8.1 向量的数量积 8.1.3 向量数量积的坐标运算 第1课时向量的坐标与向量的数量积-【创新教程】2024-2025学年高中数学必修第三册五维课堂课时作业（人教B版2019）

第八章向量的数量积与三角恒等变换 课时作业兰 数课时 8.1.3向量数量积的坐标运算 间 学作业 第1课时 向量的坐标与向量的数量积 纠错空间 基础过关 10.已知向量a与b同向，b=(1,2),a·b= JI CHU GUO GUAN 10,求： 1.已知a=(2,-1),b=(1,一1)，则(a+2b)· (1)向量a的坐标： (a-3b)= ( ) 4(2)若c=(2,-1),求(a·c)·b. A.10 B.-10 C.3 D.-3 2.已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a·(2a一b) =0,则k等于 ( A.-12 B.-6 C.6 D.12 3.若平面向量a=(1,一2)与b的夹角是180°，且b =35,则b等于 () A.(-3,6) B.(3,-6) C.(6,-3) D.(-6,3) 4.已知向量a=(0,-23),b=(1,√5)，则向量 方法总结 a在b方向上的投影数量为 ( ) A.3 B.3 C.-5 D.-3 444444+444+4+ 5.设a=(1,2),b=(1,m).若a与b的夹角为钝 11.已知a=(4,-3),b=(-1,2) 角，则m的取值范围是 (1)求a+b与a一b夹角的余弦值： A(合+) (2)若(a-b)⊥(2a+b),求实数入的值. c(2+∞） D.(-,-2 44444444444444 6.(多选题)已知向量b与向量a=(1,-2)共线， 且1b1=35,则b= ( A.(-3,6) B.(3,-6) C.(6,-3) D.(-6,3) 7.已知a=(-1,1),b=(1,2),则a·(a十2b) 8.(新定义问题)设m=(a,b),n=(c,d),规定两 向量m,n之间的一个运算“☒”为m②n=(ac -bd,ad+bc),若已知p=(1,2),p⑧q= (一4，一3)，则q的坐标为 9.(多空题)已知向量a=(3,3),b=(-2,5),则 cos(a·b)= ,a在b上的投影的数量 为 ·37· 旦数学H 必修第三册 己 能力提升 13.已知平面直角坐标系中，A(0,4),B(2,0),P(3, NENG LI TI SIIENG t). 间 12.设a=(1,2),b=(-2,-3),又c=2a+b,d (1)若A,B,P三点共线，求实数t的值. =a十mb,若e与d夹角为45°，求实数m 纠错空间 的值 (2)若AB⊥BP,求实数t的值. (3)若∠BAP是锐角，求实数t的取值范围。 卡中十卡行中中十卡中卡卡中 方法总结 年年中年卡年中卡年年中年年中中 ++44中444444444 444444444444 ·38·世数学日 必修第三册 13.解：(a+kb)·(ka+b)=ka2+(k2+1)a·b+kb2 9.解析：由c⊥a得，a·c=0,所以a·c=a·(a十b)=0, =k+(k2+1)×2×cos120°+4k 即a2+a·b=0.设向量a与b的央角为0，则cos0= =一k2+5k-1. a·b ab-1ab=-之，所以向量a与b的夹角g -a2 1 令-k2+5k-1D>0,解得5-I<4<5十V2四 2 2 =120°. 当a十b与ka+b同向时，设a+b=A(a十b)(a> (a-b)·c=(a-b)(a+b)=a2-b2=1-4=-3. 0). 答案：120°-3 由已知a,b不共线，可得Ak=1,k=入， 解得k=入=1， 10.解：a·b=acos0=5X5×号=25 22 因此，实数k的取值范围是 la+b|=√(a+b)z=√Ta2+2a·b+b7 {5二@<k<5+回且≠1.} 2 2 8.1.2向量数量积的运算律 一√25+2×空+25=55 1.B[因为e|=|e2=1,e1·e2=0, a-b1=√(a-b)z=√1a2-2a·b+1b2 所以a·b=(3e1+2e2)·(-3e1+4e2)=-9le1|2+ 8le212+6e1·e2=-9×12+8×12+6×0=-1.] √25-2×要+25=5. 2.A[:12a+b3=4a2+b+4a·b=36+16+48 100,∴.|2a+b=10.] 1.解：1a-ba+b)=之 3.A[a+b2=(a+b)2=a2+2a·b+b=10. 1a-b2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=6, ∴a2-62=2即a2-b12=2 将上面两式左右两边分别相诚，得4a·b=4, a·b=1.] 又1a=1.b-号 4.A[因为(OB-OC)·(OB+元-2OA)=0, 设(a,b)=0. 即CB·(AB+AC)=0, 又国为AB-AC=CB, ab-7abes0-2dcms0-号 2 所以(AB-AC)·(AB+AC)=0, ∴.向量a,b的夹角为45. 即|AB=|AC, (2),a-b12=(a-b)2=|a2-2al|b1cos0+b 所以△ABC是等腰三角形.] =白a-s1-号 5.B[由题意知cos(m,n)= m·n 3 12.