7.2 任意角的三角函数 7.2.4 诱导公式 第2课时诱导公式-【创新教程】2024-2025学年高中数学必修第三册五维课堂（人教B版2019）

(２)tan(－８５５°)＝－tan８５５°＝－tan(２×３６０°＋１３５°)＝ －tan１３５＝－tan(１８０°－４５°)＝tan４５°＝１． (３)原式＝tan(π－π４ )＋sin(２π－π６ ) ＝－tanπ４－sin π ６＝－１－ １ ２ ＝－３２． 变式训练 ２．解:①cos２１０°＝cos(１８０°＋３０°)＝－cos３０° ＝－ ３２． ②sin１１π４ ＝sin (２π＋３π４ )＝sin３π４＝sin (π－π４ ) ＝sinπ４＝ ２ ２． ③sin(－４３π６ )＝－sin(６π＋７π６ )＝－sin７π６ ＝－sin(π＋π６ )＝sinπ６＝ １ ２． ④cos(－１９２０°)＝cos１９２０°＝cos(５×３６０°＋１２０°) ＝cos１２０°＝cos(１８０°－６０°)＝－cos６０°＝－１２． [例３]　[解]　cos(５π６＋α )＝cos[π－(π６－α )] ＝－cos(π６－α )＝－ ３３． 变式训练 ３．解析:(１)当k为偶数时,A＝２;当k为奇数时,A＝－２．故 A 构成的集合为{－２,２}． (２)因为cos(α－５５°)＝－１３＜０ ,且α为第四象限角,所以 α－５５°是第三象限角, 所以sin(α－５５°)＝－ １－cos２(α－５５°)＝－２ ２３ , 所以sin(α＋１２５°)＝sin[１８０°＋(α－５５°)] ＝－sin(α－５５°)＝２ ２３ ． 答案:(１)C　(２)２ ２３ [例４]　[解析]　(１)f(α)＝－sinαcosαtanα－tanαsinα ＝cosα． (２)因为sinα＝－３５ ,且α是第四象限角, 所以f(α)＝cosα＝ １－sin２α＝ １－９２５＝ ４ ５． (３)f(－３１π３ )＝cos(－３１π３ )＝cos(－π３ )＝cosπ３＝ １ ２． 变式训练 ４．解:(１)原式＝cosαtan (π＋α) sinα ＝ cosα􀅰tanα sinα ＝sinαsinα＝１． (２)原式＝sin (４×３６０°＋α)􀅰cos(３×３６０°－α) cos(１８０°＋α)􀅰[－sin(１８０°＋α)] ＝sinα 􀅰cos(－α) (－cosα)􀅰sinα＝ cosα －cosα＝－１． 随堂步步夯实 １．C　[因为cos(－１７π４ )＝cos１７π４ ＝cos (４π＋π４ )＝cosπ４＝ ２ ２ ,tan１７π６ ＝tan (３π－ π６ )＝－tan π６＝－ ３ ３ ,所以cos (－１７π４ )􀅰tan１７π６ ＝－ ６ ６ ,故选C．] ２．B　[tan(２π３＋α )＝tan[π－(π３－α )]＝ －tan(π３－α )＝－１３． ] ３．解 析:sin (－ １ ５６０°)cos (－ ９３０°)－ cos (－ １ ３８０°)sin１４１０° ＝sin(－４×３６０°－１２０°)cos(－３×３６０°＋１５０°)－cos(－４ ×３６０°＋６０°)sin(４×３６０°－３０°) ＝sin(－１２０°)cos１５０°－cos６０°sin(－３０°) ＝－ ３２× (－ ３２ )＋１２× １ ２＝ ３ ４＋ １ ４＝１． 答案:１ ４．解析:sin(２２５°＋α)＝sin[(４５°＋α)＋１８０°] ＝－sin(４５°＋α)＝－５１３． 答案:－５１３ ５．解:(１)f(α)＝－sinαcosα (－tanα) (－tanα)sinα ＝－cosα． (２)∵sin(α－π)＝－sinα＝１５ , ∴sinα＝－１５． 又α是第三象限角, ∴cosα＝－２ ６５ ．∴f (α)＝２ ６５ ． (３)∵－３１π３ ＝－６×２π＋ ５π ３ , ∴f(－３１π３ )＝－cos(－６×２π＋５π３ ) ＝－cos５π３＝－cos π ３＝－ １ ２． 第２课时　诱导公式(二) 课前预习学案 情境引入 　(１)提示　它们的终边关于y＝x对称． (２)提示　由于角α的终边与角π２－α 的终边关于y＝x 对称,所以P２ 与P１ 关于y＝x对称,所以P２ 点的坐标为 (y,x)． 知识梳理 知识点　１．cosα　sinα　cosα　－sinα　２．(１)余弦(正弦) [思考] １．提示:sin(π２＋α )＝sin[π－(π２－α )] ＝sin(π２－α )＝cosα． cos(π２＋α )＝cos[π－(π２－α )] ＝－cos(π２－α )＝－sinα． ２．提示:函数名称改变,符号随象限变化而变化,即:函数名 改变,符号看象限． 预习自测 １．