7.2 任意角的三角函数 7.2.4 诱导公式 第1课时诱导公式(一)-【创新教程】2024-2025学年高中数学必修第三册五维课堂（人教B版2019）

∴sinα＋cosα＝ (sinα＋cosα)２＝ １＋１２０１６９＝ １７ １３． 由 sinα－cosα＝７１３ , sinα＋cosα＝１７１３ , ì î í ïï ï 得 sinα＝１２１３ , cosα＝５１３． ì î í ïï ï ∴tanα＝sinαcosα＝ １２ ５． 方法二:由题意得 sinα－cosα＝ ７ １３ , sin２α＋cos２α＝１． { 解得 sinα＝－５１３ , cosα＝－１２１３ , ì î í ïï ï 或 sinα＝１２１３ , cosα＝５１３． ì î í ïï ï ∵０＜α＜π,∴sinα＞０, ∴ sinα＝１２１３ , cosα＝５１３． ì î í ïï ï ∴tanα＝sinαcosα＝ １２ ５． 变式训练 ５．解:(１)由sinα＋cosα＝１５ , 平方得２sinαcosα＝－２４２５ , ∴sinαcosα＝－１２２５． (２)∵(sinα－cosα)２＝１－２sinαcosα＝１＋２４２５＝ ４９ ２５ , ∴sinα－cosα＝±７５． 随堂步步夯实 １．BC　[由tanα＝sinαcosα 得cosα＝sinαtanα ,所以cosα＝－ １ １＋t２ ＜０,故α是第二、三象限角．] ２．C　[由tanα＝２,得sinα＝２cosα,且sin２α＋cos２a＝１,所 以５cos２α＝１,得cos２α＝１５ ,所以sin２α－cos２α＝３５． ] ３．A　[将等式sinα－cosα＝ ２两边平方,得到２sinαcosα＝ －１,整理得 １＋２sinαcosα＝０,即sin２α＋cos２α＋２sin αcosα＝０,所以(sinα＋cosα)２＝０,所以sinα＋cosα＝０, 由sinα－cosα＝ ２和sinα＋cosα＝０, 解得sinα＝ ２２ ,cosα＝－ ２２ , 故tanα＝sinαcosα＝－１． ] ４．解 析:由 题 意 得 sinα＋cosα＝ (sinα＋cosα)２ ＝ １＋２sinαcosα＝ ２． 答案:２ ５．证 明: 左 边 ＝ (sinα－cosα＋１)(sinα＋cosα＋１) (sinα＋cosα－１)(sinα＋cosα＋１) ＝ (sinα＋１)２－cos２α (sina＋cosα)２－１ ＝ (sin２α＋２sinα＋１)－(１－sin２α) sin２α＋cos２α＋２sinαcosα－１ ＝ ２sin ２α＋２sinα １＋２sinαcosα－１＝ ２sinα(sinα＋１) ２sinαcosα ＝ １＋sinα cosα ＝ 右 边,所以原等式成立． ７．２．４　诱导公式 第１课时　诱导公式(一) 课前预习学案 情境引入 　提示　β＝π＋α,P１ 与P２ 横坐标,纵坐标都互为相反数． 知识梳理 知识点一、相等　sinα　cosα　tanα 知识点二、１．－sinα　－cosα　tanα　－sinα　cosα　 －tanα　sinα　－cosα　－tanα [思考] １．提示:这两个角的终边不一定相同,如sinα＝sinβ＝ １ ２ , 则有可能是α＝３０°,β＝１５０°． ２．提示;函数的名称都没有变化,符号随角的象限而变化． 简记:函数名不变,符号看象限． ３．提示:诱导公式中角α可以是任意角,要注意正切函数中 要求α≠kπ＋π２ ,k∈Z． 预习自测 １．B　[∵１１４０°＝３×３６０°＋６０°,∴sin１１４０°＝sin(３×３６０° ＋６０°)＝sin６０°＝ ３２． ] ２．－４ ３．３２　 ３ ２ 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)sin２５π３ ＋tan － １５π ４( ) ＝sin ８π＋π３( )＋tan －４π＋ π ４( ) ＝sinπ３＋tan π ４＝ ３ ２＋１＝ ３＋２ ２ ． (２)sin８１０°＋cos３６０°－tan１１２５° ＝sin(２×３６０°＋９０°)＋cos(０°＋３６０°)－tan(３×３６０°＋４５°) ＝sin９０°＋cos０°－tan４５° ＝１＋１－１＝１． 变式训练 １．