1 数列的概念及其函数特性 1.1 数列的概念-【创新教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册五维课堂（北师大版2019）

§１　数列的概念及其函数特性 １．１　数列的概念 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．了解数列通项公式的概念． ２．能根据通项公式确定数列的某一项． ３．能根据数列的前几项写出数列的一个通项 公式． １．通过数列基本概念的学习培养数学抽象的核心素养． ２．通过数列通项公式的概念培养逻辑推理的核心素养． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　古语云:“勤学如春起之苗,不见其 增,日有所长”,如果对“春起之苗”每日 用精密仪器度量,则每日的高度值按日 期排在一起,可组成一个数列．那么什 么叫数列呢? [知识梳理] [知识点一]　数列的有关概念 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．数列的有关概念 数列 按　　　　排列的一列数叫作数列 项 数列中的　　　　叫作这个数列的项 首项 数列的　　　常称为首项 通项 数列中的　　　　叫数列的通项 ２．数列的表示 (１)一般形式:a１,a２,a３,􀆺,an,􀆺; (２)字母表示:上面数列也可记为　　． ３．数列的分类 分类标准 名称 含义 举例 按项的 个数 有穷 数列 项数有限 的数列　 １,２,３,４,􀆺,n 无穷 数列 项数无限 的数列　 １,４,９,􀆺,n２,􀆺 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．(１)数列的项和它的项数是否相同? (２)数列１,２,３,４,５,数列５,３,２,４,１与集合{１,２, ３,４,５}有什么区别? [知识点二]　通项公式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 如果数列{an}的第n项an 与n 之间的函数关系 可以用一个式子表示成　　　　,那么这个式子就叫 作这个数列的通项公式,数列的通项公式就是相应函 数的解析式．数列可以看作是定义域为正整数集 N＋ (或其子集)的函数, 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２．(１)若an＝２n－１,则a２＋a３ 的值是什么? (２)数列的通项公式an＝f(n)与函数解析式y＝ f(x)有什么异同? [预习自测] １．判断下列说法是否正确,(正确的打“√”,错误的打 “×”) (１)数列１,２,３,５,７可表示为{１,２,３,５,７}．(　　) (２)数列的项不能相等． (　　) (３)数列可以用图形表示． (　　) (４)数列的通项公式不唯一． (　　) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１􀅰 第一章　数　列 ２．下列各项表示数列的是(　　) A．　△,　○,　☆,　□ B．２０２０,　２０２１,　２０２２,２０２３ C．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 D．a＋b,　a－b,　ab,　λa ３．已知数列{an}的通项公式是an＝n２＋１,则１２２是 该数列的 (　　) A．第９项　　　　　　　B．第１０项 C．第１１项 D．第１２项 ４．数列２,４,６,８,􀆺的通项公式为　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　数列的概念及分类 [例１]　(１)下列说法错误的是 (　　) A．数列４,７,３,４的首项是４ B．数列{an}中,若a１＝３,则从第２项起,各项均不 等于３ C．数列１,２,３,􀆺就是数列{n} D．数列中的项不能是三角形 (２)下列各组元素能构成数列吗? 如果能,构成的 数列是有穷数列,还是无穷数列? 并说明理由． ①８,８,８,８; ②－３,－１,１,x,５,７,y,１１; ③当n取１,２,３,４,􀆺时,(－１)n 的值排成的一列数． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 数列及其分类的判定方法 １．判断所给的对象是否为数列,关键看它们是不 是按一定次序排列的数． ２．判断所给的数列是有穷数列还是无穷数列,只 需观察数列含有限项还是无限项,若数列含有 限项,则是有穷数列,否则是无穷数列． 􀳀[变式训练] １．(１)(多选)下面四个结论正确的是 (　　) A．数列１,２,３,４和数列１,３,４,２是相同的数列 B．