7.3 三角函数的性质与图像 7.3.1 正弦函数的性质与图像 第2课时正弦函数的性质与图像(二)-【创新教程】2024-2025学年高中数学必修第三册五维课堂（人教B版2019）

第２课时　正弦函数的性质与图像(二) 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．掌握y＝sinx的最大值与最小值,并会求简单三角函数的值域和 最值 ２．掌握y＝sinx的单调性,并能利用单调性比较大小 ３．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间 三角函数的性质是高考必考内容,通 过应用,提升学生逻辑推理和数学运 算素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　生活中许多美好的事物都有 对称性,如漂亮的蝴蝶,它停飞展 翅 就 是 一 幅 异 常 美 丽 的 对 称 图案． 数学中的对称美也比比皆是,如 圆、等 腰 三 角 形、正 方 形、球、圆 柱、正方体等． 正弦函数、余弦函数的图像也很美,它们有怎样的对 称性? 除此之外还有哪些性质呢? [知识梳理] [知识点]　正弦函数的性质 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 函 数 名 称 图 像 与 性 质性质分类 y＝sinx 相 同 处 定义域 R 值域 [－１,１] 周期性 最小正周期为２π 不 同 处 图像 奇偶性 奇函数 单调性 在　　　　　　　　上递增;在　　　　　 　　　上递减 最值 x＝　　　　　　　时,ymax＝１;x＝　 　　　　　　时,ymin＝－１ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．用正弦的周期性考查它们的单调性和最 值,你有何发现? ２．从图像的变化趋势来看,正弦函数的最大值、最小 值点分别处在什么位置? ３．正弦函数在[－π２ ,３π ２ ]上函数值的变化有什么特 点? 推广到整个定义域呢? [预习自测] １．函数y＝２sin(x＋２)的最大值是 (　　) A．－２　　　　　　　　　　B．２ C．２sin２ D．－２sin２ ２．下列函数,在 π２ ,π[ ]上是增函数的是 (　　) A．y＝sinx B．y＝sin１２x C．y＝sin２x D．y＝－sinx ３．y＝asinx＋b(a＞０)的最大值为３,最小值为－１, 则ab＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７２􀅰 第七章　三角函数 　　　正弦函数的值域 [例１]　求下列函数的值域: (１)y＝２sinx－１;(２)y＝sinx－２sinx＋１ ; (３)求函数y＝２sin２x＋２sinx－１的值域． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[思路点拨]　依正弦函数的定义域、值域求解． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．求解形如y＝asinx＋b的函数的最值或值域 问题,利用正、余弦函数的有界性(－１≤sinx ≤１)求解,此时有－|a|＋b≤y≤|a|＋b． ２．求形如y＝asin２x＋bsinx＋c,a≠０,x∈R的函 数的值域或最值时,可以通过换元,令t＝sinx,将 原函数转化为关于t的二次函数,利用配方法 求值域或最值．求解过程中要注意正弦函数的 有界性． ３．求形如y＝asinx＋bcsinx＋d ,ac≠０的函数的值域,可 以用分离常量法求解,也可以反解出y,利用正 弦函数的有界性建立关于y的不等式求解． 􀳀[变式训练] １．(１)函数y＝１＋２sinx,x∈ －π６ ,π ６[ ]的值域为 (　　) A．[－１,１]　　　　　　　B．[０,１] C．１ ２ ,３ ２ é ë êê ù û úú D．[０,２] (２)设a＞０,对于函数f(x)＝sinx＋asinx (０＜x＜π), 下列结论正确的是 (　　) A．有最大值而无最小值 B．有最小值而无最大值 C．有最大值且有最小值 D．既无最大值又无最小值 　　　比较三角函数值的大小 [例２]　下列不等式中成立的是 (　　) A．sin －π８ æ è ç ö ø ÷＞sin －π１０ æ è ç ö ø ÷ B．sin３＞sin２ C．sin７５π＞sin － ２ ５π æ è ç ö ø ÷ D．