7.1 任意角的概念与弧度制 7.1.2 弧度制及其与角度制的换算-【创新教程】2024-2025学年高中数学必修第三册五维课堂（人教B版2019）

必修第三册 数学B 变式训练 4.提示：知二求二 4.D[90°+k·360°<a<180°+360°·kk∈Z 5.提示：与半径大小无关，一定大小的圆心角a所对应的孤 .30°+120°.k<g<60°+120°·kk∈Z 长与半径的比值是唯一确定的 预习自测 当k=0时，30<号<60，号是第-象限角， 1.D2.C 当k=1时，150<号<180，号是第二象限角. 解桥：角彩的圆心角为a=60=晋，故孤长为1=兰，面积 当=2时，270<号<300，号是第四象限角.] 为5=号×号×2- 3 随堂步步夯实 答案号 1.D[A中的角应与直角终边相同，B中如480°不是纯角， C中如300°不是负角.只有D正确.] 课堂互动学案 2.B[600°=240°+360°， [例1][解](1)20230'=202.5°= .600°与240°终边相同. .与600°终边相同的角即为与240°终边相同. (2) 12= ×()】 =-75°. ,,选B.」 3.解析：因为a与120°角终边相同， （3)方法-（化为教度）：a=15”=15×高0=登 故有a=k·360°+120°，k∈Z. 又因为-990°<a<-630°， 0=105=-105×7高-倍 所以一990°<k·360°+120°<-630°， 即-1110°<k·360°<-750 显然<1<径故a<K7了0= 当k=-3时，a=(-3)×360°+120°=-960°. 方法二（化为角度）： 答案：一960° 4.解析：集合{ak·180°≤a≤k·180°+45°，x∈Z}中，当k -×(0）=187-15.30 为偶数时，此集合与{a0≤x≤45}表示终边相同的角， 位于第一象限：当k为奇数时，此集合与{a180°≤a≤ ×(=105 225°}表示终边相同的角，位于第三象限.所以集合(ak· 显然，15°<18°<57.30°<105°.故a<9y<0=9. 180°≤a≤k·180°+45°，k∈Z)中角表示的范围为图② 变式训练 所示. 答案：② 1.解：(1)511 511× = 6 12 =15330. i解：1令-360<30+k·90<360,得-号<<号 2×() -105 又k∈Z,∴.k=-4,-3.-2,-1,0,1,2,3.∴.集合M中 大于一360°且小于360°的角共有8个，分别是一330°，一 (310=10×高-意 240°，-150°，-60°.30°，120°，210°，300°. (2),集合M中的第二象限角与120°角的终边相同， )-855=-855×7高0=-1g 4 ∴.3=120°+k·360°，k∈Z. [例2][解]角的终边在x轴上的角的集合为 7.1.2弧度制及其与角度制的换算 {aa=kr,k∈Z},角的终边在y轴上的角的集合 课前预习学案 情境引入 为{aa=受+eZ: 1.提示：周角的等于1度。 ∴。角的终边在坐标轴上的角的集合为 2.提示：有不同的单位制，即弧度制. aa=U{e=登+，z 知识梳理 {oe=0·受ezea=2+D…受e 知识点一1.360 2.(1)半径长圆心角(2)正数负数 -={aa-受e 0(3) 变式训练 知识点二、1.2x360°180° 0.01745 80 5π 180 2.解析：(10a1三-570=-50x=-r=-2×2x+石 180 6 57.30 知识点三恐 aR nR2 360 RaR 4=760°=70-2管=2×2x+音 1806 19r 25π [思考] 故a1= 6a2= @1的终边在第二象限，2的终边 1,提示：一定大小的圆心角a所对应的弧长与半径的比值 在第一象限。 是唯一确定的.所以1孤度的角的大小与圆的半径无关， 2.提示：计算时，我们要特别注意πrad=180°，用这个公式 （2月-5-号X18w-108 进行互化即可. =-=-×180=-60 3.提示：-否120， 设4=108+k1·360°(k1∈Z), ·88 参考答案 02=-60°+k2·360°(k2∈Z), 7.2任意角的三角函数 令-720°≤01≤-180°，-720°≤0≤-180°， 7.2.1三角函数的定义 即-720°≤108+k1·360°≤-180°(k1∈Z) 课前预习学案 -720°≤-60°+k2·360°≤-180°(k2∈Z) 情境引入 得k1=-2或k1=-1.k2=-1. 提示：当a在第一象限时，sina>0,cosa>0,tana>0:当 故在[一720°，一180门内，与月终边相同的角是一612°和 a在第二象限时，sina>0,cosa<0,tana<0;当a在第三 一252°，与32终边相同的角是一420°. 