解:(１)因为cos２５π３ ＝cos (π ３＋８π )＝cosπ３＝ １ ２ , tan(－１５π４ )＝tan(－４π＋π４ )＝tanπ４＝１ , 所以cos２５π３ ＋tan (－１５π４ )＝１２＋１＝ ３ ２． (２)因为sin４２０°＝sin(３６０°＋６０°)＝sin６０°＝ ３２ , cos７５０°＝cos(２×３６０°＋３０°)＝cos３０°＝ ３２ , sin(－６９０°)＝sin(－２×３６０°＋３０°)＝sin３０°＝１２ , cos(－６６０°)＝cos(－２×３６０°＋６０°)＝cos６０°＝１２ , 所以sin４２０°cos７５０°＋sin(－６９０°)cos(－６６０°) ＝ ３２× ３ ２＋ １ ２× １ ２＝１． [例２]　[解](１)cos１７π６ ＝cos (２π＋５π６ )＝cos５π６ ＝cos(π－π６ ) ＝－cosπ６＝－ ３ ２． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３９􀅰 参考答案 (２)tan(－８５５°)＝－tan８５５°＝－tan(２×３６０°＋１３５°)＝ －tan１３５＝－tan(１８０°－４５°)＝tan４５°＝１． (３)原式＝tan(π－π４ )＋sin(２π－π６ ) ＝－tanπ４－sin π ６＝－１－ １ ２ ＝－３２． 变式训练 ２．解:①cos２１０°＝cos(１８０°＋３０°)＝－cos３０° ＝－ ３２． ②sin１１π４ ＝sin (２π＋３π４ )＝sin３π４＝sin (π－π４ ) ＝sinπ４＝ ２ ２． ③sin(－４３π６ )＝－sin(６π＋７π６ )＝－sin７π６ ＝－sin(π＋π６ )＝sinπ６＝ １ ２． ④cos(－１９２０°)＝cos１９２０°＝cos(５×３６０°＋１２０°) ＝cos１２０°＝cos(１８０°－６０°)＝－cos６０°＝－１２． [例３]　[解]　cos(５π６＋α )＝cos[π－(π６－α )] ＝－cos(π６－α )＝－ ３３． 变式训练 ３．解析:(１)当k为偶数时,A＝２;当k为奇数时,A＝－２．故 A 构成的集合为{－２,２}． (２)因为cos(α－５５°)＝－１３＜０ ,且α为第四象限角,所以 α－５５°是第三象限角, 所以sin(α－５５°)＝－ １－cos２(α－５５°)＝－２ ２３ , 所以sin(α＋１２５°)＝sin[１８０°＋(α－５５°)] ＝－sin(α－５５°)＝２ ２３ ． 答案:(１)C　(２)２ ２３ [例４]　[解析]　(１)f(α)＝－sinαcosαtanα－tanαsinα ＝cosα． (２)因为sinα＝－３５ ,且α是第四象限角, 所以f(α)＝cosα＝ １－sin２α＝ １－９２５＝ ４ ５． (３)f(－３１π３ )＝cos(－３１π３ )＝cos(－π３ )＝cosπ３＝ １ ２． 变式训练 ４．解:(１)原式＝cosαtan (π＋α) sinα ＝ cosα􀅰tanα sinα ＝sinαsinα＝１． (２)原式＝sin (４×３６０°＋α)􀅰cos(３×３６０°－α) cos(１８０°＋α)􀅰[－sin(１８０°＋α)] ＝sinα 􀅰cos(－α) (－cosα)􀅰sinα＝ cosα －cosα＝－１． 随堂步步夯实 １．C　[因为cos(－１７π４ )＝cos１７π４ ＝cos (４π＋π４ )＝cosπ４＝ ２ ２ ,tan１７π６ ＝tan (３π－ π６ )＝－tan π６＝－ ３ ３ ,所以cos (－１７π４ )􀅰tan１７π６ ＝－ ６ ６ ,故选C．] ２．B　[tan(２π３＋α )＝tan[π－(π３－α )]＝ －tan(π３－α )＝－１３． ] ３．解 析:sin (－ １ ５６０°)cos (－ ９３０°)－ cos (－ １ ３８０°)sin１４１０° ＝sin(－４×３６０°－１２０°)cos(－３×３６０°＋１５０°)－cos(－４ ×３６０°＋６０°)sin(４×３６０°－３０°) ＝sin(－１２０°)cos１５０°－cos６０°sin(－３０°) ＝－ ３２× (－ ３２ )＋１２× １ ２＝ ３ ４＋ １ ４＝１． 答案:１ ４．解析:sin(２２５°＋α)＝sin[(４５°＋α)＋１８０°] ＝－sin(４５°＋α)＝－５１３． 答案:－５１３ ５．解:(１)f(α)＝－sinαcosα (－tanα) (－tanα)sinα ＝－cosα． (２)∵sin(α－π)＝－sinα＝１５ , ∴sinα＝－１５． 又α是第三象限角, ∴cosα＝－２ ６５ ．∴f (α)＝２ ６５ ． (３)∵－３１π３ ＝－６×２π＋ ５π ３ , ∴f(－３１π３ )＝－cos(－６×２π＋５π３ ) ＝－cos５π３＝－cos π ３＝－ １ ２． 