2 等差数列 2.1 等差数列的概念及其通项公式 第1课时 等差数列的概念及其通项公式-【创新教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册五维课堂（北师大版2019）

方法二　(１)证明　假设数列{an}中存在最大项． 因为an＋１－an＝(n＋２) １０ １１( ) n＋１ －(n＋１) １０１１( ) n ＝ １０ １１( ) n 􀅰９－n １１ , 当n＜９时,an＋１－an＞０,即an＋１＞an; 当n＝９时,an＋１－an＝０,即an＋１＝an; 当n＞９时,an＋１－an＜０,即an＋１＜an, 故a１＜a２＜a３＜􀆺＜a９＝a１０＞a１１＞a１２＞􀆺, 所以数列{an}从第１项到第９项递增,从第１０项起递减, 即数列{an}先递增后递减． (２)解:由(１)知a９＝a１０＝ １０１０ １１９ 为最大项． 变式训练 ３．解:(１)由 题 可 知,an＋１ －an ＝ n＋１ n＋５２－ n n＋５１＝ (n＋１)(n＋５１)－n(n＋５２) (n＋５１)(n＋５２) ＝ ５１ (n＋５１)(n＋５２) ,∵n∈ N＋,∴n＋５１＞０,n＋５２＞０,即an＋１－an＞０． (２)由(１)可得数列{an}是递增数列,则最小项为首项,即 a１＝ １ １＋５１＝ １ ５２ ,无最大项．所以２０是该数列的第１０项． 当堂达标 １．A　[an＋１－an＝２n＋１－２n＝２n＞０,∴an＋１＞an,即{an} 是递增数列．] ２．B　[∵a１＞０,an＋１＝ １ ２an ,∴an＞０,∴ an＋１ an ＝ １２ ＜１ , ∴an＋１＜an．] ３．解析:因为an＝n２－８n＋１５＝(n－４)２－１,所以第４项 最小． 答案:４ ４．解:(１)由已知得a２＋a３＝ １ ３ ＋ ２ ４ ＝ ５ ６ ． (２)证明:当n≥２时,an－an－１＝ n－１ n＋１－ n－２ n ＝ ２ n(n＋１) ＞０,所以an＞an－１．所以{an}是递增数列． §２　等差数列 ２．１　等差数列的概念及其通项公式 第１课时　等差数列的概念及其通项公式 课前预习学案 知识梳理 知识点一、１．２　前一项　同一个　常数　公差 [思考] １．[提示]　(１)不是,该数每一项与其前一项的差都是n,不是 常数,所以不是等差数列． (２)不一定,当一个数列从第二项起每一项与它前一项的差 都是同一个常数时,这个数列才是等差数列．如数列:１,２,３, ５,７,９,就不是等差数列． 知识点二、ax＋(n－１)d [思考] ２．[提示]　不一定,当公差为０时,等差数列的通项公式不是n 的一次函数,而是常数函数． 预习自测 １．(１)√　(２)×　(３)×　(４)× ２．C　[an＝a１＋(n－１)d＝４＋(n－１)×(－２)＝４－２n＋２＝６ －２n．] ３．B　[a３－a１＝８－２＝２d,故d＝３．] ４．解析:由a７＝a１＋６d＝８且d＝－ １ ３ ,代入解得a１＝８－６d＝８ ＋２＝１０． 答案:１０ 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)∵an＋１－an＝[３－２(n＋１)]－(３－２n)＝ －２,是常数, ∴数列{an}是等差数列． (２)∵an＋１－an＝[(n＋１)２－(n＋１)]－(n２－n)＝２n,不是 常数, ∴数列{an}不是等差数列． 变式训练 １．解:　由等差数列的定义得(１),(２),(５)为等差数列,(３),(４) 不是等差数列． [例２]　[解]　(１)∵a４＝７,a１０＝２５, 则 a１＋３d＝７, a１＋９d＝２５,{ 得 a１＝－２, d＝３,{ ∴an＝－２＋(n－１)×３＝３n－５, ∴通项公式为an＝３n－５(n∈N＋)． (２)法一:(方程组法)由 a３＝ ５ ４ , a７＝－ ７ ４ , ì î í ïï ï 得 a１＋２d＝ ５ ４ , a１＋６d＝－ ７ ４ , ì î í ïï ï 解得a１＝ １１ ４ ,d＝－３４ , ∴a１５＝a１＋(１５－１)d＝ １１ ４＋１４× － ３ ４( )＝－ ３１ ４． 