2 导数的概念及其几何意义 2.1 导数的概念&2.2 导数的几何意义-【创新教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册五维课堂（北师大版2019）

§２　导数的概念及其几何意义 ２．１　导数的概念 ２．２　导数的几何意义 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．理解导数的概念及导数的几何意义． ２．会求导数及理解导数的实际意义． ３．掌握利用导数求切线方程的方法． １．通过对导数概念学习,达成数学抽象的核心素养． ２．通过对导数几何意义的理解,提升直观想象的核心 素养． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 前面我们研究了两类变化率问题:平均变化率和瞬时 变化率．在解决问题时,采用了由“平均变化率”逼近 “瞬时变化率”的思想方法．下面我们用上述思想方法 研究更一般的问题． [知识梳理] [知识点一]　函数f(x)在x＝x０ 处的导数 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．函数f(x)在x＝x０ 处的导数 设函数y＝f(x),当自变量x从x０变到x１ 时,函数 值y从f(x０)变到f(x１),函数值y关于x 的平均 变化率为Δy Δx＝ f(x１)－f(x０) x１－x０ ＝f (x０＋Δx)－f(x０) Δx ． 当x１ 趋于x０,即Δx趋于０时,如果平均变化率趋 于一个固定的值,那么这个值就是函数y＝f(x)在 点x０ 的瞬时变化率．在数学中,称瞬时变化率为函 数y＝f(x)在点x０ 处的导数．通常用符号f′(x０) 表示,记作f′(x０)＝lim x１→x０ f(x１)－f(x０) x１－x０ ＝lim Δx→０ f(x０＋Δx)－f(x０) Δx ． [知识点二]　导数的几何意义 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．割线的定义 设函数y＝f(x)的图像是一条光滑的曲线,且函数 y＝f(x)在区间[x０,x０＋Δx]的平均变化率为 Δy Δx , 如图,它是经过A(x０,f(x０))和B(x０＋Δx,f(x０ ＋Δx))两点的直线的斜率,这条直线称为曲线y＝ f(x)在点A 处的一条割线． ２．切线的定义 当Δx趋于０时,点B 将沿着曲线y＝f(x)趋于点 A,割线AB 将绕点A 转动趋于直线l．称直线l为 曲线y＝f(x)在点A 处的切线,或称直线l和曲线 y＝f(x)在点A 处相切． ３．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x０ 处的导数f′(x０),是曲线y＝ f(x)在点(x０,f(x０))处的切线的斜率． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　曲线的切线与曲线一定只有一个公共 点吗? [预习自测] １．判断下列说法是否正确(正确的打“√”,错误的打 “×”) (１)函数y＝f(x)在x＝x０ 处的导数值与Δx值的 正、负无关． (　　) (２)函数在 x０ 处的导数 f′(x０)与 x０ 和 Δx 都 有关． (　　) (３)f′(x０)是函数y＝f(x)在x＝x０ 附近的平均变 化率． (　　) (４)函数f(x)＝０没有导函数． (　　) (５)f′(x０)与[f(x０)]′表示的意义相同． (　　) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４４􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第二册 (６)若f′(x０)＝０,则曲线y＝f(x)在点(x０,f(x０)) 处的切线不存在． (　　) ２．已知y＝f(x)的图像如图所示,则f′(xA)与f′(xB) 的大小关系是 (　　) A．f′(xA)＞f′(xB)　　　B．f′(xA)＜f′(xB) C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定 ３．若曲线y＝f(x)在点(x０,f(x０))处的切线方程为 ２x－y＋１＝０,则 (　　) A．f′(x０)＞０ B．f′(x０)＜０ C．f′(x０)＝０ D．f′(x０)不存在 ４．由导数的定义可求得,函数f(x)＝x２－２x在x＝１ 处的导数f′(１)＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　求函数在一点处的导数 [例１]　(１)若lim Δx→０ f(x０＋Δx)－f(x０) Δx ＝k , 则lim Δx→０ f(x０＋２Δx)－f(x０) Δx 等于 (　　) A．２k　　　　　　　B．k C．１２k D． 以上都不是 (２)函数y＝ x 在x＝１处的导数是　　　　． (３)求函数f(x)＝２x２＋４x在x＝３处的导数． