7.3 三角函数的性质与图像 7.3.1 正弦函数的性质与图像 第1课时正弦函数的性质与图像(一)-【创新教程】2024-2025学年高中数学必修第三册五维课堂（人教B版2019）

􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．诱导公式综合应用要“三看” 一看角:①化大为小;②看角与角间的联系,可 通过相加、相减分析两角的关系． 二看函数名称:一般是弦切互化． 三看式子结构:通过分析式子,选择合适的方 法,如分式可对分子、分母同乘一个式子变形． ２．利用诱导公式解决三角形中有关问题的基本 方法 利用诱导公式解决三角形中有关问题时,既要 注意综合运用诱导公式、同角三角函数的基本 关系式,还要注意三角形的隐含条件———三角 形内角和等于１８０°,以及下面的公式的灵活 运用． 　在△ABC中,常用到以下结论: sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC, cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC, tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC, sin(A２＋ B ２ )＝sin(π２－ C ２ )＝cosC２ , cos(A２＋ B ２ )＝cos(π２－ C ２ )＝sinC２． 􀳀[变式训练] ４．已知f(α)＝ sin(π－α)cos(－α)sin(π２＋α ) cos(π＋α)sin(－α) ． (１)化简f(α); (２)若角A是△ABC的内角,且f(A)＝３５ ,求tanA－ sinA 的值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．已知cos(α－π)＝－ ５１３ ,且α 是第四象限角,则 sin(－２π＋α) (　　) A．－１２１３　　　B． １２ １３　　　C．± １２ １３　　　D． ５ １２ ２．若cos(α＋π)＝－２３ ,则sin(－α－３π２ )＝ (　　) A．２３　　　B．－ ２ ３　　　C． ５ ３　　　D．－ ５ ３ ３．化简sin(α＋π２ )􀅰cos(α－３π２ )􀅰tan(π２－α )的结 果是 (　　) A．１　　　B．sin２α　　　C．－cos２α　　　D．－１ ４．sin９５°＋cos１７５°的值为　　　　． ５．若 sin α＋３π２ æ è ç ö ø ÷ ＝ ３５ ,且 α 是 第 三 象 限 角,则 cosα＋２０２１π２ æ è ç ö ø ÷＝ (　　) A．３５　　　　　　B．－ ３ ５ C．４５ D．－ ４ ５ 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７．３　三角函数的性质与图像 ７．３．１　正弦函数的性质与图像 第１课时　正弦函数的性质与图像(一) 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．了解周期函数、周期、最小正周期的定义 ２．掌握函数y＝sinx 的单调性、奇偶性,会判断简单三角 函数的奇偶性 通过探索正余弦函数y＝sinx 的周期性、奇偶 性,重点提升直观想象、逻辑推理和数学抽象 素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀅰３２􀅰 第七章　三角函数 [情境引入] 　　如果现在是早上９点钟,问你:２４小时以后是几 点钟? 你会毫不犹豫地回答:还是早上９点钟．因为 你很清楚,０点、１点、２点、３点􀆺􀆺２３点,每隔２４小 时就重复出现一次,如果今天是星期一,问你:７天以 后是星期几? 你也会回答:还是星期一．因为你很清 楚,星期一、星期二􀆺􀆺星期天,每隔７天就重复出现 一次．相同的间隔重复出现的现象称为周期现象,如 “２４小时１天”“７天１星期”“３６５天１年”就是我们所 熟悉的周期现象．自然界中有很多周期现象,如日出 日落、月圆月缺、四季交替等．正弦函数、余弦函数是 否有这样的周期性呢? 继续探究: 观察f(x)的部分图像,思考下列问题: (１)观察图形,函数图像每相隔多少个单位重复出现? (２)由诱导公式一: sin(x＋２kπ)＝sinx, cos(x＋２kπ)＝cosx,{ (k∈Z)结 合正(余)弦曲线,可以看出正(余)弦函数怎样的特 征? 