4 数列在日常经济生活中的应用-【创新教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册五维课堂（北师大版2019）

§４　数列在日常经济生活中的应用 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．掌握单利、复利的概念． ２．掌握零存整取、定期自动转存、分期付款三种模 型及应用． ３．掌握数列在日常经济生活中的应用． １．通过数列在日常生活中的应用提升数学建模的核心 素养． ２．通过数列在经济生活中的应用提升数学运算的核心 素养． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 同学们,请先欣赏一则幽默故事:一位中国老太 太与一位美国老太太在黄泉路上相遇．美国老太太 说,她住了一辈子的宽敞房子,也辛苦了一辈子,昨天 刚还清了银行的住房贷款．而中国老太太却叹息地 说,她三代同堂一辈子,昨天刚把买房的钱攒足． 我国现代都市人的消费观念正在变迁———花明 天的钱圆今天的梦,对我们已不再陌生;贷款购物,分 期付款已深入我们生活．但是面对商家和银行提供的 各种分期付款服务,究竟选择什么样的方式好呢? [知识梳理] [知识点一]　三种常见的应用模型 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．零存整取:每月定时收入一笔相同数目的现金,这 是零存;到约定日期,可以取出全部　　　　,这是 整取,规定每次存入的钱不计复利(暂不考虑利息税)． ２．定期自动转存:银行有另一种储蓄业务为定期存款 自动转存．例如,储户某日存入一笔存期为１年的 存款,１年后,如果储户不取出本利和,则银行自动 办理 转 存 业 务,第 ２ 年 的 本 金 就 是 第 １ 年 的 　　　　． ３．分期付款:分期付款是购物的一种付款方式．即将 所购物的款数在规定的期限内按照一定的要求,分 期付清． [知识点二]　常用公式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．单利公式:利息按单利计算,本金为P 元,每期利率 为r,存期为n,则本利和为S＝　　　　． ２．复利公式:按复利计算的一种储蓄,本金为P元,每 期利率为r,存期为n,则本利和S＝　　　　　． ３．产值模型:原来产值的基础数为 N,平均增长率为 r,对于时间x的总产值y＝　　　　． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　数学中常见的定期存款利率计算方法有 哪些? [预习自测] １．判断下列说法是否正确(正确的打“√”,错误的打 “×”) (１)在银行取款时,取到的本息是指存款得到的利息． (　　) (２)定期自动转存模型是等差数列． (　　) (３)在分期付款中,各期所付款及各期所付款所生 成的利息之和等于商品的售价． (　　) 解析:(１)不正确,本息指本金与利息的和;(２)不正 确,定期自动转存的模型不是等差数列;(３)不正 确,分期付款的本质是贷款按复利整存整取,还款 按复利零存整取到贷款全部还清时,贷款本利合计 ＝还款本利合计． ２．一个屋顶的某一个斜面成等腰梯形,最上面一层铺 了２１块瓦片,往下每一层多铺一块瓦片,斜面上铺 了２０层瓦片,共铺了瓦片 (　　) A．４２０块　　　　　　　　B．６３０块 C．６１０块 D．６２０块 ３．现存入银行１００００元定期存款,存期１年,年利率 是１􀆰５％,那么按照复利,５年后本利和是 (　　) A．１００００×１􀆰０１５３ 元 B．１００００×１􀆰０１５４ 元 C．１００００×１􀆰０１５５ 元 D．１００００×１􀆰０１５６ 元 ４．一个卷筒纸,其内圆直径为４cm,外圆 直 径 为 １２cm,一共卷了６０层,若把各层都视为一个同心 圆,π取３􀆰１４,则这个卷筒纸的长度约为　　　　m (精确到个位)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１３􀅰 第一章　数　列 　　　等差数列模型 [例１]　用分期付款的方式购买一批总价为２３００万 元的住房,购买当天首付３００万元,以后每月的这 一天都交１００万元,并加付此前欠款的利息,设月 利率为１％．