7.3 三角函数的性质与图像 7.3.4 正切函数的性质与图-【创新教程】2024-2025学年高中数学必修第三册五维课堂（人教B版2019）

１．函数f(x)＝sinx＋π４ æ è ç ö ø ÷图象的一条对称轴方程为 (　　) A．x＝－π４　　　　　　　B．x＝ π ４ C．x＝π２ D．x＝π ２．下列函数中,在 π４ ,π ２[ ]上为减函数的是 (　　) A．y＝cos２x＋π３ æ è ç ö ø ÷　　　　B．y＝cos２x＋π４ æ è ç ö ø ÷ C．y＝cosx－π３ æ è ç ö ø ÷ D．y＝cosx＋π６ æ è ç ö ø ÷ ３．设a＝cosπ１２ ,b＝sin４１π６ ,c＝cos７π４ ,则 (　　) A．a＞c＞b B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．b＞c＞a ４．函数y＝２cos ２x＋π６ æ è ç ö ø ÷ x∈ －π６ ,π ４[ ] æ è ç ö ø ÷ 的值 域 为　　　． ５．已知函数f(x)＝２cos(２x＋φ),φ∈ ０, π ２ æ è ç ö ø ÷,且 f(x)的图像关于x＝３π８ 对称． (１)求f(x); (２)若x∈[０,π],求f(x)的减区间; (３)画出f(x)在一个周期上的简图． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７．３．４　正切函数的性质与图像 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．能够借助单位圆中的正切线画出函数y＝tanx的图像 ２．掌握正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性． 并能利用其性质解决相关问题 通过正切函数图像和性质的学习培养学生数学 直观想象和数学运算素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　孔子东游,见两小儿辩斗,问其故．一儿曰:“日初 出沧沧凉凉,及其日中如探汤,此不为近者热而远者 凉乎?”事实上,中午的气温较早晨高,主要原因是早 晨太阳斜射大地,中午太阳直射大地．在相同的时间、 相等的面积里,物体在直射状态下比在斜射状态下吸 收的热量多,这就涉及太阳光和地面的角度问题． 那么这与正切函数的性质与图像有什么联系呢? １．仿照利用正弦线作正弦曲线的作法,你能作出正切 函数的图像吗? ２．你还有其它方法吗? [知识梳理] [知识点一]　正切函数 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　对于任意一个角x,只要　　　　　．就有　　　 　确定的正切值tanx与之对应,因此y＝tanx是 一个函数,称为正切函数． [知识点二]　正切函数的图像与性质 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 解析式 y＝tanx 图像 定义域 {x|x≠π２＋kπ ,k∈Z} 值域 R 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３４􀅰 第七章　三角函数 最小 正周期 　　　　 奇偶性 奇函数 单调性 在开区间　　　　　 上都是增函数 对称性 对称中心　　　　　 零点 kπ,k∈Z 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．正切曲线是中心对称图形吗? 若是,对称 中心是什么? 是轴对称图形吗? ２．正切函数在定义域上是单调函数吗? 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋３．如何画正切函数的简图? [预习自测] １．函数y＝tan(x－π４ )的单调递增区间是　　　　． ２．函数y＝tan(x＋π)是 (　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 ３．函数y＝tanx＋π４ æ è ç ö ø ÷的定义域是 (　　) A．x x≠－π４}{ 　　　　B．x x≠ π ４}{ C．xx≠kπ－π４ ,k∈Z}{ D．xx≠kπ＋π４,k∈Z}{ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　与正切函数有关的定义域、值域问题 [例１](１)求函数y＝ tanx＋１＋lg(１－tanx)的定 义域; (２)求函数y＝tan ２x＋π６ æ è ç ö ø ÷,x∈ －５π２４ ,π １２ æ è ç ] 的 值域． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　(１)先列不等式组,然后借助正切函 数的图像与性质解不等式;(２)令z＝２x＋π６ ,转 化为求tanz的值域． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．求正切函数定义域的方法 求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求 函数定义域的一般要求外,还要保证正切函数 y＝tanx有意义,即x≠π２＋kπ ,k∈Z,而对于 构建的三角不等式,常利用三角函数的图像求 解．解形如tanx＞a的不等式的步骤: 作图像 作在(－ π２ ,π ２ )上的正切函数图像→ 求界点 ↓ 求在(－ π２ ,π ２ )上使tanx＝a成立的x值→ 求范围 ↓ 求在(－ π２ ,π ２ )上使tanx＞a成立的x的范围→ 定义域 ↓ 据正切函数的周期性,写出定义域→ ２．求正切函数的值域的方法 ①结合图像． ②利用单调性． ③在复杂情况下,利用换元法,设t＝ωx＋φ, 再求解． 