3 等比数列 3.2 等比数列的前n项和 第2课时数列求和-【创新教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册五维课堂（北师大版2019）

参考答案 又因为a1·a1g·a192=64,所以a·q3=64,即a1=12, (2)Sn=a1+a2+ag+…+a 故所表通项公式为山，=12×（付）厂】 =受(-8)+-（合）门]+…+[-()] [例3][解]根据题意，每年比上一年销售量增加10%， 所以，从2022年起，每年销售量组成一个等比数列{an}, 其中a1=5000,g=1+10%=1.1.Sn=30000. 变式训练 由等比数列前m项和公式得50001-1.1)=30000. 1-1.1 1.解：，=2+4g+66十+(2m+2) 整理得11"=1.6，两边取对数，得nlg1.1=g1.6, 所以：据0品-5（年批太的5年可代惑特售量 =(2+4+6+…+2m)+(+8++2) 达到30000台. n(2n+2) -门 变式训练 c2 1-2 3.D[由题意得：R0=1十25%×4=2，所以经过6轮传播 [例2][解](1)设数列(an}的公差为d,则a1十a2十a3 后由甲引起的得病的总人数约为：2+22+23+2十2十 =3a1+3d=12. 20-20-21=126.] 1-2 又a1=2,得d=2,.am=2m 当堂达标 (2)由bn=am·3=2n·3",得 1C[当-1时，S,-:当1且0时，S子J S=2×3+4X32+…+(2m-2)·3”-1+2m·3",① 3Sn=2×32+4×33+…+(2n-2)·3"+21·3m+1.② 2.AC[由ag,a42a成￥差数列，得3a,=4s+2a设 ①-②得-25n=2(3十32+33+…十3)-2n·3m+1=3 (3"-1)-2m·3m+1. a,的公比为q:则2对2-39十1=0.解得g=号或9=1 5.=3032）+·3+1 2 (舍去) 变式训练 31,解得a1=16.所以数列{am}的 2.解：(1)设(an}的公比为g,由题设得2a1=a2十a3,即2a =aiq+aq2. 所以g2十g-2=0,解得9=1（含去）或9=-2.故{an}的 道项公为，=16×（）-（侵），5， 公比为一2. (2)记Sn为{nan}的前n项和. 由(1)及题设可得an=(一2)-1， 1一2 所以Sm=1十2×(-2)+…十n×(-2)m-1, 3.解析：设每天植树的棵数组成的数列为{am,由题意可知 -2Sm=-2+2×(-2)2+…+(n-1)×(-2)”-1+n× 它是等比数列，且首项为2，公比为2，所以由题意可得 (-2)" 292≥10：中2>≥51，而29=32,2=64a∈N,所 所以35m=1十(-2)+(-2)2+…+(-2)”-1-n×( 以n≥6】 2)=1-(-2)0 3 -n×(-2)" 答案：6 所以5。=9 1 _(3n十1)(-2)m 4.解：设等比数列《4w}的公比为q,由题意得 9 (a19=6, 41=2， 解得0=3， [例3][解](1)因为a1十3a2十…+(2n-1)am=2, l6a1+a1g2=30, (q=2,1g=3. 所以当n≥2时，a1+3a2+…+(2-3)am-1=2(n-1D. 当a1=3,9=2时，4n=3×2"-1, 2 S,-31-2) 两式相减得(21-1Du,=2.故4，=2n白气(m≥2》， 1-2 =3(2m-1): 又由题设可得a1=2,满足上式，所以{am}的通项公式为 当a1=2,q=3时，an=2×30-1, 2 S。=21-3) dn=2n-1 1-3 =3m-1. 第2课时数到求和 (2设裁到{2干}的前n项布为5 2 课堂互动学案 由1)知2n1-(2m+1D(21-万-2n21+市 [例1][解](1)an=a1+(a2一a1)+(a3-a2)+…+(an 1 aw-1） =1++(传)++（传）=2引-（传）] 1 2n 2n+万2m+万· 87 数学(BS)·选择性必修第二册 母题变式 1.[解](1)由a,一a+1=2a+1a,得，1一1=2，所以 2 1 数列{品}是公差为2，首项为品=1的等益数列，即山 前m项和8，-(-)十(-)十…+(-) +2m-1D=2-1.所以a,-2与 (+++)一1+品 (2)设载列{2}的前m项和为S:由1)知 答案：一1十是 -aw2m(): 4.解：因为m十2)(n+3)-n+2n+3 剧s=专[-)十（传吉）++（点】 所以数列{十2m十}的前n项和为（信一量）十 =（2）=升·所以20是孩数到的第0项 §4数列在日常经济生活中的应用 2.[解]由例3的解析可知4m一2m气 2 ,故2=2m-1, 课前预习学案 bo= Va+V2后号(2-v2m可. 1 知识梳理 知识点一、1.本利和2.本利和 所以5，=号(5-1+后-后+…+2m+可 知识点二，1.P(1+r)2.P1+r)3.N(1+r) [思考] v2m)=2(v2m+-1D. [提示]单利和复利两种方法. 预习自测 由S,>号，得号（V2a打->号，解得>82又m 1.(1)×(2)×(3)× 2.C[由题意每层所铺瓦片数构成一个以1为公差、以21为 ∈N+,故n的最小值为450. 首项的等差数列，求前20项的和，所以共铺了S四=20X21十 变式训练 20×19×1=610块瓦片.] 2 3.