若从首付３００万元之后的第一个月开 始算分期付款的第一个月,问分期付款的第１０个 月应付多少万元? 全部贷款付清后,买这批住房实 际支付多少万元? 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (１)按单利计算公式 单利的计算仅在原有本金上计算利息,对本金 所产生的利息不再计算利息,其公式为利息＝ 本金×利率×存期． (２)按单利分期付款问题的三个关键问题 ①规定多少时间内付清全部款额． ②在规定的时间内分几期付款,并且规定每期 所付款额相同． ③规定多长时间段结算一次利息,及在规定时 间段内利息的计算公式． 􀳀[变式训练] １．某人从１月起每月１日存入１００元,到第２年１月 １日取出全部本金和利息,已知月利率是０􀆰１６５％, 按单利计算,那么实际取出多少元? 　　　等比数列模型 [例２]　张叔叔打算以一年定期的方式存款,计划从 ２０２０年起,每年年初到银行新存入a元,年利率p 保持不变,并按复利计算,到２０３０年年初将所有存 款和利息全部取出,共取回多少元? 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　每年年初存入的a元的本利和组成 等比数列,将问题变为求等比数列前n项和问题． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (１)复利问题的计算方法 复利问题可以转化为等比数列问题,第n年的 本息＝本金×(１＋利率)n． (２)解决等比数列应用题的关键 ①认真审题抓特点,仔细观察找规律． ②等比数列的特点是增加或减少的百分数 相同． ③分析数列的规律,一般需先写出数列的一些 项加以考查． 􀳀[变式训练] ２．银行一年定期储蓄存款年息为r,按复利计算利息; 三年定期储蓄存款年息为q,按单利计算利息．银行 为吸收长期资金,鼓励储户存三年定期的存款,那 么q的值应大于　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２３􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第二册 　　　实际应用问题 [例３]　某企业进行技术改造,有两种方案:甲方案, 一次性贷款１０万元,第一年便可获利１万元,以后 每年比前一年增加３０％的利润;乙方案,每年贷款 １万元,第一年便可获利１万元,以后每年比前年 多获利５千元．两种方案,使用期限都是１０年,到 期一次性归还本息,若银行贷款的年利率为１０％, 按复利计息,比较两种方案,哪个获利更多? (计算 数据精确到千元,１􀆰１１０≈２􀆰５９４,１􀆰３１０≈１３􀆰７８６) [母题变式] １．(变条件)在例３中,若该企业还有两种技术改造的 方案,丙方案:一次性贷款４０万元,第一年获利是 贷款额的１０％,以后每年比上一年增加２５％的利 润,丁方案:一次性贷款２０万元,第一年获利是贷 款额的１５％,以后每年都比上一年增加利润１􀆰５万 元．两种方案使用期限都是１０年,到期一次性还本 付息,两种方案的年利率均为２％,按复利计息．试 比较两种方案,哪种方案净获利更多? (参考数据: １􀆰２５９≈７􀆰４５,１􀆰２５１０≈９􀆰３,１􀆰０２９≈１􀆰２０,１􀆰０２１０≈ １􀆰２２) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 将实际问题转化为数列问题时应注意 (１)分清是等差数列还是等比数列． (２)分清是求an,还是求Sn,特别要准确确定项 数n． (３)递推关系的发现是数列建模的重要方式． 􀳀[变式训练] ３．为了加强城市环保建设,某市计划用若干年时间更 换５０００辆燃油型公交车,每更换一辆新车,则淘 汰一辆旧车,替换车为电力型和混合动力型两种车 型．今年年初投入了电力型公交车１２８辆,混合动 力型公交车３００辆;计划以后电力型车每年的投入 量比上一年增加５０％,混合动力型车每年比上一 年多投入a辆．