7.1 任意角的概念与弧度制 7.1.1 角的推广-【创新教程】2024-2025学年高中数学必修第三册五维课堂（人教B版2019）

７．１　任意角的概念与弧度制 ７．１．１　角的推广 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．了解角的概念 ２．掌握正角、负角和零角的概念,理解任意角的意义 ３．熟练掌握象限角、终边相同的角的概念,会用集合符号表 示这些角 １．根据角的概念培养数学直观和逻辑推理素养 ２．通过学习终边相同的角,象限角提升数学建 模素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] １．当钟表慢了(或快了)一点时,我们会将分针按某个 方向转动,把时间调整准确,在调整的过程中,分针 转动的方向是否相同? ２．在跳水比赛中,运动员会做出“转体两周”“向前翻 转两周半”等动作,做上述动作时,运动员转体多少 度? 转过的度数还能用０°到３６０°的角表示吗? [知识梳理] [知识点一]　任意角的概念 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．角的概念 角可以看成平面内　　　　绕着它的　　　　旋 转所成的图形． ２．角的表示 如图,① 始 边:射 线 的 　 　 　 位 置OA; ②终边:射线的　　　位置OB; ③顶点:射线的端点O; ④记 法:图 中 的 角α 可 记 为 “角α”或 “∠α”或 “∠AOB”． ３．角的分类 名称 定义 图形 正角 一条射线绕其端点 按　　　方向旋转 形成的角 负角 一条射线绕其端点 按　　　方向旋转 形成的角 零角 一条射线没有作　 　旋转形成的角 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．当角的始边和终边确定后,这个角就被确 定了吗? ２．你能说出角的三要素吗? ３．正角、负角、零角是根据什么区分的? ４．如果一个角的终边与其始边重合,这个角一定是 零角吗? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１􀅰 第七章　三角函数 [知识点二]　平面直角坐标系中的任意角 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．象限角 在平面直角坐标系中,若角的顶点与　　　　重 合,角的始边与　　　轴的非负半轴重合,那么,角 的　　　　在第几象限,就说这个角是第几　　　 　;如果角的终边在　　　　　,就认为这个角不 属于任何一个象限． ２．各象限角的集合 象限角 象限角α的集合表示 第一象限角 {α|k􀅰３６０°＜α＜k􀅰３６０°＋９０°,k∈Z} 第二象限角 {α|k􀅰３６０°＋９０°＜α＜k􀅰３６０°＋１８０°,k∈Z} 第三象限角 {α|k􀅰３６０°＋１８０°＜α＜k􀅰３６０°＋２７０°,k∈Z} 第四象限角 {α|k􀅰３６０°＋２７０°＜α＜k􀅰３６０°＋３６０°,k∈Z} ３．终边落在坐标轴上的角 终边落在x 轴的非负 半轴上的角的集合 {α|α＝k􀅰３６０°,k∈Z} 终边落在x 轴的非正 半轴上的角的集合 {α|α＝k􀅰３６０°＋１８０°,k∈Z} 终边落在x 轴上的角 的集合 {α|α＝k􀅰１８０°,k∈Z} 终边落在y 轴的非负 半轴上的角的集合 {α|α＝k􀅰３６０°＋９０°,k∈Z} 终边落在y 轴的非正 半轴上的角的集合 {α|α＝k􀅰３６０°＋２７０°．k∈Z} 终边落在y 轴上的角 的集合 {α|α＝k􀅰１８０°＋９０°,k∈Z} 终边落在坐 标 轴 上 的 角的集合 {α|α＝k􀅰９０°,k∈Z} ４．终边相同的角 所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成 一个集合S＝　　　　　　　　,即任一与角α终 边相同的角都可以表示成角α 与　　　　　　 的和． ５．