3 等比数列 3.1 等比数列的概念及其通项公式 第1课时 等比数列的概念及其通项公式-【创新教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册五维课堂（北师大版2019）

变式训练 ３．解:∵a１＝１３,d＝－４,∴an＝１７－４n． 当n≤４时,Tn＝|a１|＋|a２|＋􀆺＋|an|＝a１＋a２＋􀆺＋ an＝na１＋ n(n－１) ２ d＝１３n＋ n(n－１) ２ × (－４)＝１５n－ ２n２;当n≥５时,Tn＝|a１|＋|a２|＋􀆺＋|an|＝(a１＋a２＋ a３＋a４)－(a５＋a６＋􀆺＋an)＝S４－(Sn－S４)＝２S４－Sn ＝２× (１３＋１)×４ ２ － (１５n－２n２)＝５６＋２n２－１５n． ∴Tn＝ １５n－２n２,n≤４,n∈N＋, ２n２－１５n＋５６,n≥５,n∈N＋{ ． 当堂达标 １．CD　[由an≤０,即２n－４８≤０,得n≤２４．∴所有负项的和 最小,即n＝２３或２４．] ２．A　[设他们每天收到的捐款形成数列{an},则由题可得 {an}是首项为１０,公差为１０的等差数列,∴Sn＝１０n＋ n(n－１) ２ ×１０＝１２００ ,解得n＝－１６(舍去)或n＝１５,所以 这次募捐活动一共进行的天数为１５天．故选:A．] ３．解析:由|a５|＝|a９|且d＞０,得a５＜０,a９＞０,且a５＋a９＝ ０⇒２a１＋１２d＝０⇒a１＋６d＝０,即a７＝０,故S６＝S７ 且 最小． 答案:６或７ ４．解:(１)设{an}的公差为d,由题意得３a１＋３d＝－１５．由 a１＝－７,得d＝２．所以{an}的通项公式为an＝a１＋(n－ １)d＝２n－９． (２)由(１)得Sn＝ n(a１＋an) ２ ＝n ２－８n＝(n－４)２－１６,所 以当n＝４时,Sn 取得最小值,最小值为－１６． §３　等比数列 ３．１　等比数列的概念及其通项公式 第１课时　等比数列的概念及其通项公式 课前预习学案 知识梳理 知识点一、２　前　比值　同一个　公比 [思考] １．[提示]　不能 知识点二、１．a１qn－１　２．孤立的点 [思考] ２．[提示]　因为 an an－１ ＝ ２ n ２n－１ ＝２,所以数列{an}是等比数列． 预习自测 １．(１)×　(２)×　(３)× ２．AB　[根据等比数列的定义可知,A,B错误,C,D正确．] ３．D　[由{an}为等比数列得a５＝a１q４＝１２,∴３×q４＝１２．∴q＝ ±２．] ４．解析:数列{an}的通项公式为an＝２×５n－１． 答案:an＝２×５n－１ 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)记数列为{an},显然a１＝１,a２＝３,􀆺,an＝ ３n－１,􀆺． ∵ an an－１ ＝３ n－１ ３n－２ ＝３(n≥２,n∈N＋),∴该数列为等比数列,且 公比为３． (２)记数列为{an},显然a１＝－１,a２＝１,a３＝２,􀆺, ∵ a２ a１ ＝－１≠ a３ a２ ＝２,∴此数列不是等比数列． (３)当a＝０时,数列为０,０,０,􀆺,是常数列,不是等比数列; 当a≠０时,数列为a１,a２,a３,a４,􀆺,an,􀆺,显然此数列为等 比数列,且公比为a． 变式训练 １．ABD　[A,B显然是等比数列;因为x可能为０,所以C不是 等比数列;a不能为０,D符合等比数列的定义,故 D是等比 数列．] [例２]　[解]　(１)由等比数列的通项公式得,a５＝４×(－２)５－１ ＝６４． (２)设等比数列的公比为q,那么 a１q＝１０, a１q４＝８０,{ 解得 q＝２, a１＝５．{ 所以an＝a１qn－１＝５×２n－１． 变式训练 ２．解:(１)方法一　设等比数列的公比为q,则 a１q＝４, a１q４＝－ １ ２．{ 解 得 a１＝－８, q＝－１２．{ ∴an ＝a１q n－１ ＝ (－８)× －１２( ) n－１ ＝ －１２( ) n－４ ． 方法二　设等比数列的公比为q,则 a５ a２ ＝q３, 即q３＝ － １８ ,q＝ － １２ ．∴an ＝a５q n－５＝ －１２( ) × －１２( ) n－５ ＝ －１２( ) n－４ ． (２)方法一　设等比数列的公比为q,则 a３(１＋q３)＝３６, a４(１＋q３)＝１８,{ 解得 a３＝３２, q＝１２．{ 从而a１＝ a３ q２ ＝１２８． 由a１qn－１＝ １ ２ ,即(１ ２ )n－１＝ １２( ) ８ ,得n＝９． 方法二　设等比数列{an}的公比为q． ∵a４＋a７＝a３q＋a６q＝(a３＋a６)q,∴q＝ １８ ３６＝ １ ２ ． ∵a４＋a７＝１８,∴a４(１＋q３)＝１８． ∴a４＝１６,an＝a４qn－４＝１６× １ ２( ) n－４ ． 