B　[由于sin(π２＋θ )＝cosθ＜０,cos(π２－θ )＝sinθ＞０, 所以角θ的终边落在第二象限,故选B．] ２．２３ ３．解析:sin(π３＋α )＝sin π２－ (π ６－α )[ ] ＝cos(π６－α )＝２３． 答案:２ ３ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４９􀅰 必修第三册　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　数学B 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)sin (α－π)＋cos(π－α) sin(π２－α )＋cos(π２＋α ) ＝－sinα－cosαcosα－sinα ＝ －tanα－１ １－tanα ＝－３－１１－３ ＝２． (２)cos(π６＋α )􀅰sin(２π３＋α ) ＝cos π２－ (π ３－α )[ ]􀅰sin π－(π３－α)[ ] ＝sin(π３－α )􀅰sin(π３－α ) ＝１２× １ ２＝ １ ４． 变式训练 １．解析:(１)由cos(π２＋φ )＝－sinφ＝ ３ ２ , 得sinφ＝－ ３ ２． 又|φ|＜ π ２ ,∴φ＝－ π ３ ,∴tanφ＝－tan π ３＝－ ３． (２)∵cos(π１２－θ )＝１３ , ∴sin(５π１２＋θ )＝sin π２－ (π １２－θ )[ ]＝cos(π１２－θ)＝ １ ３ ,故 选 A． 答案:(１)C　(２)A [例２]　[解析]　(１)原式＝cos [－(π－α)] sinα 􀅰sin[－(π２－ α)](－sinα) ＝cos (π－α) sinα 􀅰[－sin(π２－α )](－sinα) ＝－cosαsinα 􀅰(－cosα)(－sinα) ＝－cos２α． (２)原式＝ tan(－α)sin(－α)sin[π＋(π２＋α )] sin[－(π－α)]cos[π＋(π２－α )] ＝ －tanα(－sinα)[－sin(π２＋α )] －sin(π－α)[－cos(π２－α )] ＝tanαsinα (－cosα) －sinα(－sinα) ＝－tanαsinαcosαsinαsinα ＝－１． 变式训练 ２．解析:因为sin(４π－α)＝sin(－α)＝－sinα, cos(９π２＋α )＝cos[４π＋(π２＋α )]＝cos(π２＋α ) ＝－sinα, sin(１１π２ ＋α )＝sin[４π＋(３π２＋α )]＝sin(３π２＋α )＝ sin[π＋(π２＋α )]＝－sin(π２＋α )＝－cosα, tan(５π－α)＝tan(π－α)＝－tanα,sin(３π－α)＝sin(π－ α)＝sinα,所以原式＝ sinαsinα－cosαcosα － －tanαsinαcosα＝－ sin２α cos２α ＋ １ cos２α ＝１－sin ２α cos２α ＝cos ２α cos２α ＝１． [例３]　证明:右边＝ －２sin(３π２－θ )􀅰(－sinθ)－１ １－２sin２θ ＝ ２sin[π＋(π２－θ )]sinθ－１ １－２sin２θ ＝ －２sin(π２－θ )sinθ－１ １－２sin２θ ＝ －２cosθsinθ－１ cos２θ＋sin２θ－２sin２θ ＝ (sinθ＋cosθ)２ sin２θ－cos２θ ＝sinθ＋cosθsinθ－cosθ ＝左边,所以原等式成立． 变式训练 ３．证明:左边＝cosθsin (－θ)tan(－θ) cos(π２＋θ )sin(π２＋θ ) ＝cosθsinθtanθ－sinθcosθ ＝－tanθ＝ 右边． 所以原等式成立． [例４]　解析　由已知得 sinA＝ ２sinB　①, ３cosA＝ ２cosB　②,{ 由①２＋②２,得２cos２A＝１,∴cosA＝± ２２． 当cosA＝ ２２ 时,cosB＝ ３２． 又A,B 是三角形的内角,∴A＝π４ ,B＝π６． ∴C＝π－(A＋B)＝７１２π． 当cosA＝－ ２２ 时,cosB＝－ ３２． 又A,B 是三角形的内角,∴A＝３４π ,B＝５６π． ∵A＋B＞π, ∴cosA＝－ ２２ 不符合题意,舍去． 综上可知,A＝π４ ,B＝π６ ,C＝７１２π． 变式训练 ４．解:(１)f(α)＝ sinαcosαcosα－cosα(－sinα)＝cosα． (２)因为f(A)＝cosA＝３５ , 又A 为△ABC的内角: 所以由平方关系,得sinA＝ １－cos２A＝４５ , 所以tanA＝sinAcosA＝ ４ ３ , 所以tanA－sinA＝４３－ ４ ５＝ ８ １５． 