3 导数的计算-【创新教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册五维课堂（北师大版2019）

参考答案 变式训练 [思考] 4.解：设切点为(x0·x号十x0十1)，： △y 2.[提示]说明常数函数y=(图像上每一点处的切线的斜率 △x 都为0，即每一点处的切线都平行（或重合）于x轴. (x6十△x)2+(x0十△x)+1-(x+x0+1) △x =△x+2x0 预习自测 1.(1)×(2)×(3)× +1. 2.ABC 当A一0时，趋于2十1，则切线的斜率为2十1 又k=号+十1)-0x号+x+1 ac[)=s景-号故f=a] x0-(-1) x0十1' 4.解析：()'=3x2,若切线平行或重合于x轴，则切线斜率k= 20十1=号+0+1 0,即3x2=0,得x=0.∴y=0,即切点为(0,0). xo十1 答案：(0,0) 解得x6=0或t0=一2. 课堂互动学案 当x0=0时，切线斜率k=1,过（一1,0）的切线方程为y [例1[解]qDy=-3x.(2)y=3ln3.(3yn -0=x+1,即x一y十1=0. 当x0=一2时，切线斜率k=一3，过（一1,0）的切线方程 （40y=sin.y=c0sx.(5)y'=0.(6y=1 为y-0=-3(x+1),即3x十y十3=0. (7)y'=e. 故所求切线方程为x-y十1=0或3.x十y十3=0. 变式训练 当堂达标 1.B[g+a2f_+a2-店.a 1.ABC [因为(cosy=一inx,所以A错误：n- 32 ,而 △x △x +3xoAx+3x6 2 =0,所以B错误：（之） =(x2)y=-2x3,所以C 当△r趋于0时.A义趋于3xf'(x0)=3x=3.0 △x 错误： =(-y==2所以D正确] 2tx =士1.] 2.A[由题意知切线过点(1,3)，(0,2)，所以k=f'(1)= [例2] 解]因为)了=上所以当=e时y=。即切线针 3-2=1>0.] 1-0 率为上，所以初线方程为y一1=上(-0).即x-Cy=0. 3.AB [: f(xo十Ax)-f(.xo) 母题变式 △x 1.[解]因为点OX0,0)不在曲线上，所以设切点为Q(a,b),则 （x+△r)3+(+Ar)-1-(r8+x0-D=3x号+1 △ 切线鲜幸友=。又因为是-日昌且6=lha,所以a=e6 a-01 十3·4r+(△)只当4x趋于0时，会是地子3+ 1.所以切线方程为x一ey=0. 2.解：问题可以转化为函数y-nx与y=mx的图像有且仅有 1,广(x0)=3.x号+1=4.解得x0=士1.] 一个公共，点.由图像易知m≤0满足条件.另外就是y=m江 4,解析：由极限的运算法则结合导函数的定义可得 n+2-四-号a+2@=专×f 是y=lnx的切线时满足条件.因为y=mx图像过(00)，设 3△元 30 △x 切克为Qab,则切线斜率m三一，又因为m=。二0，且6 2 3 以aeb=lm=。,即m的取值范国为 答案：号 of 5.解析：(1)(t)是负效.因为广(1)表示温度随时间的变化 变式训练 率，而温度是逐渐下降的，所以∫(1)为负数 2.解：设切，点坐标为P(%).f(,x)=一23=tan135= (2)f(3)=一4表明在3min附近时，温度约以4℃/min 1,即-203=一1，∴0=2.代入曲线方程得0=2， 的速度下降. §3导数的计算 ,点P的坐标为(2,2于). 课前预习学案 知识梳理 [例3](D[解析])=)=cos1,() 知识点-，limKr+△)-f △x ,即质点在1=号时的递度为号： [思考] 1.[提示]广(o)是一个确定的数，而f'(x)是一个函数. “d0)=s1加造度a)=d)=(ms0=-m,-n子 知识点二0 a-i c'lna品。士os一s如x 1 3 = 2 1 [答案] 1 cos2 .r ·95· 数学(BS)·选择性必修第二册 (2)[解]设两条曲线的一个公共点为P(x0,y%),两条 §4导数的四则运算法则 曲线在P(x0,yo)处的斜率分别为k=cos0, 4.1导数的加法与减法法则 k2=-sin ro. 要使两条切线互相垂直，必须满足cos0(一sin0)=一1， 4.2导数的乘法与除法法则 即sin rocos ro=l,也就是sin2xo=2,这是不可能的. 课前预习学案 ,两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互 知识梳理 相垂直. 知识点一、这两个函数导数了(x)十g'(x)f(x)-g(x) 变式训练 知识点二kf(x) 预习自测 1.(1)/(2)×(3)× 2.D[y=(x3·2r)'=(.x3)·2r+x3·(2r)'=3x2·2+2 1 102 ·x3n2.] (2)解：设切点P(xo·y%),由直 3.