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 利用导数定义求导数的三步曲 (１)求函数的增量Δy＝f(x０＋Δx)－f(x０) (２)求平均变化率ΔyΔx ＝ f(x０＋Δx)－f(x０) Δx (３)取极限,得导数f′(x０)＝lim Δx→０ Δy Δx ． 简记为:一差,二比,三趋近． 􀳀[变式训练] １．已 知 f′(１)＝ －２,则lim Δx→０ f(１－２Δx)－f(１) Δx ＝ 　　　　． ２．求函数f(x)＝１ x 在x＝１处的导数． 　　　导数的实际意义 [例２]　将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同 产品,需要对原油进行冷却和加热．如果在第xh 时,原油的温度(单位:℃)为y＝f(x)＝x２－７x＋ １５(０≤x≤８)．计算第２h和第６h时,原油温度的 瞬时变化率,并说明它们的意义． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　要弄清在实际问题中导数的意义,一定要正 确计算Δy和Δx,并知道它们的实际意义,再看 Δy Δx ,当Δx→０时,ΔyΔx 趋于定值的实际意义． 􀳀[变式训练] ３．蜥蜴的体温与阳光的照射有关,其关系为T(t)＝ １２０ t＋５＋１５ ,其中T(t)为体温(单位:℃),t为太阳落 山后的时间(单位:min) (１)从t＝０min到t＝１０min,蜥蜴的体温下降 了多少? (２)从t＝０min到t＝１０min,蜥蜴的体温的平均变 化率是多少? 它表示什么意义? (３)求T′(５),并说明它的实际意义． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５４􀅰 第二章　导数及其应用 　　　利用导数的几何意义求曲线的切线方程 [例３]　已知曲线f(x)＝x２, (１)求曲线在点P(１,１)处的切线方程; (２)求曲线过点P(３,５)的切线方程． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 利用导数的几何意义求切线方程的方法 (１)若已知点(x０,y０)在已知曲线上,求在点(x０, y０)处的切线方程,先求出函数y＝f(x)在点 x０ 处的导数,然后根据直线的点斜式方程,得 切线方程y－y０＝f′(x０)(x－x０)． (２)若点(x０,y０)不在曲线上,求过点(x０,y０)的切 线方程,首先应设出切点坐标,然后根据导数 的几何意义列出等式,求出切点坐标,进而求 出切线方程． 􀳀[变式训练] ４．求过点(－１,０)与曲线y＝x２＋x＋１相切的直线 方程． [当堂达标] １．若f(x)＝x３,f′(x０)＝３,则x０ 的值为 (　　) A．３ B．±１ C．± ３ D．３ ３ ２．若曲线y＝f(x)上在点(１,３)处的切线过点(０,２), 则有 (　　) A．f′(１)＞０ B．f′(１)＝０ C．f′(１)＜０ D．f′(１)不存在 ３．(多选)若f(x)＝x３＋x－１,f′(x０)＝４,则x０ 的 值为 (　　) A．１ B．－１ C．３ ３ D．－３ ３ ４．设函 数 f(x)在 x＝１处 存 在 导 数,其 值 为２, 则lim Δx→０ f(１＋Δx)－f(１) ３Δx ＝　　　　． ５．一杯８０℃的热红茶置于２０℃的房间里,它的温度 会逐渐下降．温度T(单位:℃)与时间t(单位:min) 间的关系,由函数T＝f(t)给出．请问: (１)f′(t)的符号是什么? 为什么? (２)f′(３)＝－４的实际意义是什么? 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６４􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第二册 参考答案 [例13】解折：根搭题意可得A,十B,=3A,=子A-1十 [例2][负解]s(tn)=2(1a)s(p-)>s2(-△)， 故1o)-14,一))--y) △ 所以在相同时间内乙的速度比甲的速度快，即在如题图所示 A,=子A,1+3-A-)=A1+ 的整个运动过程中乙的速度比甲的速度快 3 变式训练 2.ABD[在0到0范围内，甲，乙的平均速度都为兰，故A,B 数列， 错误：在到1范固内，甲的平均速度为2二，乙的平均速 -61 度为二要因为为一和>1一南山一6>0，所以二> t1-to 31 1 六B=3-A。=22市小A。-B2市X2= 一，故C正确，D错误.] t1一to N+). [例3][解](1)质点P在[1,1十△]这段时间内的平均速 答案 度为 第二章导数及其应用 =8-31+)2-8+3×1=-6-3(m/s. §1平均变化率与瞬时变化率 (2)由1)知会=-6-3M,当山趋于0时，兰趋于-6， 1.1平均变化率 △ 所以质点P在1=1时的眸时速度为一6m/s 1.2醉时变化率 变式训练 课前预习学案 3.