7.4 数学建模活动：周期现象的描述-【创新教程】2024-2025学年高中数学必修第三册五维课堂（人教B版2019）

􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (１)方程y＝sinx＝a,|a|≤１的解集可写为{x|x ＝２kπ＋arcsina,或(２k＋１)π－arcsina,k∈ Z},也可化简为{x|x＝kπ＋(－１)karcsina,k ∈Z}． (２)方程cosx＝a,|a|≤１的解集可写成{x|x＝ ２kπ±arccosa,k∈Z}． (３)方程tanx＝a,a∈R 的解集为{x|x＝kπ＋ arctana,k∈Z}． 􀳀[变式训练] ４．(１)已知sinx＝１３ ,求x的值． (２)已知tanα＝－２,α∈(０,２π),求α的值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．下列叙述错误的是 (　　) A．arctany表示一个 －π２ ,π ２ æ è ç ö ø ÷内的角 B．若x＝arcsiny,|y|≤１,则sinx＝y C．若tanx２＝y ,则x＝２arctany D．arcsiny,arccosy中的y∈[－１,１] ２．已知sin２x＋π４ æ è ç ö ø ÷＝－ ２２ ,x∈ －π２ ,π ２ æ è ç ö ø ÷,则x 的 值为 (　　) A．π４　　　　　　B．－ π ４ C．－π４ 或π ４ D．－ π ４ 或π ６ ３．已知cosx－π１２ æ è ç ö ø ÷＝－２２ ,x∈(－π,π),则x＝　　　　． ４．已知tanx＝１２ ,且x∈(０,２π),则x＝　　　　． ５．已知sinα２＝－ ３ ２ ,且α是第二象限的角,求角α． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７．４　数学建模活动:周期现象的描述 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．会用三角函数解决简单的实际问题 ２．体会利用三角函数构建事物周期变化的数学模型 通过实际问题,构建三角函数数学模型,重点提 升学生的数学抽象、数学运算和数学建模素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　温州市区著名景点———江心 屿,江心屿上面有座寺庙———江心 寺,在江心寺中题了一副非常知名 的对联．上联是:云朝朝 朝朝朝 朝 朝朝散;下联是:潮长长　长长长 　长长长消．该对联巧妙地运用了叠字诗展现了瓯江 潮水涨落的壮阔画面．下面是瓯江江心屿码头在某年 某个季节每天的时间与水深的关系表: 时间 ０ １ ３ ６ ８ ９ １２ １５ １８ ２１ ２４ 水深 ６ ６．２５７．５ ５ ２．８４２．５ ５ ７．５ ５ ２．５ ５ [问题]　仔细观察表中的数据,你能从中得到一些什 么信息? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９４􀅰 第七章　三角函数 [知识梳理] [知识点一]　三角函数的应用 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋１．三角函数模型的作用 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数 学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化 规律、预测未来等方面发挥重要作用． ２．用函数模型解决实际问题的一般步骤 收集数据→画散点图→选择函数模型→求解函数 模型→检验． [知识点二]　函数y＝Asin(ωx＋φ),A＞０,ω＞０中􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋参数的物理意义 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 y＝Asin(ωx＋φ), A ＞０,ω＞０ 振幅是　　　 ← 周期T ＝ 　　 ← 频率f＝ １T ＝ 　　 ← 　　　 是相位→ 当x＝０时的相 位　　 称为初相→ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 在建模过程中,散点图的作用是什么? [知识点三]　