sin２＞cos１ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　把角化到同一单调区间,利用正弦 函数的单调性比较． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 比较三角函数值大小的方法 (１)比较两个同名三角函数值的大小,先利用诱导 公式把两个角化为同一单调区间内的角,再利 用函数的单调性比较． (２)比较两个不同名的三角函数值的大小,先应利 用诱导公式五、六将名称化为一致．然后再利 用正、余弦函数的单调性进行比较,当角不在 同一个单调区间时,再利用诱导公式一~四将 角转化为同一单调区间内．对于正弦函数,一 般将两个角转化到[－π２ ,π ２ ]或[π ２ ,３π ２ ]内, 对于余弦函数,一般将两个角转化到[－π,０] 或[０,π]内． 􀳀[变式训练] ２．比较下列各组数的大小． sin(－３２０°)与sin７００°． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８２􀅰 必修第三册　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　数学B 　　　正弦函数的单调性及应用 [例３]　函数y＝asinx＋１的最大值为１－a,最小值 为－３． (１)求实数a的值; (２)求该函数的单调递增区间; (３)若x∈[－π,π],求该函数的递增区间． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　依题意区分a＞０还是a＜０,利用 正弦函数的单调性求解． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．求形如y＝asinx＋b的三角函数的单调区间． 当a＞０时,其单调区间与y＝sinx 的单调区 间相同,当a＜０时,其单调区间与y＝sinx的 单调区间相反． ２．求复合函数单调区间的方法是“同增异减”原 则,但要注意函数的定义域． 􀳀[变式训练] ３．求y＝log２sinx的单调递增区间． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．已知sin２x＋２a－１＝０,则a的取值范围是 (　　) A．[０,１]　　　　　　　B．０,１２[ ] C．０,１２ æ è ç ö ø ÷ D．(０,１) ２．y＝２sinx－３,x∈R的减区间为 (　　) A．x π２＋２kπ≤x≤ ３π ２＋２kπ ,k∈Z{ } B．x －π２＋２kπ≤x≤ π ２＋２kπ ,k∈Z{ } C．－π２＋２kπ ,π ２＋２kπ[ ],k∈Z D．π２＋２kπ ,３π ２＋２kπ[ ],k∈Z ３．下列关系式中正确的是 (　　) A．sin１１°＜cos１０°＜sin１６８° B．sin１６８°＜sin１１°＜cos１０° C．sin１１°＜sin１６８°＜cos１０° D．sin１６８°＜cos１０°＜sin１１° ４．已知函数y＝－３sinx＋２,当x＝　　　　时,y有 最大值等于　　　　． ５．求函数f(x)＝sin２x－４sinx＋５的值域． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第３课时　正弦函数的性质与图像(三) 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．了解利用单位圆作正弦函数图像的方法,会用“五点法” 画正弦函数的图像 ２．会用正弦函数的图像解简单问题 １．通过“五点法”作函数图像培养学生数学直观 素养 ２．根据正弦函数的图像的简单应用提升逻辑推 理和数学抽象素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　如图所示,装满细沙的漏斗在做单摆运动时,沙 子落在与单摆运动方向垂直的运动木板上的曲线 轨迹． [问题]　图中细沙形成的曲线是什么曲线类型? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９２􀅰 第七章　三角函数 (３)y＝sin３x,x∈R, f(－x)＝sin[３(－x)]＝sin(－３x)＝－sin３x＝－f(x), ∴y＝sin３x为奇函数． [例３]　[解]∵f(x)的最小正周期是π, ∴f(５π３ )＝f(５π３－２π )＝f(－π３ )． ∵f(x)是R上的偶函数, ∴f(－π３ )＝f(π３ )＝sinπ３＝ ３ ２． ∴f(５π３ )＝ ３２． 