解析：W'()=32-12+16,W'(1)=7(J/s).W'(2)=4J/s). fx) 答案：74 线l与曲线y=f(x)相切于点 P,得切线1的斜率为f'(xo) 4解折：①（侵广-”21山2， (2)2 2 =4.x0- g(x) (2)(.xe)y=e+xe=(1+x)e 由直线1与曲线y=g(x)也相 切于点P,得切线1的斜率为g 0 答案：1)-n2 2 (2)(1+x)e 0)2国 1 课堂互动学案 ,解得0= 倒山解]y-(信r-音++)-（传r) 由f(.x0)=g'(.xo),得4xo= 20 (停r）+ar+② “0=面-是即点P的坐标为（仔）】月 =x1-4x2+3. 由点P(什)在曲线y=f)上，得2x 1)2+a= (2)法-：y=(3x5-4x)'(4x+3x3)+(3x5-4x3)(4.x+ 3x3)y'=(15.x4-12x2)(4x5+3x3)+(3x-4x3)(20x+9x2) 、3 解得a= =60.x°-48x2+45x7-36x5+60x9-80x3+27.x2-36r5= 120.x9-56x7-72x2. 点P的坐标 (仔·)的值为 法二：y=12x0-7x8-12x8,.y=120x-56x2-72x5. 当堂达标 (3)y'=(3F+4√F)'=(3.x)'+(4x)y/=4红+6x 1.B[由题意得f'(.x)=一sinx,故sina=- 1 4近+6元 变式训练 (受)故。=径] 1.解：(1)y=2x-2x8. (2)y=(ln3+1)·(3er-21n2. 2.ABD[(cosx)'=-sinx,故A不正确：(3)'=3·ln3, (3y-2+1-22.hz 、故B不正确gx)y=.110,故C正确：(x)二二 x(x2+1)2 2x-2-1=-2x-3,故D不正确.] ④：y=2-如专s专=2-名my=2红- 3.解析：由导数的公式知，了(x)=2x,g(x)=3x2.因为 1 2c0s . f(.x)+1=g(x).所以2x+1=3x2,即3.x2-2.x-1=0. [例2][解析](1)由函数y=3sinx,得y=3cosx, 解得x=1戎x=一3 1 所以通款在=号处的切鹰针率为3X一音=号》 答案：1或-司 [答案)昌 4.解：因为y=sinx,所以y=cosx. (2)解：①由题意，函数的定义域为(0，十©)，由f(x)=a.x2+ 周为确线在点P(合·号)处的初线针率是m音一 h,得fe)=2ar+士所以+f)=a+1 所以过点P且与切线垂直的直线的斜率为一二 ②因为曲线y=f(x)存在垂直于y轴的切线，故此时切线斜 率为0，问题转化为在x∈(0，十oo)内导函数广(x)=2ax十 所以所来的直线方程为y一合=一看（一音），脚2： 存在零点，即了(x)=0,所以2ax十上=0有正实数解，即 x +y9=0 2a.2=一1有正实敦解，故有a<0,所以实数a的取值范国 是(-∞，0). ·96·§３　导数的计算 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．能根据导数定义求函数y＝c,y＝x,y＝x２,y＝x３,y＝ １ x ,y＝ x的导数． ２．能用基本初等函数的导数公式求解一些简单问题． 通过运用基本初等函数导数公式解决简单的问 题,提升逻辑推理、数学运算的核心素养． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　由导数的定义可知,一个函数的导数是唯一确定 的．在必修第一册中我们学过基本初等函数,并且知 道,很多复杂函数都是通过对这些函数进行加、减、 乘、除等运算得到的．由此自然想到,能否先求出基本 初等函数的导数,然后研究出导数的“运算法则”,这 样就可以利用导数的运算法则和基本初等函数的导 数求出 复 杂 函 数 的 导 数．本 节 我 们 就 来 研 究 这 些 问题． [知识梳理] [知识点一]　导函数的概念 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 一般地,如果一个函数f(x)在区间(a,b)上的每 一点x处都有导数f′(x)＝　　　　　　　　　,那 么f′(x)是关于x的函数,称f′(x)为y＝f(x)的导 函数,也简称为导数．有时也将导数记作y′． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．f′(x０)与f′(x)有什么区别? [知识点二]　导数公式表 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 函数 导函数 y＝c(c是常数) y′＝　　　 y＝xα(α是实数) y′＝　　　 y＝ax(a＞０,a≠１) y′＝　　　,特别地(ex)′＝ 　　　 y＝logax(a＞０,a≠１) y′＝　　　,特别地 (lnx)′＝　　　 y＝sinx y′＝　　　 y＝cosx y′＝　　　 y＝tanx y′＝　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２．