法二:(利用an＝am＋(n－m)d求解)由a７＝a３＋(７－３)d, 即－７４＝ ５ ４＋４d ,解得d＝－３４ , ∴a１５＝a３＋(１５－３)d＝ ５ ４＋１２× － ３ ４( )＝－ ３１ ４． 变式训练 ２．解:(１)设{an}的公差为d．因为 a１＋４d＝１５． a１＋１６d＝３９,{ 解得 a１＝７, d＝２．{ 所以an＝７＋２(n－１)＝２n＋５． 令２n＋５＝９１,得n＝４３．因为４３为正整数,所以９１是此数列 中的项． (２)设{an}的公差为d,则 a１＋d＝１１, a１＋７d＝５,{ 解得 a１＝１２, d＝－１．{ ∴an＝１２＋(n－１)×(－１)＝１３－n,所以a１０＝１３－１０＝３． [例３]　[解]　(１)数列 １an{ }是等差数列,理由如下: ∵a１＝２,an＋１＝ ２an an＋２ ,∴ １an＋１ ＝ an＋２ ２an ＝１２＋ １ an , ∴ １an＋１ －１an ＝１２ ,即 １ an{ }是首项为 １ a１ ＝１２ ,公差为d＝１２ 的等差数列． (２)由上述可知１an ＝１a１ ＋(n－１)d＝n２ ,∴an＝ ２ n． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８７􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第二册 母体变式 １．[解]　(１)证明:bn＋１－bn＝ １ an＋１－２ － １an－２ ＝ １ ４－４an( )－２ － １an－２ ＝ an ２(an－２) － １an－２ ＝ an－２ ２(an－２) ＝１２． 又b１＝ １ a１－２ ＝１２ ,∴数列{bn}是首项为 １ ２ ,公差为１ ２ 的等差 数列． (２)由(１)知bn＝ １ ２＋ (n－１)×１２＝ １ ２n． ∵bn＝ １ an－２ ,∴an＝ １ bn ＋２＝２n＋２． ∴数列{an}的通项公式为an＝ ２ n＋２． ２．[解]　当n≥２时,由２an＋１＝２an＋３,得an＋１－an＝ ３ ２ ,但a２ －a１＝１≠ ３ ２ , 故数列{an}不是等差数列． 变式训练 ３．解:(１)证明:∵xn＝f(xn－１)＝ ３xn－１ xn－１＋３ (n≥２且n∈N＋), ∴１xn ＝ xn－１＋３ ３xn－１ ＝１３＋ １ xn－１ ,∴１xn － １xn－１ ＝１３ (n≥２且n∈ N＋), ∴ １xn{ }是公差为 １ ３ 的等差数列． (２)由(１)知１xn ＝１x１ ＋(n－１)×１３＝２＋ n－１ ３ ＝ n＋５ ３ , ∴ １x２０２３ ＝２０２３＋５３ ＝ ２０２８ ３ ,∴x２０２３＝ ３ ２０２８． [例４]　[解]　根据题意,当该市出租车的行程大于或等于４ km时,每增加１km,乘客需要支付１􀆰２元． 所以,可以建立一个等差数列{an}来计算车费． 令a１＝１１􀆰２,表示４km处的车费,公差d＝１．２, 那么当出租车行至１４km处时,n＝１１, 此时需要支付车费a１１＝１１􀆰２＋(１１－１)×１􀆰２＝２３􀆰２(元)．即 需要支付车费２３􀆰２元． 母体变式 １．[解]　由题意知,当出租车行至１８􀆰５km处时,按行至１９km 计费,n＝１６,此时需支付车费a１６＝１１􀆰２＋(１６－１)×１􀆰２＝ ２９􀆰２(元)．即需要支付车费２９．２元． ２．[解]　当n∈{１,２,３}时,an＝１０, 当n∈N＋,且n≥４时,an＝１１􀆰２＋(n－４)×１􀆰２＝１􀆰２n＋６􀆰４． 所以an＝ １０,n∈{１,２,３}, １．２n＋６．４,n≥４且n∈N＋．{ 变式训练 ４．解:设使用n年后,这台设备的价值为an 万元,则可得数列{ an}． 由已知条件,得an＝an－１－d(n≥２)． 所以数列{an}是一个公差为－d的等差数列． 因为a１＝２２０－d,所以an＝２２０－d＋(n－１)(－d)＝２２０ －nd． 由题意,得a１０≥１１,a１１＜１１．　 