随堂步步夯实 １．A　[由诱导公式可得cos(α－π)＝－cosα＝－５１３ ,∴cos α＝５１３ ,又α是第四象限角∴sin(－２π＋α)＝sinα＝－１２１３ , 故选:A] ２．A　[因为cos(α＋π)＝－cosα＝－２３ ,所以cosα＝２３． 所 以sin(－α－３π２ )＝cosα＝２３． ] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５９􀅰 参考答案 ３．C　[因为sin(α＋π２ )＝cosα,cos(α－３π２ ) ＝cos[π＋(π２－α )]＝－sinα,tan(π２－α )＝ sin(π２－α ) cos(π２－α ) ＝cosαsinα ,所以原式＝cosα(－sinα)cosαsinα＝－ cos２α,选C．] ４．解析:sin９５°＋cos１７５°＝sin(９０°＋５°)＋cos(１８０°－５°)＝ cos５°－cos５°＝０． 答案:０ ５．C　[sinα＋３π２( )＝－cosα＝ ３ ５ ,所以cosα＝－３５ ,因为α 是第三象限角,所以sinα＝－４５ ,所以cosα＋２０２１π２( ) ＝ cos１０１０π＋α＋π２( )＝－sinα＝ ４ ５． ] ７．３　三角函数的性质与图像 ７．３．１　正弦函数的性质与图像 第１课时　正弦函数的性质与图像(一) 课前预习学案 情境引入 　(１)提示:每相隔１个单位重复出现． (２)提示:自变量x 增加２π的整数倍时,函数值重复出 现,图像发生“周而复始”的变化． 知识梳理 知识点一、唯一　正弦sinx　 知识点二、１．非零常数T　每一个　f(x＋T)＝f(x)　非零常 数T　２．最小正数　最小正数　３．２kπ(k∈Z,且k≠０)　２π 知识点三、R　[－１,１]　x＝π２＋２kπ ,k∈Z　１　x＝３π２＋ ２kπ,k∈Z　－１　奇函数　 －π２＋２kπ ,π ２＋２kπ[ ](k∈Z) 　 π２＋２kπ ,３π ２＋２kπ[ ](k∈Z)　kπ,k∈Z　 [思考] １．提示:f(x)不 是 周 期 函 数,因 为x 应 取 定 义 域 内 每 一 个值． ２．提示:并不是每一个函数都是周期函数,若函数具有周期 性,则其周期也不一定唯一． ３．提示:①最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量x 要加上的那个最小正数,这个正数是对x而言的,如y＝ sin２x的 最 小 正 周 期 是 π,因 为 y＝sin(２x＋２π)＝ sin２(x＋π),即π是使函数值重复出现的自变量x 加上 的最小正数,π是对x而言的,而非２x． ②并不是所有的周期函数都有最小正周期,譬如,常数函 数f(x)＝C,任一个正实数都是它的周期,因而不存在最 小正周期． ③特别说明,周期一般都是指函数的最小正周期． ４．提示:不是．∵f(x＋３π)＝sin(x＋３π)＝sin(x＋π＋２π)＝ sin(x＋π)＝－sinx≠f(x)． ∴３π不是f(x)＝sinx的周期． ５．提示:正弦函数y＝sinx的对称中心为(kπ,０),(k∈Z), 对称轴为x＝π２＋kπ (k∈Z)． 预习自测 １．解析:由周期T＝２π|ω| ,得２π |ω|＝π ,解得ω＝２． 答案:２ ２．D ３．奇 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)方法一: ∵２sin x３－ π ６＋２π( )＝２sin x ３－ π ６( ), 即２sin １３ (x＋６π)－π６[ ]＝２sin x ３－ π ６( ), ∴y＝２sin x３－ π ６( ) 的周期是６π． 方法二: ∵２π１ ３ ＝６π,∴函数y＝２sin x３－ π ６( ) 的周期是６π． (２)方法一: ∵|sin(π＋x)|＝|－sinx|＝|sinx|． ∴函数y＝|sinx|的周期是π． 方法二: y＝|sinx|的图像如图所示． ∴y＝|sinx|的周期是π． 变式训练 １．解:sin －π３＋ ５π ３( )＝sin ４π ３＝sin π＋ π ３( ) ＝－sinπ３ , 而sin －π３( )＝－sin π ３． ∴上述等式成立． 但不能说明５π ３ 是y＝sinx的周期． 理由如下:若５π ３ 为y＝sinx的周期, 则对任意实数x都有sinx＋５π３( )＝sinx, 但当x＝０时,sinx＋５π３( )≠sinx, 所以５π ３ 不是y＝sinx的周期． [例２]　[解]　(１)显然x∈R, f(－x)＝ ２sin(－２x)＝－ ２sin２x＝－f(x), ∴f(x)是奇函数． (２)∵x∈R,f(x)＝sin ３x４＋ ３π ２( )＝－cos ３x ４ , ∴f(－x)＝－cos３ (－x) ４ ＝－cos ３x ４＝f (x), ∴函数f(x)＝sin ３x４＋ ３π ２( ) 是偶函数． 