象限时，sina<0,cosa<0,tana>0;当a在第四象限时， [例3][解](1)因为扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心 sin a<0,cos a>0,tan a<0. 角为学所以半径r=1。=2 知识梳理 知识点一兰 r 知识点二、(1)一二三四一四二三一三二四 所以这个圆心角所对的孤长1=2,5×2红-43x [思考] 339 L.提示：a终边在xr轴非负半轴时，sina=0, (2)由(1)得扇形的面积S=}×23×43x=4红 cos a=1,tan a=0; 2 3 9 9 a终边在y轴非负半轴时，sina=1,cosa=0,tana不 变式训练 存在； 1(1解折：周为135-1-平所以扇彩的半径为 a终边在x轴非正半轴时，sina=0,cosa=-1,tana=0: a终边在y轴非正半轴时，sina=一I,cosa=0,tana不 4 存在. 4,面积为2×3xX4=6元 2.提示：不会，三角函数也是函数，是以角为自变量，以单位 圆上点的坐标（坐标的比值）为函数值的函数；三角西数 答案：46π 值只与角a的大小有关，即由角a的终边位置决定. (2)解：设扇形的圆心角为0，半径为r,孤长为1，面积为 3.提示：由三角函数定义可知，三角函数在各象限的特号由 S,则1十2r=40所以1=40-2r, 角▣终边上任意一点的坐标来确定. 所以S=2r=2×(40-2rr=-(-10P+10. 预习自测 1.B2.C 所以当半径r=10cm时，扇形的面积最大，最大值为100 m,这时0-40-2X10=2d A-+6w。-不 -6 10 随堂步步夯实 =-是所以b=] 课堂互动学案 1.C[:-K-3radK-受-3rad是第三象限角.】 [例1]解：因为点P的坐标为（一3a,4a)(a≠0），原点 2B[-30=-300X高=-警] 为O, 所以r=1OP1=√(-3a)2+(4a)2=5al. 3.解析：25=吾十42与君终边相网， 66 6 1.当a>0时，则r=5a,角a在第二象限，sina=义= r 5a :2管是第一象限角。 eosa=子==-号所以2sna+cosa= 8 5a 答案：一 g1 1 4.解析：设扇形半径为r,则 2a2-1,1a=2, 1.当a<0时，则r=一5a,角a在第四象限， 1r=1. ar=2, -5d ÷AB的长为2rsin受=2sin1. 所以2ne十cos=-号+号-1 答案：22sin1 综上所述，2sina十cosa=士1. 5.解：(1)：-800°=-3×360°+280°.280°=14 变式训练 开 1.解析：由题意得x=m,y=3.∴r=OP=√m2+3, ÷a=-80°=14+(-3)×2元 9 .cos a= =2+34,很明显m>0, “。与角1终边相同心e是第四象限角。 解得m=√5 (2):与。终边相同的角可写为2kx十1，kEZ的形式， 答案：5 [例2]解析：在直线y=2.x上任取一点P(t,21)(t≠0) 而7与a的终边相同心7-2张x十售，k∈乙 则r=√2+(21)2=51t1, ①若>0时，则r=5.从而ma=后兰6，」 解得k=-1y=一2x十14x=-红 cos a= 1=5 9 91 -,tana==2. ·89·７．１．２　弧度制及其与角度制的换算 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．理解弧度的角的定义,了解弧度制的概念,能进行角度与弧度之间 的互化 ２．体会引入弧度制的必要性 ３．理解弧度制下弧长与面积公式 通过学习弧度制的有关概念及表示, 重点培养学生的数学抽象、直观想象 素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] １．在初中学过的角度制中,１度的角是如何规定的? ２．在我们度量长度时,有时用“米”作单位,有时用 “尺”作单位,有不同的单位制,度量质量时,可以使 用“千克”“磅”等不同的单位制,角的度量除了角度 制之外,是否也有不同的单位制呢? [知识梳理] [知识点一]　度量角的单位制 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．角度制 用度作为单位来度量角的单位制叫作角度制,规定 周角的　　　　等于１度,记作１°． ２．弧度制 (１)弧度制的定义 长度等于　　　　的弧所对的　　　　叫作１弧 度的角,用符号rad表示,读作弧度． 以弧度作为单位来度量角的单位制叫作弧度制． (２)任意角的弧度数与实数的对应关系 正角的弧度数是一个　　　　;负角的弧度数是 一个　　　　;零角的弧度数是　　　． (３)角的弧度数的计算 如果半径为r的圆的圆心角α 所对弧的长为l,那 么,角α的弧度数的绝对值是|α|＝　　　　． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．