变式训练 ３．(１)B　[法一:f(x)＝ ２sin(x＋π４＋φ )为奇函数,则只需 π ４＋φ＝kπ ,k∈Z,从而φ＝kπ－ π ４ ,k∈Z． 显然当k＝０时,φ＝－ π ４ 满足题意． 法二:因为f(x)是奇函数,所以f(０)＝０,即 ２sin(π４＋ φ)＝０,所以φ＋ π ４＝kπ ,k∈Z,即φ＝kπ－ π ４ ,k∈Z．令k ＝０,则φ＝－ π ４． ] (２)解析:∵f(x＋π２ )＝－f(x),∴f(x＋π)＝f(x),即T ＝π,f(５π３ )＝f(５π３－２π )＝f(－π３ )＝f(π３ )＝１． 答案:１ 随堂步步夯实 １．A　[由于x∈R, 且f(－x)＝sinx＝－sin(－x)＝－f(x), 所以f(x)为奇函数．] ２．ABC　[对于 D,x∈(－１,１)时的图像与其他区间图像不 同,不是周期函数．] ３．B　[因为f(x)＝sin(２x－π２ )＝－sin(π２－２x )＝－cos ２x,所以该函数的最小正周期为π,且为偶函数,故选B．] ４．D　[当θ＝０时,f(x)＝sinx在[０,π]上不单调,故 A 不 正确;当θ＝π２ 时,f(x)＝cosx在[０,π]上单调递减,故B 不正确;当θ＝π时,f(x)＝－sinx在[０,π]上不单调,故 C不正确;当θ＝３π２ 时,f(x)＝－cosx在[０,π]上单调递 增,故 D正确．] ５．解:(１)y＝|sinx|,定义域为R． ∴f(－x)＝|sin(－x)|＝|－sinx|＝|sinx|＝f(x), ∴y＝|sinx|是偶函数． (２)y＝cos３π２＋x( )＝sinx,定义域为R, ∴y＝cos３π２＋x( ) 为奇函数． 第２课时　正弦函数的性质与图像(二) 课前预习学案 情境引入 　提示:它们既是轴对称图形,又是中心对称图形． 知识梳理 知 识 点 　 ２kπ－π２ ,２kπ[ ＋ π２ ](k∈ Z)　 ２kπ＋ π ２[ , ２kπ＋３２π](k∈Z)　２kπ＋ π ２ (k∈Z)　２kπ－π２ (k∈Z) [思考] １．提示:对于正弦函数,任意的两个递增区间相差周期２π 的整数倍,任意的两个递减区间也相差周期２π的整数 倍,取得最大值的任意两个x 的值相差周期２π的整数 倍,取得最小值的任意两个x 的值相差周期２π的整数 倍．对于余弦函数,也有同样规律． ２．提示:正弦、余弦函数的最大值、最小值点均处于图形拐 弯的地方． ３．提示:观察图像可知: 当x∈[－π２ ,π ２ ]时,曲线逐渐上升,是增函数,sinx的值 由－１增大到１; 当x∈[π２ ,３π ２ ]时,曲线逐渐下降,是减函数,sinx的值由 １减小到－１． 推广到整个定义域可得 当x∈[－π２＋２kπ ,π ２＋２kπ ](k∈Z)时,正弦函数y＝sin x是增函数,函数值由－１增大到１; 当x∈[π２＋２kπ ,３π ２＋２kπ ](k∈Z)时,正弦函数y＝sinx 是减函数,函数值由１减小到－１． 预习自测 １．B　２．D ３．解析:∵sinx∈[－１,１],且a＞０, ∴ －a＋b＝－１, a＋b＝３,{ 解得 b＝１, a＝２．{ ∴ab＝２． 答案:２ 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)由－１≤sinx≤１知,y＝２sinx－１的值 域为[－３,１]． (２)法一　y＝sinx－２sinx＋１＝ sinx＋１－３ sinx＋１ ＝１－ ３sinx＋１． ∵sinx＋１∈(０,２], ∴ ３sinx＋１∈ ３ ２ ,＋∞[ )． 当 sin x ＝１ 时,ymax ＝ － １ ２ ,故 该 函 数 的 值 域 为 －∞,－１２( ]． 法二　由y＝sinx－２sinx＋１ ,得(sinx＋１)y＝sinx－２,即(１－ y)sinx＝y＋２, 显然y≠１,∴sinx＝y＋２１－y． ∵－１＜sinx≤１, ∴－１＜y＋２１－y≤１ , 解得y≤－１２ ,即函数的值域为 －∞,－１２( ]． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７９􀅰 参考答案 (３)将函数配方得y＝２ sinx＋１２( ) ２ －３２． ∵－１≤sinx≤１,当sinx＝－１２ 时,ymin＝－ ３ ２ ;当sinx ＝１时,ymax＝３． ∴函数的值域为 －３２ ,３[ ]． 变式训练 １．