由１６× １２( ) n－４ ＝１２ ,得n－４＝５,∴n＝９． [例３]　[解]　an＝Sn－Sn－１＝２n＋a－２n－１－a＝２n－１(n≥ ２)．当n≥２时, an＋１ an ＝ ２ n ２n－１ ＝２; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３８􀅰 参考答案 当n＝１时, an＋１ an ＝ a２ a１ ＝ ２２＋a． 故当a＝－１时,数列{an}成等比数列,其首项为１,公比为２; 当a≠－１时,数列{an}不是等比数列． 母题变式 １．[证明]　∵Sn＝２－an,∴Sn＋１＝２－an＋１, ∴an＋１＝Sn＋１－Sn＝(２－an＋１)－(２－an)＝an－an＋１, ∴an＋１＝ １ ２an． 又∵S１＝２－a１, ∴a１＝１≠０．又由an＋１＝ １ ２an 知an≠０, ∴ an＋１ an ＝１２ ,∴{an}是等比数列． ２．[解]　因为an＋１＝２an＋１,所以an＋１＋１＝２(an＋１)． 由a１＝１,知a１＋１≠０,从而an＋１≠０． 所以 an＋１＋１ an＋１ ＝２(n∈N＋ ),所 以 数 列 {an＋１}是 等 比 数列． 所以{an＋１}是 以a１＋１＝２ 为 首 项,２ 为 公 比 的 等 比 数列, 所以an＋１＝２􀅰２n－１＝２n,即an＝２n－１． 变式训练 ３．证明:∵an＞０,∴an＋３＞０． 又∵an＋１＝２an＋３,∴ an＋１＋３ an＋３ ＝ ２an＋３＋３ an＋３ ＝ ２(an＋３) an＋３ ＝２． ∴数列{an＋３}是首项为a１＋３,公比为２的等比数列． [例４]　[解]　(１)从第一年起,每年这辆车的价值(万元) 依次设为:a１,a２,a３,􀆺,an, 由题意,得a１＝１０,a２＝１０×(１－１０％), a３＝１０(１－１０％)２,􀆺． 由等比数列定义,知数列{an}是等比数列,首项a１＝１０, 公比q＝１－１０％＝０􀆰９, 所以an＝a１qn－１＝１０×０􀆰９n－１．所以第n年这辆车的价 值为an＝１０×０􀆰９n－１万元． (２)当他用满３年时,这辆车的价值为a４＝１０×０􀆰９４－１＝ ７􀆰２９(万元)． 当用满３年时卖掉这辆车,他大概能得到７􀆰２９万元． 变式训练 ４．C　[设对折n次时,纸的厚度为an,每次对折厚度变为原 来的２倍, 由题意知{an}是以a１＝０．１×２为首项,公比为２的等比 数列, 所以an＝０．１×２×２n－１＝０．１×２n,令an＝０．１×２n≥３８ ×１０４×１０６, 即２n≥３．８×１０１２,所以lg２n≥lg３．８＋１２,即nlg２≥０．６ ＋１２, 解得n≥１２．６０．３ ＝４２ ,所 以 至 少 对 折 的 次 数n 是 ４２,故 选:C．] 当堂达标 １．B　[因为９８ × ２ ３( ) n－１ ＝１３ ,所以 ２ ３( ) n－１ ＝８２７ ＝ ２ ３( ) ３ ,所以n＝４．] ２．B　[由a１≠０,q≠０,得,１－a≠０,所以a≠０且a≠１．] ３．解析:这１０个正方形的边长构成以２为首项,２为公比的 等比数列{an}(１≤n≤１０,n∈N＋),则第１０个正方形的面 积S＝a２１０＝２２×２９＝２１１＝２０４８． 答案:２０４８ ４．解:依题意an＝２＋(n－１)×(－１)＝３－n,于是bn＝ １ ２( ) ３－n ．而 bn bn－１ ＝ １ ２( ) ３－n １ ２( ) ４－n＝ １ ２( ) －１ ＝２． 又b１＝ １ ２( ) ３－１ ＝１４ , ∴数列{bn}是首项为 １ ４ ,公比为２的等比数列,通项公式 为bn＝２n－３． 第２课时　等比数列的性质 课前预习学案 知识梳理 知识点一、递减　数列　递增　数列　递增　数列　递减　 数列 [思考] １．[提示]　递减数列． [思考] ２．[提示]　数列{an}不具有单调性,是摆动数列． 知识点二、ab [思考] ３．[提示]　(１)不是,两个同号的实数必有等比中项,它们互为 相反数,两个异号的实数无等比中项．(２)不唯一,如２和８ 的等比中项是４或－４． [思考] ４．[提示]　由定义可判断出(１)(３)(４)正确． 预习自测 １．(１)√　(２)×　(３)√　(４)× ２．C　[∵a２a６＝a２４＝a３a５,且a２a６＋a２４＝π,∴２a３a５＝π,∴a３a５ ＝π２． ] ３．C　[因为a１＝２＞０,要使{an}是递增数列,则需公比q＞１．] ４．解析:由 题 意 知 ７＋３ ５ 与 ７－３ ５ 的 等 比 中 项 为 ± (７－３ ５)(７＋３ ５)＝± ４９－４５＝±２． 答案:２或－２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４８􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第二册 §３　等比数列 ３．