１弧度的定义中,１弧度的角的大小与圆 的半径是否有关系? [知识点二]　角度与弧度的换算 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．角度与弧度的换算 角度化弧度 弧度化角度 ３６０°＝　　　　rad ２πrad＝　　　 １８０°＝πrad πrad＝　　　 １°＝　　　　rad ≈　　　　rad １rad＝　　　　　 ≈　　　　 ２．常用特殊角在两种制度下的对应关系 度 ０° １５°３０°４５°６０°７５°９０°１２０°１３５° １５０° 弧 度 ０ π１２ π ６ π ４ π ３ ５π １２ π ２ ２π ３ ３π ４ ５π ６ 度 １８０°２１０°２２５°２４０°２７０°３００°３１５°３３０°３６０° 弧 度 π ７π６ ５π ４ ４π ３ ３π ２ ５π ３ ７π ４ １１π ６ ２π 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２．角度制、弧度制都是角的度量制,那么 它们之间换算的关键是什么? ３．－３０°转化为弧度是多少弧度? ２π３ 转化为角度是 多少度? [知识点三]　扇形的弧长及面积公式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 设扇形的半径为R,弧长为l,圆心角为α(n°),则 　 　度量单位 类别　　　 n为角度制 (０°＜n°＜３６０°) α为弧度制 (０＜α＜２π) 扇形的弧长 l＝　　　　 l＝　　 扇形的面积 S＝　　　 S＝　　＝　　 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５􀅰 第七章　三角函数 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４．在弧度制下,扇形的弧长公式与面积公 式中有四个量α、R、l、S,根据公式已知几个量可 以求其他量呢? ５．你认为式子|α|＝lr 中,比值l r 与所取的圆的半 径大小是否有关? [预习自测] １．下列语句正确的是 (　　) A．一弧度是一度的圆心角所对的弧 B．一弧度是长度等于半径的圆弧所对的圆周角 C．一弧度的圆心角所对的弧长为１ D．一弧度的圆心角所夹弧长等于半径 ２．下列各式正确的是 (　　) A．π＝１８０　　　　　　　　B．π＝３．１４ C．９０°＝π２rad D．１rad＝π ３．已知扇形的圆心角为６０°,半径为２,则扇形的弧长 为　　　　,扇形的面积为　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　角度制与弧度制的换算 [例１](１)把２０２°３０′化成弧度; (２)把－５１２π 化成角度; (３)已知α＝１５°,β＝ π １０ ,γ＝１rad,θ＝１０５°,φ＝ ７π １２ , 试比较α、β、γ、θ、φ的大小． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　第(１)(２)小题可直接利用１°＝ π１８０ rad,１rad＝ １８０π æ è ç ö ø ÷°进行转化,第(３)小题可先统 一单位,由于用弧度表示的角较多,可统一为弧 度,再根据实数大小进行比较． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．角度与弧度的理解 (１)引入弧度制后,角的集合与实数集建立了一一 对应关系． (２)用角度制和弧度制来度量零角,单位不同,但 数量相同(都是０);用角度制和弧度制度量任 意非零角,单位不同,数量也不同． (３)牢记１８０°＝πrad,充分利用其进行角度制与 弧度制互化． (４)角度的单位“􀳱”不可省略,而弧度的单位“rad” 可以省略． (５)在同一个式子中,角度、弧度不能混合使用． ２．解答角度与弧度的互化问题的关键在于抓住 “π＝１８０°”这一关系,由它可以得:度数× π１８０＝ 弧度数,弧度数× １８０π æ è ç ö ø ÷°＝度数,同时还要牢 记一些特殊角的度数与弧度数的对应关系． ３．将角度化为弧度,当角度制中含有“分”“秒”单 位时,应先将它们统一化为“度”表示,再利用 “１°＝ π１８０rad ”化为弧度即可． 􀳀[变式训练] １．将下列角度与弧度进行互化: (１)５１１６π ;(２)－７π１２ ;(３)１０°;(４)－８５５°． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６􀅰 必修第三册　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　数学B 　　　用弧度制表示任意角 [例２]用弧度制表示终边在坐标轴上的角的集合． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　先表示出终边在x轴、y轴上的角 的集合,再求它们的并集． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．