7.2 任意角的三角函数 7.2.3 同角三角函数的基本关系式-【创新教程】2024-2025学年高中数学必修第三册五维课堂（人教B版2019）

７．２．３　同角三角函数的基本关系式 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关 系式 ２．理解同角三角函数的基本关系式 ３．能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化 简、求值和证明 １．通过同角三角函数基本关系式的推导提升学 生数学抽象和逻辑推理素养 ２．通过同角三角函数的基本关系式的应用,培 养学生数学运算素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] １．角的三角函数的定义是什么? ２．设角α的终边与单位圆位于点P(x,y),根据三角 函数的定义知y＝sinα,x＝cosα,yx＝tanα． (１)能否根据x,y的关系得到sinα,cosα,tanα的 关系? (２)公式sin２α＋cos２α＝１与tanα＝sinαcosα 对任意角 都成立吗? [知识梳理] [知识点]　同角三角函数的基本关系 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．同角三角函数的基本关系 基本关系式 语言描述 平方关系 sin２α＋cos２α＝１ 同一个角α的正弦、 余 弦 的 平 方 和 等 于１． 商数关系 sinα cosα＝tanα ,α ≠kπ＋π２ (k∈Z) 同一个角α的正弦、 余弦 的 商 等 于 角α 的正切． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．“同角”一词的含义是什么? ２．两个公式成立的条件分别是什么? ３．对任意的角α,sin２２α＋cos２２α＝１是否成立? ２．基本关系式的变形公式 sin２α＋cos２α＝１⇒ sin２α＝１－cos２α, cos２α＝１－sin２α, sinα＝± １－cos２α, cosα＝± １－sin２α, (sinα±cosα)２＝１±２sinαcosα． ì î í ï ï ïï ï ï ï tanα＝sinαcosα⇒ sinα＝tanαcosα, cosα＝sinαtanα．{ [预习自测] １．若sinα＝－５１３ ,且α为第四象限角,则tanα的值等 于 (　　) A．１２５　　　　　B．－ １２ ５ C．５１２ D．－ ５ １２ ２．已知sinφ＝－ ３ ５ ,且|φ|＜ π ２ ,则tanφ＝ (　　) A．－４３ B． ４ ３ C．－３４ D． ３ ４ ３．若sinθ＝３５ ,tanθ＜０,则cosθ＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４１􀅰 必修第三册　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　数学B 　　　利用基本关系式求值 [例１]已知cosα＝－４５ ,求sinα、tanα． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　先由平方关系求sinα,再由商数关 系求tanα． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 求三角函数值的方法 (１)已知sinθ(或cosθ),求tanθ常用以下方式求解 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋(２)已知tanθ,求sinθ(或cosθ)常用以下方式求解 当角θ的范围不确定且涉及开方时,常因三角函 数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论． 􀳀[变式训练] １．已知tanα＝４３ ,且α是第三象限角,求sinα,cosα 的值． 　　　正弦、余弦的齐次式化切求值 [例２]已知tanα＝３,求下列各式的值． (１)３cosα－sinα ３cosα＋sinα ; (２)２sin２α－３sinαcosα． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　化正弦、余弦为正切,再代入正切的 值求式子的值． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 己知角α的正切求关于sinα,cosα的齐次式的方法 (１)关于sinα,cosα的齐次式就是式子中的每一 项都是关于sinα,cosα的式子且它们的次数 之和相同,设为n次,将分子、分母同除以cos α的n 次幂,其式子可化为关于tanα的式子, 再代入求值． (２)若无分母时,把分母看作１,并将１用sin２α＋ cos２α来代换,将分子、分母同除以cos２α,可化 为关于tanα的式子,再代入求值． 􀳀[变式训练] ２．已知tanα＝２,则 (１)２sinα－３cosα４sinα－９cosα＝　　　　． (２)４sin２α－３sinαcosα－５cos２α＝　　　　． 　　　三角函数的化简 [例３]化简:sinα１－cosα 􀅰 tanα－sinα tanα＋sinα． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　本题中需化简的式子既有正弦、余弦, 也有正切且含有根号,故解答时,可先开方,后化简, 为此先“切化弦”,再构造“完全平方”后利用“平方关 系”开方化简． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 三角函数式化简的关键是公式的灵活运用,要分析 好同角三角函数间的关系,化简过程中常用的方 法有: (１)化切为弦,即把正切函数都化为正、余弦函数,从 而减少函数名称,达到化繁为简的目的． (２)对于含有根号的,常把根号里面的部分化成完全 平方式,然后去根号达到化简的目的． (３)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式 分解,或构造sin２α＋cos２α＝１,以降低函数次数,达到 化简的目的． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５１􀅰 第七章　三角函数 􀳀[变式训练] ３．化简下列各式: (１)cos４α＋sin２α(１＋cos２α); (２)tanα＋tanαsinαtanα＋sinα 􀅰(１＋ １cosα )􀅰 sinα １＋sinα． 　　　利用同角三角函数关系证明 [例４]求证:１－２sinαcosα cos２α－sin２α ＝１－tanα１＋tanα． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　等式的左边相对复杂,因此可考虑 从左边向右边证明． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 三角恒等式的证明实质是弄清楚等式两边的差 异,有目的的化简． (１)证明三角恒等式的基本原则:由繁到简． (２)常用方法:从左向右证;从右向左证;左、右两 边同时证． (３)常用技巧:切化弦、整体代换、“１”的代换等． 􀳀[变式训练] ４．求证:tanθ 􀅰sinθ tanθ－sinθ＝ １＋cosθ sinθ ． 　　　sinα±cosα与sinαcosα关系的应用 [例５]已知０＜α＜π,sinα－cosα＝７１３ ,求tanα． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　先求sinα＋cosα的值,再联立方程组, 求出sinα、cosα,再求tanα． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (１)sinα＋cosα,sinαcosα,sinα－cosα三个式子 中,已知其中一个,可以求其他两个,即“知一求 二”,它 们 的 关 系 是:① (sinα＋cosα)２ ＝１＋ ２sinαcosα;②(sinα－cosα)２＝１－２sinαcosα; ③(sinα＋cosα)２＋(sinα－cosα)２＝２; ④(sinα－cosα)２＝(sinα＋cosα)２－４sinαcosα． (２)求sinα＋cosα或sinα－cosα的值,要注意判 断它们的符号． (３)由sin２α＋cos２α＝１联立方程组也可以解得, 但要注意根据角的范围取舍解,这种方法计算量 较大． 