四类周期现象模型 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋(１)潮汐现象模型 潮汐现象可以用函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈[０,＋∞), A＞０,ω＞０),来表示． (２)单摆弹簧等简谐振动模型 单摆、弹簧等简谐振动可以用三角函数表达为y ＝Asin(ωx＋φ),其中x表示时间,y表示位移,A 表示振幅,|ω| ２π 表示频率,φ表示初相位． (３)音叉发出的纯音振动模型 音叉发出的纯音振动可以用三角函数表达为y＝ Asinωx,其中x 表示时间,y 表示纯音振动时音 叉的位移,|ω| ２π 表示纯音振动的频率(对应音高), A 表示纯音振动的振幅(对应音强)． (４)交变电流模型 交变电流可以用三角函数表达为y＝Asin(ωx＋φ), 其中x表示时间,y 表示电流,A 表示最大电流, |ω| ２π 表示频率,φ表示初相位． [预习自测] １．弹簧振子的振幅为２cm,在６s内振子通过路程是 ３２cm,由此可知该振子振动的 (　　) A．频率为１．５Hz　　　　　B．周期为１．５s C．周期为６s D．频率为６Hz ２．如图是一向右传播的绳波在某 一时刻绳子上各点的位置图,经 过１ ２ 周期后,乙的位置将移至 (　　) A．x轴上 B．最低点 C．最高点 D．不确定 ３．函数y＝３sin(１２x－ π ６ )的初相为　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　由模型图像解决问题 [例１]　已知电流I与时间t的 关系为I＝Asin(ωt＋φ)． (１)如图所示的是I＝Asin(ωt ＋φ)ω＞０,|φ|＜ π ２ æ è ç ö ø ÷ 在 一 个 周期内的图像,根据图中数据求I＝Asin(ωt＋φ)的 解析式; (２)如果t在任意一段 １１５０ 的 时 间 内,电 流I＝ Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值,那么ω 的 最小正整数值是多少? 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[思路点拨]　根据图像写出解析式,然后求最值． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．已知三角函数图像解决应用问题,首先由图像 确定三角函数的解析式,其关键是确定参数A, ω,φ,同时在解题中注意各个参数的取值范围． ２．处理物理学问题的策略 (１)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械 波等,其共同的特点是具有周期性． (２)明确物理概念的意义,此类问题往往涉及诸如 频率、振幅等概念,因此要熟知其意义并与对 应的三角函数知识结合解题． 􀳀[变式训练] １．如图所示,某地一天６~１４时的温度变化曲线可以 近似看作函数y＝Asin(ωt＋φ)＋b的部分图像,其 中A＞０,０＜φ＜π． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０５􀅰 必修第三册　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　数学B (１)求这一天的最大温度差; (２)写出这段曲线的函数解析式． 　　　由模型解析式解决问题 [例２]　一根细线的一端固定,另一端悬挂一个小 球,当小球来回摆动时,离开平衡位置的位移s(单 位:cm)与 时 间t(单 位:s)的 函 数 关 系 是s＝ ６sin２πt＋π６ æ è ç ö ø ÷． (１)画出它的图像; (２)回答以下问题: ①小球开始摆动(即t＝０)时,离开平衡位置是 多少? ②小球摆动时,离开平衡位置的最大距离是多少? ③小球来回摆一次需要多少时间? 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[思路点拨]　根据图像研究物体的变化规律． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 在物理学中,当物体做简谐运动时,可以用正弦型 函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞０)来表示运动的位移 y随时间x 的变化规律,其中: (１)A 称为简谐运动的振幅,它表示物体运动时离 开平衡位置的最大位移; (２)T＝２πω 称为简谐运动的周期,它表示物体往复 运动一次所需的时间; (３)f＝１T＝ ω ２π 称为简谐运动的频率,它表示单位 时间内物体往复运动的次数． 