常数函数的导数为０,说明什么? [预习自测] １．判断下列说法是否正确(正确的打“√”,错误的打 “×”) (１)常数函数的导数是它本身． (　　) (２)指数函数的导数还是指数函数． (　　) (３)正弦函数的导数是余弦函数,余弦函数的导数 是正弦函数． (　　) ２．(多选)下列结论正确的是 (　　) A．若y＝０,则y′＝０ B．若y＝５x,则y′＝５ C．若y＝x－１,则y′＝－x－２ D．若y＝x １ ２,则y′＝１２x １ ２ ３．若f(x)＝cosπ４ ,则f′(x)＝ (　　) A．－sinπ４　　　　　B．sin π ４ C．０ D．－cosπ４ ４．曲线y＝x３ 上切线平行或重合于x 轴的切点坐标 是　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７４􀅰 第二章　导数及其应用 　　　用求导公式求函数的导数 [例１]　求下列函数的导数: (１)y＝x－３;(２)y＝３x;(３)y＝log５x;(４)y＝ cos π２－x æ è ç ö ø ÷;(５)y＝sinπ６ ;(６)y＝lnx;(７)y＝ex． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 求简单函数的导函数有两种基本方法 (１)用导数的定义求导,但运算比较繁杂; (２)用导数公式求导,可以简化运算过程、降低运 算难度．解题时根据所给问题的特征,将题中函 数的结构进行调整,再选择合适的求导公式． 􀳀[变式训练] １．(多选)下列结论错误的是 (　　) A．(cosx)′＝sinx B．sinπ３ æ è ç ö ø ÷ ′ ＝cosπ３ C．若y＝１x２ ,则y′＝－１x D．－ １ x æ è ç ö ø ÷ ′ ＝ １ ２x x 　　　利用导数公式求切线方程 [例２]　求曲线y＝lnx在点P(e,１)处的切线方程． [母题变式] １．求曲线y＝lnx过点O(０,０)的切线． ２．若方程lnx＝mx恰有一个根,求m 的取值范围． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 (１)若已知点是切点,则在该点处的切线斜率就是 该点处的导数． (２)如果已知点不是切点,则应先设出切点,再借 助两点连线的斜率公式进行求解． 􀳀[变式训练] ２．在曲线y＝f(x)＝１x２ 上求一点P,使得曲线在该点 处的切线的倾斜角为１３５°． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８４􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第二册 　　　导数的简单应用 [例３]　(１)若质点的运动方程是s＝sint,则质点在t ＝π３ 时的速度为　　　　;质点运动的加速度为 　　　　． (２)已知两条曲线y１＝sinx,y２＝cosx,是否存在 两条曲线的一个公共点,使在这一点处的两条曲线 的切线互相垂直? 并说明理由． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 导数的简单应用 (１)导数在物理中的应用:位移对时间t的导数就 是速度,速度对时间t的导数即为加速度． (２)导数在函数中的应用:利用导数的几何意义, 即切线的斜率建立切点的横坐标与切线斜率 之间的关系解决问题． 􀳀[变式训练] ３．(１)质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s＝ ５ t,则质点在t＝４时的速度为 (　　) A． １ ２ ５ ２３ 　　　　　　B． １ １０ ５ ２３ C．２５ ５ ２３ D．１１０ ５ ２３ (２)如图,已知曲线f(x)＝２x２＋a(x≥０)与曲线g (x)＝ x(x≥０)相切于点P,且在点P 处有相同的 切线l,求点P 的坐标及a 的值． [当堂达标] １．已知f(x)＝cosx,f′(α)＝１２ ,α∈ π２ ,３π ２ æ è ç ö ø ÷,则角α 等于 (　　) A．５π６　　　　　　　　B． ７π ６ C．２π３ D． ４π ３ ２．(多选)下列求导运算错误 的是 (　　) A．(cosx)′＝sinx B．(３x)′＝３xlog３e C．(lgx)′＝ １xln１０ D． (x－２)′＝－２x－１ ３．若f(x)＝x２,g(x)＝x３,则满足f′(x)＋１＝g′(x) 的x值为　　　　． ４．求过曲线y＝sinx 上点P π６ ,１ ２ æ è ç ö ø ÷ 且与在这一点 处的切线垂直的直线方程． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９４􀅰 第二章　导数及其应用