8.2 三角恒等变换 8.2.3 倍角公式-【创新教程】2024-2025学年高中数学必修第三册五维课堂（人教B版2019）

必修第三册 数学B 8.2.3 倍角公式 课程标准 素养解读 1.理解二倍角的正弦,余弦,正切公式及其推导过程 2.能够灵活运用二倍角的正弦、余弦、正切公式进行化简。 通过学习倍角的正弦、余弦、正切公式,提升数 学逻辑推理和数学运算素养 求值、证明 课前预习学案 [情境引A] 3.你能用2a的余弦表示出sina、cosa吗? 在两角和的正弦、余弦、正切公式中,若令a一8,你能 得出什么结论? [知识梳理] [知识点]二倍角的正弦、余弦、正切公式 果分别是什么?对二倍角中的“二倍”你如何 公式 函数 简记符号 -{ 理解? 5。 正弦 sin2a- S cos2a- C) 余弦 C T 正切 tan 2a- T. [预习自测] ?思考1.在推导二倍角公式的过程中,二倍角的正 1.sin105{cos105*的值为 弦、余弦、正切公式中的角a对于任意角均成 立吗? 2.计算1-2sin*}22.5*的结果等于 ( ) ### 过=# 2. sin2a,cos2a,tan2a的公式中,2a是a的倍角,角 a一定为具体角吗?如何理解倍角的含义呢? 3. tan820-tan22* 1+tan82(ta22 ## A.③ C.1 ·76· 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 课堂互动学案 给角求值 题型一 题型二 给值求值 [例1]求下列各式的值. [例2]若co(--.5-7-,且 (1)cos- 求sin 2-2sin}的值. 1+tan2 [思路点拨] 化简所求式,使其出现角[一], (# 整体代入求解。 [思路点拨]先分析式子结构特征,再变形运用 公式求值, 规律方法 解决给值求值问题的方法 给值求值问题,注意寻找已知式与未知式之间的 联系,有两个观察方向: (1)有方向地将已知式或未知式化简,使关系明 朗化; (2)寻找角之间的关系,看是否适合相关公式的使 规律方法 用,注意常见角的变换和角之间的二倍关系, 对于给角求值问题,一般有两类 (3)注意几种公式的灵活应用,如: (1)直接正用、逆用二倍角公式,结合诱导公式和 ①sin 2x=cos(-2x)=cos2(-)] 同角三角函数的基本关系对已知式进行转化, =2cos{(-)-1=1-2sin(-x); 一般可以化为特殊角, (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘,则 一般逆用二倍角的正弦公式,在求解过程中, 需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条 =2sin(π一x)cos(吾-x). 件,使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式 的形式. [变式训练] [变式训练] 1.(1)i 2.(1)若sina- 角,则tan2的值为_. (2)2tan150} 1-tan^{150{= cos2x的值为 sin2a- ·77· 必修第三册 数学B 化简与证明 题型三 [变式训练] 3.求证4 1 -tan 2a. [例3]化简:(1) 1-tan1+tan' (2) 1+sin 4a+cos 4a 1+sin 4a-cos 4g [思路点拨]统一角,化倍角为单角,4a一2×2a. 规律方法 三角函数式的化简与证明 (1)化简的方法 ①弦切互化,异名化同名,异角化同角;②降寡或 升寡;③一个重要结论:(sin8士cosθ)=1士 sin20. (2)证明三角恒等式的方法 ①从复杂的一边入手,证明一边等于另一边;②比 较法,左边一右边一0,左边/右边一1;③分析法, 从要证明的等式出发,一步步寻找等式成立的条 件。 随堂步步夯实 1.1-2sin{②}22.5*等于 )) 5.已知tana-2. (1)求tan{)的值; ### 1#7# sin2a (2求_- -的值. sin a+sinacosa-cos 2a-1 2.函数f(x)一sinxcosx的最小值是 ) A.1 B.-1 C D- 3. Ccos-sin)(co+sin)的值为_ C温馨提示 学习至此,请完成配套训练 ·78·３．A　[由已知,得tanA＋tanB＝ ３(tanAtanB－１),即 tanA＋tanB １－tanAtanB＝－ ３ ,∴tan(A＋B)＝－ ３, ∴tanC＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝ ３, ∴C＝π３． ] ４．