变式训练 ２．解:(１)y＝sinx,x∈(－π,２π), 定义域不关于原点对称, ∴y＝sinx,x∈(－π,２π)为非奇非偶函数． (２)y＝sinx＋１,x∈R, ∵f π２( )＝２,f － π ２( )＝０, ∴f －π２( )≠f π ２( ),f － π ２( )≠－f π ２( )． 所以y＝sinx＋１为非奇非偶函数． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６９􀅰 必修第三册　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　数学B 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．利用诱导公式一~四化简应注意的问题 (１)利用诱导公式主要是进行角的转化,从而达到 统一角的目的; (２)化简时函数名没有改变,但一定要注意函数的 符号有没有改变; (３)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化 简,一般采用切化弦,有时也将弦化切． ２．三角函数式的化简方法 (１)利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐 角三角函数． (２)常用“切化弦”法,即通常将表达式中的切函数 化为弦函数． (３)注意“１”的变形应用． 􀳀[变式训练] ４．化简: (１)cos (－α)tan(７π＋α) sin(π－α) ; (２)sin (１４４０°＋α)􀅰cos(α－１０８０°) cos(－１８０°－α)􀅰sin(－α－１８０°)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．cos(－１７π４ )tan１７π６ 的值为 (　　) A．－ ２２　　　　　　B．－ ３ ３ C．－ ６６ D． ３ ２ ２．已知tan(π３－α )＝１３ ,则tan(２π３＋α )＝ (　　) A．１３ B．－ １ ３ C．２ ３３ D．－ ２ ３ ３ ３．计算sin(－１５６０°)cos(－９３０°)－cos(－１３８０°)􀅰 sin１４１０°等于　　　　． ４．已 知 sin(４５° ＋α)＝ ５１３ ,则 sin(２２５° ＋α) ＝　　　　． ５．已知f(α)＝sin (π＋α)cos(２π－α)tan(－α) tan(－π－α)sin(－π－α) ． (１)化简f(α); (２)若α是第三象限角,且sin(α－π)＝１５ ,求f(α) 的值; (３)若α＝－３１π３ ,求f(α)的值． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第２课时　诱导公式(二) 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．掌握诱导公式五、六的推导,并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题 ２．对诱导公式一至六,能作综合归纳,体会出六组公式的共性与个性,培养由特殊 到一般的数学推理意识和能力 ３．继续体会知识的“发生”“发现”过程,培养研究问题、发现问题、解决问题的能力 通过诱导公式的应用提 升数学抽象和逻辑推理 素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　留恋于湖光山色,观山赏水,看山在水中倒映,山 的巍峨、水的柔媚在那一刻融合􀆺􀆺如果你的手中拿 着一个度数为α的角的模型,你观察一下湖中的这个 角的模型与你手中的这个角的模型有什么关系? 你 当然会准确地回答出来:对称,角α关于水平面对称 的角的度数是多少? 这两个角的三角函数值有什么 关系呢? 观察如图单位圆及角α与π２－α 的终边． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０２􀅰 必修第三册　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　数学B (１)角α的终边与π２－α 的终边有何关系? (２)若设任意角α的终边与单位圆的交点P１ 的坐标 为(x,y),那么角π２－α 的终边与单位圆的交点P２ 的 坐标是什么? [知识梳理] [知识点]　诱导公式五、六 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋１．