解：△y=f(1+△x)-f(1) 知识梳理 =3(1+△x)2+(1+△x)-(3+1) 知识点一，L.改变量△x改变量△y函数值自变量 =7△x+3(△x)2. 2.快慢 [思考] Ay=7△x+3(△x) △x △x =7+3Ax. [提示]不一定，当取定值，△x取不同的数值时，函数的 平均变化率不一定相同：当△x取定值，取不同的数值时， 当△楚于0时会器=7+30楚于7+3X0=7 函数的平均变化率也不一定. ∴.函数y=3x2十x在点x=1处的醉时变化率为7. 预习自测 当堂达标 1.(1)×(2)/(3)√(4)/ 2B会=）@2X2+2X1+D-2] 1.B[手均支化率为}-1.订 b-a 2-1 2.C[由平均变化率的概念知C正确.] 3A[因为4=s(3+M)-s(3)=6△+（△）2，所以A=6 3.D [Ay_f(x2)-f()BC △z x2一1 -AC=tan∠BAC=kAB.] +△.] 4.解析：△y=[2(xo十△x)2+11-(2.x号+1)=4.xo△x+ 4.解析：△y=f(2十△x)-f(2)=3(2+△x)+1-(3×2+1)= 34,别哈-验=3当△c地于0时会地于8 2ar,=40+2a,吉△r趋于0时，会是趋于4 =-8..x0=-2.∴.点M的坐标为(-2,9). 答案3 答案：（一2,9） 课堂互动学案 [例1门解：当自变量从o变化到xo十△x时，函数的平均变化 §2导数的概念及其几何意义 率为 2.1导数的概念 △y=fx+△r)-fxn) 2.2导数的几何意义 △x _[2(m+△x)2+3]-(2x+3) 课前预习学案 At 知识梳理 4xo△x+2(△x)2 [思考] =4.x+2△x [提示]曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可 当西=2,4r=一号时，平均支化率的值为4X2+2× 以有多个，甚至可以无穷多，与曲线只有一个公共点的直 线也不一定是曲线的切线， （2). 预习自测 变式训练 1.(1)/(2)×(3)×(4)×(5)×(6)× kD会-2I+△2-2X-4+2A.款选D 2.B[由导数的几何意义，f(xA),(xB)分别是切线在点 Ar A,B处切线的斜率，由图像可知(xA)<f(rB).] ·93· 数学(BS)·选择性必修第二册 3.A[由切线方程可以看出其斜率是2，又曲线在该点处 [例2][解]在第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率 的切线的斜率就是函数在该点处的导数，所以∫(x) >0.] 就是了②了0以.根据导数的定又，会是-2+22 4.解析：Ay=+△x)-f) =2+△)2-7(2+△)+15-(2-7×2+15) △x △x =1+4x)2-2(1+△x)+1 4△x+(A)2-7Ax=△x-3. △r 当△r总于0时，会签楚于0f1)==0 当4r趋于0时，公趋于-.(2)=-3 答案：0 同理可得(6)=5. 课堂互动学案 所以在第2h与第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为 [例1门(1)[解析]i fx+2△x)-fx2_ 一3和5，它说明在第2h附近，原油温度大约以3℃/h △r 的速度下降：在第6h附近，原油温度大约以5℃/h的速 2 lim fo+2△)-fxn）=2im f(xo+Ar)-f(zo) 度上升，了(x)反映了原油温度在时刻x附近的变化 2△x △x 情况. =2k. 变式训练 [答案]A 3.解：(1)在1=0min和1=10min时，蜥场的体温分别为 2②[解折]：△y=+-1会= Ar T0)-929+15-39.T0)-02与+15-23，t从1 1 0min到t=10min,蜥蜴的体温下降了39-23=16℃， √1+△x+1 当△龙于0时，四会器=号 (2②平均支化率为T00。T0=-8-1.6 10 它表示从t=0min到t=10min,蜥蜴的体温平均每分钟 画数y=反在=1处的导数为号 下降1.6℃. [答案] (3)T(5)= 2 120 (3)[解]f(x)=2x2+4x, m5515--16 -12 ∴.△y=f3+△x)-f3) △t m10+4-1.2 =2(3+△x)2+4(3+△x)-(2×32+4×3) 它表示1=5min时蜥蝎体温下降的速度为l.2℃/min. =12△x+2(△x)2+4△x-2(△x)2+16Ax. [例3][解] 是-264=2A+1 1)设切点为(：%，：器 △x (xo+△x)2-6= x号+2.x△x十（△x)2-x △x △x 当△r趋于0时，▣会器=16f(8)=16 =2x0+△x, 变式训练 L解折：了1)=-2.m0-2-四 当4一0时地于2of)=2 △x ∴.广(1)=2.∴.曲线在点P(1,1)处的切线方程为 f1-2△x)-f1) lim =-2imf0-2A）-f y-1=2(x-1),即2.x-y-1=0. -2△x =-2 (2),点P(3,5)不在曲线f(x)=x2上，设切点为(x0y%), (1)=-2×(-2)=4. 