􀳀[变式训练] ５．已知sinα＋cosα＝１５ ,求: (１)sinαcosα;(２)sinα－cosα． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６１􀅰 必修第三册　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　数学B １．(多选题)若tanα＝t(t≠０),且sinα＝－ t １＋t２ ,则 α可能是 (　　) A．第一象限角　　　　　　　B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 ２．若tanα＝２,则sin２α－cos２α的值为 (　　) A．１５ B． ２ ５ C．３５ D． ４ ５ ３．已知sinα－cosα＝ ２,则tanα＝ (　　) A．－１ B．－ ２２ C．２２ D．１ ４．已知０≤α≤π２ ,sinαcosα＝１２ ,则sinα＋cosα ＝　　　　． ５．求证:sinα－cosα＋１sinα＋cosα－１＝ １＋sinα cosα ． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７．２．４　诱导公式 第１课时　诱导公式(一) 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．借助单位圆推导诱导公式(二)(三)(四) ２．了解诱导公式的意义和作用 ３．能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和 证明问题 １．通过学习诱导公式的推导培养学生数学直观 和数学抽象素养 ２．根据诱导公式的应用提升逻辑推理和数学运 算素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　如图,作 P１ 关于原点的 对称点 P２,以OP２ 为终边的 角β与角α有什么关系? 角β, α的三角函数值之间有什么 关系? [知识梳理] [知识点一]　诱导公式一 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 终边相同的角的同一三角函数的值　　　,即 sin(α＋k􀅰２π)＝　　　　; cos(α＋k􀅰２π)＝　　　　; tan(α＋k􀅰２π)＝　　　　 (其中k∈Z)． 注:诱导公式一的结构特点 (１)其结构特点是函数名相同,左边角为α＋２kπ, 右边角为α． (２)由公式一可知,三角函数值有“周而复始”的变 化规律,即角的终边每绕原点旋转一周,函数值将 重复出现． (３)此公式也可以记为:sin(a＋k􀅰３６０°)＝sinα, cos(α＋k􀅰３６０°)＝cosα,tan(α＋k􀅰３６０°)＝tanα． 其中k∈Z． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．诱导公式一反映了“终边相同的角同一三 角函数的值相等”,反之,若两个角某一三角函数 值相等,则这两个角终边相同吗? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７１􀅰 第七章　三角函数 cos４π５＝－|OM →|,tan４π５＝－| AT′→|． 显然|MP→|＞|M′P′→|,符 号 皆正, ∴sin２π３＞sin ４π ５ ; |OM→|＜|OM′→|,符号皆负, ∴cos２π３＞cos ４π ５ ; |AT→|＞|AT′→|,符号皆负, ∴tan２π３＜tan ４π ５． 变式训练 ２．解:如图,在单位圆O 中分别作 出角５π ７ 的正弦线M１P１ →和２π ７ 的余 弦线OM２ →、正切线AT→． 由５π ７＝π－ ２π ７ 知,M１P１ →＝M２P２ →, 又π ４＜ ２π ７＜ π ２ , 易知cos２７π＜sin ５π ７＜tan ２π ７ ,故b＜a＜c． [例３]　[解]　(１)作直线y＝ ３２ 交单位圆于A,B 两点,连 接OA,OB,则OA 与OB 围成的区域(如图(１)所示的阴 影部分,包括边界),即为角α的终边的范围． 