2 等差数列 2.1 等差数列的概念及其通项公式 第2课时 等差数列的性质-【创新教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册五维课堂（北师大版2019）

第２课时　等差数列的性质 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．掌握等差中项的概念及其应用． ２．掌握等差数列的项与序号的性质． ３．理解等差数列的项的对称性． ４．能够熟练应用等差数列的性质解决有关实际问题． １．通过对等差数列性质的研究培养逻辑推理的 核心素养． ２．通过学习等差中项的概念提升数学运算的核 心素养． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 请同学们思考以下问题: 若等差数列{an}为１,３,５,７,􀆺,２n－１,则数列{an＋ ２},{２an}是等差数列吗? 提示:{an＋c},{can}也是等差数列,这是等差数列的 一个性质,你还知道等差数列的其他性质吗? [知识梳理] [知识点一]　等差数列的单调性与图像 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 从函数角度研究等差数列的性质与图像 由an＝f(n)＝a１＋(n－１)d＝dn＋(a１－d),可知其 图像是直线y＝dx＋(a１－d)上的一些　　　　　 　,这些点的横坐标是正整数,其中公差d是该直线 的　　　　,即自变量每增加１,函数值增加d． 当　　　　时,{an}为　　　　,如图(甲)所示． 当　　　　时,{an}为　　　　,如图(乙)所示． 当　　　　时,{an}为　　　　,如图(丙)所示． 　　　　甲　　　　　乙　　　　　　丙 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．(１)等差数列{an}中,a３＝４,a４＝２,则数 列{an}是递增数列,还是递减数列? (２)等差数列的公差与直线的斜率之间有什么关系? [知识点二]　等差中项 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 如果在a与b中间插入一个数A,使a,A,b成等 差数列,那么　　　　叫作　　　　的等差中项． 如果A 是a 与b 的等差中项,那么A－a＝b－A．所 以A＝a＋b２ ． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２．若数列{an}中,an 是an－１和an＋１的等差中 项,那么数列{an}是等差数列吗? 为什么? [知识点三]　等差数列的性质 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 若{an}是公差为d的等差数列,正整数m,n,p,q 满足m＋n＝p＋q,则am＋an＝ap＋aq． (１)特别地,当 m＋n＝２k(m,n,k∈N＋)时,am ＋an ＝２ak． (２)对有穷等差数列,与首末两项“等距离”的两项之 和等于首末两项的和,即a１＋an＝a２＋an－１＝􀆺 ＝ak＋an－k＋１＝􀆺． [预习自测] １．判断下列说法是否正确(正确的打“√”,错误的打 “×”) (１)等差数列的图像要么是上升的、要么是下降的． (　　) (２)等差数列{an}中,a３＋a４＝a２＋a５． (　　) (３)任何两个数都有等差中项． (　　) (４)已知等差数列任意两项求公差的实质是已知直 线上任意两点求斜率． (　　) ２．已知等差数列{an}的公差为d,若{an}为递增数列, 则 (　　) A．d＞０　　　　　　　B．d＜０ C．a１d＞０ D．a１d＜０ ３．２＋１和 ２－１的等差中项为　　　　． ４．等差数列{an}中,a３＝１,则a２＋a３＋a４＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１１􀅰 第一章　数　列 　　　等差数列的单调性与图像 [例１]　已知(１,１),(３,５)是等差数列{an}图像上的 两点． (１)求这个数列的通项公式; (２)画出这个数列的图像; (３)判断这个数列的单调性． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　理解等差数列的通项与一次函数的关系,强 化数学的本质,渗透数形结合思想、转化与化归思 想及函数与方程思想,解完本例后,要让学生领悟 反思这些思想方法,充分挖掘本例的训练价值． 􀳀[变式训练] １．已知数列{an}为等差数列,则下面不一定成立的是 (　　) A．