解析:(１)∵－π６≤x≤ π ６ , ∴－１２≤sinx≤ １ ２ ,∴０≤１＋２sinx≤２,故函数的值域为 [０,２]． (２)因为０＜x＜π,所以０＜sinx≤１, １sinx≥１ ,又因为a ＞０,所以函数f(x)＝sinx＋asinx ＝１＋ a sinx 有最小值而无 最大值,故选B． 答案:(１)D　(２)B [例２]　[解析]　D　[∵sin２＝sin(π－２),cos１＝ sin π２－１( ),且(π－２)－ π ２－１( )＝ π ２－１＞０ , ∴π２＞π－２＞ π ２－１＞０ , ∴sin(π－２)＞sin π２－１( ),即sin２＞cos１．] 变式训练 ２．解:∵sin(－３２０°)＝sin(－３６０°＋４０°)＝sin４０°, sin７００°＝sin(７２０°－２０°)＝sin(－２０°) 又函数y＝sinx在 －π２ ,π ２[ ] 上是增函数, ∴sin４０°＞sin(－２０°), ∴sin(－３２０°)＞sin７００°． [例３]　[解]　(１)∵ymax＝１－a, ∴a＜０, 故ymin＝１＋a＝－３,∴a＝－４, ∴y＝－４sinx＋１． (２)当π２＋２kπ≤x≤ ３π ２＋２kπ ,k∈Z时, 函数y＝－４sinx＋１递增, ∴y＝－４sinx＋１的递增区间为 π ２＋２kπ ,３π ２＋２kπ[ ](k∈Z)． (３)∵x∈[－π,π],∴ π２＋２kπ ,３π ２＋２kπ[ ](k∈Z)∩[－ π,π]＝ －π,－π２[ ]∪ π ２ ,π[ ]． 即当x∈[－π,π]时,y＝－４sinx＋１ 的 递 增 区 间 为 －π,－π２[ ], π ２ ,π[ ] 变式训练 ３．解:令t＝sinx,则原函数由y＝log２t,t＝sinx复合而成, 由复合函数的单调性可知,y＝log２sinx的单调递增区间 为(２kπ,２kπ＋π２ ](k∈Z)． 随堂步步夯实 １．B　[１－２a＝sin２x, ∵sinx∈[－１,１], ∴sin２x∈[０,１], ∴０≤１－２a≤１, 即０≤a≤１２． ] ２．D ３．C　[∵sin１６８°＝sin(１８０°－１２°)＝sin１２°, cos１０°＝sin(９０°－１０°)＝sin８０°． ∴由正弦函数的单调性,得sin１１°＜sin１２°＜sin８０°, 即sin１１°＜sin１６８°＜cos１０°．] ４．解析:当x＝－π２＋２kπ ,k∈Z时,(sinx)min＝－１,此时 ymax＝５． 答案:－π２＋２kπ ,k∈Z　５ ５．解:设t＝sinx,则|t|≤１, f(x)＝g(t)＝t２－４t＋５(－１≤t≤１), g(t)＝t２－４t＋５的对称轴为t＝２． 因为g(t)的图像开口向上, 对称轴t＝２在区间[－１,１]右侧． 所以g(t)在[－１,１]上是单调递减的, 所以g(t)max＝g(－１)＝(－１)２－４×(－１)＋５＝１０, g(t)min＝g(１)＝１２－４×１＋５＝２, 即g(t)∈[２,１０]． 所以函数f(x)的值域为[２,１０]． 第３课时　正弦函数的性质与图像(三) 课前预习学案 情境引入 　提示　细沙在木板上形成的曲线是正弦型函数的曲线． 知识梳理 知识点　(２)(π２ ,１)　(３π２ ,－１)　 [思考] １．提示:(１)图像与x轴的交点:(０,０),(π,０),(２π,０); (２)图像上的最高点 π２ ,１( ) 和最低点 ３π２,－１( )． ２．提示:(１)图像与x轴的交点:(０,０),(π,０),(２π,０); (２)图像上的最高点 π２ ,１( ) 和最低点 ３π２,－１( )． ３．提示:作正弦函数y＝２＋sinx,x∈[０,２π]的图像时,起 关键作用的点有以下五个: (０,２),(π２ ,３),(π,２),(３π２ ,１),(２π,２)． 预习自测 １．B　[根据正弦曲线的作法可知函数y＝sinx,x∈[０,２π]与 y＝sinx,x∈[２π,４π]的图像只是位置不同,形状相同．] ２．B ３．(０,０)　(π２ ,１)　(π,０)　(３π２ ,－１)　(２π,０) 课堂互动学案 [例１]　[解析]　按五个关键点列表: x ０ π２ π ３π ２ ２π sinx ０ １ ０ －１ ０ sinx－１ －１ ０ －１ －２ －１ 描点并将它们用光滑的曲线连接起来,如图所示． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８９􀅰 必修第三册　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　数学B