故满足要求的角α的集合为 α ２kπ＋π３≤α≤２kπ＋ ２π ３ ,k∈Z{ }． (２)作直线x＝－１２ 交单位圆于C,D 两点．连接OC,OD, 则OC与OD 围成的区域(如图(２)所示的阴影部分,包括 边界),即为角α的终边的范围． 故满足条件的角α的集合为 α ２kπ＋２π３≤α≤２kπ＋ ４π ３ ,k∈Z{ }． 变式训练 ３．解析:∵点P 在第一象限内, ∴ sinα－cosα＞０ , tanα＞０,{ ∴ sinα＞cosα , tanα＞０．{ 结合单位圆(如图所示)中三角函 数线及０≤α＜２π． 可知π ４＜α＜ π ２ 或π＜α＜５π４． [例４]　[解]　由题意,自变量x应满足不等式组 １－２cosx≥０, sinx－ ２２＞０ ,{ cosx≤１２ , sinx＞ ２２． ì î í ï ï ïï 则不等式组的解的集合如图(阴 影部分)所示, ∴ x ２kπ＋π３≤x＜２kπ＋ ３ ４π ,k∈Z{ }． 变式训练 ４．解:依题意 sinα≥０ , ２cosα－１＞０,{ 即 sinα≥０, cosα＞１２．{ 在 直 角 坐 标 系 中 作 单 位 圆,如 图 所示, 由三角函数线可得 ２kπ≤α≤２kπ＋π(k∈Z), ２kπ－π３＜α＜２kπ＋ π ３ (k∈Z),{ 解集为 图 中 阴 影 重 叠 的 部 分,故 原 不 等 式 组 的 解 集 为 α ２kπ≤α＜２kπ＋π３ ,k∈Z{ }． 随堂步步夯实 １．B　[依题意sinα＝１或sinα＝－１, ∴角α的终边在y 轴上．] ２．C　[π６ 和５π ６ 的正弦线关于y轴对称,长度相等; π ３ 和４π ３ 两角的正切线相同; π ４ 和５π ４ 的余弦线长度相等． 故①②③都正确,故选C．] ３．A　[如图所示,当x＝π４ 和x＝－３π４ 时,sinx＝cosx,故使sinx≤cosx成 立 的 x 的 一 个 变 化 区 间 是 －３π４ ,π ４[ ]．] ４．解析:不等式的解集如图所示(阴影部 分), ∴ αkπ－π６＜α＜kπ＋ π ２ ,k∈Z{ }． 答案:αkπ－π６＜α＜kπ＋ π ２ ,k∈Z{ } ５．解:由题意知,自变量x 应满足 １－ ２cosx≥０, 即cosx≤１２ , 则不等式组的解的集合如图(阴影部 分)所示, ∴函数的定义域为 x ２kπ＋π３≤x≤２kπ＋ ５π ３ ,k∈Z{ }． ７．２．３　同角三角函数的基本关系式 课前预习学案 情境引入 １．提示:sinα＝yr ,cosα＝xr ,tanα＝yx ． ２．(１)提示:sin２α＋cos２α＝１,tanα＝sinαcosα． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１９􀅰 参考答案 (２)提示:sin２α＋cos２α＝１对任意角α均成立,当α≠kπ＋ π ２ ,k∈Z时,tanα＝sinαcosα 成立． 知识梳理　知识点 [思考] １．提示:注意“同角”,这里“同角”有两层含义,一是“角相 同”,二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关 系式都成立,即与角的表达形式无关,如sin２３α＋cos２３α ＝１成立,但是sin２α＋cos２β＝１就不一定成立． ２．提示:公式sin２α＋cos２α＝１对α∈R成立, 公式sinα cosα＝tanα 适用的条件为{α|α≠π２＋kπ ,k∈Z}． ３．提示:成立． 预习自测 １．D　[∵sinα＝－５１３ ,且α为第四象限角, ∴cosα＝ １－sin２α＝１２１３ ,∴tanα＝sinαcosα＝ － ５ １２ ,故 选 D．] ２．C　[∵sinφ＝－ ３ ５ , ∴cos２φ＝１－sin２φ＝１－(－ ３ ５ )２＝１６２５ , 又|φ|＜ π ２ ,即－π２＜φ＜ π ２ , ∴cosφ＝ ４ ５ , 从而tanφ＝ sinφ cosφ ＝ －３５ ４ ５ ＝－３４． ] ３．解析:由sinθ＝３５＞０ ,tanθ＜０得cosθ＜０, 故cosθ＝－ １－sin２θ＝－４５． 答案:－４５ 课堂互动学案 [例１]　[解]　由sin２α＋cos２α＝１ 得sin２α＝１－ －４５( ) ２ ＝ ３５( ) ２ ． 又因为cosα＝－４５＜０ , 所以α是第二或第三象限角． 