即 ２２０－１０d≥１１, ２２０－１１d＜１１,{ 解得１９＜d≤２０．９, 所以d的取值范围为１９＜d≤２０．９． 当堂达标 １．ABD　[根据等差数列的定义,可得:A中,满足an＋１－an＝３ (常数),所以是等差数列;B中,lg４－lg２＝lg８－lg４＝lg１６ －lg８＝lg２(常数),所以是等差数列;C中,因为２４－２５≠２３ －２４≠２２－２３,不满足等差数列的定义,所以不是等差数列;D 中,满足an＋１－an＝－２(常数),所以是等差数列．] ２．B　[∵a１＝２０,d＝－３,∴an＝２０＋(n－１)×(－３)＝２３－３n． ∴a７＝２＞０,a８＝－１＜０．故数列中第一个负数项是第８项．] ３．A　 [设 数 列 {an}的 首 项 为a１,公 差 为 d,根 据 题 意 得 a３＋a８＝a１＋２d＋a１＋７d＝２２, a６＝a１＋５d＝７,{ 解得a１＝４７,d＝－８．所以a５＝４７＋(５－１)×(－８)＝１５．] ４．解:因为an＝an－１＋２(n≥３),所以an－an－１＝２(常数)． 又n≥３,所以从第３项起,每一项减去前一项的差都等于 同一个常数２,而a２－a１＝０≠a３－a２,所以数列{an}不是 等差数列． 第２课时　等差数列的性质 课前预习学案 知识梳理 知识点一、等间隔的点　斜率　d＞０　递增数列　d＜０　递减 数列　d＝０　常数列 [思考] １．[提示]　(１)因为公差d＝a４－a３＝－２＜０,所以数列{an}是 递减数列． (２)等差数列的公差相当于图像法表示数时直线的斜率． 知识点二、A　a与b　 [思考] ２．[提示]　是．因为an 是an－１和an＋１的等差中项,所以an－１, an,an＋１成等差数列,故an－an－１＝an＋１－an,由等差数列的 定义知数列{an}是等差数列． 预习自测 １．(１)×　(２)√　(３)√　(４)(√) ２．A　[数列{an}是递增数列,则an＋１－an＝d＞０．故选:A．] ３．解析:２＋１＋ ２－１２ ＝２． 答案:２ ４．解析:a２＋a３＋a４＝(a２＋a４)＋a３＝２a３＋a３＝３a３＝３． 答案:３ 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)由于(１,１),(３,５)是等差数列{an}图像上的 两点,所以a１＝１,a３＝５． 由a３＝a１＋２d＝１＋２d＝５,解得d＝２,于是an＝２n－１． (２)图像是直线y＝２x－１上一些等间隔的点,如图所示． (３)因为一次函数y＝２x－１是增函数,所以数列{an}是递增 数列． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９７􀅰 参考答案 §２　等差数列 ２．１　等差数列的概念及其通项公式 第１课时　等差数列的概念及其通项公式 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．理解等差数列的概念． ２．掌握等差数列的判定方法． ３．会求等差数列的通项公式及利用通项公式求特 定的项． 通过对等差数列概念及其通项公式的学习,达成数学抽 象、逻辑推理和数学运算的核心素养． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　我们知道数列是一种特殊的函数, 在函数的研究中,我们在理解了函数的 一般概念,了解了函数变化规律的研究 内容(如单调性,奇偶性等)后,通过研 究基本初等函数,不仅加深了对函数的理解,而且掌 握了幂函数,指数函数,对数函数,三角函数等常用的 函数模型．类似地,在了解了数列的一般概念后,我们 要研究一些具有特殊变化规律的数列,建立它们的 通项公式和前n项和公式,并应用它们解决实际问题 和数学问题,从中感受数学模型的现实意义与应用． [知识梳理] [知识点一]　等差数列的概念 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 等差数列概念 １．