8.1 向量的数量积 8.1.1 向量数量积的概念 第2课时向量的投影与向量数量积的几何意义-【创新教程】2024-2025学年高中数学必修第三册五维课堂（人教B版2019）

必修第三册 数学B (2):BC与AC的夹角为G0°， 3.解析：由投影数量的概念知： .BC.AC=IBCIAClcos 60=1X1X= a·cos(a,b=3Xcos45°=3，y2 2 变式训练 4.解析：由题意，得AB=4,BC=4,CA=42、 答案3 所以AB·BC=4X4Xcos90°=0，BC·CA=4X42× 课堂互动学案 cos135°=-16，CA·AB=42×4×cos135°=-16. [例1][解](1)a·b=a1bcos0=5×4×cos120°= 答案：0-16-16 -10: 随堂步步夯实 (2)a在b上的投影数量为a·cos0=a:p=-10- b L.A[向量一a与一b的夹角和a与b的夹角相等， 为60°.] 2.A[a:b=2X2Xc0s至=2E,故选A.] 变式训练 1.解析：向量a,b的夹角0=60°， 3.解析：易知AB2=|BC2+CA12, 故b在a方向上的投影的数量为|bcos0=2cos60°=2X C-90.cosB ..cos(AB.BC)=cos(180"-B) 答案：1 [例2][解]：1la-|bl|≤a-b≤1a+lbl, ∴.1≤a-b≤7， :AB.B元=1AB1·1B元1cos(180°-B)=13X5× 即a一b的取值范图是[1,7门. (（)-26 变式训练 2.A[设a,b的夹角为0， 答案：-25 因为a·b=4b1cos0≥10， 4.解：(1)a∥b,若a与b同向，则0=0°，所以a·b=ab ·c0s0°=4×5×1=20： 所以1b≥1识司≥营 若a与b反向，则0=180°，所以a·b=|a·bcos180 由向量形式的三角不等式得， =4×5×(-1)=-20. a-2b1≥a-2b1=12b-41≥2，号-4=1.] (2)当aLb时，0=90°， 所以a·b=|a|bcos90°=0. [例3][解]如图，连接AD,因为AB (3)当a与b的夹角为30°时，a·b=a|bcos30°=4×5 =AC=4,∠BAC=90°，所以∠ABC ×910,原 是等腰直角三角形.又D是边BC的 中点，所以AD⊥BC,∠ABD=45,所 第2课时向量的投影与向量数量积的几何意义 以BD=22. 课前预习学案 延长AB到E,则AB与BD的夹角为∠DBE=180°-45 情境引入 =135 提示：是向量 (1)AB在BD方向上的投影的数量为|ABc0s135°=4X 知识梳理 知识点一、(1)向量AB(2)相同 |acos(a,b)0相反 ( =-22 -acos(a,b》 (2)BD在AB方向上的投影的数量为1BD1cOs135°=2，√② 知识点二、acos(a.b)数量非负数负数|acos(a, b)a在向量b上的投影的数量 ×( =-2. [思考 变式训练 提示：b在a方向上的投影|b·co50是个实数，可以是 3.D[向量b与a方向上的投影数量为|bcos9=4Xcos 正值，也可以是零或负值，因为它取决于两向量夹角的 大小 120°=-2.] 预习自测 随堂步步夯实 1.B [.lalcos(a,b)=2.Iblcos(a,b)=1,a.b=4=lall 1.A[根据投影数量的定义，设a,b的夹角为0，可得向量 bcos(a.b). a在b方向上的投影数量是acos0=aP=一4，故 b .a=4,b=2, 选A.] iosa,b》-8i治-2 41 2.B[设a与b的夹角为0， lalcos 0=2. (a,b)=号，故选B] .a·b=a bcos0=4×2=8.] 2.解析：b·a=a·b·cos0=5×6=30. 3.解析：由投影数量的定义知 答案：30 b·cos0=8×c0s60°=4. ·112· 参考答案 4.解析：由题意AB1·cos(AB,AC)=4Xcos60°=4× 代入①式得4+2a·b+9=16,即2a·b=3. 又，(a-b)2=a2-2a·b+b2=4-3+9=10. =2. ∴.a-b=1o. 答案：2 变式训练 5.解：a在e方向上的投影的数量为acos0. 当0=60时a在e方向上的投影的数量为acos60°=3： 2.解：由已知，ab=4×8×(-2）=-16, 当0=90时，a在e方向上的投影的数量为acos90=0: (1):|a+b12=a2+2a·b+b2 当0=120时，a在e方向上的投影的数量为acos120=一3. =16+2×(-16)+64=48, 8.1.2向量数量积的运算律 ∴.la+b=45. 