市政府根据人大代表的建议,要求５ 年内完成全部更换,则a的最小值为　　　　． [当堂达标] １．有一种细菌和一种病毒,每个细菌在每秒末能在杀 死一个病毒的同时将自身分裂为２个,现在有一个 这样的细菌和１００个这样的病毒,问细菌将病毒全 部杀死至少需要 (　　) A．６秒钟　　　　　　　B．７秒钟 C．８秒钟 D．９秒钟 ２．某钢厂的年产值由２００２年的４０万吨,增加到２０１２ 年的５０万吨,经历了１０年的时间,如果按此年增 长率计算,该钢厂２０２２年的年产值将接近 (　　) A．６０万吨 B．６１万吨 C．６３万吨 D．６４万吨 ３．某运输卡车从材料工地运送电线杆到５００m以外 的公路,沿公路一侧每隔５０m埋一根电线杆,又知 每次最多只能运３根,要完成运载２０根电线杆的 任务,最佳方案是使运输卡车运行　　　　m． A．１１７００m B．１４６００m C．１４５００m D．１４０００m ４．１个水池有若干出水量相同的水龙头,如果所有水 龙头同时放水,那么２４min可注满水池．如果开始 时全部开放,以后每隔相等的时间关闭１个水龙 头,到最后１个水龙头关闭时,恰好注满水池,而且 最后１个水龙头放水的时间恰好是第１个水龙头 放水时间的５倍,最后关闭的这个水龙头放水的时 间是多少? 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３３􀅰 第一章　数　列 数学(BS)·选择性必修第二册 母题变式 1.[解](1)由a,一a+1=2a+1a,得，1-L=2,所以 1 数列侣}是公差为2首项为山-1的等差数到，即 a 前n项和5.-(-)十(-)+…+(-) +2-D-=2a-1.所以，2 ”一（位+号++）-1+品 (2设数列{2}的前n项和为S,由D知 答案：n一1十2 4.解：因为(m十2)0+3一n十2十3 剧s=[-)十（合吉）++（品点川 所以数列{m+2n十}的前n项和为（合一青） =7（-）=片·所以20是该赣到的第10项， (）++（2）号 §4数列在日常经济生活中的应用 2[解】由朝3的解折可知，名故是-2-1 2 课前预习学案 b.= V++V后(vm币-可. 知识梳理 知识点一山.本利和2.本利和 所以S=名(5-1+后-+…+2m干 知识点二，1.P(1+r)2.P(1+r)”3.V(1+r [思考] V2a)=(m+-D. [提示]单利和复利两种方法， 预习自测 由8>婴，释号(m打-》>号，解得>婴又m 1.(1)×(2)×(3)× 2.C[由题每层所铺瓦片数构成一个以1为公差，以21为 ∈N+,故n的最小值为450. 首项的等差数列，求前20项的和，所以共铺了S0=20×21十 变式训练 20×19×1=610块瓦片.] 2 3.解，1由a,-a+1=2a,+1an得】-1=2，所以数列 3.C[由复利公式得S=10000×(1+1.5%)5=10000 ×1.015.] {侣}提公差为2首项为子-1的等差盘列，即山-十 1 4.解析：：纸的厚度相同，∴各层同心圆直径成等差数列. 2(n-1)=21-1.所以a,= 1 1=d+d+…+do=0r.1+业=480m=1507.2m 2-7 2 ≈15(m). 2)设{2十}的前u项和为5，由知 答案：15 课堂互动学案 a师号（点） [例1门[解]购买时付款300万元，则大款2000万元，依 题意分20次付清，则每次交付欠款的数颜依次构成数列 则s-是[-号)+（令号）++（六市）】 Rant, =专(（-2十）-2 故a1=100+2000×0.01=120(万元) a2=100+(2000-100)×0.01=119(万元)， 当堂达标 43=100+(2000-100×2)×0.01=118(万元)， 1.B[原式=(100+99)(100-99)+(98+97)(98-97)+ a4=100+(2000-100×3)×0.01=117(万元)， …+(2+1)(2-1)=100+99+98+97+…+2+1= an=100+[2000-100(n-1)]×0.01=121-n(万元)(1 2×100×1+10)=5050.] ≤n≤20，n∈N+). 