文字语言:对于一个数列,如果从第　　　　项起, 每一项与它的　　　　的差都是　　　　常数,那 么称这样的数列为等差数列,称这个　　　　为等 差数列的　　　　,通常用字母d表示． ２．符号语言:an＋１－an＝d(d为常数,n∈N＋)． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．(１)数列{an}的各项为:n,２n,３n,４n,􀆺, 数列{an}是等差数列吗? (２)若一个数列从第二项起每一项与它前一项的差 都是常数,这个数列一定是等差数列吗? [知识点二]　等差数列的通项公式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 若首项是a１,公差是d,则等差数列{an}的通项 公式为an＝　　　　　　． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２．等差数列的通项公式一定是n的一次函 数吗? [预习自测] １．判断下列说法是否正确,(正确的打“√”,错误的打 “×”) (１)常数列是等差数列． (　　) (２)如果一个数列的每一项与它的前一项的差是一 个常数,那么这个数列是等差数列． (　　) (３)数列０,０,０,０,􀆺不是等差数列． (　　) (４)若数列{an}是等差数列,则其公差d＝a７－a８． (　　) ２．已知等差数列{an}的首项a１＝４,公差d＝－２,则 通项公式an＝ (　　) A．４－２n　　　　　　　B．２n－４ C．６－２n D．２n－６ ３．在等差数列{an}中,a１＝２,a３＝８,则公差d＝ (　　) A．４ B．３ C．－４ D．－３ ４．已知在等差数列{an}中,d＝－ １ ３ ,a７＝８,则a１＝ 　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７􀅰 第一章　数　列 　　　等差数列的概念 [例１]　判断下列数列是否为等差数列． (１)an＝３－２n;(２)an＝n２－n． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 定义法判定等差数列 (１)作差an＋１－an; (２)对差式进行变形; (３)当an＋１－an 是一个与n 无关的常数时,数列 {an}是等差数列;当an＋１－an 不是常数,是与 n有关的代数式时,数列{an}不是等差数列． 􀳀[变式训练] １．判断下列数列是不是等差数列? (１)９,７,５,３,􀆺,－２n＋１１,􀆺;(２)－１,１１,２３,３５, 􀆺,１２n－１３,􀆺;(３)１,２,１,２,􀆺;(４)１,２,４,６,８, １０,􀆺;(５)a,a,a,a,a,􀆺 　　　等差数列的通项公式及其应用 [例２]　(１)在等差数列{an}中,已知a４＝７,a１０＝２５, 求通项公式an; (２)已知数列{an}为等差数列,a３＝ ５ ４ ,a７＝－ ７ ４ , 求a１５的值． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　设出基本量a１,d,利用方程组的思 想求解,当然也可以利用等差数列的一般形式an ＝am＋(n－m)d求解． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．应用等差数列的通项公式求a１ 和d,运用了方 程的 思 想．一 般 地,可 由 am ＝a,an ＝b,得 a１＋(m－１)d＝a, a１＋(n－１)d＝b,{ 求出a１ 和d,从而确定通 项公式． ２．若已知等差数列中的任意两项am,an,求通项 公式或其他项时,则运用am＝an＋(m－n)d较 为简捷． 􀳀[变式训练] ２．在等差数列{an}中, (１)若a５＝１５,a１７＝３９,试判断９１是否为此数列中 的项． (２)若a２＝１１,a８＝５,求a１０． 　　　