是十a=是+a,此即为商线 (3)y-rcos(2r+2)sin(2+) 2√+T 7rsin 4r, y=)在点(0,0)处的切线的斜率.由题意，得号十a 3 =(sin4）=-sim4-os4r4= 2,故a=0. (2)解：设u=sinx,则f(.x)=(emr)'=(e)'(sinx)' sin 4r-2rcos 4r. cos resinx,f(0)=1,切线方程为y-1=x-0,即x-y十 变式训练 1=0. 1-c0837 因为直线1与切线平行，所以可设直线1的方程为x一y 十c=0. 号 两平行钱间的距离d=一1业=反，解得c=3或c (2)y=(sinr+sin r3)'=(sin3r)'+(sin 3)' -1. =3sinxcos r+cos r.3x2=3sin2rcos z+3rcos 3. 故直线1的方程为x一y十3=0或x一y一1=0. 3y-1n1+)+ln1+J'=lh1+r)+千 当堂达标 1.C[y=8(2023-8x)7(2023-8.x)'=-64(2023- [例3][解析](1)设曲线y=ln(2.x-1)在点(x0y)处 8.x)7=64(8.x-2023)7.] 的切线与直线2x-y+3=0平行.“y=2白 2 2.B[y'=(.x2)'cos2x+x2(cos2r)'= 2 2xcos 2x x2 (-sin 2x).(2x)'=2xcos 2x- 六y-%202 2x2sin 2r.] 解得0=1，∴0=ln(2-1)=0,即切，点坐标为(1,0). 3.B[y'=[xln(2x+5)]'=x'ln(2x+5)+x[n(2x+ ∴.切点(1,0)到直线2x一y十3=0的距离为d 1 2-0+3=5,即曲线y=h(2x-1)上的点到直线2x 5'=lh(2x+5)+r·2+5·(2x+5)'=lh(2x+5) √M十I -y十3=0的最短距离是√5. +2 (2)令y=f(x),则曲线y=er在点(0,1)处的切线的斜 4.解：(1)设u=2.x2+x,则y,'=yn'4,'=(lnu)'(2x2+x) 率为f广(0)，又切线与直线x十2y+1=0垂直，所以f(0) =+10-出 =2.因为f(x)=er,所以f(x)=(em)'=er·(a.x)'= 2r2+x ae,所以f(0)=ae°=a,故a=2. (2)y=x'√2r-T+x(√2.x-T), [答案](1)A(2)2 先求t=√2x-T的导数.设4=2x-1,则t=u, 母题探究 =,=-y= 1 √2x- :×2 1.[解]由题意可知，设切点P(x0y0),则y1无 2气=20=1，即切点P(1,0), 2 √2x-i :2-0十m=25,解得m=8或-12. ∴y=√2x-可+x 3x-1 √2x-1√2x-I ·98·§５　简单复合函数的求导法则 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数． ２．能利用复合函数的求导公式解决简单的实际问题． １．在运用复合函数求导公式解题过程中提升数 学抽象和数学运算的核心素养． ２．在解决实际问题的过程中培养数学建模的核 心素养． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　如何求函数y＝ln(２x－１)的导数? 现有方法无法求出它的导数． (１)用定义不能求出极限; (２)不是基本初等函数,没有求导公式; (３)不是基本初等函数的和、差、积、商,不能用导数的 四则运算法则解决这个问题． 这节课我们就来研究这类函数的求导问题. [知识梳理] [知识点一]　复合函数的概念 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 一般地,对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax ＋b,如果给定x的一个值,就得到了u的值,进而确 定了y的值,那么y可以表示成 　　　　,称这个函 数为函数y＝f(u)和u＝φ(x)的　　　　,记作 　　　　,其中u为中间变量． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．函数y＝log２(x＋１)是由哪些函数复合 而成的? [知识点二]　复合函数的求导法则 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 y′x＝[f(φ(x))]′＝f′(u)φ′(x)．其中u＝φ(x) [预习自测] １．判断下列说法是否正确(正确的打“√”,错误的打 “×”) (１)函数y＝sin(πx)的复合过程是y＝sinu,u＝ πx． (　　) (２)函数y＝ １(３x－１)２ 的导数是y′＝－ ６(３x－１)３ ． (　　) (３)f(x)＝ln(３x－１),则f′(x)＝ １３x－１． (　　) (４)f(x)＝x２cos２x,则f′(x)＝２xcos２x＋２x２sin２x． (　　) ２．函数y＝(x２－１)n 的复合过程正确的是 (　　) A．