2.C[Sn=1·2+2·22+…+n·2",2Sn=1·22+2·23+ 因此{am}是首项为120，公差为-1的等差数列. 故a10=121-10=111(万元)， …十1·2+1，两式相减得一S。=2十2十23十…十2”一 a20=121-20=101(万元). ·20*1=21-22-0·20+1=2+1-2-4·2m1,故 20次分期付款的总和为 1-2 Sw=(n-1)2w+1+2.] S0=@+aX20_120+1010X20-2210(万元. ·88· 参考答案 实际要付300十2210-2510（万元）. 贷款本息总数为 即分期付款第10个月应付111万元：全部货款付清后，买 1.1×[1+(1+10%)+…+(1+10%)9]=1.1× 这批住房实际支付2510万元. 1.10-1≈17.53（万元）， 变式训练 1.1-1 1,解：实际取出的钱等于本金十利息. 乙方案净获利32.5-17.53≈15.0（万元）.比较两种方案 到第2年1月1日取款时， 可得甲方案获利较多 第1个月存款利息：100×12×0.165%， 母题变式 第2个月存款利息：100×11×0.165%， [解]丙方案，由题意知每年的利润am成等比数列，a1 4,公比q=1+25%=1.25,1=10,收入S丙= 第11个月存款利息：100×2×0.165%， 41-1.2510)=49.31D=132.8(万元)， 第12个月存款利息：100×1×0.165%， 1-1.25 0.25 所以S12=100×12×0.165%+100×11×0.165%+ 净获利W5=132.8-40(1+2%)10=132.8-48.8=84 +100×2×0.165%+100×1×0.165%=100×0.165% (万元). ×(1+2+3+…+12) 丁方聚，由题意，每年的利润bm成等差数列，=3，公差 =100×0.165%×12X13=12.87. 为1.5，n=10, 2 所以实际取出100×12+12.87=1212.87（元）. 枚入S,=10X3+7×10X9X15=30+67.5=975万元. [例2][解]设从2020年年初到2030年年初每年存入@ 净获利W,=97.5-20(1+2%)0=97.5-24.4=73.1 元的本利和组成数列{aw}(1≤n≤10，n∈N,), (万元). 则a1=a(1+p)0,ag=a(1+p)°，，ao=a(1+p). 所以丙方案净获利更多，所以20是该数列的第10项. 故数列{an}(1≤n≤10，n∈N+)是首项a1=a(1十p)10 变式训练 3.解析：依题意知，电力型公交车的数量组成首项为128，公 公比9干。的等比数列，2030年年初张叔叔取出的钱 数为 比为1十50%=号的等比能列，混合动力型公交奉的载量 组成首项为300，公差为a的等差数列，则5年后的数量 a(1+p) (1+)四 S10= 4[(1+p)-(1+ 和为 18×-(门 +300X5+5×4 2 ,所以 1+p 1- p)](元). 变式训练 128×-(侵)] 2.设储户开始存入的款数为a,由题意得，a(1+3g)>a(1+ +300×5+5X4a≥5000，即10a≥1 2 r)3, 1-受 ∴g>31+r3-1 812,解得a≥181.2，因为5年内更换公交车的总和不小 于5000，所以a的最小值为182. 答案：(1)8×1.0255 (2号1+r3-1 答案：182 当堂达标 [例3][解]甲方案，10年获利中，每年获利构成等比数 列，首项为1，公比为1十30%，前10项和为S10=1+(1十 1.B[猴题意将1+21+2++21≥10瓷≥ 30%)+(1+30%)2+…+(1+30%)9=1,310-1≈ 100,∴.2"≥101，.1≥7，则细菌将病毒全部杀死至少需 1.3-1 要7秒钟.] 42.62(万元)， 2.C[设年增长率为x,则2012年为：40(1十x)10=50,则 货款本息总数为10(1+10%)10=10×1.110≈25.94（万 元)， 1+)10=号，2022年为：401+x)20=40X[1+z)0] 甲方案净获利42.62-25.94≈16.7（万元）. 