判定与证明等差数列 [例３]　已知数列{an}满足a１＝２,an＋１＝ ２an an＋２ ． (１)数列 １an{ }是否为等差数列? 说明理由; (２)求{an}的通项公式． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　①要判断数列 １an{ }是否为等差数 列,需要先求 １ an＋１ －１an 的表达式, ②求出数列 １an{ }的通项公式． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第二册 [母体变式] １．(变条件,变结论)将本例题中的条件“a１＝２,an＋１ ＝ ２an an＋２ ”换为“a１＝４,an＝４－ ４ an－１ (n＞１),记bn＝ １ an－２ ”． (１)试证明数列{bn}为等差数列; (２)求数列{an}的通项公式． ２．(变条件)将本例题中的条件“a１＝２,an＋１＝ ２an an＋２ ” 换为“a１＝１,a２＝２,２an＋１＝２an＋３(n≥２,n∈N＋)” 试判断数列{an}是否是等差数列． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 等差数列的判定方法有以下二种: (１)定义法:an＋１－an＝d(常数)(n∈N＋)⇔{an} 为等差数列; (２)通项公式法:an＝an＋b(a,b是常数,n∈N＋) ⇔{an}为等差数列． 但如果要证明一个数列是等差数列,则必须用定 义法． 􀳀[变式训练] ３．已知函数f(x)＝ ３xx＋３ ,数列{xn}的通项由xn＝ f(xn－１)(n≥２且x∈N＋)确定． (１)求证:１xn{ }是等差数列; (２)当x１＝ １ ２ 时,求x２０２３． 　　　等差数列的实际应用 [例４]　某市出租车的计价标准为１􀆰２元/km,起步 价为１０元,即最初的４km(不含４km)计费１０元． 如果某人乘坐该市的出租车去往１４km处的目的 地,且一路畅通,等候时间为０,那么需要支付车费 多少元? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９􀅰 第一章　数　列 [母体变式] １．(变条件)在本例中,若某人乘坐该市的出租车去往 １８􀆰５km处的目的地(不足１km,按１km计费), 且一路畅通,等候时间为０,那么需要支付车费多 少元? ２．(变结论)在本例中,若某人乘坐该市的出租车去往 nkm(n∈N＋)处的目的地,求其需支付的车费an． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[方法总结]　应用等差数列解决实际问题的步骤 (１)审题,读懂题意,把握已知条件与求解问题． (２)将实际问题抽象为等差数列模型． (３)利用等差数列解决问题． (４)验证答案是否符合实际问题的意义． 􀳀[变式训练] ４．某公司购置了一台价值为２２０万元的设备,随着设 备在使用过程中老化,其价值会逐年减少．经验表 明,每经过一年其价值会减少d(d为正常数)万元． 已知这台设备的使用年限为１０年,超过１０年 ,它 的价值将低于购进价值的５％,设备将报废．请确 定d的范围． [当堂达标] １．(多选)下列数列中,是等差数列的是 (　　) A．１,４,７,１０　　　　B．lg２,lg４,lg８,lg１６ C．２５,２４,２３,２２ D．１０,８,６,４,２ ２．等差数列２０,１７,１４,１１,􀆺中第一个负数项是 (　　) A．第７项 B．第８项 C．第９项 D．第１０项 ３．已知在等差数列{an}中,a３＋a８＝２２,a６＝７,则a５ 等于 (　　) A．１５ B．２２ C．７ D．２９ ４．已知数列{an},a１＝a２＝１,an＝an－１＋２(n≥３),判 断数列{an}是否为等差数列? 说明理由． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０１􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第二册