解析:tan２２°＋tan２３°(１＋tan２２°) ＝tan２２°＋tan２３°＋tan２２°tan２３° ＝tan(２２°＋２３°)(１－tan２２°tan２３°)＋tan２２°tan２３°＝tan４５° (１－tan２２°tan２３°)＋tan２２°tan２３°＝１． 答案:１ ５．解:由已知得 tanα＋tanβ＝－３ ３ , tanα􀅰tanβ＝４,{ ∴tanα、tanβ均为负,∴－ π ２＜α＜０ ,－π２＜β＜０． ∴tan(α＋β)＝ tanα＋tanβ １－tanαtanβ ＝－３ ３１－４ ＝ ３． ∵－π＜α＋β＜０,∴α＋β＝－ ２π ３． ８．２．３　倍角公式 课前预习学案 情境引入 　提示:sin(α＋α)＝sinαcosα＋cosαsinα＝２sinαcosα,即sin ２α＝２sinαcosα． cos(α＋α)＝cosαcosα－sinαsinα＝cos２α－sin２α,即 cos２α＝cos２α－sin２α． tan(α ＋α)＝ tanα＋tanα１－tanαtanα ＝ ２tanα １－tan２α ,即 tan ２α ＝ ２tanα １－tan２α ． 知识梳理 ２sinαcosα　cos２α－sin２α　２cos２α－１　１－２sin２α 　 ２tanα １－tan２α [思考] １．提示:sin２α,cos２α中α为任意角,tan２α中,２α≠kπ＋π２ 即a≠kπ２＋ π ４ ,k∈Z． ２．提示:角α不一定是具体角,也可为角的关系式,二倍角 只是相对的,如４α是２α的二倍,α是α２ 的二倍,２α＋π３ 是 α＋π６ 的二倍． ３．提示:由cos２α＝１－２sin２α得sin２α＝１－cos２α２ ; 由cos２α＝２cos２α－１得cos２α＝１＋cos２α２ ． ４．提示:三式的结果分别是sinα,cos４α３ ,tanα２． 二倍角中 的“二倍”是相对的,只要公式中两个角是二倍的关系即 可,并不限定为α,２α． 预习自测 １．B　[sin１０５°cos１０５°＝１２sin２１０°＝ １ ２sin (１８０°＋３０°)＝ －１２sin３０°＝－ １ ４． ] ２．B　[１－２sin２２２．５°＝cos４５°＝ ２２． ] ３．A　[tan８２°－tan２２°１＋tan８２°tan２２°＝tan (８２°－２２°)＝tan６０°＝ ３．] 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)原式＝ sin π５cos π ５cos ２π ５ sin π５ ＝ １ ２sin ２π ５cos ２π ５ sin π５ ＝ １ ４sin ４π ５ sin π５ ＝ sin π５ ４sin π５ ＝１４． (２)原式＝－１２ ２cos ２π ８－１( )＝－ １ ２cos π ４ ＝－ ２４． (３)原式＝ tan２π１２－１ tan π１２ ＝ －２ １－tan２π１２( ) ２tan π１２ ＝－２􀅰 １ tan ２×π１２( ) ＝ －２ tan π６ ＝－２ ３． 变式训练 １．解析:(１)原式＝ ２sin π１２cos π １２ ２ ＝ sinπ６ ２ ＝ １ ４． (２)原式＝tan(２×１５０°)＝tan３００°＝tan(３６０°－６０°) ＝－tan６０°＝－ ３． (３)由３cos２α＝sin(π４－α ), 可得３cos２α＝ ２２ (cosα－sinα), 即３(cos２α－sin２α)＝ ２２ (cosα－sinα)． ∵α∈(π２ ,π),∴cosα－sinα≠０, ∴上式可化为sinα＋cosα＝ ２６ , 两边平方可得１＋sin２α＝１１８． ∴sin２α＝－１７１８． 答案:(１)１４　 (２)－ ３　(３)－１７１８ [例２]　[解]　sin２x－２sin ２x １＋tanx ＝２sinx (cosx－sinx)cosx cosx＋sinx ＝sin２x (cosx－sinx) cosx＋sinx ＝sin２x１－tanx１＋tanx ＝sin２xtan π４－x( ) ＝cos π２－２x( )tan π ４－x( ) ＝ ２cos２ π４－x( )－１[ ]tan π ４－x( ), 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１２１􀅰 参考答案 ∵５π４＜x＜ ７π ４ , ∴－３π２＜ π ４－x＜－π． 