对终边相同的角的理解 所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成一 个集合,它们彼此相差k􀅰３６０°(k∈Z),即S＝{β|β ＝α＋k􀅰３６０°,k∈Z}． (１)终边相同的角的前提条件是:角的顶点与原点重 合,角的始边与x轴的非负半轴重合． (２)α是任意角且k为整数． (３)k􀅰３６０°与α之间用“＋”号连接． (４)终边相同的角的表示形式不唯一,如{x|x＝k􀅰 ３６０°－９０°,k∈Z}与{x|x＝k􀅰３６０°＋２７０°,k∈Z} 均表示终边在y轴的非正半轴上的角的集合． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５．相等的角终边一定相同吗? 不相等的角 终边一定不同吗? ６．角β＝α＋k􀅰７２０°,k∈Z,β与α终边相同吗? ７．把一个角放在平面直角坐标系中时,这个角是否一 定就是某一个象限的角? ８．若角α,β满足S＝{β|β＝α＋k􀅰３６０°,k∈Z)时,角 α,β是否是终边相同的角? [预习自测] １．下列各命题正确的是 (　　) A．终边相同的角一定相等 B．第一象限角都是锐角 C．锐角都是第一象限角 D．小于９０°的角都是锐角 ２．－１０６０°的角终边落在 (　　) A．第一象限　　　　　　　B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ３．在(－３６０°,０°)内与角１２５０°终边相同的角是　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　任意角的概念 [例１](１)下列结论: ①三角形的内角必是第一、二象限角; ②始边相同而终边不同的角一定不相等; ③小于９０°的角是第一象限角; ④钝角比第三象限角小; ⑤小于１８０°的角是钝角、直角或锐角． 其中正确的结论为　　　　(填序号)． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[思路点拨]　利用任意角的概念判断． (２)若钟表的时针走过了２小时４０分,则分针转过 的角度为 (　　) A．８０°　　B．－８０°　　C．９６０°　　D．－９６０° 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 理解与角的概念有关问题的关键 关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平 角、周角等概念,弄清角的始边与终边及旋转方向 与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧, 判断结论正确需要证明,而判断结论不正确只需 要举一个反例即可． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２􀅰 必修第三册　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　数学B 􀳀[变式训练] １．给出下列四个结论:①－１５°是第四象限角;②１８５° 是第三象限角;③４７５°是第二象限角;④－３５０°是第 一象限角．其中正确的个数为 (　　) A．１　　B．２　　C．３　　D．４ 　　　终边相同的角 [例２]已知α＝－１９１０°．(１)把α写成β＋k􀅰３６０°(k ∈Z,０°≤β＜３６０°)的形式,指出它是第几象限角; (２)求θ,使θ与α的终边相同,且－７２０°≤θ＜０°． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　解答本题(１)用α除以３６０°,使余数 为正,且使余数在[０°,３６０°)即可;(２)根据终边相 同角的定义,用公式α＋k􀅰３６０°列不等式求解． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．