􀳀[变式训练] １．(１)函数y＝ln(tanx)的定义域　　　　; (２)函 数 y ＝tan２x －２tanx ＋３ 的 最 小 值 为　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４４􀅰 必修第三册　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　数学B 　　　与正切函数有关的函数单调性问题 [例２](１)求函数y＝tan －１２x＋ π ４ æ è ç ö ø ÷的单调区间; (２)比较tan１、tan２、tan３的大小． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　 解 答 (１)时 先 将 函 数 化 为 y＝ －tan １２x－ π ４ æ è ç ö ø ÷,再 把 １ ２ x － π ４ 整 体 代 入 －π２＋kπ ,π ２＋kπ æ è ç ö ø ÷,k∈Z这个区间内,解出x便 可．解答(２)的关键是利用tan２＝tan(２－π),tan３＝ tan(３－π),把角化归到同一单调区间内,再利用 y＝tanx在 －π２ ,π ２ æ è ç ö ø ÷上的单调性判断其大小关 系． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A,ω,φ都是常数)的 单调区间的方法 (１)若ω＞０,由于y＝tanx在每一个单调区间 上都是增函数,故可用“整体代换”的思想, 令kπ－π２＜ωx＋φ＜kπ＋ π ２ ,k∈Z,求得x 的范围即可． (２)若ω＜０,可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx ＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－ Atan(－ωx－φ),即把x 的系数化为正值, 再利用“整体代换”的思想,求得x 的范围 即可． ２．运用正切函数单调性比较大小的方法 (１)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同 一单调区间内． (２)运用单调性比较大小关系． 􀳀[变式训练] ２．求函数y＝３tan π６－ x ４ æ è ç ö ø ÷的单调区间． 　　　与正切函数有关的周期性、奇偶性问题 [例３](１)求f(x)＝tan２x＋π３ æ è ç ö ø ÷的周期; (２)判断y＝sinx＋tanx的奇偶性． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　(１)利用公式法或定义法求函数的 周期;(２)利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶 性． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (１)一般地,函数y＝Atan(ωx＋φ)＋b(A≠０,ω＞ ０)的周期为T＝πω ,常常使用此公式来求周期． (２)判断奇偶性一定要先求定义域,判断其是否关 于原点对称．若不对称,则函数无奇偶性,若对称, 再判断f(－x)与f(x)间的关系． 􀳀[变式训练] ３．已知函数y＝tan(ωx＋π４ )(ω＜０)的周期为π２ ,求 该函数的定义域、值域．并判断函数的奇偶性． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５４􀅰 第七章　三角函数 １．下列说法正确的是 (　　) A．y＝tanx是增函数 B．y＝tanx在第一象限是增函数 C．y＝tanx在某一区间上是减函数 D．y＝tanx在区间(kπ－π２ ,kπ＋π２ )(k∈Z)上是 增函数 ２．函数y＝tan(x＋π３ )的定义域是 (　　) A．{x|x∈R且x≠kπ＋π６ ,k∈Z} B．{x|x∈R且x≠kπ－π６ ,k∈Z} C．{x|x∈R且x≠２kπ＋π６ ,k∈Z} D．{x|x∈R且x≠２kπ－π６ ,k∈Z} ３．关于函数y＝tan(２x－π３ ),下列说法正确的是 (　　) A．是奇函数 B．在区间(０,π３ )上单调递减 C．(π６ ,０)为图像的一个对称中心 D．最小正周期为π ４．函数y＝２tan３x＋π４ æ è ç ö ø ÷－５的单调递增区间是　　　　． ５．求函数y＝tan π３x＋ π ４ æ è ç ö ø ÷ 的定义域、周期、单调区 间和对称中心． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７．３．５　已知三角函数值求角 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．掌握已知三角函数值求角的步骤和方法 ２．了解符号arcsinx,arccosx,arctanx 的含义,并能用这 些符号表示非特殊角 通过知值求角提升数学运算及数学抽象素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　大海中航行需要正确地 计算航行的方向,需要掌握包 括三角函数在内的广泛的数 学知识． [问题]　已知sinx＝ ３２ ,你能求出满足条件的角 x吗? [知识梳理] [知识点一]　已知正弦值求角 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋(１)方法１———利用三角函数线 以射线OP 与OP′为终边的角构成sinx＝a 的 解集． 