又∵cos π４－x( )＝－ ４ ５ , ∴sin π４－x( )＝ ３ ５ ,tan π４－x( )＝－ ３ ４． ∴原式＝ ２×１６２５－１( )× － ３ ４( )＝－ ２１ １００． 变式训练 ２．(１)解析:由sinα＝３５ ,且α是第二象限角,可得cosα＝ －４５ ,所以tanα＝－３４ , 所以tanβ＝tan[(α＋β)－α] ＝tan (α＋β)－tanα １＋tan(α＋β)tanα ＝ １－(－３４ ) １＋１×(－３４ ) ＝７, 所以tan２β＝ ２tanβ １－tan２β ＝－７２４． 答案:－７２４ (２)解析:∵０＜x＜π４ ,∴０＜π４－x＜ π ４． 又∵sin(π４－x )＝５１３ , ∴cos(π４－x )＝１２１３． ∵cos２x＝sin(π２－２x ) ＝２sin(π４－x )cos(π４－x ) ＝２cos[π２－ (π ４－x )]cos(π４－x ) ＝２cos(π４＋x )cos(π４－x ), ∴ cos２x cos(π４＋x ) ＝２cos(π４－x )＝２４１３． 答案:２４ １３ [例 ３]　 [解]　 (１)原 式 ＝ (１＋tanθ)－(１－tanθ) (１－tanθ)(１＋tanθ) ＝ ２tanθ １－tan２θ ＝tan２θ． (２)原式＝１＋２sin２αcos２α＋２cos ２２α－１ １＋２sin２αcos２α＋２sin２２α－１ ＝２cos ２２α＋２cos２αsin２α ２sin２２α＋２sin２αcos２α ＝２cos２α (cos２α＋sin２α) ２sin２α(sin２α＋cos２α) ＝ １tan２α． 变式训练 ３．证明:法一:左边＝ (１－cos４α)＋sin４α (１＋cos４α)＋sin４α ＝２sin ２２α＋２sin２αcos２α ２cos２２α＋２sin２αcos２α ＝２sin２α (sin２α＋cos２α) ２cos２α(sin２α＋cos２α)＝tan２α＝ 右边． 法二:左边＝１＋sin４α－ (１－２sin２２α) １＋sin４α＋(２cos２２α－１) ＝２sin２αcos２α＋２sin ２２α ２sin２αcos２α＋２cos２２α ＝２sin２α (sin２α＋cos２α) ２cos２α(sin２α＋cos２α)＝tan２α＝ 右边． 随堂步步夯实 １．B　[１－２sin２２２．５°＝cos(２×２２．５°) ＝cos４５°＝ ２２． ] ２．D　[函数f(x)＝sinxcosx＝１２sin２x , ∴f(x)min＝－ １ ２． ] ３．解析:原式＝cos２ π１２－sin ２ π １２＝cos π ６＝ ３ ２． 答案:３ ２ ４．解析:∵sinθ＝４５＞０ ,sinθcosθ＜０,∴cosθ＜０． ∴cosθ＝－ １－sin２θ＝－ ３５．∴sin２θ＝２sinθcosθ＝ －２４２５． 答案:－２４２５ ５．解:(１)tan α＋π４( )＝ tanα＋tan π４ １－tanαtan π４ ＝tanα＋１１－tanα ＝２＋１１－２＝－３． (２) sin２α sin２α＋sinαcosα－cos２α－１ ＝ ２sinαcosα sin２α＋sinαcosα－(２cos２α－１)－１ ＝ ２sinαcosα sin２α＋sinαcosα－２cos２α ＝ ２tanα tan２α＋tanα－２ ＝ ２×２ ２２＋２－２ ＝１ ８．２．４　三角恒等变换的应用 课前预习学案 情境引入 １．提示:根据倍角公式,sin２α＝１２ (１－cos２α), cos２α＝１２ (１＋cos２α),tan２α－１－cos２α１＋cos２α． ２．提示:sin２ α２＝ １ ２ (１－cosα),cos２ α２＝ １ ２ (１＋cosα),tan２ α ２＝ １－cosα １＋cosα． 知识梳理 知识点一、(１)１－cosα２ 　 １＋cosα ２ 　 １－cosα １＋cosα 知识点二、１．sinαcosβ±cosαsinβ　cosαcosβ∓sinαsinβ 　tanα±tanβ１∓tanαtanβ 　２．２sinαcosα　cos２α－sin２α　１－２sin２α 　２cos２－１　 ２tanα １－tan２α 　３．± １－cosα２ ± １＋cosα２ 　± １－cosα １＋cosα 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２２１􀅰 必修第三册　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　数学B