数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有 限子集{１,２,３,􀆺,n})上的函数 C．数列{２n＋１}的第６项是１３ D．数列的项数是无限的 (２)下列各题哪些是数列? 若是数列,则哪些是有 穷数列? 哪些是无穷数列? ①{１,３,５,７,９};②４,３,２,１,０; ③１,２,３,４,􀆺;④２,２,２,２,２． 　　　由数列的前几项写通项公式 [例２]　写出下列数列的一个通项公式,使它的前四 项为下列各数． (１)１１２ ,２２３ ,３３４ ,４４５ ,􀆺; (２)１１,１０２,１００３,１０００４,􀆺; (３)９,９９,９９９,９９９９,􀆺; (４)１２ ,２,９２ ,８,２５２ ,􀆺 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　①求数列的通项公式时,应考虑将 个别项或各项进行适当的变形;②数列的通项公 式不唯一． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 由数列的前几项求通项公式的思路 (１)通过观察、分析、联想、比较,去发现项与序号 之间的关系． (２)如果关系不明显,可将各项同时加上或减去一 个数,或分解、还原等,将规律呈现,便于找通 项公式． (３)要借助一些基本数列的通项,如正整数数列、 正整数的平方数列、奇数列、偶数列等． (４)符号用(－１)n 或(－１)n＋１来调整． (５)分式的分子、分母分别找通项,还要充分借助 分子、分母的关系． 􀳀[变式训练] ２．写出下列数列的一个通项公式: (１)０,３,８,１５,２４,􀆺; (２)１,－３,５,－７,９,􀆺; (３)１,１１,１１１,１１１１,􀆺． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第二册 　　　数列通项公式的应用 [例３]　已知数列{an}的通项公式为an＝３n２－２８n． (１)写出此数列的第４项和第６项; (２)问－４９是否是该数列的一项? 如果是,应是哪 一项? ６８是否是该数列的一项? 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　(１)将n＝４,n＝６分别代入an 求出 数值即可; (２)由３n２－２８n＝－４９和３n２－２８n＝６８,求得n 是否为正整数并判断． [母题探究] 若本例中的条件不变, (１)试写出该数列的第３项和第８项; (２)问２０是不是该数列的一项? 若是,应是哪 一项? 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．由通项公式写出数列的指定项,主要是对n进 行取值,然后代入通项公式,相当于函数中,已 知函数解析式和自变量的值求函数值． ２．判断一个数是否为该数列中的项,其方法是可 由通项公式等于这个数求方程的根,根据方程 有无正整数根便可确定这个数是否为数列中 的项． ３．在用函数的有关知识解决数列问题时,要注意 它的定义域是 N＋(或它的有限子集{１,２,３, 􀆺,n})这一约束条件． 􀳀[变式训练] ３．数列{an}的通项公式是an＝ n２－２１n ２ (n∈N＋)． (１)０和１是不是数列{an}中的项? 如果是,那么是 第几项? (２)数列{an}中是否存在连续且相等的两项? 若存 在,分别是第几项? [当堂达标] １．下列有关数列的说法正确的是 (　　) ①同一数列的任意两项均不可能相同;②数列－１, ０,１与数列１,０,－１是同一个数列;③数列中的每 一项都与它的序号有关． A．①② B．①③ C．②③ D．③ ２．已知数列－１,１４ ,－１９ ,􀆺,(－１)n􀅰１ n２ ,􀆺,则它的 第６项的值为 (　　) A．１６ B．－ １ ６ C．－１３６ D． １ ３６ ３．若数列{an}的通项公式是an ＝３－２n,则a２n ＝ 　　　　, a２ a３ ＝　　　　． ４．已知数列{n(n＋２)}． (１)写出这个数列的第８项和第２０项; (２)３２３是不是这个数列中的项? 如果是,是第 几项? 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３􀅰 第一章　数　列 参 考 答 案 第一章　数列 §１　数列的概念及其函数特性 １．１　数列的概念 课前预习学案 知识梳理 知识点一、１．一定次序　每一个数　第１项　第n项an ２．(２){an} [思考] １．[提示]　(１)数列的项与它的项数是不同的概念．数列的项 是指这个数列中的某一个确定的数,是一个函数值,而项数 是指该数列中的项的总数．