由(1)知，f(x0)=2.xo· 答案：4 ∴.切线方程为y-y0=2.xo(x一x0)。 由点P(3,5)在所求直线上，得5-y0=2x0(3-0),① 2.解：：△y=f(1十△x)-f(1)= -1= √/+△x 再由A(x0y%)在曲线y=x2上，得y%=x行，② 1-W1+△7 -△x 联立①和②得x号-6.x0十5=0，x0=1或x0=5. √1+△x √+4x(1+√个+△) 从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25). 当切点为(1,1)时，切线的斜率为k1=2.x0=2,此时切线 W/1+△r(1+√1+△x) 方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0, 当△x无限趋近于0时，1十△x无限趋近于1， 当切点为(5,25)时，切线的斜率为k2=2.x0=10,此时切 :义无限趋近于一2 △x 线方程为y-25=10(x-5),即10.x-y-25=0. 综上，过点P(3,5)的切线方程为2x一y-1=0或10.x-y 了1)=-2 1 -25=0. ·94· 参考答案 变式训练 [思考] 4.解：设切点为(x0·x号十x0十1)，： △y 2.[提示]说明常数函数y=(图像上每一点处的切线的斜率 △x 都为0，即每一点处的切线都平行（或重合）于x轴. (x6十△x)2+(x0十△x)+1-(x+x0+1) △x =△x+2x0 预习自测 1.(1)×(2)×(3)× +1. 2.ABC 当A一0时，趋于2十1，则切线的斜率为2十1 又k=号+十1)-0x号+x+1 ac[)=s景-号故f=a] x0-(-1) x0十1' 4.解析：()'=3x2,若切线平行或重合于x轴，则切线斜率k= 20十1=号+0+1 0,即3x2=0,得x=0.∴y=0,即切点为(0,0). xo十1 答案：(0,0) 解得x6=0或t0=一2. 课堂互动学案 当x0=0时，切线斜率k=1,过（一1,0）的切线方程为y [例1[解]qDy=-3x.(2)y=3ln3.(3yn -0=x+1,即x一y十1=0. 当x0=一2时，切线斜率k=一3，过（一1,0）的切线方程 （40y=sin.y=c0sx.(5)y'=0.(6y=1 为y-0=-3(x+1),即3x十y十3=0. (7)y'=e. 故所求切线方程为x-y十1=0或3.x十y十3=0. 变式训练 当堂达标 1.B[g+a2f_+a2-店.a 1.ABC [因为(cosy=一inx,所以A错误：n- 32 ,而 △x △x +3xoAx+3x6 2 =0,所以B错误：（之） =(x2)y=-2x3,所以C 当△r趋于0时.A义趋于3xf'(x0)=3x=3.0 △x 错误： =(-y==2所以D正确] 2tx =士1.] 2.A[由题意知切线过点(1,3)，(0,2)，所以k=f'(1)= [例2] 解]因为)了=上所以当=e时y=。即切线针 3-2=1>0.] 1-0 率为上，所以初线方程为y一1=上(-0).即x-Cy=0. 3.AB [: f(xo十Ax)-f(.xo) 母题变式 △x 1.[解]因为点OX0,0)不在曲线上，所以设切点为Q(a,b),则 （x+△r)3+(+Ar)-1-(r8+x0-D=3x号+1 △ 切线鲜幸友=。又因为是-日昌且6=lha,所以a=e6 a-01 十3·4r+(△)只当4x趋于0时，会是地子3+ 1.所以切线方程为x一ey=0. 2.解：问题可以转化为函数y-nx与y=mx的图像有且仅有 1,广(x0)=3.x号+1=4.解得x0=士1.] 一个公共，点.由图像易知m≤0满足条件.另外就是y=m江 4,解析：由极限的运算法则结合导函数的定义可得 n+2-四-号a+2@=专×f 是y=lnx的切线时满足条件.因为y=mx图像过(00)，设 3△元 30 △x 切克为Qab,则切线斜率m三一，又因为m=。二0，且6 2 3 以aeb=lm=。,即m的取值范国为 答案：号 of 5.解析：(1)(t)是负效.因为广(1)表示温度随时间的变化 变式训练 率，而温度是逐渐下降的，所以∫(1)为负数 2.解：设切，点坐标为P(%).f(,x)=一23=tan135= (2)f(3)=一4表明在3min附近时，温度约以4℃/min 1,即-203=一1，∴0=2.代入曲线方程得0=2， 的速度下降. §3导数的计算 ,点P的坐标为(2,2于). 课前预习学案 知识梳理 [例3](D[解析])=)=cos1,() 知识点-，limKr+△)-f △x ,即质点在1=号时的递度为号： [思考] 1.[提示]广(o)是一个确定的数，而f'(x)是一个函数. “d0)=s1加造度a)=d)=(ms0=-m,-n子 知识点二0 a-i c'lna品。士os一s如x 1 3 = 2 1 [答案] 1 cos2 .r ·95·