若a２＞a１,则a３＞a１ B．若a２＞a１,则a３＞a２ C．若a３＞a１,则a２＞a１ D．若a２＞a１,则a１＋a２＞a１ 　　　等差中项 [例２]　在－１与７之间顺次插入三个数a,b,c,使这 五个数成等差数列,求此数列． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　三个数a,b,c成等差数列的条件是b＝a＋c２ (或２b＝a＋c),可用来解决等差数列的判定或有 关等差中项的计算问题．如果要证{an}为等差数 列,可证２an＋１＝an＋an＋２(n∈N＋)． 􀳀[变式训练] ２．(１)已知数列８,a,２,b,c是等差数列,则a,b,c的值 分别为　　　　,　　　　,　　　　． (２))已知１a ,１ b ,１ c 成等差数列,求证:b＋c a ,a＋c b , a＋b c 也成等差数列． 　　　等差数列性质的应用 [例３]　已知等差数列{an}中,a１＋a４＋a７＝１５, a２a４a６＝４５,求此数列的通项公式． [母体变式] 在本例中,不难验证a１＋a４＋a７＝a２＋a４＋a６,那 么,在等差数列{an}中,若m＋n＋p＝q＋r＋s,m, n,p,q,r,s∈N＋,是否有am＋an＋ap＝aq＋ar＋as? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２１􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第二册 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 等差数列的性质 １．若{an}是公差为d 的等差数列,正整数 m,n, p,q满足m＋n＝p＋q,则am＋an＝ap＋aq． (１)特别地,当m＋n＝２k(m,n,k∈N＋)时,am＋ an＝２ak． (２)对有穷等差数列,与首末两项“等距离”的两项 之和等于首末两项的和,即a１＋an＝a２＋an－１ ＝􀆺＝ak＋an－k＋１＝􀆺． ２．由等差数列衍生的新数列 若{an},{bn}分别是公差为d,d′的等差数列,则有 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c􀅰an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) {an＋an＋k} 公差为２d的等差数列(k为常数,k ∈N＋) {pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p,q 为常数) 􀳀[变式训练] ３．已知等差数列{an}的公差为d． (１)若a２＋a３＋a２３＋a２４＝４８,求a１３; (２)若a２＋a３＋a４＋a５＝３４,a２a５＝５２,求d． [当堂达标] １．已知等差数列{an}:１,０,－１,－２,􀆺;等差数列 {bn}:０,２０,４０,６０,􀆺,则数列{an＋bn}是 (　　) A．公差为－１的等差数列 B．公差为２０的等差数列 C．公差为－２０的等差数列 D．公差为１９的等差数列 ２．设{an}是等差数列,则“a１＜a２＜a３”是“数列{an}是 递增数列”的 (　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ３．若 ３,a,b,c,１５ 成 等 差 数 列,则 a＋b＋c＝ 　　　　． ４．在等差数列{an}中,已知a１＋a２＋a３＝２１,a１a２a３ ＝２３１． (１)求该数列中a２ 的值; (２)求该数列的通项公式an． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３１􀅰 第一章　数　列 母体变式 １．[解]　(１)证明:bn＋１－bn＝ １ an＋１－２ － １an－２ ＝ １ ４－４an( )－２ － １an－２ ＝ an ２(an－２) － １an－２ ＝ an－２ ２(an－２) ＝１２． 又b１＝ １ a１－２ ＝１２ ,∴数列{bn}是首项为 １ ２ ,公差为１ ２ 的等差 数列． (２)由(１)知bn＝ １ ２＋ (n－１)×１２＝ １ ２n． ∵bn＝ １ an－２ ,∴an＝ １ bn ＋２＝２n＋２． ∴数列{an}的通项公式为an＝ ２ n＋２． ２．[解]　当n≥２时,由２an＋１＝２an＋３,得an＋１－an＝ ３ ２ ,但a２ －a１＝１≠ ３ ２ , 故数列{an}不是等差数列． 变式训练 ３．