􀳀[变式训练] ２．交流电的电压E(单位:伏)与时间t(单位:秒)的关 系可用E＝２２０ ３sin(１００πt＋π６ )来表示,求: (１)开始时的电压; (２)电压的最大值和第一次获得这个最大值的 时间． 　　　确定模型解决问题 [例３]　下表是某地某年月平均气温(华氏): 月份 １ ２ ３ ４ ５ ６ 平均气温 ２１．４２６．０３６．０４８．８５９．１ ６８．６ 月份 ７ ８ ９ １０ １１ １２ 平均气温 ７３．０７１．９６４．７５３．５３９．８ ２７．７ 以月份为x轴(x＝月份－１),以平均气温为y轴． (１)描点作图,用正弦曲线去拟合这些数据; (２)估计这个正弦曲线的周期T 和振幅A; (３)下面三个函数模型中.哪一个最适合这些 数据? ①yA＝cos πx ６ ;②y－４６A ＝cos πx ６ ; ③y－４６－A ＝cos πx ６． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　画出散点图,进行函数拟合,选择正 确的模型求解． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１５􀅰 第七章　三角函数 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．根据收集的数据,先画出相应的“散点图”,观察散 点图,然后进行函数拟合获得具体的函数模型,然 后利用这个模型解决实际问题． ２．解三角函数应用问题的基本步骤 审清题意 读懂题目中的“文字”“图像”“符号” 等语言,理解所反映的实际问题的 背景,得出相应的数学问题 → 建立函数 模型 ↓ 整理数据,引入变量,找出变化规律, 运用已掌握的三角函数知识、物理 知识及其他相关知识建立关系式,即 建立三角函数模型 → 解答函数 模型 ↓ 利用所学的三角函数知识解答得到 的三角函数模型,求得结果→ 得出结论 ↓ 将所得结论翻译成实际问题的答案→ 􀳀[变式训练] ３．某港口相邻两次高潮发生的时间间隔为１２h２０min, 低潮时入口处水的深度为２．８m,高潮时为８．４m, 已知一次高潮发生在１０月３日２:００． (１)若从１０月３日０:００开始计算时间,选用一个 三角函数模型来近似描述这个港口入口处的水深 d(m)和时间t(h)之间的函数关系; (２)求出１０月４日１５:００入口处水的深度． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．如图,某港口一天６时到１８时的水深变化曲线近 似满足函数y＝３sin(π６x＋φ )＋k．据此函数可知, 这段时间水深(单位:m)的最大值为 (　　) A．５　　B．６　　C．８　　D．１０ ２．弹簧上挂的小球做上下振动,它在时间t(s)时离开平 衡位置的位移s(cm)满足函数关系式s＝２sin(t＋π４ ), 给出下列三种说法:①小球开始时在平衡位置上方 ２cm处;②小球下降到最低点时在平衡位置下方 ２cm处;③经过２πs小球重复振动一次,其中正确 的说法是 (　　) A．①②　　　　　　　B．②③ C．①③ D．①②③ ３．如图是一半径为３m的水轮,水轮圆心O 距离水面 ２m,已知水轮１min旋转４圈,水轮上的点P 到水 面距离y(m)与时间x(s)满足的函数关系y＝ Asin(ωx＋φ)＋２,则有 (　　) A．ω＝２π１５ ,A＝３ B．ω＝１５２π ,A＝３ C．ω＝２π１５ ,A＝５ D．ω＝１５２π ,A＝５ ４．已知一弹簧振子的位移y 与时间t的函数关系式 为y＝Asin(ωt＋φ)(A＞０,ω＞０),若已知此振子的 振幅为３,周期为２π７ ,初相为π ６ ,则这个函数的解析 式为　　　　． ５．通常情况下,同一地区一天的温度随时间变化的曲 线接近函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图像．某年２月 下旬某地区连续几天最高温度都出现在１４时,最 高温度为１４℃;最低温度出现在凌晨２时,最低温 度为零下２℃． (１)求出该地区该时段的温度函数y＝Asin(ωx＋φ)＋ b(A＞０,ω＞０,|φ|＜π,x∈[０,２４))的表达式; (２)２９日上午９时某高中将举行期未考试,如果温 度低于１０℃,教室就要开空调,请问届时学校后勤 应该开空调吗? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２５􀅰 必修第三册　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　数学B 变式训练 ３．A　 [由 题 意 得 tanx＋１≥０, １－tanx＞０,{ 即 －１≤tanx＜１,在 －π２ ,π ２( ) 内,满 足 上 述 不 等 式 的 x 的 取 值 范 围 是 －π４ ,π ４[ ),又y＝tanx的周期为π,所以所求函数的定 义域为 kπ－π４ ,kπ＋π４[ ),k∈Z．] [例４]　[解]　由余弦函数在[０,π]上是减函数和cosα＝ －１５ 可 知,在 [０,π]内 符 合 条 件 的 角 有 且 只 有 一 个 arccos －１５( ), 即arccos －１５( )∈[０,π]． ∵cosα＝－１５＜０ , ∴arccos －１５( )∈ π ２ ,π[ ]． ∴０＜π－arccos －１５( )＜ π ２． ∴π＜π＋π－arccos －１５( )＜ ３π ２ , 即π＜２π－arccos －１５( )＜ ３π ２． 由于cos２π－α( )＝cosα＝－１５ , ∴α＝２π－arccos －１５( )． 变式训练 ４．解:(１)∵x∈ －π２ ,π ２[ ] 时,sinx＝ １ ３ ,∴x＝arcsin１３． ∴当x∈R时,x＝arcsin１３＋２kπ 或x＝π－arcsin１３＋２kπ , k∈Z． (２)设β∈ － π ２ ,π ２( ),且tanβ＝－２, ∴β＝arctan(－２), ∴α＝β＋kπ＝arctan(－２)＋kπ,k∈Z, 又α∈(０,２π), ∴α＝arctan(－２)＋π或arctan(－２)＋２π． 随堂步步夯实 １．C ２．B　[由题意得,２x＋π４＝ ５π ４＋２kπ 或２x＋π４＝ ７π ４＋２kπ , k∈Z, 解得x＝π２＋kπ 或x＝３π４＋kπ ,k∈Z, 又∵x∈ －π２ ,π ２( ),∴x＝－ π ４． ] ３．解析:在(０,２π)内,cos３π４＝cos ５π ４＝－ ２ ２ , ∴x－π１２＝ ３π ４＋２kπ 或x－π１２＝ ５π ４＋２kπ ,k∈Z, ∴x＝５π６＋２kπ 或x＝４π３＋２kπ ,k∈Z, 又x∈(－π,π),∴x＝－２π３ 或５π ６． 答案:－２π３ 或５π ６ ４．解析:∵tanx＝１２ ,∴x∈(０,π)时,x＝arctan１２． 所以x∈(π,２π)时,x＝π＋arctan１２． 答案:arctan１２ 或π＋arctan１２ ５．解:∵α是第二象限的角, ∴α２ 是第一或第三象限的角． ∵sinα２＝－ ３ ２＜０ ,∴α２ 是第三象限的角, 在[０,２π]内找到满足条件的α２ , ∵sinπ３＝ ３ ２ , ∴在[０,２π]内满足条件的角α２＝π＋ π ３＝ ４π ３． ∴所以满足条件的α２＝２kπ＋ ４π ３ (k∈Z), 即α＝４kπ＋８π３ (k∈Z)． ７．４　数学建模活动:周期现象的描述 课前预习学案 情境引入 　提示　水深随时间的变化呈周期性变化． 知识梳理 知识点二、A　２πω　 ω ２π　ωx＋φ　φ　 [思考] 　提示:利用散点图可以较为直观地分析两个变量之间的 某种关系,然后利用这种关系选择一种合适的函数去拟 合这些散点,从而避免因盲目选择函数模型而造成的不 必要的失误． 预习自测 １．B　[振幅为２cm,振子在一个周期内通过的路程为８cm,易 知在６s内振动了４个周期,所以T＝１．５s．] ２．C　[相邻的最大值与最小值之间间隔半个周期,故乙移 至最高点．] ３．－π６ 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)由题图可知A＝３００, 设t１＝－ １ ９００ ,t２＝ １ １８０ , 则周期T＝２(t２－t１)＝２ １ １８０＋ １ ９００( )＝ １ ７５． ∴ω＝２πT＝１５０π． 又当t＝ １１８０ 时,I＝０, 即sin(１５０π􀅰 １１８０＋φ )＝０, 而|φ|＜ π ２ ,∴φ＝ π ６． 故所求的解析式为I＝３００sin(１５０πt＋π６ )． (２)依题意知,周期T≤ １１５０ ,即２π ω≤ １ １５０ (ω＞０), ∴ω≥３００π＞９４２,又ω∈N＋, 故所求最小正整数ω＝９４３． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８０１􀅰 必修第三册　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　数学B 变式训练 １．解析:(１)由题图可知,这段时间的最大温度差是２０℃． (２)从题图中可看出,６~１４时的图像是函数的半个周期 的图像． 由y＝Asin(ωt＋φ)＋b, 得A＝３０－１０２ ＝１０ ,b＝３０＋１０２ ＝２０． ∵１２ 􀅰２π ω＝１４－６ , ∴ω＝π８． 将t＝６,y＝１０代入 y＝１０sin(π８t＋φ )＋２０, 解得φ＝ ３π ４． 综上,这段曲线的函数解析式为 y＝１０sin(π８t＋ ３π ４ )＋２０,t∈[６,１４]． [例２]　[解]　(１)周期T＝２π２π＝１ (s)． 列表． t ０ １６ ５ １２ ２ ３ １１ １２ １ ２πt＋π６ π ６ π ２ π ３π ２ ２π ２π＋ π ６ ６sin ２πt＋π６( ) ３ ６ ０ －６ ０ ３ 作图,如图所示． (２)①小球开始摆动(即t＝０)时,离开平衡位置为３cm． ②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是６cm． ③小球来回摆动一次需要１s(即周期)． 变式训练 ２．解:(１)当t＝０时,E＝２２０ ３sinπ６＝１１０ ３ (伏), 即开始时的电压为１１０ ３伏． (２)电压的最大值为２２０ ３伏, 当１００πt＋ π６ ＝ π ２ ,即t＝ １３００ 秒 时 第 一 次 获 得 这 个 最 大值． [例３]　[解]　(１)如图． (２)最低气温为１月份２１．４,最高气温为７月份７３．０, 故T ２＝７－１＝６ ,所以T＝１２． 因为２A 的值等于最高气温与最低气温的差,即２A＝７３． ０－２１．４＝５１．６,所以A＝２５．８． (３)因为x＝月份－１, 所以不妨取x＝２－１＝１,y＝２６．０． 代入①得yA ＝ ２６．０ ２５．８＞１≠cos π ６ ,故①不适合． 代入②得y－４６A ＝ ２６．０－４６ ２５．８ ＜０≠cos π ６ ,故②不适合． 所以应选③． 变式训练 ３．解析:(１)设此三角函数模型是d＝Asin(ωt＋φ)＋b(t≥ ０),根据题意可知周期T＝３７３ (h)． 所以ω＝２πT ＝ ６π ３７ ,A＝ dmax－dmin ２ ＝ ８．４－２．８ ２ ＝２．８ ,b＝ dmax＋dmin ２ ＝ ８．４＋２．８ ２ ＝５．６． 所以d＝２．８sin(６π３７t＋φ )＋５．６(t≥０),又因为当t＝２时, d取得最大值,所以２．８sin(１２π３７＋φ )＋５．６＝８．４, 所以可取φ＝ １３π ７４ , 所以d＝２．８sin(６π３７t＋ １３π ７４ )＋５．６(t≥o)． (２)１０月４日１５:００相当于t＝３９,此时入口处水的深度d ＝２．８sin(６π３７×３９＋ １３π ７４ )＋５．６＝８．４(米)． 随堂步步夯实 １．C　[根据图像得函数的最小值为２, 有－３＋k＝２,k＝５,最大值为３＋k＝８．] ２．D　[当t＝０时,s＝２sin(０＋π４ )＝ ２,故①正确;smin＝－ ２,故②正确:函数的最小正周期T＝２π,故③正确．] ３．A　[由题目可知y的最大值为５,所以５＝A×１＋２,得A ＝３,由于T＝１５,所以ω＝２π１５． ] ４．解析:依题意,A＝３,ω＝２π２π ７ ＝７,φ＝ π ６ ,∴函数解析式为y ＝３sin(７t＋π６ ),t∈[０,＋∞)． 答案:y＝３sin(７t＋π６ ),t∈[０,＋∞) ５．解:(１)由题意知 A＋b＝１４ , －A＋b＝－２,{ 解得 A＝８, b＝６,{ 易知T ２＝１４－２ ,所以T＝２４,所以ω＝π１２ , 易知８sin(π１２×２＋φ )＋６＝－２, 即sin(π１２×２＋φ )＝－１, 故π １２×２＋φ＝－ π ２＋２kπ ,k∈Z, 又|φ|＜π,得φ＝－ ２π ３ , 所以y＝８sin π１２x－ ２π ３( )＋６(x∈[０,２４))． (２)当x＝９时,y＝８sin π１２×９－ ２π ３( )＋６ ＝８sinπ１２＋６＜８sin π ６＋６＝１０． 所以届时学校后勤应该开空调． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９０１􀅰 参考答案