第２课时　诱导公式(二) 课前预习学案 情境引入 　(１)提示　它们的终边关于y＝x对称． (２)提示　由于角α的终边与角π２－α 的终边关于y＝x 对称,所以P２ 与P１ 关于y＝x对称,所以P２ 点的坐标为 (y,x)． 知识梳理 知识点　１．cosα　sinα　cosα　－sinα　２．(１)余弦(正弦) [思考] １．提示:sin(π２＋α )＝sin[π－(π２－α )] ＝sin(π２－α )＝cosα． cos(π２＋α )＝cos[π－(π２－α )] ＝－cos(π２－α )＝－sinα． ２．提示:函数名称改变,符号随象限变化而变化,即:函数名 改变,符号看象限． 预习自测 １．B　[由于sin(π２＋θ )＝cosθ＜０,cos(π２－θ )＝sinθ＞０, 所以角θ的终边落在第二象限,故选B．] ２．２３ ３．解析:sin(π３＋α )＝sin π２－ (π ６－α )[ ] ＝cos(π６－α )＝２３． 答案:２ ３ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４９􀅰 必修第三册　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　数学B １．(多选题)若tanα＝t(t≠０),且sinα＝－ t １＋t２ ,则 α可能是 (　　) A．第一象限角　　　　　　　B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 ２．若tanα＝２,则sin２α－cos２α的值为 (　　) A．１５ B． ２ ５ C．３５ D． ４ ５ ３．已知sinα－cosα＝ ２,则tanα＝ (　　) A．－１ B．－ ２２ C．２２ D．１ ４．已知０≤α≤π２ ,sinαcosα＝１２ ,则sinα＋cosα ＝　　　　． ５．求证:sinα－cosα＋１sinα＋cosα－１＝ １＋sinα cosα ． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７．２．４　诱导公式 第１课时　诱导公式(一) 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．借助单位圆推导诱导公式(二)(三)(四) ２．了解诱导公式的意义和作用 ３．能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和 证明问题 １．通过学习诱导公式的推导培养学生数学直观 和数学抽象素养 ２．根据诱导公式的应用提升逻辑推理和数学运 算素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　如图,作 P１ 关于原点的 对称点 P２,以OP２ 为终边的 角β与角α有什么关系? 角β, α的三角函数值之间有什么 关系? [知识梳理] [知识点一]　诱导公式一 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 终边相同的角的同一三角函数的值　　　,即 sin(α＋k􀅰２π)＝　　　　; cos(α＋k􀅰２π)＝　　　　; tan(α＋k􀅰２π)＝　　　　 (其中k∈Z)． 注:诱导公式一的结构特点 (１)其结构特点是函数名相同,左边角为α＋２kπ, 右边角为α． (２)由公式一可知,三角函数值有“周而复始”的变 化规律,即角的终边每绕原点旋转一周,函数值将 重复出现． (３)此公式也可以记为:sin(a＋k􀅰３６０°)＝sinα, cos(α＋k􀅰３６０°)＝cosα,tan(α＋k􀅰３６０°)＝tanα． 其中k∈Z． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．诱导公式一反映了“终边相同的角同一三 角函数的值相等”,反之,若两个角某一三角函数 值相等,则这两个角终边相同吗? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７１􀅰 第七章　三角函数 [知识点二]　诱导公式二、三、四 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋１．诱导公式 公式二 公式三 公式四 终 边 关 系 角π＋α 与角 α的终边关于 原点对称． 角－α 与角α 的终边关于x 轴对称． 角π－α与 角α 的 终 边 关 于 y 轴对称． 