课前预习学案 (2)14a-2b12=16a2-16a·b+4b2 情境引入 =16×16-16×(-16)+4×64=3×162 提示：a·b=b·a ∴.4a-2b=163. (a)b=a·(b)=A(a·b) [例3][解]由已知条件得 知识梳理 (a+3b)·(7a-5b)=0, 知识点一，a·c+b·ca·c-b·c {(a-4b)·(7a-2b)=0. 知识点二，a2+2a·b+b2a2-2a·b+b2a2-b2a2+ p7a+16a·b-156-0 ① b2+e2+2a·b+2b·c+2c·a {7a2-30a·b+8b2=0 ② ②-①得23b2-46a·b=0, [思考] ∴.2a·b=b2,代入①得a2=b2,.1a=|b, L,提示：不满足.因为在向量数量积的运算中，若a·b=a· c(a≠0)，则表示向量c,b在向量a方向上的投影相等，并 a·b 不能说明b=c. ".cos 0=- a1bb122 2.提示：向量的数量积运算不满足乘法结合律，即(a·b)c 不一定等于a(b·c),这是由于(a·b)c表示一个与c共 0e[0,小0= 线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a 变式训练 不一定共线 3解：a+b)1(a-2) 预习自测 1.B[:(a+b)⊥(a-b),∴.(a+b)·(a-b)=0,∴.la8 a+b:(a-2）-o -1b2=0..a=b.] 2.B[,|a-4b2=a2-8a·b+16b 即a2-3a -a·h-8=0, =22-8×2×1×cos60°+16×12=12， ,a2=a2=4,b2=b2=1, ∴.a-4b1=2w5.] 4-3os0-吾=0.∴cos0=2 3.解析：：(a+b)·a=a2+a·b=0,∴.a·b=-a2=-1, 又0∈[0，x]. 设a与b的夹角为0， a与b的夫角0为行 六cos0=ab1X2芝， [例4幻[解]由向量2e1+7e2与e1+e2的夹角0为钝 又0e[0…0-8 角：得m-+00 答案 .(2te1+7ee）·(e1+te2)<0. 课堂互动学案 化简得22+15十7<0，解得-7<1<- [例1][解](1)(2a-b)·(a+3b)=2a2+5a·b-3b 当夹角0为r时，也有(2e1+7e2)·(e1+e2)<0,但此时 =2a2+5alb1cos120°-3b12-8-15-27=-34. 夹角不是纯角。 (2A正.B成=(D+A)·(市-A=A市-专 设21e1+7e2=A(e1+1e2).入<0， 2t=: -14, 恋--1-×4-×2x1x=- 则7=1， √4故实数【的取值范国是 A<0, 2 变式训练 1.C[:AC.AB=AC1AB·cos∠A 〔-(》 A·A-2A2=2×6=18 变式训练 4.解：(1)a+b+c=0, 选C] ..a+b=-c...a+bl=lcl, [例2][解]由已知，la+b=4.∴.a+b12=4, .(a+b)2=c2,即a2+2a·b+b2=c2. a2+2a·b+b=16 ① ∴a…b=c2-a2-b 2 a=2.b=3, ∴.a2=a2=4,b2=b2=9, -lc12-a2-b12_49-9-25_ 2 2 2 ·113·(２)已知向量a,b满足|a|＝１,|b|＝４,且a􀅰b＝２, 则a与b的夹角θ＝ (　　) A．π６ B． π ４ C．π３ D． π ２ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　求向量的夹角的关键是计算a􀅰b 及|a||b|,在此基础上结合数量积的定义或性质 计算cosθ＝ a 􀅰b |a||b| ,最后借助θ∈[０,π],求出θ 值． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (１)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使 两个向量起点重合,作两个向量的夹角,按照“一 作二证三算”的步骤求出． (２)特别地,a与b的夹角为θ,λ１a与λ２b(λ１,λ２ 是 非零常数)的夹角为θ０,当λ１λ２＜０时,θ０＝１８０°－ θ;当λ１λ２＞０时,θ０＝θ． 􀳀[变式训练] ３．已知|a|＝９,|b|＝６ ２,a􀅰b＝－５４,则a与b 的 夹角θ为 (　　) A．４５°　　B．１３５°　　C．１２０°　　D．１５０° 　　　几何图形中数量积的计算 [例４]　已知正三角形ABC的边长为１,求: (１)AB→􀅰AC→;(２)BC→􀅰AC→． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　正确区分向量的夹角与三角形内角 的异同． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 若已知向量的模及其夹角,则直接利用公式a􀅰b ＝|a||b|cosθ． 运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹 角,条件是两向量的始点必须重合,否则,要通过 平移使两向量符合以上条件． 􀳀[变式训练] ４．在等腰直角三角形ABC 中,AB＝BC＝４,则AB→􀅰 BC→＝　　　　,BC→􀅰CA→＝　　　　,CA→􀅰AB→＝ 　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．若向量a与b的夹角为６０°,则向量－a与－b的夹 角是 (　　) A．６０°　　B．１２０°　　C．３０°　　　D．１５０° ２．已知|a|＝２,|b|＝２,a与b的夹角为π４ ,则a􀅰b＝ (　　) A．２ ２ B．２ C．２ D．３ ３．在△ABC中,|AB→|＝１３,|BC→|＝５,|CA→|＝１２,则 AB→􀅰BC→的值是　　　　． ４．已知|a|＝４,|b|＝５,当(１)a∥b,(２)a⊥b,(３)a与 b的夹角为３０°时,分别求a与b的数量积． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第２课时　向量的投影与向量数量积的几何意义 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．掌握数量的定义,理解平面向量数量积的几何意义 ２．理解投影的概念 通过学习平面向量数量积的几何意义及投影, 重点培养学生的数学抽象和数学运算素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　投影是构建高维和低维空间联系的桥梁,体现数 学本质． 向量在直线l上的投影还是向量吗? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８５􀅰 必修第三册　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　数学B [知识梳理] [知识点一]　投影的概念 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 (１)如图所示,设非零向量AB→＝a,过A,B 分别作直 线l的垂线,垂足分别为A′,B′,则称　　　　为 向量a在直线l上的投影向量或投影． 类似地,给定平面上的一个非零向量b,设b所在 的直线为l,则a在直线l上的投影称为a 在向量 b上的投影．如图中,向量a在向量b 上的投影为 A′B′→．可以看出,一个向量在一个非零向量上的投 影,一定与这个非零向量共线,但它们的方向既有 可能相同,也有可能相反． (２)如图①②③所示． ①当‹a,b›＜π２ 时,A′B′→的方向与b的方向　　　　, 而且|A′B′→|＝　　　　; ②当‹a,b›＝π２ 时,A′B′→为零向量,即|A′B′→|＝　 　　; ③当‹a,b›＞π２ 时,A′B′→的方向与b的方向　　　　, 而且|A′B′→|＝　　　　　． [知识点二]　数量积的几何意义 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋一般地,如果a,b都是非零向量,则称　　　　　 为向量a在向量b上的投影的　　　　,投影的数 量与投影的长度有关,但是投影的数量既可能是　 　　　,也可能是　　　　． 因为a􀅰b＝|a||b|cos‹a,b›＝　　　　　|b|,所 以两个非零向量a,b的数量积a􀅰b,等于　　　　 　　　　　与b的模的乘积,这就是两个向量数量 积的几何意义． 特别地,当e为单位向量时,因为|e|＝１,所以a􀅰e ＝|a|cos‹a,e›, 即任意向量与单位向量的数量积,等于这个向量在 单位向量e上的投影的数量． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 b在a 方向上的投影数量一定是正数吗? [预习自测] １．设a􀅰b＝４,若a在b 方向上的投影为２,且b在a 方向上的投影为１,则a与b的夹角等于 (　　) A．π６　　　　　　B． π ３ C．π３ D． π ３ 或２π ３ ２．