乙方案，10年获利中，每年获利构成等差数列，首项为1， =40×7×号-62563（万地.] 公差为，前10项和为 3.解析：由近往远运送，第一次运两根，以后每次运三根，这 种运法最住，由近往远运送，每次来回行走的米数构成一 Tm=1+（+号)十(+2x号)+…+(+9x) 个等差数列，记为{an},则a1=1100,d=300,n=7,所以 -2.5队万 S,=7×1100+7X6×300=1400. 2 答案：14000. ·89· 数学(BS)·选择性必修第二册 4.解：设共有n个水龙头，每个水龙头开放时间依次为x1, [例习[解S=☆=子： 由已知x2一x1=xg一2=x1一x3=…=xw一1n-1,数列 是等差餐列，每个水龙头1min放水n,所以 13 十t+五=1，即S.=2,p1+,”=2m,所 1 24n 2 s-是+0X-音 以2n十x)=24,十，=48，又周为xm=5a1,所以 可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数一致， 分母可用项数1表示为31十1， 6.r1=48,x1=8,xm=5.r=40. 故最后关闭的这个水龙头放水的时间是40mim. 于是可以猜想S=3十行· §5数学归纳法 下面用数学归纳法证明这个猜想 课前预习学案 0当-1时，左边=S=},右边-片3×中 知识梳理 知识点一，正整数 子睛想成主 知识点二1.第一个值%2.n=+1 [思考] (②)假设当川=kk∈N)时猜想成立，即文十浸十 [提示]不一定.如证明n边形的内角和为(n一2)·180，第 1 1 7×0十…+3-2(3+D3淡干： 一个值%=3. 则当=k十1时， 预习自测 1 1.(1)×(2)×(3)/ +7+7X0+…+3-23+十 2.C[A中，n=1时，式子=1+k:B中，n=1时，式子=1：C k 1 中m=1时，式子=1+名+子D中，+D=f)+3中克 3k+D-23k+1+司- 3k+ T十+1)+① 3欲2+k+1(3欲+1)k+1) k十1 1 11 欧++西Q染+1+03k十D干，所以当n=k+ 十3动十十欢十中故正确的是C] 1时猜想也成立. 3.B[若已假设n=k(k≥2为偶数)时命题为真，因为n只能取 根据(1)和(2)，可知猜想对任意n∈N1都成立， 偶数，所以还需要证明1=k十2成立.故选：B] 变式训练 4.f2")>+2 2.解：由a1=2-a1,得a1=1: 2 课堂互动学案 由十a:=2X2-ag得ag=号： [例1]证明当n=1时，左边=1×4=4，右边-1×22=4，左 由+u:+,=2X3-a得a-子： 边=右边，等式成立， 15 假设当n=k(k∈N)时等式成立，即1×4十2X7+3×10+ 由a十ag十ag十a1=2×4-a4,得a4=8, …+k(3k+1)=k(k+1)2. 猜想am= 那么，当n=k十1时，1×4十2×7+3×10十十k(3k十1)十 (k+1)[3(+1)+1]=k(k+1)2+(k+1)[3(k+1)+1门=(k 下面证明猜想正确： ①当=1时，由上面的计算可知猜想成立。 +1)(k2+k+0=(k+1)[(k+1)+1]2, 即当n=k+1时等式也成立 巴夜当n-k时精想减立，则有-号， 2-1 综上所述，可知等式对任何n∈N,都成立. 当n=k十1时，S6十a4+1=2(k十1)一a+1 变式训练 1运明0当1时，立 41=2[2+1)-51=+1-号(2一） 2k+1-1 22 ②假设当川=6从uEN)时等式成主，即有3十十…十 24+-7, 所以，当n=十1时，等式也成立， k(使+1) 1212 2k-02+D22+,则当n=k+1时·十3X5十 由①不@可知，一时任客正类数n多成主。 (k+1)2 …+2k-D(2k++2k+1(2+3 k(k+1) [例3][证明]由已知条件可得b,=2(n∈N+),∴所证 2(2k+1) (k+1)2 (k+1)(k+2) 不等我为学，中.…法 2 4 (2k+1)(2k+3)2(2k+3) 即当=k十1时等式也成立， ①当川=1时，左边=号，右边=厄，左边>右边心不等 由①②可得对于任意的EN+等式都成立. 式成立 ·90