终边落在直线上的角的集合的步骤 (１)写出在０°~３６０°范围内相应的角． (２)由终边相同的角的表示方法写出角的集合． (３)根据条件能合并一定合并,使结果简洁． ２．终边相同角常用的三个结论 (１)终边相同的角之间相差３６０°的整数倍． (２)终边在同一直线上的角之间相差１８０°的整 数倍． (３)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差 ９０°的整数倍． 􀳀[变式训练] ２．在与 ５３０°角终边相同的角中,求满足下列条件 的角． (１)最大的负角; (２)最小的正角; (３)在区间[－７２０°,－３６０°)内的角． 　　　区间角 [例３]设A＝{α|９０°＋k􀅰３６０°≤α≤１８０°＋ k􀅰３６０°,k∈Z},B 为终边在如图所示阴 影部分中的角的集合,求A∩B． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[思路点拨]　先写出集合B,再求A∩B． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 区间角是指终边落在坐标系的某个区域内的角．其 写法可分为三步: (１)先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界; (２)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－ ３６０°到３６０°范围内的角α和β,写出最简区间{x|α＜x ＜β},注意,若含边界,则不等式中应带“＝”; (３)起始、终止边界对应角α、β,再加上３６０°的整数 倍,即得区间角集合． 􀳀[变式训练] ３．如图,角α终边在图中阴影部分, 试指出角α的范围． 　　　象限角的判断 [例４]已知α为第二象限角,问２α,α２ 分别是第几象 限角? 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　由角α为第二象限角,可以写出α的范 围:９０°＋k􀅰３６０°＜α＜１８０°＋k􀅰３６０°,k∈Z,在此基础 上可以写出２α,α２ 的范围,进而可以判断出它们所在 的象限． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３􀅰 第七章　三角函数 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (１)解决此类问题,要先确定α的范围,进一步确定 出nα或αn 的范围,再根据k与n的关系进行讨论． (２)一般地,要确定αn 所在的象限,可以作出n等分 各个象限的从原点出发的射线,它们 与坐标轴把周角等分成４n个区域,从 x轴的正半轴起,按逆时针方向把这 ４n个区域依次循环标上号码１、２、３、 ４,则标号是几的区域,就是α为第几 象限角时,α n 终边可能落在的区域,α n 所在的象限就可直观地看出． 例如,已知角α所在的象限,可用如图求角α２ 所在的 象限,也可以用下表来表示: α所在的象限 一 二 三 四 α ２ 所在的象限 一、三 一、三 二、四 二、四 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋(３)这类问题也可采用特值法判断角的终边位置,如本 例中α ２ ,４５°＋k􀅰１８０°＜α２＜９０°＋k 􀅰１８０°,k∈Z,令k＝ １,２,３,４分别得α２ 的终边位于第三、一、三、一象限,如 此循环往复,从而可断定α ２ 是第一或第三象限角． 􀳀[变式训练] ４．若α是第二象限角,则α３ 是 (　　) A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第四象限的角 D．第一象限或第二象限或第四象限角 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．下列命题中正确的是 (　　) A．终边在y轴的非负半轴上的角一定是直角 B．