当α在第二象限时,sinα＞０, sinα＝３５ ,tanα＝sinαcosα＝－ ３ ４ ; 当α在第三象限时,sinα＜０, sinα＝－３５ ,tanα＝sinαcosα＝ ３ ４． 变式训练 １．解:由tanα＝sinαcosα＝ ４ ３ ,得sinα＝４３cosα , ① 又sin２α＋cos２α＝１, ② 由①②,得１６９cos ２α＋cos２α＝１,即cos２α＝９２５． 又α在第三象限, ∴cosα＝－３５ ,sinα＝４３cosα＝－ ４ ５． [例２]　[解]　(１)原式＝ ３cosα－sinα cosα ３cosα＋sinα cosα ＝ ３－tanα ３＋tanα ＝ ３－３ ３＋３ ＝ ３－２． (２)原式＝２sin ２α－３sinαcosα sin２α＋cos２α ＝ ２sin２α－３sinαcosα cos２α sin２α＋cos２α cos２α ＝２tan ２α－３tanα tan２α＋１ ＝２×３ ２－３×３ ３２＋１ ＝９１０． 变式训练 ２．解析:(１)２sinα－３cosα４sinα－９cosα＝ ２tanα－３ ４tanα－９＝ ２×２－３ ４×２－９＝－１． (２)４sin２α－３sinαcosα－５cos２α ＝４sin ２α－３sinαcosα－５cos２α sin２α＋cos２α ＝４tan ２α－３tanα－５ tan２α＋１ ＝４×４－３×２－５４＋１ ＝１． 答案:(１)－１　(２)１ [例３]　[解]　原式＝ sinα１－cosα 􀅰 sinα cosα－sinα sinα cosα＋sinα ＝ sinα１－cosα 􀅰 １－cosα １＋cosα＝ sinα １－cosα 􀅰 (１－cosα) ２ １－cos２α ＝ sinα１－cosα 􀅰１－cosα |sinα|＝±１． 变式训练 ３．解:(１)原式＝cos４α＋sin２αcos２α＋sin２α ＝cos２α(cos２α＋sin２α)＋sin２α ＝cos２α＋sin２α＝１． (２)原 式 ＝ tanα (１＋sinα) tanα＋tanαcosα 􀅰１＋cosα cosα 􀅰 sinα １＋sinα＝ １＋sinα １＋cosα 􀅰１＋cosα cosα 􀅰 sinα １＋sinα＝ sinα cosα＝tanα． [例４]　[证明]　左边＝sin ２α－２sinαcosα＋cos２α cos２α－sin２α ＝ (cosα－sinα)２ (cosα－sinα)(cosα＋sinα) ＝cosα－sinαcosα＋sinα＝ １－tanα １＋tanα＝ 右边． ∴原等式成立． 变式训练 ４．证明:左边＝ sinθ cosθ 􀅰sinθ sinθ cosθ－sinθ ＝ sin ２θ sinθ－sinθcosθ ＝ １－cos ２θ sinθ(１－cosθ)＝ (１－cosθ)(１＋cosθ) sinθ(１－cosθ) ＝１＋cosθsinθ ＝ 右边, ∴原等式成立． [例５]　[解]　方法一:∵(sinα－cosα)２＝ １－２sinαcosα＝４９１６９ , ∴sinαcosα＝６０１６９＞０． 又由０＜α＜π知sinα＞０, ∴cosα＞０,∴sinα＋cosα＞０． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２９􀅰 必修第三册　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　数学B ∴sinα＋cosα＝ (sinα＋cosα)２＝ １＋１２０１６９＝ １７ １３． 由 sinα－cosα＝７１３ , sinα＋cosα＝１７１３ , ì î í ïï ï 得 sinα＝１２１３ , cosα＝５１３． ì î í ïï ï ∴tanα＝sinαcosα＝ １２ ５． 方法二:由题意得 sinα－cosα＝ ７ １３ , sin２α＋cos２α＝１． { 解得 sinα＝－５１３ , cosα＝－１２１３ , ì î í ïï ï 或 sinα＝１２１３ , cosα＝５１３． ì î í ïï ï ∵０＜α＜π,∴sinα＞０, ∴ sinα＝１２１３ , cosα＝５１３． ì î í ïï ï ∴tanα＝sinαcosα＝ １２ ５． 变式训练 ５．