图像变化趋势是怎样的? [知识梳理] [知识点一]　正弦函数 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 对于任意一个角x,都有　　　确定的　　　　与 之对应,因此y＝sinx是一个函数,一般称为正弦 函数． [知识点二]　函数的周期性 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．对于函数f(x),如果存在一个　　　　　,使得当 x取定义域内的　　　　值时,都有　　　　,那 么函数f(x)就叫作周期函数,　　　　　叫作这 个函数的周期． ２．如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个　　 　　,那么这个　　　　　叫作f(x)的最小正 周期． ３．正弦函数、余弦函数都是周期函数,　　　　　都 是它们的周期,最小正周期为　　　　． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．对于函数f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当x取定义域内无数个值时,都有f(x＋ T)＝f(x),那么f(x)是周期函数吗? ２．是不是所有的函数都是周期函数? 若一个函数是 周期函数,它的周期是否唯一? ３．周期函数都有最小正周期吗? ４．３π是正弦函数f(x)＝sinx的周期吗? 为什么? [知识点三]　正弦函数y＝sinx的性质􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　　名称 性质　　 y ＝sinx 定义域 　　　 值域 　　　 最值 当且仅当　　　　　时, y＝sinx的最大值ymax＝　　; 当且仅当　　　　　时, y＝sinx的最小值ymin＝　　 奇偶性 　　　　 周期性 最小正周期:２π 单调性 　　　　　　　　　上递增; 　　　　　　　　　上递减 零点 　　　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５．函数的奇偶性反映了函数的对称性,请 写出正弦函数的对称中心与对称轴． [预习自测] １．若函数f(x)＝sinωx(ω＞０)的周期为 π,则ω ＝　　　　． ２．函数f(x)＝１＋sinx的最小正周期是 (　　) A．π２　　　　B．π　　　　C． ３π ２　　　　D．２π ３．函数y＝－１２sinx 为　　　　函数(填奇或偶)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４２􀅰 必修第三册　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　数学B 　　　正弦函数的周期性 [例１]求下列函数的周期: (１)y＝２sin x３－ π ６ æ è ç ö ø ÷;(２)y＝|sinx|． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　(１)可用定义法或公式法求周期, (２)可用图像法或定义法求解． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 求三角函数的周期的方法 (１)定义法:紧扣周期函数的定义,寻求对任意实 数x都满足f(x＋T)＝f(x)的非零常数T． 该方法主要适用于抽象函数． (２)公 式 法:对 形 如 y＝Asin(ωx＋φ)和 y＝ Acos(ωx＋φ)(其中A,ω,φ是常数,且A≠０, ω＞０)的函数,可利用T＝２πω 来求． (３)图像法:可画出函数的图像,借助于图像判断 函数的周期,特别是对于含绝对值的函数一般 采用此法． 三种方法各有所长,要根据函数式的结构特征,选 择适当方法求解,为了避免出现错误,求周期之前 要尽可能将函数化为同名同角三角函数． 􀳀[变式训练] １．判断等式sin －π３＋ ５π ３ æ è ç ö ø ÷ ＝sin －π３ æ è ç ö ø ÷ 是否成立? 如果成立,能否说明５π ３ 是函数y＝sinx的周期? 　　正弦函数的奇偶性 [例２]判断下列函数的奇偶性: (１)f(x)＝ ２sin２x; (２)f(x)＝sin３x４＋ ３π ２ æ è ç ö ø ÷． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　首先求出函数的定义域,在定义域 关于原点对称的前提下,根据f(－x)与f(x)及 －f(x)的关系来判断． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (１)判断函数奇偶性的方法步骤为:先求函数的定 义域,看定义域是否关于原点对称,再根据解析式 判断f(x)与f(－x)的关系,并根据奇偶性的定 义作出判断,对于三角函数,要特别注意诱导公式 的应用． (２)若已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或Acos(ωx＋φ))为 偶函数,则x＝０是其对称轴,则f(０)＝±A;若 已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或Acos(ωx＋φ))为奇 函数,则(０,０)是其对称中心,则f(０)＝０． 􀳀[变式训练] ２．判断下列函数的奇偶性． (１)y＝sinx．x∈(－π,２π); (２)y＝sinx＋１; (３)y＝sin３x． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５２􀅰 第七章　三角函数 　　　正弦函数的奇偶性与周期性的应用 [例３]定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期 函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x∈[０,π２ ] 时,f(x)＝sinx,求f(５π３ )的值． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　根据周期性,把要求角转化到已知 角范围中求解． f(５π３ )＝f(５π３－２π )＝f(－π３ )＝f(π３ )． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．利用周期性和奇偶性解决求值问题的方法 利用函数的周期性,可以把x＋nT(n∈Z)的函 数值转化为x 的函数值．利用奇偶性,可以找 到－x与x 的函数值的关系,从而可解决求值 问题． ２．判断y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)是 否具有奇偶性的关键 判断函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)是 否具备奇偶性,关键是看它能否通过诱导公式转 化为y＝Asinωx(Aω≠０)或y＝Acosωx(Aω≠０) 其中一个． 􀳀[变式训练] ３．(１)已知函数f(x)＝ ２sin(x＋π４＋φ )是奇函数, 则φ的值可以是 (　　) A．０　　　　　　　　　　　B．－π４ C．π２ D．π (２)函数f(x)为偶函数且f(x＋π２ )＝－f(x), f(π３ )＝１,则f(５π３ )＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．函数f(x)＝sin(－x)的奇偶性是 (　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 ２．(多选题)下列是定义在 R上的四个函数图像的一 部分,其中是周期函数的是 (　　) ３．设函数f(x)＝sin(２x－π２ ),则f(x)是 (　　) A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为π２ 的奇函数 D．最小正周期为π２ 的偶函数 ４．函数f(x)＝sin(x＋θ)在[０,π]上为增函数,则θ的 值可以是 (　　) A．０　　　　　　B．π２ C．π D．３π２ ５．判断下列函数的奇偶性． (１)y＝|sinx|; (２)y＝cos３π２＋x æ è ç ö ø ÷． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６２􀅰 必修第三册　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　数学B ３．C　[因为sin(α＋π２ )＝cosα,cos(α－３π２ ) ＝cos[π＋(π２－α )]＝－sinα,tan(π２－α )＝ sin(π２－α ) cos(π２－α ) ＝cosαsinα ,所以原式＝cosα(－sinα)cosαsinα＝－ cos２α,选C．] ４．解析:sin９５°＋cos１７５°＝sin(９０°＋５°)＋cos(１８０°－５°)＝ cos５°－cos５°＝０． 答案:０ ５．