解:(１)证明:∵xn＝f(xn－１)＝ ３xn－１ xn－１＋３ (n≥２且n∈N＋), ∴１xn ＝ xn－１＋３ ３xn－１ ＝１３＋ １ xn－１ ,∴１xn － １xn－１ ＝１３ (n≥２且n∈ N＋), ∴ １xn{ }是公差为 １ ３ 的等差数列． (２)由(１)知１xn ＝１x１ ＋(n－１)×１３＝２＋ n－１ ３ ＝ n＋５ ３ , ∴ １x２０２３ ＝２０２３＋５３ ＝ ２０２８ ３ ,∴x２０２３＝ ３ ２０２８． [例４]　[解]　根据题意,当该市出租车的行程大于或等于４ km时,每增加１km,乘客需要支付１􀆰２元． 所以,可以建立一个等差数列{an}来计算车费． 令a１＝１１􀆰２,表示４km处的车费,公差d＝１．２, 那么当出租车行至１４km处时,n＝１１, 此时需要支付车费a１１＝１１􀆰２＋(１１－１)×１􀆰２＝２３􀆰２(元)．即 需要支付车费２３􀆰２元． 母体变式 １．[解]　由题意知,当出租车行至１８􀆰５km处时,按行至１９km 计费,n＝１６,此时需支付车费a１６＝１１􀆰２＋(１６－１)×１􀆰２＝ ２９􀆰２(元)．即需要支付车费２９．２元． ２．[解]　当n∈{１,２,３}时,an＝１０, 当n∈N＋,且n≥４时,an＝１１􀆰２＋(n－４)×１􀆰２＝１􀆰２n＋６􀆰４． 所以an＝ １０,n∈{１,２,３}, １．２n＋６．４,n≥４且n∈N＋．{ 变式训练 ４．解:设使用n年后,这台设备的价值为an 万元,则可得数列{ an}． 由已知条件,得an＝an－１－d(n≥２)． 所以数列{an}是一个公差为－d的等差数列． 因为a１＝２２０－d,所以an＝２２０－d＋(n－１)(－d)＝２２０ －nd． 由题意,得a１０≥１１,a１１＜１１．　 即 ２２０－１０d≥１１, ２２０－１１d＜１１,{ 解得１９＜d≤２０．９, 所以d的取值范围为１９＜d≤２０．９． 当堂达标 １．ABD　[根据等差数列的定义,可得:A中,满足an＋１－an＝３ (常数),所以是等差数列;B中,lg４－lg２＝lg８－lg４＝lg１６ －lg８＝lg２(常数),所以是等差数列;C中,因为２４－２５≠２３ －２４≠２２－２３,不满足等差数列的定义,所以不是等差数列;D 中,满足an＋１－an＝－２(常数),所以是等差数列．] ２．B　[∵a１＝２０,d＝－３,∴an＝２０＋(n－１)×(－３)＝２３－３n． ∴a７＝２＞０,a８＝－１＜０．故数列中第一个负数项是第８项．] ３．A　 [设 数 列 {an}的 首 项 为a１,公 差 为 d,根 据 题 意 得 a３＋a８＝a１＋２d＋a１＋７d＝２２, a６＝a１＋５d＝７,{ 解得a１＝４７,d＝－８．所以a５＝４７＋(５－１)×(－８)＝１５．] ４．解:因为an＝an－１＋２(n≥３),所以an－an－１＝２(常数)． 又n≥３,所以从第３项起,每一项减去前一项的差都等于 同一个常数２,而a２－a１＝０≠a３－a２,所以数列{an}不是 等差数列． 第２课时　等差数列的性质 课前预习学案 知识梳理 知识点一、等间隔的点　斜率　d＞０　递增数列　d＜０　递减 数列　d＝０　常数列 [思考] １．[提示]　(１)因为公差d＝a４－a３＝－２＜０,所以数列{an}是 递减数列． (２)等差数列的公差相当于图像法表示数时直线的斜率． 知识点二、A　a与b　 [思考] ２．[提示]　是．因为an 是an－１和an＋１的等差中项,所以an－１, an,an＋１成等差数列,故an－an－１＝an＋１－an,由等差数列的 定义知数列{an}是等差数列． 预习自测 １．(１)×　(２)√　(３)√　(４)(√) ２．A　[数列{an}是递增数列,则an＋１－an＝d＞０．故选:A．] ３．解析:２＋１＋ ２－１２ ＝２． 答案:２ ４．解析:a２＋a３＋a４＝(a２＋a４)＋a３＝２a３＋a３＝３a３＝３． 答案:３ 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)由于(１,１),(３,５)是等差数列{an}图像上的 两点,所以a１＝１,a３＝５． 由a３＝a１＋２d＝１＋２d＝５,解得d＝２,于是an＝２n－１． (２)图像是直线y＝２x－１上一些等间隔的点,如图所示． (３)因为一次函数y＝２x－１是增函数,所以数列{an}是递增 数列． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９７􀅰 参考答案 变式训练 １．D　[利用等差数列的单调性可得,若a２＞a１,所以公差d＞ ０,所以等差数列{an}是递增数列,所以a３－a１＝２d＞０,a３－ a２＝d＞０成立,∴A,B正确;若a２＞a１,则a１＋a２＞a１ 不一 定成立,例如a１＜０时不一定成立,∴D不一定成立; 若a３＞a１,则a３－a１＝２d＞０,所以a２－a１＝d＞０成立,∴C 正确．