图 形 公 式 sin(π＋α)＝　 　　,cos(π＋ α)＝ 　 　 　, tan(π＋α)＝ 　　　． sin(－α)＝　 　 　,cos(－ α)＝ 　 　 　, tan(－α)＝　 　　． sin(π－α) ＝　　　, cos(π－α) ＝　　　, tan(π－α) ＝　　　． ２．本质:单位圆中,终边关于原点、x轴、y轴对称的角 的三角函数之间的关系． ３．作用: 公式二 将０~２π的角转化为０~π的角求值． 公式三 将负角转化为正角求值． 公式四 将π ２~π 的角转化为０~π２ 的角求值． ４．应用:通过诱导公式,将任意角的三角函数转化为 锐角三角函数,广泛应用于计算、化简、证明之中． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２．从函数名称和符号变化两个方面观察公 式一至公式四,你能发现什么规律? ３．诱导公式中角α不能是锐角吗? [预习自测] １．sin１１４０°的值为 (　　) A．－ ３２　　　　　　B． ３ ２ C．－１２ D． １ ２ ２．已知tanα＝４,则tan(π－α)＝　　　　． ３．cos(－３０)°＝　　　　,sin２π３＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　诱导公式一及运用 [例１]求下列各式的值: (１)sin２５π３ ＋tan － １５π ４ æ è ç ö ø ÷; (２)sin８１０°＋cos３６０°－tan１１２５°． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　此类问题的解答应先将角改写为 ２kπ＋α或k􀅰３６０°＋α(k∈Z)的形式,再运用诱导 公式一求值． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (１)诱导公式一的实质是终边相同的角的三角函 数值相等,作用是把求任意角的三角函数值转化 为０~２π角的三角函数值． (２)一些特殊角的三角函数值: 角α ０°３０°４５°６０° ９０° １２０°１５０°１８０°２７０°３６０° 角α的 弧度数 ０ π６ π ４ π ３ π ２ ２π ３ ５π ６ π ３π ２ ２π sinα ０ １２ ２ ２ ３ ２ １ ３ ２ １ ２ ０ －１ ０ cosα １ ３ ２ ２ ２ １ ２ ０ － １ ２ － ３ ２ －１ ０ １ tanα ０ ３ ３ １ ３ 不存 在 － ３ － ３３ ０ 不存 在 ０ 􀳀[变式训练] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８１􀅰 必修第三册　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　数学B １．求下列各式的值． (１)cos２５π３ ＋tan (－１５π４ ); (２)sin４２０°cos７５０°＋sin(－６９０°)cos(－６６０°)． 　　　给角求值问题 [例２]求下列各三角函数值: (１)cos１７π６ ;(２)tan(－８５５°);(３)tan３π４＋sin １１π ６ ． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　(１)利用诱导公式化正角为负角,化 大角为小角,化小角为锐角,再求值． (２)注意观察不同角之间的联系． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 利用诱导公式解决给角求值问题的步骤 􀳀[变式训练] ２．求下列各三角函数式的值: ①cos２１０°; ②sin１１π４ ; ③sin(－４３π６ ); ④cos(－１９２０°)． 　　　给值(式)求值问题 [例３]已知cos(π６－α )＝ ３３ ,求cos(５π６＋α )的值． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　５π６＋α＝π－ (π ６－α ),利用诱导公 式把要求角用已知角整体表示． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (１)解决条件求值问题时,首先要仔细观察条件与 所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的 差异及联系． (２)可以将已知式进行变形向所求式转化,或将所 求式进行变形向已知式转化． 􀳀[变式训练] ３．