第二象限角一定是钝角 C．第四象限角一定是负角 D．始边相同而终边不同的角一定不相等 ２．与６００°终边相同的角表示为(k∈Z) (　　) A．k􀅰３６０°＋２２０°　　　　　B．k􀅰３６０°＋２４０° C．k􀅰３６０°＋６０° D．k􀅰３６０°＋２６０° ３．已知－９９０°＜α＜－６３０°,且α与１２０°角的终边相同,则 α＝　　　　． ４．集合{α|k􀅰１８０°≤α≤k􀅰１８０°＋４５°,k∈Z}中角表示的 范围(用阴影表示)是图中的　　　　(填序号)． ５．已知角的集合M＝{α|α＝３０°＋k􀅰９０°,k∈Z},回答下 列问题: (１)集合M 中大于－３６０°且小于３６０°的角是哪几个? (２)写出集合M 中的第二象限角β的一般表达式． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４􀅰 必修第三册　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　数学B 参 考 答 案 第七章　三角函数 ７．１　任意角的概念与弧度制 ７．１．１　角的推广 课前预习学案 情境引入 １．提示:不同,当钟表慢了,要顺时针转动分针,当钟表快 了,要逆时针转动分针． ２．提示:因为运动员转体方向有顺时针、逆时针的不同,因 此运动员“转体两周”的度数可以是顺时针旋转７２０°或逆 时针旋转７２０°,“向前翻转两周半”可以是顺时针旋转 ９００°或逆时针旋转９００°．显然这些角都不在０°~３６０°,不 能用０°到３６０°的角表示． 知识梳理 知识点一、１．一条射线　端点　２．起始　终止　３．逆时针 　顺时针　任何 知识点二、１．原点　x　终边　象限角　坐标轴上　４．{β|β ＝α＋k􀅰３６０°,k∈Z}　整数个周角 [思考] １．提示:不是的．虽然始、终边确定了,但旋转的方向和旋转 量的大小(旋转圈数)并没有确定,所以角也就不能确定． ２．提示:角的三要素是顶点、始边、终边． ３．提示:根据组成角的射线的旋转方向． ４．提示:不一定,零角的终边与始边重合,但终边与始边重 合的角不一定是零角,如３６０°,－３６０°等,角的大小不是根 据始边、终边的位置,而是根据射线的旋转． ５．提示:相等的角终边一定相同;不相等的角终边可能相 同,也可能不同． ６．提示:β＝α＋２k􀅰３６０°,故β与α 终边相同． ７．提示:不一定．因为象限角是指的当角的始边与x轴的非 负半轴重合时,终边在哪个象限,我们就说这个角是第几 象限角．如果一个角的终边在坐标轴上时,我们认为这个 角不在任何象限内,又叫轴线角． ８．提示:当角α,β满足S＝{β|β＝α＋k􀅰３６０°,k∈Z}时,表示 角α与β相隔整数个周角,即角α,β终边相同． 预习自测 １．C ２．A　[因为－１０６０°＝－３×３６０°＋２０°,所以－１０６０°的角 终边落在第一象限．] ３．解析:与１２５０°角的终边相同的角α＝１２５０°＋k􀅰３６０°, ∵－３６０°＜α＜０°,∴－１６１３６＜k＜－ １２５ ３６ , ∵k∈Z,∴k＝－４,∴α＝－１９０°． 答案:－１９０° 课堂互动学案 [例１]　(１)[解析]　①９０°的角既不是第一象限角,也不是 第二象限角,故①不正确; ②始边相同而终边不同的角一定不相等,故②正确; ③小于９０°的角可以是０°角,也可以是负角,故③不正确; ④钝角大于－１００°,而－１００°的角是第三象限角,故④不 正确; ⑤０°角小于１８０°,但它既不是钝角,也不是直角或锐角,故 ⑤不正确． [答案]　② (２)D　[∵４０÷６０＝２３ ,∴３６０°×２３＝２４０°．∵ 分针是顺 时针旋转,∴时针走过２小时４０分,分针转过的角的度数 为－２×３６０°－２４０°＝－９６０°,故选 D．] 变式训练 １．D　[①－１５°在第四象限; ②１８０°＜１８５°＜２７０°在第三象限; ③４７５°＝３６０°＋１１５°,而９０°＜１１５°＜１８０°,所以４７５°在第 二象限; ④－３５０°＝－３６０°＋１０°是第一象限角． 