解：(1)由，-a+1=2a+14,得，1-1=2，所以数列 dn+1 an 3.C[由复利公式得S=10000×(1+1.5%)5=10000 ×1.015.] {位}是公差为2、首项为=1的等差数列，即-+ 4解析：，纸的厚度相同，各层同心园直径成等差数列 2(n-1)=21-1.所以a,=2m白 1 l=d+d+…+do=60x.4+2=480m=1307.2md 2 ≈15(m. (2)设{2}的前加项和为5。由D知 答案：15 课堂互动学案 帝2w2m专（点 [例1门[解]购买时付款300万元，则欠款2000万元，依 题意分20次付清，则每次交付欠款的数额依次构成数列 则s=[-)+(合一)十+(2六2市)】 fant. =(（-2）=2 故a1=100+2000×0.01=120(万元)， a2=100+(2000-100)×0.01=119(万元)， 当堂达标 a3=100+(2000-100×2)×0.01=118(万元)， 1.B[原式=(100+99)(100-99)+(98+97)(98-97)+ a4=100+(2000-100×3)×0.01=117(万元)， …+(2+1)(21)=100+99+98+97+…+2+1= am=100+[2000-100(n-1)]×0.01=121-n(万元)(1 合×100×1+10)=5050.] ≤1≤20，n∈N+). 2.C[Sn=1·2+2·22+…+n·2",2Sn=1·22+2·23十 因此{am}是首项为120，公差为一1的等差数列. 故a10=121-10=111(万元)， …十n·2m+1,两式相减得一S=2十22十23十…十2一n c20=121-20=101(万元). ·2+1=21-22）-n·201=21-2-·2-1,故 20次分期付款的总和为 1-2 Sn=(n-1)2+1+2.] S-a+agx20_120+1010x20=2210(万元. 2 2 ·88·第一章数列 五维课堂 第2课时 数列求和 课程标准 素养解读 1.能用分组转化方法求数列的和. 2.掌握错位相减法求和的基本方法。 1.通过求解数列的前n项和培养数学运算的核心素养. 3.掌握裂项相消法求和的基本方法， 2.通过学习数列求和的方法提升逻辑推理的核心素养 4.掌握等差数列与等比数列的综合应用， 课堂。互动学案 题型二 分组求和法 ⊙[变式训练] [例1]已知数列{a.}构成一个新数列：a1,(a2 1.求数列2子4名66…，2m十2…的前0项 a,),,(an一a.-,),…此数列是首项为1，公比为 和S 专的等比数列。 (1)求数列{a,}的通项公式： (2)求数列{an}的前n项和S. [思路点拨]通过观察，不难发现，新数列的前 项和恰为a.,这样即可将问题转化为首项为1，公 此为号的等比数列的前n项和，数列{口，}的通项 公式求出后，计算其前n项和S。就容易多了， 题里二 错位相减法 [例2] 已知数列{a.}是等差数列，且a1=2,a1十a 十a3=12, (1)求数列{a.}的通项公式： (2)令b,=a。·3,求数列{b}的前n项和. [思路点拨了(1)通过前3项和并结合首项求出 公差，确定数列{a.〉的通项公式：(2)由数列{b.} 的通项公式的结构形式，可考虑错位相减法求和， 规律方法 分组转化求和法的应用条件和解题步骤 (1)应用条件 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比 数列或可求和的数列的通项公式相加组成 (2)解题步骤 <分组 分析通项公式或对通项公式适当变形 分为可求和数列相圳的形式 规律方法 应用错位相减法的注意事项 求利 分别对分组后的数列求前n项和 (1)在写出S。与qS。的表达式时，应使两式对齐， 便于作差，正确写出(1一g)S。的表达式. 相 相圳得惊数列的前n项和 (2)要讨论公比q是否等于1的情况， 29· 世h维评堂 数学(BS)·选择性必修第二册 ⊙[变式训练] 规律方法 2.设{a.}是公比不为1的等比数列，a,为a2,a1的等 1,数列中的每一项平分成前后可以相互抵消的两 差中项 项之差的求和方法，叫裂项相消法 (1)求{a.}的公比： 2.常见的裂项方法（其中n为正整数）. (2)若a1=1,求数列{a.}的前n项和. (1) 1(11) n(n十k)k（nn+k 22w-2m+D-专(22n） 11 1 1 ③)++2-2【nn+iDom+1n+2] (4) 1 (n十k-n). n十n+k 题型号 裂项相消法求和 =log,(n+1)-log.n. [例3]设数列{a.}满足a,+3a2十…十(21-1)a ◇[变式训练] =2n. 3.设数列{an}满足a1=1,an一am+1=2a。+1am (1)求{a.}的通项公式： （求a,的通项公式：2)求数列{2} 的前n (2)求数列。 的前n项和 项和. [当堂达标] [母题变式] 1.100-99+98-97+…+22-1的值是() 1.(变条件)把本例中数列{a.}满足的条件“a1+3a A.5000 B.5050 +…+(2n-1)an=2m”换为“a.-am+1=2a.+1am C.10100 D.20200 a1=1”,试解答(1)(2)两题. 2.数列{a}的通项an=n·2,则数列{an}的前n项 和S.为 () A.n·2+1 B.n·2+1-2 C.(n-1)·2"+1+2 D.n·2+1+2 1 1 4 的前n项和为 2.(变结论)本例的条件不变，设b。= ,若 2+② 4.求数列 1 的前n项和. Nam+1'√aw (n+2)(n+3) 数列么的前m项和为55>碧求n的最 小值。 ©温蓉提 学习至此，请完成配套训练 ·30