已知|a|＝５,b 在a 上的投影数量为６,则b􀅰a ＝　　　　． ３．若|a|＝３,|b|＝５且‹a,b›＝４５°,则a在b 上的投 影的数量为　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　向量数量积的几何意义 [例１]　已知|a|＝５,|b|＝４,a与b的夹角θ＝１２０°． (１)求a􀅰b; (２)求a在b上的投影的数量． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[思路点拨]　利用投影的定义求解． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影数 量等于|a|cosθ(θ为向量a,b的夹角),即该投影 数量与b的模无关,故任意的非零向量在单位向 量上的投影数量与该单位向量的模无关． 􀳀[变式训练] １．已知向量a,b满足|b|＝２,a与b 的夹角为６０°,则 b在a 方向上的投影数量是　　　　． 　　　与向量的模有关的问题 [例２]　已知|a|＝３,|b|＝４,求|a－b|的取值范围． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[思路点拨]　|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 运用向量不等式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|,注 意等号成立的条件． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９５􀅰 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 􀳀[变式训练] ２．已知向量a,b满足|a|＝４,|a􀅰b|≥１０,则|a－２b| 的最小值是 (　　) A．１　　B．２　　C．３　　D．４ 　　　投影问题 [例３]　如图,在△ABC 中,AB＝AC ＝４,∠BAC＝９０,D 是边BC 的中 点,求: (１)AB→在BD→方向上的投影的数量; (２)BD→的AB→方向上的投影的数量． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　注意a在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影的区别． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 求投影数量有两种方法 (１)b在a 方向上的投影数量为|b|cosθ(θ为a,b 的夹角),a在b方向上的投影数量为|a|cosθ． (２)b在a 方向上的投影数量为a 􀅰b |a| ,a在b 方向 上的投影数量为a􀅰b |b|． 􀳀[变式训练] ３．已知|a|＝８,|b|＝４,a与b 的夹角为１２０°,则向量 b在a 方向上的投影数量为 (　　) A．４　　B．－４　　C．２　　D．－２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．已知|a|＝６,|b|＝３,a􀅰b＝－１２,则向量a在向量 b方向上的投影数量是 (　　) A．－４　　B．４　　C．－２　　D．２ ２．已知|b|＝４,a在b方向上的投影数量为２,则a􀅰b 的值为 (　　) A．７ B．８ C．９ D．６ ３．已知|a|＝６,|b|＝８,且‹a,b›＝６０°,则b在a 方向 上的投影数量为　　　　． ４．已知△ABC是边长为４的等边三角形,则AB→在AC→ 上的投影数量为　　　　． ５．已知|a|＝６,e为单位向量,当它们之间的夹角θ分 别等于６０°,９０°,１２０°时,求出a在e方向上的投影 的数量． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８．１．２　向量数量积的运算律 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式 ２．会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明 通过引入平面向量数量积的运算律,体会数学 抽象及数学运算素养的生成过程 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀅰０６􀅰 必修第三册　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　数学B