终边在图中阴影部分(不含边界) 的角构成sinx＜a的解集,终边 在空白部分(不含边界)的角构成 sinx＞a的解集． (２)方法２———利用三角函数图像 ①交点P 与P′的横坐标为[０,２π]内使sinx＝a 成立的x 的值,即为sinx＝a在[０,２π]上的解． ②曲线上加粗部分(不含边 界)对应的x值构成sinx＜ a在[０,２π]上的解集;其余 部分(不含边界)对应的x值 构成sinx＞a 在[０,２π]上 的解集． ③结合正弦函数的周期性把①②中的解集扩展到 整个定义域内． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６４􀅰 必修第三册　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　数学B 参考答案 [当xE [,]时,[5,2-],# 2.D 知识梳理 知识点一、x十&,kEz 唯一 .ycosx在[o.x上递减. 所以y-co(+)在[,]上逃减。] [思考] #-oo,因为→→,且y-cos在 1.提示:y-tanx是中心对称图形,对称中心为(,0)(k 乙),不是轴对称图形。 (0,x)上是单调递减函数,所以a>c>b.] 2.提示:不是,正切函数在每一个单调区间(一十kr,} 4.解析::[-] #一 十)(一Z)内都是增函数,但在整个定义域内不是,比 如180”>30”,但tan 180*-0<tan30”-3. .cos(2+)[-] 3.提示:画正切函数图像常用三点两线法:“三点”是指(一 .-1)(0,0)({,1):“两线”是指x-- '该函数的值域为[-1,2]. 和= 答案:[-1,2] 5.解:(1)令2x+=kn,kZ. 将3-入得2×3+x-- 3π十乙, 展即得正切曲线, #(0) 预习自测 _ 2.A 3.D .f(2)-2cos(2x+). 课堂互动学案 [例1] [解](1)由题意得 (tanx+10 学(1-ta0.即-1<tnx (2)令 2kr<2x+<+2kn,e乙. <1. 解得一十<<3十kx,k乙, 在(一)内,满足上迷不等式的x的取值范因 又0x. #是[一) .3)或#< 又y-tanx的周期为x, '当x[0,n]时,f(x)的减区间为 所以-+<<+x6é乙 [0.3],[, 所以函数的定义域为[-+kax,十kn),6Z (3)列表, 0 2r十π 3π 2π (2)令2x十 4 2 7π :(-】 2 8 00 -2 0 f(r) 2 #_二 作图,如图所示. :y-tan:在(一哥,]上是增画数, .tan(-)<)<tan即-1<<3. .函数的值域为(-1,③]. 变式训练 1.解析:(1)由题意得 (tanx>o, {#kx+(e乙),# 7.3.4 正切函数的性质与图像 即{ 课前预习学案 ##<<x+(e乙), 情境引入 1.提示:还可以利用单位园中的正切线作正切函数y一tan 故定义域为(kr,kπ十哥)(kz). ,的图像. 2.提示:描点法作y一tanx在x[-登,]上的草图,描 (2)y-(tanx-1)②+2,由于tanxR,所以当tanx=1 时,函数取最小值2. 出三点(-,-1).(0,0)(,1),两线x-士. 答案:(1)(kx,kx十)(kE乙) (2)2 ·105· 必修第三册 数学B [例2] [解](1)y=tan(-+) 随堂步步夯实 1.D y-tan有无数个增区间(kx-,x十)( --tan(-) Z),无递减区间,且在定义域上不是增函数。了 2.A[x++天,Eé乙, 得2-1<2x+6乙 .+kn,ez.] 所以画数y=tan(-x+)的单调递减区间是 3.C [令f(x)=tan(2x-).由2x-≠k★+(k# (2-.26+-)6. (2)tan 2-tan(2-x),tan3-tan(3-x). k乙,由于该函数的定义域不关于原点对称,所以该函 因为<2<×,所以-<2-×<0. 数既不是奇函数也不是偶函数,故A错误;由正切函数的 图像知y-tan(2x- 吾)没有单调递减区间,故B错误;C 因为<3<x,所以-<3-<0. 中,f(吾)-tan0=0,故(吾,0)为图像的一个对称中心, 然-<2-<3--<1<# C正确:D中,y-tan(2x-)的最小正周期T一,D 又y-tan在(一,)内是增数, 错误。] 所以tan(2-x) tan(3-x)<tan1. 4.解析:.+☆<3x+→+x;k6乙. 即tan2<tan3<tan 1. # 变式训练 2.解:y-3tan(一)--3tan(). 答案:(一+)#) #由#-十6 乙, 5.解:由年十6 乙,得13+寻,66乙. 得4#~06 故定&城为#:-3十36 .# 3 .y-3tan(一)的单调减区间为 r--π3. (44)e6z. 由一4叔一年之 [例3] [解](1)方法一: “:'tan(2x++)-tan(2x+) 即tan[2(x+)+]-an(2x+) 故增区间为(-+3k,+3)(6ez2), #由一一0#, .f(x)-tan2x+)的周期是哥. 方法二:,y-tanx的周期是x. 所以对称中心为(#)#(#2).# .f(x)-tan(2x+)的周期是. 7.3.5 已知三角函数值求角 (2)数的定义是(#,k2# 课前预习学案 情境引入 又.sin(一x)十tan(-x)一-(sinx十tanx). 提示 x-+2kn或x-2-+2kx,k乙. '.函数y一sinx十tanx是奇函数. 3 变式训练 知识梳理 3.解:y-tan(au+)(n<o)的周期为,解得-2 知识点四、(1)arcsiny(2)[o,2x] arccos y (3)(-) 或=-2. arctan y 因为~0,所以=-2, [思考] 故y-tan(-2x+)--tan(2x-). 提示:不一定,这是因为角的个数要根据角的取值范围来 确定,如果在给定的范围内有已知三角函数值的角不止 由2-→x+(乙), 一个,则所求的角也就不止一个. 预习自测 解得3(k乙)) 1.C 2 8 .a-30{或150{。] 由于该函数的定义域不关于原点对称,所以该函数既不 是奇函数也不是偶函数 ·106·