弧度制下角的集合表示 可联想角度制下的角的集合表示,再转化为弧 度制,求象限角、区域角．难点是区间合并时,要 作到准确无误．如本题中,前一集合是以π２ 的偶 数倍表示,后一集合是以π ２ 的奇数倍表示,两者 合并,即用π ２ 的整数倍表示． ２．用弧度制表示终边相同角的两个关注点 (１)用弧度制表示终边相同的角２kπ＋α(k∈Z) 时,其中２kπ是π的偶数倍,而不是整数倍． (２)还要注意角度制与弧度制不能混用． 􀳀[变式训练] ２．已知α１＝－５７０°,α２＝７５０°,β１＝ ３π ５ ,β２＝－ π ３． (１)将α１,α２ 用弧度制表示出来,并指出它们各自的 终边所在的象限． (２)将β１,β２ 用角度制表示出来,并在 [－７２０°, －１８０°]内找出与它们终边相同的所有角． 　　　扇形的弧长公式及面积公式 [例３]已知扇形的圆心角所对的弦长为２,圆心角为 ２π ３． 求: (１)这个圆心角所对的弧长; (２)这个扇形的面积． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[思路点拨]　利用弧长公式和面积公式直接求解． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 关于弧度制下扇形问题的解决方法 (１)三个公式:|α|＝lr ,S＝１２lr＝ １ ２αr ２,要恰当选择 公式,建立未知量、已知量间的关系,通过解方程 (组)求值． (２)弧长、面积的最值:利用圆心角的弧度数、半径表 示出弧长(面积),利用函数知识求最值,一般利 用二次函数的最值求解． 􀳀[变式训练] ３．(１)弧长为３π．圆心角为１３５°的扇形的半径为　　　 　,面积为　　　　． (２)已知一扇形的周长为４０cm,当它的半径和圆心 角取什么值时,才能使扇形的面积最大? 最大面积 是多少? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７􀅰 第七章　三角函数 １．已知α＝－３rad．则α是 (　　) A．第一象限角　　　　　B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 ２．将－３００°化为弧度数为 (　　) A．－４３π B．－ ５ ３π C．－７６π D．－ ７π ４ ３．角２５π６ 是第　　　　象限角． ４．如图,扇形AOB 的面积是１,它的 弧长是２,则扇形的圆心角α的弧 度数为　　　　　　;弦 AB 的 长为　　　　． ５．已知α＝－８００°． (１)把α改写成β＋２kπ(k∈Z,０≤β＜２π)的形式,并 指出α是第几象限角; (２)求γ,使γ与α的终边相同,且γ∈(－π２ ,π ２ )． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７．２　任意角的三角函数 ７．２．１　三角函数的定义 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义 ２．掌握三角函数在各象限的符号 通过学习三角函数的定义培养学生直观想 象和数学抽象素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　根据三角函数的定义,各个三角函数值是用单位 圆上点的坐标表示的,当角在不同象限时,其与单位 圆的交点坐标的符号就不同,因此其各个三角函数值 的正负就不同,你能推导出sinα,cosα,tanα在不同 象限内的符号吗? [知识梳理] [知识点一]　利用角α终边上一点的坐标定义三角 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 函数 􀪋􀪋 　如图所示,设α是一个任意角,它的终边上任意一 点P(不与原点O 重合)的坐标为(x,y),点P 与原 点的距离为r, 则sinα＝　　　　,cosα＝　　　　,tanα＝　　 　　． 其中r＝ x２＋y２ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．终边在坐标轴的角α的三角函数值分别 是什么? ２．对于确定的角α,请问三角函数的结果会随点P 在α终边上的位置的改变而改变吗? [知识点二]　三角函数值的符号 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋(１)图形表示: 正弦:　　　象限正,　　象限负; 余弦:　　　象限正,　　象限负; 正切:　　　象限正,　　象限负． (２)记忆口诀:一全正、二正弦、三正切、四余弦． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８􀅰 必修第三册　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　数学B