所以四个结论都是正确的．] [例２]　[解]　(１)∵－１９１０°÷３６０°＝－６余２５０°, ∴－１９１０°＝－６×３６０°＋２５０°, ∴β＝２５０°,从而α＝－６×３６０°＋２５０°是第三象限角． (２)令θ＝２５０°＋k􀅰３６０°(k∈Z), ∵－７２０°≤θ＜０°, ∴－７２０°≤２５０°＋k􀅰３６０°＜０°, 即－９７３６≤k＜－ ２５ ３６． ∵k∈Z,∴k＝－１或－２． 即２５０°＋(－１)􀅰３６０°＝－１１０°, ２５０°＋(－２)􀅰３６０°＝－４７０°． ∴θ＝－１１０°或θ＝－４７０°． 变式训练 ２．解析:与５３０°角终边相同的角为k􀅰３６０°＋５３０°,k∈Z． (１)由－３６０°＜k􀅰３６０°＋５３０°＜０°且k∈Z,可得k＝－２, 故所求的最大负角为－１９０°． (２)由０°＜k􀅰３６０°＋５３０°＜３６０°且k∈Z,可得k＝－１,故 所求的最小正角为１７０°． (３)由－７２０°≤k􀅰３６０°＋５３０°＜－３６０°且k∈Z,可得k＝ －３．故所求的角为－５５０°． [例３]　[解]　图中的阴影部分表示终边由－４５°逆时针旋 转到１２０°的所有角,故B＝{α|－４５°＋k􀅰３６０°＜α＜１２０° ＋k􀅰３６０°,k∈Z}(注意不含边界), 又∵A＝{α|９０°＋k􀅰３６０°≤α≤１８０°＋k􀅰３６０°,k∈Z}, ∴A∩B＝{α|９０°＋k􀅰３６０°≤α＜１２０°＋k􀅰３６０°,k∈Z}． 变式训练 ３．解:与３０°角的终边在一条直线上的角的集合为S１＝{α|α ＝３０°＋k􀅰１８０°,k∈Z},与１８０°－７５°＝１０５°角的终边在一 条直线上的角的集合为S２＝{α|α＝１０５°＋k􀅰１８０°,k∈ Z},因此,在图中阴影部分的角α的范围为{α|３０°＋k􀅰 １８０°≤α＜１０５°＋k􀅰１８０°,k∈Z}． [例４]　[解]　∵９０°＋k􀅰３６０°＜α＜１８０°＋k􀅰３６０°,k∈Z ∴１８０°＋２k􀅰３６０°＜２α＜３６０°＋２k􀅰３６０°．k∈Z ∴２α是第三或第四象限角,或是终边落在y 轴的非正半 轴上的角． 同理４５°＋k２ 􀅰３６０°＜α２＜９０°＋ k ２ 􀅰３６０°． 当k为偶数时,不妨令k＝２n,n∈Z,则４５°＋n􀅰３６０°＜α２ ＜９０°＋n􀅰３６０°,此时,α２ 为第一象限角; 当k为奇数时,令k＝２n＋１,n∈Z,则２２５°＋n􀅰３６０°＜α２ ＜２７０°＋n􀅰３６０°,此时,α２ 为第三象限角． ∴α２ 为第一或第三象限角． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７８􀅰 参考答案 变式训练 ４．D　[∵９０°＋k􀅰３６０°＜α＜１８０°＋３６０°􀅰k　k∈Z ∴３０°＋１２０°􀅰k＜α３＜６０°＋１２０° 􀅰k　k∈Z 当k＝０时,３０°＜α３＜６０° ,α ３ 是第一象限角． 当k＝１时,１５０°＜α３＜１８０° ,α ３ 是第二象限角． 当k＝２时,２７０°＜α３＜３００° ,α ３ 是第四象限角．] 随堂步步夯实 １．D　[A 中的角应与直角终边相同,B中如４８０°不是钝角, C中如３００°不是负角,只有 D正确．] ２．B　[６００°＝２４０°＋３６０°, ∴６００°与２４０°终边相同． ∴与６００°终边相同的角即为与２４０°终边相同． ∴选B．] ３．解析:因为α与１２０°角终边相同, 故有α＝k􀅰３６０°＋１２０°,k∈Z． 又因为－９９０°＜α＜－６３０°, 所以－９９０°＜k􀅰３６０°＋１２０°＜－６３０°, 即－１１１０°＜k􀅰３６０°＜－７５０°． 当k＝－３时,α＝(－３)×３６０°＋１２０°＝－９６０°． 答案:－９６０° ４．解析:集合{α|k􀅰１８０°≤α≤k􀅰１８０°＋４５°,x∈Z}中,当k 为偶数时,此集合与{α|０°≤α≤４５°}表示终边相同的角, 位于第一象限;当k 为奇数时,此集合与{α|１８０°≤α≤ ２２５°}表示终边相同的角,位于第三象限．所以集合{α|k􀅰 １８０°≤α≤k􀅰１８０°＋４５°,k∈Z}中角表示的范围为图② 所示． 答案:② ５．