(１)已知A＝sin (kπ＋α) sinα ＋ cos(kπ＋α) cosα (k∈Z),则 A 构成的集合是 (　　) A．{－１,１,－２,２}　　　　B．{１,－１} C．{２,－２} D．{－２,－１,０,１,２} (２)已知cos(α－５５°)＝－１３ ,且α为第四象限角, 则sin(α＋１２５°)＝　　　　． 　　　化简求值问题 [例４]已知α是第四象限角,且 f(α)＝sin (π－α)cos(２π－α)tan(－α＋２π) tan(－α＋π)sin(３π－α) ． (１)化简f(α); (２)若sinα＝－３５ ,求f(α); (３)若α＝－３１π３ ,求f(α)． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　利用诱导公式将任意角的三角函数 转化为锐角的三角函数． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９１􀅰 第七章　三角函数 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．利用诱导公式一~四化简应注意的问题 (１)利用诱导公式主要是进行角的转化,从而达到 统一角的目的; (２)化简时函数名没有改变,但一定要注意函数的 符号有没有改变; (３)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化 简,一般采用切化弦,有时也将弦化切． ２．三角函数式的化简方法 (１)利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐 角三角函数． (２)常用“切化弦”法,即通常将表达式中的切函数 化为弦函数． (３)注意“１”的变形应用． 􀳀[变式训练] ４．化简: (１)cos (－α)tan(７π＋α) sin(π－α) ; (２)sin (１４４０°＋α)􀅰cos(α－１０８０°) cos(－１８０°－α)􀅰sin(－α－１８０°)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．cos(－１７π４ )tan１７π６ 的值为 (　　) A．－ ２２　　　　　　B．－ ３ ３ C．－ ６６ D． ３ ２ ２．已知tan(π３－α )＝１３ ,则tan(２π３＋α )＝ (　　) A．１３ B．－ １ ３ C．２ ３３ D．－ ２ ３ ３ ３．计算sin(－１５６０°)cos(－９３０°)－cos(－１３８０°)􀅰 sin１４１０°等于　　　　． ４．已 知 sin(４５° ＋α)＝ ５１３ ,则 sin(２２５° ＋α) ＝　　　　． ５．已知f(α)＝sin (π＋α)cos(２π－α)tan(－α) tan(－π－α)sin(－π－α) ． (１)化简f(α); (２)若α是第三象限角,且sin(α－π)＝１５ ,求f(α) 的值; (３)若α＝－３１π３ ,求f(α)的值． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第２课时　诱导公式(二) 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．掌握诱导公式五、六的推导,并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题 ２．对诱导公式一至六,能作综合归纳,体会出六组公式的共性与个性,培养由特殊 到一般的数学推理意识和能力 ３．继续体会知识的“发生”“发现”过程,培养研究问题、发现问题、解决问题的能力 通过诱导公式的应用提 升数学抽象和逻辑推理 素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　留恋于湖光山色,观山赏水,看山在水中倒映,山 的巍峨、水的柔媚在那一刻融合􀆺􀆺如果你的手中拿 着一个度数为α的角的模型,你观察一下湖中的这个 角的模型与你手中的这个角的模型有什么关系? 你 当然会准确地回答出来:对称,角α关于水平面对称 的角的度数是多少? 这两个角的三角函数值有什么 关系呢? 观察如图单位圆及角α与π２－α 的终边． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０２􀅰 必修第三册　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　数学B