(２)数列１,２,３,４,５和数列５,３,２, ４,１为两个不同的数列,因为二者的元素顺序不同,而集合 {１,２,３,４,５}与这两个数列也不相同,一方面形式上不一致, 另一方面,集合中的元素具有无序性． 知识点二、an＝f(n) [思考] ２．[提示]　(１)　因为an＝２n－１,所以a２＝２×２－１＝３,a３＝ ２×３－１＝５,则a２＋a３＝３＋５＝８． (２)相同之处是:数列可以看成以正整数集N＋(或它的有限 子集{１,２,３,􀆺,n})为定义域的函数an＝f(n),当自变量按照 从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．不同之处 是定义域:数列中的n必须是从１开始且连续的正整数,函 数的定义域可以是任意非空数集． 预习自测 １．(１)×　(２)×　(３)√　(４)√ ２．B　[数列是指按照一定次序排列的一列数,而不能是图形、 文字、向量等,只有B项符合．] ３．C　[由n２＋１＝１２２,得n２＝１２１,所以n＝１１．] ４．解析:由２＝２×１,４＝２×２,６＝２×３,８＝２×４,得该数列的通 项公式为an＝２n． 答案:an＝２n 课堂互动学案 [例１]　(１)[解析]　根据数列的相关概念,数列４,７,３,４的第 １项就是首项,即４,故 A正确;同一个数在数列中可以重复 出现,故B错误;根据数列的相关概念可知C正确;数列中的 项必须是数,不能是其他形式,故D正确． [答案]　B (２)解:①能构成数列,且构成的是有穷数列． ②当x,y代表数时是数列,此时构成的是有穷数列;当x,y 中有一个不代表数时,便不能构成数列,这是因为数列必须 是由一列数按一定的顺序排列组成的． ③能构成数列,且构成的是无穷数列．所构成的数列是－１, １,－１,１,􀆺． 变式训练 １．(１)BC　[对A,因为数列的项是有顺序的,所以两个数列是 不同的数列,A错误;对B,由数列和函数的关系可知B正确; 对C,由数列的表示可知C正确;对D,因为数列的项数可以 是有限的也可以是无限的,所以D错误．] (２)解:①是集合,不是数列;②③④是数列;②④是有穷数列, ③是无穷数列． [例２]　[解]　(１)这个数列各项的整数部分分别为１,２,３,４, 􀆺,恰好是序号n;分数部分分别为１２ ,２ ３ ,３ ４ ,４ ５ ,􀆺,与序号 n的关系是 nn＋１ ,所以这个数列的一个通项公式是an＝n＋ n n＋１＝ n２＋２n n＋１ (n∈N＋)． (２)这个数列可以改写为１０＋１,１００＋２,１０００＋３,１００００＋４, 􀆺,所以这个数列的一个通项公式是an＝１０n＋n(n∈N＋)． (３)这个数列可以改写为１０－１,１００－１,１０００－１,１００００－１, 􀆺,所以这个数列的一个通项公式是an＝１０n－１(n∈N＋)． (４)将每一项都统一写成分母为２的分数,即１２ ,４ ２ ,９ ２ ,１６ ２ , ２５ ２ ,􀆺,所以它的一个通项公式是an＝ n２ ２ (n∈N＋)． 变式训练 ２．解:(１)观察数列中的数,可以看到０＝１－１,３＝４－１,８＝９－ １,１５＝１６－１,２４＝２５－１,􀆺,所以它的一个通项公式是an＝ n２－１(n∈N＋)． (２)数列各项的绝对值为１,３,５,７,９,􀆺,是连续的正奇数,并 且数列的奇数项为正,偶数项为负,所以它的一个通项公式 为an＝(－１)n＋１(２n－１)(n∈N＋)． (３)原数列的各项可变为 １９×９ ,１ ９×９９ ,１ ９×９９９ ,１ ９×９ ９９９,􀆺,易知数列９,９９,９９９,９９９９,􀆺的一个通项公式为an＝ １０n－１,所以原数列的一个通项公式为an＝ １ ９ (１０n－１)(n∈ N＋)． [例３]　[解]　(１)a４＝３×４２－２８×４＝－６４,a６＝３×６２－ ２８×６＝－６０． (２)由３n２－２８n＝－４９,解得n＝７或n＝７３ (舍去),所以 －４９是该数列的第７项;由３n２－２８n＝６８解得n＝－２ 或n＝３４３ ,均不合题意,所以６８不是该数列的项． 母题探究 [解]　(１)因为an＝３n２－２８n,所以a３＝３×３２－２８×３＝ －５７,a８＝３×８２－２８×８＝－３２． (２)令３n２－２８n＝２０,解得n＝１０或n＝－２３ (舍去),所以 ２０是该数列的第１０项． 变式训练 ３．解:(１)若０是{an}中的第n项,则 n２－２１n ２ ＝０ , 因为(n∈N＋),所以n＝２１．所以０是{an}中的第２１项． 若１是{an}中的第n项,则 n２－２１n ２ ＝１ , 所以n２－２１n＝２,即n２－２１n－２＝０． 因为方程n２－２１n－２＝０不存在正整数解,所以１不是 {an}中的项． (２)假设{an}中存在第 m 项与第m＋１项相等,即am＝ am＋１, m２－２１m ２ ＝ (m＋１)２－２１(m＋１) ２ ,解得m＝１０． 