解:(１)令－３６０°＜３０°＋k􀅰９０°＜３６０°,得－１３３＜k＜ １１ ３ , 又∵k∈Z,∴k＝－４,－３,－２,－１,０,１,２,３,∴集合M 中 大于－３６０°且小于３６０°的角共有８个,分别是－３３０°,－ ２４０°,－１５０°,－６０°,３０°,１２０°,２１０°,３００°． (２)∵集合 M 中的第二象限角与１２０°角的终边相同, ∴β＝１２０°＋k􀅰３６０°,k∈Z． ７．１．２　弧度制及其与角度制的换算 课前预习学案 情境引入 １．提示:周角的 １３６０ 等于１度． ２．提示:有不同的单位制,即弧度制． 知识梳理 知识点一、１．１３６０　２． (１)半径长　圆心角　(２)正数　负数 　０　(３)lr 知识点二、１．２π　３６０°　１８０°　 π１８０　０．０１７４５　 １８０ π( ) ° 　 ５７．３０° 知识点三、nπR １８０　αR　 nπR２ ３６０　 １ ２lR　 １ ２αR ２ [思考] １．提示:一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值 是唯一确定的．所以１弧度的角的大小与圆的半径无关． ２．提示:计算时,我们要特别注意πrad＝１８０°,用这个公式 进行互化即可． ３．提示:－π６　１２０°． ４．提示:知二求二． ５．提示:与半径大小无关,一定大小的圆心角α所对应的弧 长与半径的比值是唯一确定的． 预习自测 １．D　２．C ３．解析:扇形的圆心角为α＝６０°＝π３ ,故弧长为l＝２π３ ,面积 为S＝１２× π ３×２ ２＝２π３． 答案:２π ３　 ２π ３ 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)２０２°３０′＝２０２．５°＝ ４０５２( ) ° × π１８０＝ ９ ８π． (２)－５１２π＝－ ５ １２π× １８０ π( ) ° ＝－７５°． (３)方法一(化为弧度):α＝１５°＝１５× π１８０＝ π １２ , θ＝１０５°＝１０５× π１８０＝ ７π １２． 显然π １２＜ π １０＜１＜ ７π １２． 故α＜β＜γ＜θ＝φ． 方法二(化为角度): β＝ π １０＝ π １０× １８０ π( )°＝１８°,γ＝１≈５７．３０°, φ＝ ７π １２× １８０ π( )°＝１０５°． 显然,１５°＜１８°＜５７．３０°＜１０５°．故α＜β＜γ＜θ＝φ． 变式训练 １．解:(１)５１１６π＝ ５１１π ６ × １８０ π( ) ° ＝１５３３０°． (２)－７π１２＝－ ７π １２× １８０ π( ) ° ＝－１０５°． (３)１０°＝１０× π１８０＝ π １８． (４)－８５５°＝－８５５× π１８０＝－ １９π ４ ． [例 ２]　 [解]　 角 的 终 边 在 x 轴 上 的 角 的 集 合 为 α|α＝kπ,k∈Z{ },角 的 终 边 在 y 轴 上 的 角 的 集 合 为 αα＝π２＋kπ ,k∈Z}{ , ∴角的终边在坐标轴上的角的集合为 {α|α＝kπ,k∈Z}∪ αα＝π２＋kπ ,k∈Z{ }＝ αα＝２k􀅰π２ ,k∈Z}{ ∪ αα＝(２k＋１)􀅰π２,k∈Z{ } ＝ αα＝nπ２ ,n∈Z}{ ． 变式训练 ２．解析:(１)α１＝－５７０°＝－ ５７０π １８０＝－ １９π ６ ＝－２×２π＋ ５π ６ , α２＝７５０°＝ ７５０π １８０＝ ２５π ６ ＝２×２π＋ π ６． 故α１＝－ １９π ６ ,α２＝ ２５π ６ ,α１ 的终边在第二象限,α２ 的终边 在第一象限． (２)β１＝ ３π ５＝ ３ ５×１８０°＝１０８° , β２＝－ π ３＝－ １ ３×１８０°＝－６０°． 设θ１＝１０８°＋k１􀅰３６０°(k１∈Z), 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８８􀅰 必修第三册　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　数学B