１　等比数列的概念及其通项公式 第１课时　等比数列的概念及其通项公式 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．理解等比数列的定义． ２．掌握等比数列的通项公式及其应用． ３．熟练掌握等比数列的判定方法． 在学习等比数列的定义和通项公式的过程中, 提升数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心 素养． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] １．两河流域发掘的古巴比伦时期的泥板上记录了下 面的数列: ９,９２,９３,􀆺,９１０　　　　　① １００,１００２,１００３,􀆺,１００１０ ② ５,５２,５３,􀆺,５１０ ③ ２．«庄子􀅰天下»中提到:“一尺之锤,日取其半,万世 不竭．”如果把“一尺之锤”的长度看成单位“１”,那 么从第１天开始,每天得到的“锤”的长度依次是 １ ２ ,１ ４ ,１ ８ ,１ １６ ,１ ３２ ,􀆺 ④ ３．在营养和生存空间没有限制的情况下,某种细菌每 ２０min就通过分裂繁殖一代,那么一个这种细菌从 第１次分裂开始,各次分裂产生的后代个数依次是 ２,４,８,１６,３２,６４,􀆺 ⑤ 类比等差数列的研究,你认为可以通过怎样的运算 发现以上数列的取值规律? 你发现了什么规律? [知识梳理] [知识点一]　等比数列的概念 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 如果一个数列从第　　　　项起,每一项与它的 　　　　一项的　　　　都是　　　　常数,那么称 这样的数列为等比数列,称这个常数为等比数列的 　　　　,通常用字母q表示(q≠０)． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．能将定义中的“每一项与前一项的比”理 解为“每相邻两项的比”吗? [知识点二]　等比数列的通项公式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．等比数列的通项公式 若首项是a１,公比是q,则等比数列{an}的通项公 式为an＝　　　　　　　　(a１≠０,q≠０)． ２．用函数的观点看等比数列的通项 等比数列{an}的图像是函数y＝ a１ q 􀅰qx 的图像上 的一群　　　　． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２．若数列{an}的通项公式为an＝２n,那么 {an}是等比数列吗? [预习自测] １．判断下列说法是否正确(正确的打“√”,错误的打 “×”) (１)若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为 常数,则该数列为等比数列． (　　) (２)等比数列的首项不能为零,但公比可以为零． (　　) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９１􀅰 第一章　数　列 (３)常数列一定为等比数列． (　　) ２．(多选)下列说法中,错误的是 (　　) A．等比数列中的某一项可以为０ B．等比数列中公比的取值范围是(－∞,＋∞) C．若一个常数列是等比数列,则这个常数列的公比 为１ D．若数列{an}是等比数列,则{２an}也是等比数列 ３．已知数列{an}为等比数列,若a１＝３,a５＝１２,则公 比q＝ (　　) A．２２ B．± ２ ２ C．２ D．± ２ ４．等比数列{an}的首项为２,公比为５,则数列{an}的 通项公式为　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　等比数列的概念 [例１]　判断下列数列是否为等比数列． (１)１,３,３２,３３,􀆺,３n－１,􀆺; (２)－１,１,２,４,８,􀆺; (３)a１,a２,a３,􀆺,an,􀆺． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 判定等比数列,要抓住三个要点 (１)从第２项起． (２)要判定每一项,不能有例外． (３)每一项与它的前一项的比值是同一个常数,且 不能为０． 􀳀[变式训练] １．(多选)下列各组数中,成等比数列的是 (　　) A．１,－２,４,－８　　　　B．－ ２,２,－２ ２,４ C．x,x２,x３,x４ D．a－１,a－２,a－３,a－４ 　　　等比数列的通项公式及应用 [例２]　在等比数列{an}中． (１)已知a１＝４,q＝－２,求a５; (２)已知a２＝１０,a５＝８０,求an． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．等比数列的通项公式涉及４个量a１,an,n,q,只 要知道其中任意三个就能求出另外一个,在这 四个量中,a１ 和q是等比数列的基本量,只要 求出这两个基本量,问题便迎刃而解． ２．关于a１ 和q的求法通常有以下两种方法: (１)根据已知条件,建立关于a１,q的方程组,求出 a１,q后再求an,这是常规方法． (２)充分利用各项之间的关系,直接求出q后,再 求a１,最后求an,这种方法带有一定的技巧 性,能简化运算． 􀳀[变式训练] ２．在等比数列{an}中, (１)已知a２＝４,a５＝－ １ ２ ,求an; (２)已知a３＋a６＝３６,a４＋a７＝１８,an＝ １ ２ ,求n． 　　　等比数列的判断与证明 [例３]　已知数列的前n项和为Sn＝２n＋a,试判断 {an}是否是等比数列． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　①如何由求和公式得通项公式? ②a１ 是否适合an＝Sn－Sn－１(n≥２)? 需要检验吗? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０２􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第二册 [母题变式] １．(变条件)将本例中的条件“Sn＝２n＋a”变为“Sn＝２ －an”．求证数列{an}是等比数列． ２．(变条件,变结论)将本例中的条件“Sn＝２n＋a”变 为“a１＝１,an＋１＝２an＋１”证明数列{an＋１}是等比 数列,并求出数列{an}的通项公式． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 判断一个数列{an}是等比数列的方法 (１)定义法:若数列{an}满足 an＋１ an ＝q(q为常数且 不为零)或 an an－１ ＝q(n≥２,q为常数且不为零),则 数列{an}是等比数列． (２)通项公式法:若数列{an}的通项公式为an＝ a１qn－１(a１≠０,q≠０),则数列{an}是等比数列． 􀳀[变式训练] ３．在数列{an}中,若an＞０,且an＋１＝２an＋３(n∈ N＋)． 证明:数列{an＋３}是等比数列． 　　　等比数列的实际应用 [例４]　某人买了一辆价值１０万元的新车,专家预测 这种车每年按１０％的速度贬值． (１)用一个式子表示第n(n∈N＋)年这辆车的价值; (２)当用满３年时卖掉这辆车,他大概能得到多 少元? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１２􀅰 第一章　数　列 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 等比数列应用题的两种常见类型 (１)数学应用问题:解答数学应用题的核心是建立 数学模型,如有关平均增长率、利率(复利)以 及数值增减等实际问题,需利用数列知识建立 数学模型． (２)增长率问题:需要构建的是等比数列模型,利 用等比数列的通项公式解决． 􀳀[变式训练] ４．嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆,这是我国 首次实现了地外天体采样返回,标志着中国航天向 前又迈出了一大步．月球距离地球约３８万千米,有 人说:在理想状态下,若将一张厚度约为０􀆰１毫米 的纸对折n次其厚度就可以超过到达月球的距离, 那么至少对折的次数n是(Lg２≈０．３,lg３．８≈０．６) (　　) A．４０ B．４１ C．４２ D．４３ [当堂达标] １．若等比数列的首项为９８ ,末项为１ ３ ,公比为２ ３ ,则 这个数列的项数为(　　) A．３ B．４ C．５ D．６ ２．已知数列a,a(１－a),a(１－a)２,􀆺是等比数列,则 实数a的取值范围是 (　　) A．a≠１　　　　　　B．a≠０且a≠１ C．a≠０ D．a≠０或a≠１ ３．画一个边长为２厘米的正方形,再以这个正方形的 对角线为边画第２个正方形,以第２个正方形的对 角线为边画第３个正方形,这样一共画了１０个正 方形,则第１０个正方形的面积等于　　　　平方 厘米． ４．已知数列{an}是首项为２,公差为－１的等差数列, 令bn＝ １ ２ æ è ç ö ø ÷ an,求证数列{bn}是等比数列,并求其 通项公式． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２２􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第二册