所以数列{an}中存在连续且相等的两项,即第１０项与第 １１项． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６７􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第二册 当堂达标 １．D　[①错误,例如无穷个３构成的常数列３,３,３,􀆺的各 项都是３;②错误,数列－１,０,１与数列１,０,－１各项的顺 序不同,表示不同的数列;③正确．] ２．D　[由题设,数列的通项公式为(－１)n􀅰１ n２ ,∴当n＝６ 时,该项为(－１)６×１ ６２ ＝１３６． ] ３．解析:根据通项公式我们可以求出这个数列的任意一项． 因为an＝３－２n,所以a２n＝３－２２n＝３－４n, a２ a３ ＝３－２ ２ ３－２３ ＝１５． 答案:３－４n　１５ ４．解:(１)an＝n(n＋２)＝n２＋２n,所以a８＝８２＋２×８＝８０, a２０＝２０２＋２×２０＝４４０． (２)由an＝n２＋２n＝３２３,解得n＝１７或n＝－１９(舍去)． 所以３２３是数列{n(n＋２)}中的项,是第１７项． １􀆰２　 数列的函数特性 课前预习学案 知识梳理 知识点一、列表法 [思考] [提示]　若函数f(x)在[１,＋∞)上单调递增,则函数an ＝f(n)也 单 调 递 增,但 反 之 不 成 立,例 如f(x)＝ x－５４( ) ２ ,数列an＝f(n)单调递增,但f(x)＝ x－ ５ ４( ) ２ 在[１,＋∞)上不是单调递增． 预习自测 １．(１)×　(２)×　(３)√(４)√(５)× ２．B　[an＋１－an＝[－(n＋１)＋１]－(－n＋１)＝－１＜０,故 an＋１＜an,所以{an}是递减数列．] ３．C　[由于函数f(x)＝ １３( ) x 是 减 函 数,故 数 列an＝ １ ３( ) n 是递减数列,故选C．] ４．解析:由题意知an＋１－an＝[k(n＋１)－２]－(kn－２)＝k ＞０,即实数k的取值范围是(０,＋∞)． 答案:(０,＋∞) 课堂互动学案 [例１]　解:(１)an＝ ２ ２n－９ ,令n＝１,２,３,４,可得该数列的 前４项分别是a１＝－ ２ ７ ,a２＝－ ２ ５ ,a３＝－ ２ ３ ,a４＝ －２． (２)该数列的图像如图所示, 由图像可知,该数列在{１,２,３,４}上是递减的,在{５,６, 􀆺}上也是递减的． 变式训练 １．解:an＝－n２＋１０n＋１１＝－(n－５)２＋３６． 图像如图所示 由数列的图像可知,当１≤n≤５时数列递增;当n≥５时数 列递减． [例 ２]　 [解]　 ∵an ＝ n ３n＋１ ,∴an＋１ ＝ n＋１ ３(n＋１)＋１ ＝n＋１３n＋４． 法一:(作差法)an＋１－an＝ n＋１ ３n＋４－ n ３n＋１ ＝ (n＋１)(３n＋１)－n(３n＋４) (３n＋４)(３n＋１) ＝ １ (３n＋４)(３n＋１) , ∵n∈N＋,∴an＋１－an＞０,即an＋１＞an, ∴数列 n３n＋１{ }为递增数列． 法二:(作商法)∵n∈N＋,∴an＞０． ∵ an＋１ an ＝ n＋１ ３n＋４ n ３n＋１ ＝ (n＋１)(３n＋１) (３n＋４)n ＝ ３n２＋４n＋１ ３n２＋４n ＝１＋ １ ３n２＋４n ＞１,∴an＋１＞an,∴数列 n ３n＋１{ }为递增数列． 法三:(构造函数法)令ƒ(x)＝ x３x＋１ (x≥１), 则ƒ(x)＝１３ ３x＋１－１ ３x＋１( )＝ １ ３ １－ １ ３x＋１( ), ∴函数ƒ(x)在[１,＋∞)上是增函数, ∴数列 n３n＋１{ }是递增数列． 变式训练 ２．B　[因为an＝ n＋c n＋１＝１＋ c－１ n＋１ ,n＋１≥２,所以当c－１＞ ０,即c＞１时,ƒ(n)＝an 单调递减,∴an＋１＜an,当c－１＝ ０,即c＝１时,an＝１,an＋１＝an＝１,当c－１＜０,即c＜１ 时,ƒ(n)＝an 单调递增,an＋１＞an,所以an＋１与an 的大小 关系和c有关,和n无关,故选B．] [例３]　方法一　(１)证明　令 an an－１ ＞１(n≥２), 即 (n＋１)􀅰 １０１１( ) n n􀅰 １０１１( ) n－１ ＞１,整理得 n＋１ n ＞ １１ １０ ,解得n＜１０． 令 an an＋１ ＞１,即 (n＋１)􀅰 １０１１( ) n (n＋２)􀅰 １０１１( ) n＋１＞１,整理得 n＋１ n＋２＞ １０ １１ , 解得n＞９． 所以数列{an}从第１项到第９项递增,从第１０项起递减, 即数列{an}先递增后递减． (２)解:由(１)知a９＝a１０＝ １０１０ １１９ 为最大项． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７７􀅰 参考答案