诱导公式五、六 公式五 公式六 终边 关系 角π ２－α 与角α 的终 边 关 于 直 线 y ＝x 对称． 角π ２＋α 与角α的终 边垂直． 图形 公式 sin(π２ －α )＝ 　 　 　　, cos(π２ －α )＝ 　 　 　　． sin(π２ ＋α )＝ 　 　 　　, cos(π２＋α )＝　 　 　　． ２．诱导公式五、六可用语言概括 (１)函数值:π２±α 的正弦(余弦)值,分别等于α的　 　　　函数值． (２)符号:函数值前面加上一个把α看成锐角时原函 数值的符号． (３)本质:单位圆中,终边关于y＝x对称,互相垂直的 角的三角函数之间的关系． (４)应用:与诱导公式一~四结合用于三角函数式求 值、化简、证明． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．如何由公式四及公式五推导公式六? ２．从函数名称、符号两个方面观察诱导公式五、六, 有什么变化规律? [预习自测] １．若sin(π２＋θ )＜０,且cos(π２－θ )＞０,则θ是 (　　) A．第一象限角　　　　　　B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 ２．已知sinα＝２３ ,则cos(π２－α )＝　　　　． ３．已知cos(π６－α )＝２３ ,则sin(π３＋α )＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　利用诱导公式求值 [例１](１)已知tanα＝３,求 sin (α－π)＋cos(π－α) sin(π２－α )＋cos(π２＋α ) 的值． (２)已知sin(π３－α )＝１２ ,求cos(π６＋α )􀅰sin(２π３ ＋α)的值． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[思路点拨]　先化简,再求值． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 已知三角函数值,求其他三角函数值的解题思路 (１)观察:①观察已知的角和所求角的差异,寻求 角之间的关系; ②观察已知的三角函数名与所求的三角函数名的 差异． (２)转化:运用诱导公式将不同的角转化为相同的 角;将不同名的三角函数化为同名的三角函数． (３)注意:如π３－α 与π ６＋α ,π ３＋α 与π ６－α ,π ４－α 与π ４＋α 等互余,π ３＋θ 与２π ３－θ ,π ４＋θ 与３π ４－θ 等互补,遇到此类问题,不妨考虑两个角的和,要 善于利用角的变换来解决问题． 􀳀[变式训练] １．(１)已知cos(π２＋φ )＝ ３２ ,且|φ|＜ π ２ ,则tanφ＝ (　　) A．－ ３３　　B． ３ ３　　C．－ ３　　D．３ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１２􀅰 第七章　三角函数 (２)cos(π１２－θ )＝１３ ,则sin(５π１２＋θ )＝ (　　) A．１３　　B． ２ ２ ３ 　　C．－ １ ３　　D．－ ２ ２ ３ 　　　利用诱导公式化简三角函数式 [例２]化简: (１)cos (α－π) sin(π－α) 􀅰sin(α－π２ )cos(π２＋α ); (２) tan(２π－α)sin(－２π－α)sin(３π２＋α ) sin(α－π)cos(３π２－α ) ． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　 确定角的变换 → 确定诱导公式 → 代入公式化简 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 用诱导公式进行化简时的注意点 (１)化简后项数尽可能的少． (２)函数的种类尽可能的少． (３)分母不含三角函数的符号． (４)能求值的一定要求值． (５)含有较高次数的三角函数式,多用因式分解、 约分等． 􀳀[变式训练] ２．化简: sin(４π－α)cos(９π２＋α ) sin(１１π２ ＋α )cos(２π－α) － tan (５π－α) sin(３π－α)sin(π２－α ) ． 　　　利用诱导公式证明恒等式 [例３]求证: sinθ＋cosθ sinθ－cosθ＝ ２sin(θ－３π２ )cos(θ＋π２ )－１ １－２sin２(π＋θ) ． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[思路点拨]　先化简,再证明． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 三角恒等式的证明的策略 (１)遵循的原则:在证明时一般从左边到右边,或 从右边到左边,或左右归一,应遵循化繁为简 的原则． (２)常用的方法:定义法、化弦法、拆项拆角法、公 式变形法、“１”的代换法． 􀳀[变式训练] ３．求证:cos (６π＋θ)sin(－２π－θ)tan(２π－θ) cos(３π２＋θ )sin(３π２＋θ ) ＝－tanθ 　　　诱导公式的综合应用 [例４]在△ABC中,若sin(２π－A)＝－２sin(π－B), ３cosA＝－ ２cos(π－B),求△ABC的三个内角． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　先利用诱导公式化简已知的两个等 式,然后结合sin２A＋cos２A＝１,求出cosA 的值, 再利用A＋B＋C＝π进行求解． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２２􀅰 必修第三册　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　数学B 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．诱导公式综合应用要“三看” 一看角:①化大为小;②看角与角间的联系,可 通过相加、相减分析两角的关系． 二看函数名称:一般是弦切互化． 三看式子结构:通过分析式子,选择合适的方 法,如分式可对分子、分母同乘一个式子变形． ２．利用诱导公式解决三角形中有关问题的基本 方法 利用诱导公式解决三角形中有关问题时,既要 注意综合运用诱导公式、同角三角函数的基本 关系式,还要注意三角形的隐含条件———三角 形内角和等于１８０°,以及下面的公式的灵活 运用． 　在△ABC中,常用到以下结论: sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC, cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC, tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC, sin(A２＋ B ２ )＝sin(π２－ C ２ )＝cosC２ , cos(A２＋ B ２ )＝cos(π２－ C ２ )＝sinC２． 􀳀[变式训练] ４．已知f(α)＝ sin(π－α)cos(－α)sin(π２＋α ) cos(π＋α)sin(－α) ． (１)化简f(α); (２)若角A是△ABC的内角,且f(A)＝３５ ,求tanA－ sinA 的值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．已知cos(α－π)＝－ ５１３ ,且α 是第四象限角,则 sin(－２π＋α) (　　) A．－１２１３　　　B． １２ １３　　　C．± １２ １３　　　D． ５ １２ ２．若cos(α＋π)＝－２３ ,则sin(－α－３π２ )＝ (　　) A．２３　　　B．－ ２ ３　　　C． ５ ３　　　D．－ ５ ３ ３．化简sin(α＋π２ )􀅰cos(α－３π２ )􀅰tan(π２－α )的结 果是 (　　) A．１　　　B．sin２α　　　C．－cos２α　　　D．－１ ４．sin９５°＋cos１７５°的值为　　　　． ５．若 sin α＋３π２ æ è ç ö ø ÷ ＝ ３５ ,且 α 是 第 三 象 限 角,则 cosα＋２０２１π２ æ è ç ö ø ÷＝ (　　) A．３５　　　　　　B．－ ３ ５ C．４５ D．－ ４ ５ 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７．３　三角函数的性质与图像 ７．３．１　正弦函数的性质与图像 第１课时　正弦函数的性质与图像(一) 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．了解周期函数、周期、最小正周期的定义 ２．掌握函数y＝sinx 的单调性、奇偶性,会判断简单三角 函数的奇偶性 通过探索正余弦函数y＝sinx 的周期性、奇偶 性,重点提升直观想象、逻辑推理和数学抽象 素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀅰３２􀅰 第七章　三角函数