故选:D] [例２]　[解]　∵－１,a,b,c,７成等差数列, ∴b是－１与７的等差中项, ∴b＝－１＋７２ ＝３． 又a是－１与３的等差中项, ∴a＝－１＋３２ ＝１． 又c是３与７的等差中项,∴c＝３＋７２ ＝５． ∴该数列为－１,１,３,５,７． 变式训练 ２．(１)解析:因为８,a,２,b,c是等差数列,所以 ８＋２＝２a, a＋b＝２×２, ２＋c＝２b． ì î í ïï ï 解 得 a＝５, b＝－１, c＝－４． ì î í ïï ï 答案:５　－１　－４ (２)证明:因为１a ,１ b ,１ c 成等差数列,所以２ b＝ １ a＋ １ c , 即２ac＝b(a＋c)．因为b＋ca ＋ a＋b c ＝ c(b＋c)＋a(a＋b) ac ＝c ２＋a２＋b(a＋c) ac ＝ a２＋c２＋２ac ac ＝ ２(a＋c)２ b(a＋c)＝ ２(a＋c) b , 所以b＋c a ,a＋c b ,a＋b c 成等差数列． [例３]　[解]　方法一　因为a１＋a７＝２a４,a１＋a４＋a７＝３a４＝ １５,所以a４＝５． 又因为a２a４a６＝４５,所以a２a６＝９,所以(a４－２d)(a４＋２d)＝ ９,即(５－２d)(５＋２d)＝９, 解得d＝±２． 若d＝２,an＝a４＋(n－４)d＝２n－３,n∈N＋; 若d＝－２,an＝a４＋(n－４)d＝１３－２n,n∈N＋． 方法二　设等差数列的公差为d,则由a１＋a４＋a７＝１５,得 a１＋a１＋３d＋a１＋６d＝１５,即a１＋３d＝５．① 由a２a４a６＝４５,得(a１＋d)(a１＋３d)(a１＋５d)＝４５, 将①代入上式,得(５－２d)×５×(５＋２d)＝４５,即(５－２d)(５＋ ２d)＝９,② 联立①②解得a１＝－１,d＝２或a１＝１１,d＝－２, 即an＝－１＋２(n－１)＝２n－３,n∈N＋;或an＝１１－２(n－１)＝ １３－２n,n∈N＋． 母体变式 [解]　设公差为d,则am＝a１＋(m－１)d, an＝a１＋(n－１)d,ap＝a１＋(p－１)d,aq＝a１＋(q－１)d,ar＝ a１＋(r－１)d,as＝a１＋(s－１)d, ∴am＋an＋ap＝３a１＋(m＋n＋p－３)d,aq＋ar＋as＝３a１＋(q ＋r＋s－３)d, ∵m＋n＋p＝q＋r＋s,∴am＋an＋ap＝aq＋ar＋as． 变式训练 ３．解:方法一　(１)化成a１ 和d的方程如下: (a１＋d)＋(a１＋２d)＋(a１＋２２d)＋(a１＋２３d)＝４８,即４(a１＋ １２d)＝４８．∴４a１３＝４８．∴a１３＝１２． (２)化成a１ 和d的方程组如下: (a１＋d)＋(a１＋２d)＋(a１＋３d)＋(a１＋４d)＝３４, (a１＋d)(a１＋４d)＝５２,{ 解得 a１＝１, d＝３{ 或 a１＝１６, d＝－３．{ ∴d＝３或d＝－３． 方法二　(１)由等差数列的性质知a２＋a２４＝a３＋a２３, 又a２＋a３＋a２３＋a２４＝４８,∴a３＋a２３＝２４＝２a１３．∴a１３＝１２． (２)由等差数列的性质知,a２＋a５＝a３＋a４,又a２＋a３＋a４＋ a５＝３４, ∴a２＋a５＝１７．又∵a２a５＝５２, ∴ a２＝４, a５＝１３{ 或 a２＝１３, a５＝４．{ ∴d＝ １３－４ ５－２ ＝３ 或d＝４－１３５－２ ＝－３． 当堂达标 １．D　[(a２＋b２)－(a１＋b１)＝(a２－a１)＋(b２－b１)＝－１＋２０ ＝１９．] ２．C　[因{an}是等差数列,若a１＜a２＜a３,可得d＝a２－a１＝a３ －a２＞０, 所以数列{an}是递增数列,即充分性成立; 若数列{an}是递增数列,则必有a１＜a２＜a３,即必要性成立, 所以“a１＜a２＜a３”是“数列{an}是递增数列”的充分必要条 件．故选:C．] ３．解析:由等差数列的对称性知,b是３,１５的等差中项且a＋c ＝３＋１５,∴a＋b＋c＝３＋１５＋３＋１５２ ＝２７． 答案:２７ ４．解:(１)由等差数列的性质可知,a１＋a３＝２a２,所以a１＋a２＋ a３＝３a２＝２１,解得a２＝７． (２)依题意得 a１＋a３＝１４, a１a３＝３３,{ 解得 a１＝１１, a３＝３{ 或 a１＝３, a３＝１１．{ 所以公差d＝３－１１３－１ ＝－４ 或d＝１１－３３－１ ＝４． 所以an＝１１＋(n－１)×(－４)＝－４n＋１５或an＝３＋(n－ １)×４＝４n－１． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０８􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第二册