解:(１)由sinα＋cosα＝１５ , 平方得２sinαcosα＝－２４２５ , ∴sinαcosα＝－１２２５． (２)∵(sinα－cosα)２＝１－２sinαcosα＝１＋２４２５＝ ４９ ２５ , ∴sinα－cosα＝±７５． 随堂步步夯实 １．BC　[由tanα＝sinαcosα 得cosα＝sinαtanα ,所以cosα＝－ １ １＋t２ ＜０,故α是第二、三象限角．] ２．C　[由tanα＝２,得sinα＝２cosα,且sin２α＋cos２a＝１,所 以５cos２α＝１,得cos２α＝１５ ,所以sin２α－cos２α＝３５． ] ３．A　[将等式sinα－cosα＝ ２两边平方,得到２sinαcosα＝ －１,整理得 １＋２sinαcosα＝０,即sin２α＋cos２α＋２sin αcosα＝０,所以(sinα＋cosα)２＝０,所以sinα＋cosα＝０, 由sinα－cosα＝ ２和sinα＋cosα＝０, 解得sinα＝ ２２ ,cosα＝－ ２２ , 故tanα＝sinαcosα＝－１． ] ４．解 析:由 题 意 得 sinα＋cosα＝ (sinα＋cosα)２ ＝ １＋２sinαcosα＝ ２． 答案:２ ５．证 明: 左 边 ＝ (sinα－cosα＋１)(sinα＋cosα＋１) (sinα＋cosα－１)(sinα＋cosα＋１) ＝ (sinα＋１)２－cos２α (sina＋cosα)２－１ ＝ (sin２α＋２sinα＋１)－(１－sin２α) sin２α＋cos２α＋２sinαcosα－１ ＝ ２sin ２α＋２sinα １＋２sinαcosα－１＝ ２sinα(sinα＋１) ２sinαcosα ＝ １＋sinα cosα ＝ 右 边,所以原等式成立． ７．２．４　诱导公式 第１课时　诱导公式(一) 课前预习学案 情境引入 　提示　β＝π＋α,P１ 与P２ 横坐标,纵坐标都互为相反数． 知识梳理 知识点一、相等　sinα　cosα　tanα 知识点二、１．－sinα　－cosα　tanα　－sinα　cosα　 －tanα　sinα　－cosα　－tanα [思考] １．提示:这两个角的终边不一定相同,如sinα＝sinβ＝ １ ２ , 则有可能是α＝３０°,β＝１５０°． ２．提示;函数的名称都没有变化,符号随角的象限而变化． 简记:函数名不变,符号看象限． ３．提示:诱导公式中角α可以是任意角,要注意正切函数中 要求α≠kπ＋π２ ,k∈Z． 预习自测 １．B　[∵１１４０°＝３×３６０°＋６０°,∴sin１１４０°＝sin(３×３６０° ＋６０°)＝sin６０°＝ ３２． ] ２．－４ ３．３２　 ３ ２ 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)sin２５π３ ＋tan － １５π ４( ) ＝sin ８π＋π３( )＋tan －４π＋ π ４( ) ＝sinπ３＋tan π ４＝ ３ ２＋１＝ ３＋２ ２ ． (２)sin８１０°＋cos３６０°－tan１１２５° ＝sin(２×３６０°＋９０°)＋cos(０°＋３６０°)－tan(３×３６０°＋４５°) ＝sin９０°＋cos０°－tan４５° ＝１＋１－１＝１． 变式训练 １．解:(１)因为cos２５π３ ＝cos (π ３＋８π )＝cosπ３＝ １ ２ , tan(－１５π４ )＝tan(－４π＋π４ )＝tanπ４＝１ , 所以cos２５π３ ＋tan (－１５π４ )＝１２＋１＝ ３ ２． (２)因为sin４２０°＝sin(３６０°＋６０°)＝sin６０°＝ ３２ , cos７５０°＝cos(２×３６０°＋３０°)＝cos３０°＝ ３２ , sin(－６９０°)＝sin(－２×３６０°＋３０°)＝sin３０°＝１２ , cos(－６６０°)＝cos(－２×３６０°＋６０°)＝cos６０°＝１２ , 所以sin４２０°cos７５０°＋sin(－６９０°)cos(－６６０°) ＝ ３２× ３ ２＋ １ ２× １ ２＝１． [例２]　[解](１)cos１７π６ ＝cos (２π＋５π６ )＝cos５π６ ＝cos(π－π６ ) ＝－cosπ６＝－ ３ ２． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３９􀅰 参考答案