C　[sinα＋３π２( )＝－cosα＝ ３ ５ ,所以cosα＝－３５ ,因为α 是第三象限角,所以sinα＝－４５ ,所以cosα＋２０２１π２( ) ＝ cos１０１０π＋α＋π２( )＝－sinα＝ ４ ５． ] ７．３　三角函数的性质与图像 ７．３．１　正弦函数的性质与图像 第１课时　正弦函数的性质与图像(一) 课前预习学案 情境引入 　(１)提示:每相隔１个单位重复出现． (２)提示:自变量x 增加２π的整数倍时,函数值重复出 现,图像发生“周而复始”的变化． 知识梳理 知识点一、唯一　正弦sinx　 知识点二、１．非零常数T　每一个　f(x＋T)＝f(x)　非零常 数T　２．最小正数　最小正数　３．２kπ(k∈Z,且k≠０)　２π 知识点三、R　[－１,１]　x＝π２＋２kπ ,k∈Z　１　x＝３π２＋ ２kπ,k∈Z　－１　奇函数　 －π２＋２kπ ,π ２＋２kπ[ ](k∈Z) 　 π２＋２kπ ,３π ２＋２kπ[ ](k∈Z)　kπ,k∈Z　 [思考] １．提示:f(x)不 是 周 期 函 数,因 为x 应 取 定 义 域 内 每 一 个值． ２．提示:并不是每一个函数都是周期函数,若函数具有周期 性,则其周期也不一定唯一． ３．提示:①最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量x 要加上的那个最小正数,这个正数是对x而言的,如y＝ sin２x的 最 小 正 周 期 是 π,因 为 y＝sin(２x＋２π)＝ sin２(x＋π),即π是使函数值重复出现的自变量x 加上 的最小正数,π是对x而言的,而非２x． ②并不是所有的周期函数都有最小正周期,譬如,常数函 数f(x)＝C,任一个正实数都是它的周期,因而不存在最 小正周期． ③特别说明,周期一般都是指函数的最小正周期． ４．提示:不是．∵f(x＋３π)＝sin(x＋３π)＝sin(x＋π＋２π)＝ sin(x＋π)＝－sinx≠f(x)． ∴３π不是f(x)＝sinx的周期． ５．提示:正弦函数y＝sinx的对称中心为(kπ,０),(k∈Z), 对称轴为x＝π２＋kπ (k∈Z)． 预习自测 １．解析:由周期T＝２π|ω| ,得２π |ω|＝π ,解得ω＝２． 答案:２ ２．D ３．奇 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)方法一: ∵２sin x３－ π ６＋２π( )＝２sin x ３－ π ６( ), 即２sin １３ (x＋６π)－π６[ ]＝２sin x ３－ π ６( ), ∴y＝２sin x３－ π ６( ) 的周期是６π． 方法二: ∵２π１ ３ ＝６π,∴函数y＝２sin x３－ π ６( ) 的周期是６π． (２)方法一: ∵|sin(π＋x)|＝|－sinx|＝|sinx|． ∴函数y＝|sinx|的周期是π． 方法二: y＝|sinx|的图像如图所示． ∴y＝|sinx|的周期是π． 变式训练 １．解:sin －π３＋ ５π ３( )＝sin ４π ３＝sin π＋ π ３( ) ＝－sinπ３ , 而sin －π３( )＝－sin π ３． ∴上述等式成立． 但不能说明５π ３ 是y＝sinx的周期． 理由如下:若５π ３ 为y＝sinx的周期, 则对任意实数x都有sinx＋５π３( )＝sinx, 但当x＝０时,sinx＋５π３( )≠sinx, 所以５π ３ 不是y＝sinx的周期． [例２]　[解]　(１)显然x∈R, f(－x)＝ ２sin(－２x)＝－ ２sin２x＝－f(x), ∴f(x)是奇函数． (２)∵x∈R,f(x)＝sin ３x４＋ ３π ２( )＝－cos ３x ４ , ∴f(－x)＝－cos３ (－x) ４ ＝－cos ３x ４＝f (x), ∴函数f(x)＝sin ３x４＋ ３π ２( ) 是偶函数． 变式训练 ２．解:(１)y＝sinx,x∈(－π,２π), 定义域不关于原点对称, ∴y＝sinx,x∈(－π,２π)为非奇非偶函数． (２)y＝sinx＋１,x∈R, ∵f π２( )＝２,f － π ２( )＝０, ∴f －π２( )≠f π ２( ),f － π ２( )≠－f π ２( )． 所以y＝sinx＋１为非奇非偶函数． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６９􀅰 必修第三册　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　数学B (３)y＝sin３x,x∈R, f(－x)＝sin[３(－x)]＝sin(－３x)＝－sin３x＝－f(x), ∴y＝sin３x为奇函数． [例３]　[解]∵f(x)的最小正周期是π, ∴f(５π３ )＝f(５π３－２π )＝f(－π３ )． ∵f(x)是R上的偶函数, ∴f(－π３ )＝f(π３ )＝sinπ３＝ ３ ２． ∴f(５π３ )＝ ３２． 变式训练 ３．(１)B　[法一:f(x)＝ ２sin(x＋π４＋φ )为奇函数,则只需 π ４＋φ＝kπ ,k∈Z,从而φ＝kπ－ π ４ ,k∈Z． 显然当k＝０时,φ＝－ π ４ 满足题意． 法二:因为f(x)是奇函数,所以f(０)＝０,即 ２sin(π４＋ φ)＝０,所以φ＋ π ４＝kπ ,k∈Z,即φ＝kπ－ π ４ ,k∈Z．令k ＝０,则φ＝－ π ４． ] (２)解析:∵f(x＋π２ )＝－f(x),∴f(x＋π)＝f(x),即T ＝π,f(５π３ )＝f(５π３－２π )＝f(－π３ )＝f(π３ )＝１． 答案:１ 随堂步步夯实 １．A　[由于x∈R, 且f(－x)＝sinx＝－sin(－x)＝－f(x), 所以f(x)为奇函数．] ２．ABC　[对于 D,x∈(－１,１)时的图像与其他区间图像不 同,不是周期函数．] ３．B　[因为f(x)＝sin(２x－π２ )＝－sin(π２－２x )＝－cos ２x,所以该函数的最小正周期为π,且为偶函数,故选B．] ４．D　[当θ＝０时,f(x)＝sinx在[０,π]上不单调,故 A 不 正确;当θ＝π２ 时,f(x)＝cosx在[０,π]上单调递减,故B 不正确;当θ＝π时,f(x)＝－sinx在[０,π]上不单调,故 C不正确;当θ＝３π２ 时,f(x)＝－cosx在[０,π]上单调递 增,故 D正确．] ５．解:(１)y＝|sinx|,定义域为R． ∴f(－x)＝|sin(－x)|＝|－sinx|＝|sinx|＝f(x), ∴y＝|sinx|是偶函数． (２)y＝cos３π２＋x( )＝sinx,定义域为R, ∴y＝cos３π２＋x( ) 为奇函数． 第２课时　正弦函数的性质与图像(二) 课前预习学案 情境引入 　提示:它们既是轴对称图形,又是中心对称图形． 知识梳理 知 识 点 　 ２kπ－π２ ,２kπ[ ＋ π２ ](k∈ Z)　 ２kπ＋ π ２[ , ２kπ＋３２π](k∈Z)　２kπ＋ π ２ (k∈Z)　２kπ－π２ (k∈Z) [思考] １．提示:对于正弦函数,任意的两个递增区间相差周期２π 的整数倍,任意的两个递减区间也相差周期２π的整数 倍,取得最大值的任意两个x 的值相差周期２π的整数 倍,取得最小值的任意两个x 的值相差周期２π的整数 倍．对于余弦函数,也有同样规律． ２．提示:正弦、余弦函数的最大值、最小值点均处于图形拐 弯的地方． ３．提示:观察图像可知: 当x∈[－π２ ,π ２ ]时,曲线逐渐上升,是增函数,sinx的值 由－１增大到１; 当x∈[π２ ,３π ２ ]时,曲线逐渐下降,是减函数,sinx的值由 １减小到－１． 推广到整个定义域可得 当x∈[－π２＋２kπ ,π ２＋２kπ ](k∈Z)时,正弦函数y＝sin x是增函数,函数值由－１增大到１; 当x∈[π２＋２kπ ,３π ２＋２kπ ](k∈Z)时,正弦函数y＝sinx 是减函数,函数值由１减小到－１． 预习自测 １．B　２．D ３．解析:∵sinx∈[－１,１],且a＞０, ∴ －a＋b＝－１, a＋b＝３,{ 解得 b＝１, a＝２．{ ∴ab＝２． 答案:２ 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)由－１≤sinx≤１知,y＝２sinx－１的值 域为[－３,１]． (２)法一　y＝sinx－２sinx＋１＝ sinx＋１－３ sinx＋１ ＝１－ ３sinx＋１． ∵sinx＋１∈(０,２], ∴ ３sinx＋１∈ ３ ２ ,＋∞[ )． 当 sin x ＝１ 时,ymax ＝ － １ ２ ,故 该 函 数 的 值 域 为 －∞,－１２( ]． 法二　由y＝sinx－２sinx＋１ ,得(sinx＋１)y＝sinx－２,即(１－ y)sinx＝y＋２, 显然y≠１,∴sinx＝y＋２１－y． ∵－１＜sinx≤１, ∴－１＜y＋２１－y≤１ , 解得y≤－１２ ,即函数的值域为 －∞,－１２( ]． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７９􀅰 参考答案