y＝un,u＝x２－１　　　B．y＝(u－１)n,u＝x２ C．y＝tn,t＝(x２－１)n D．y＝(t－１)n,t＝x２－１ ３．已知f(x)＝x３＋sin３x,则其导函数f′(x)＝ (　　) A．３x２＋３cosx B．x３＋３cosx C．x３＋３cos３x D．３x２＋３cos３x ４．函数y＝cos π４－３x æ è ç ö ø ÷的导数为　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　复合函数的导数 [例１]　求下列函数的导数． (１)y＝e２x＋１;(２)y＝ １(２x－１)３ ; (３)y＝５log２(１－x);(４)y＝sin(πx＋φ)． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．解答此类问题常犯两个错误 (１)不能正确区分所给函数是否为复合函数． (２)若是复合函数,不能正确判断它是由哪些基本 初等函数复合而成． ２．复合函数求导的步骤 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２５􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第二册 􀳀[变式训练] １．求下列函数的导数． (１)y＝１０３x－２;(２)y＝ln(ex＋x２); (３)y＝２sin３x－π６ æ è ç ö ø ÷;(４)y＝ １ １－２x ． 　　　复合函数与导数的运算法则的综合应用 [例２]　求下列函数的导数． (１)y＝ln３xex ;(２)y＝x １＋x２; (３)y＝xcos２x＋π２ æ è ç ö ø ÷sin２x＋π２ æ è ç ö ø ÷． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．在对函数求导时,应仔细观察及分析函数的结 构特征,紧扣求导法则,联系学过的求导公式, 对不易用求导法则求导的函数,可适当地进行 等价变形,以达到化异求同、化繁为简的目的． ２．对于复合函数的求导,在熟练后,中间步骤可以 省略,即不必再写出函数的复合过程,直接运用 公式,从外层开始由外及内逐层求导． 􀳀[变式训练] ２．求下列函数的导数． (１)y＝sin２x３ ;(２)y＝sin３x＋sinx３; (３)y＝xln(１＋x)． 　　　复合函数导数法则的综合应用 [例３]　(１)曲线y＝ln(２x－１)上的点到直线２x－y ＋３＝０的最短距离是 (　　) A．５　　　　　　　　B．２ ５ C．３ ５ D．０ (２)设曲线y＝eax在点(０,１)处的切线与直线x＋ ２y＋１＝０垂直,则a＝　　　　． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨] (１)设P(x０,y０)→由y′|x＝x０＝２求P(x０,y０) → 点到直线的距离求最小值 (２)求y′|x＝０ → 由y′|x＝０＝２求a的值 [母题探究] １．(变条件)本例(１)的条件变为“曲线y＝ln(２x－１) 上的点到直线２x－y＋m＝０的最小距离为２ ５”, 求m 的值． ２．(变结论)求(２)中曲线的切线与坐标轴围成的三角 形的面积． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　本题正确的求出复合函数的导数是前提,审 题时注意所给点是否是切点,挖掘题目隐含条件, 求出参数,解决已知经过一定点的切线问题,寻求 切点是解决问题的关键． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３５􀅰 第二章　导数及其应用 􀳀[变式训练] ３．(１)设f(x)＝ln(x＋１)＋ x＋１＋ax＋b(a,b∈R, a,b为常数),曲线y＝f(x)与直线y＝３２x 在(０, ０)点相切．求a,b的值． (２)曲线y＝f(x)＝esinx 在(０,１)处的切线与直线l 平行,且与l的距离为 ２,求直线l的方程． [当堂达标] １．函数y＝(２０２３－８x)８ 的导数为 (　　) A．y′＝８(２０２３－８x)７　　B．y′＝－６４x C．y′＝６４(８x－２０２３)７ D．y′＝６４(２０２３－８x)７ ２．函数y＝x２cos２x的导数为 (　　) A．y′＝２xcos２x－x２sin２x B．y′＝２xcos２x－２x２sin２x C．y′＝x２cos２x－２xsin２x D．y′＝２xcos２x＋２x２sin２x ３．函数y＝xln(２x＋５)的导数为 (　　) A．ln(２x＋５)－ x２x＋５ B．ln(２x＋５)＋ ２x２x＋５ C．２xln(２x＋５) D． x２x＋５ ４．求下列函数的导数． (１)y＝ln(２x２＋x);(２)y＝x􀅰 ２x－１． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４５􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第二册