解：(1)(2a-3b)·(2a+b)=4a2-3b2-4a·b=4× 16-3×9-4a·b=61,解得a·b=-6,∴.a+b|2 所以mn=子n2=子，因为a0m十n)=0, =a2+b2+2a·b=16+9-12=13,∴.|a+b1 所以m·n十n=0,即m2+n2=0.所以1=-4] =√13. (2)设a与a十b的夹角为0，a·(a+b)=a2+a·b= 6.ACD[由a+bl=a-b1可得a·b=0,∴.a⊥b,B 正确.] 10,cos0=10 5 ，则a在a十b方向上 4×1323 7.解析：(a+b)·a=a2+a·b=0,∴.a·b=-a2= -1, 的投影数量为acos0=4X5=10区 设a与b的夹角为日， 21313 13.解：(1)因为a=|b=c=1,且a、b、c之间的夹角 a0=8i清市 2 均为120°，所以(a-b)·c=a·c-b·c =a|ccos120°-|b1|c|cos120°=0， 又0e[0,x],0=3 41 所以(a-b)⊥c, 答案 (2)因为|a+b+c>1,所以(ka+b+c)2>1, 即k2a2+b+c2+2a·b+2ka·c+2b·c>1, 8.解析：正方形ABCD的边长为2， 所以k2+1+1+2kcos120°+2kc0s120°+2cos120 AB.(AC+AD)=AB.(AB+2 AD)=AB2+2AB >1. ·AD=4. 所以k2-2k>0,解得k<0,或k>2. 所以实数k的取值范围为{kk<0,或k>2. 8.1.3向量数量积的坐标运算 第1课时向量的坐标与向量的数量积 1.B[a+2b=(4,-3),a-3b=(-1,2),所以(a+2b) ·(a-3b)=4×(-1)+(-3)×2=-10.] 2.D[由已知得a·(2a-b)=2a2-a·b 答案：4 =2(4+1)-(-2+k)=0,∴.k=12.] ·70· 参考答案 课时作业当 3.A[由题意，设b=a=(,-2)(a<0), (2).(a-b)⊥(2a+b). 则1b1=√2+(-2λ)z=√5x=3√5， .(a-h)·(2a+b)=0, 又λ<0，.1=-3，故b=(-3,6).] ∴.2a2+(1-2x)a·b-b2=0, 4D[向量a在b方向上的授影数量为P- b 2 a2=25,b2=5,a·b=-4-6=-10. -3.故选D.] 50-101-2a)-5以=0，解得x=-号 5.D[,a与b的夹角为钝角，且a与b不反向， ms0-8治<0ab0. 12.解：，a=(1,2),b=(-2,-3), .c=2a+b=2(1,2)+(-2,-3)=(0,1), 1X1+2xm<0,m<-2J d=a+mb=(1.2)+m(-2,-3)=(1-2m,2 6.AB[由题意，设b=a=(a,-2λ)（≠0），由于|b= 3m）, 35. .c·d=0×(1-2m)+1×(2-3m)=2-3m. ∴.|b=√2+(-2入)严=√5a2=35,∴.A=±3，即b 又1c=1,d=√(1-2m)2+(2-3m)2, =(-3,6)或(3，-6).] c·d 2-3m ② 7.解析：a+2b=(1,5),a·(a+2b)=1×(-1)+5×1 ∴os45°=T6a-/0=2m)+(2-3m7 2 =4. 答案：4 化简得5m2-8m十3=0，解得m=1或m=号 8.解析：设q=(xy),则p☒g=(x-2y,y十2.x) 13.解：(1)：A,B,P三点共线，AB∥BP =(-4,-3). y=-4,. AB=(2,-4),BP=(1,),∴21+4=0,1=-2. （x=-2, y+2.x=-3, .9=(-2,1) y=1. 2:1成前=24=01=子 答案：(-2,1) (3)若∠BAP是锐角，则AB·AP>0,且AB,AP不 9.解析：cos(a,b)= 3×(-2)+3×5 32+32√(-2)2+5 共线 9 AB=(2,-4).AP=(31-4)∴6-4t-40>0, 32·√/29 358 且≠-2，解得号且≠-2 -万·√2丽 58 第2课时用向量的坐标表示两个向量垂直的条件 a在b上的投影数量： 1.B[a⊥b,∴a·b=0,.3x-3=0,∴.x=1.] a·cos(a,b)=a,b3×(-2)+3X5 b 2.C[设c=(xy),c⊥a,.2x-3y=0. √(-2)2+5 又b·c=1,x-2y=1, 99√29 v29 29 综合①②知x=-3,y=-2.] 答案，3y愿92四 3.C[AB=(19,4)-(-2,-3)=(21,7), 58 29 AC=(-1,-6)-(-2,-3)=(1,-3), 10.解：(1)a与b同向，且b=(1,2). A店.AC=21-21=0, .a=b=(入，2入)（λ>0）. ·AB⊥AC 又a·b=10,.a+4=10, .=2,.a=(2,4). 则∠A=90°， (2),a·c=2×2+(-1)×4=0, 又AB1≠AC, ..(a·c)·b=0·b=0. △ABC为直角三角形.] 11.解：(1)a+b=(3,-1),a-b=(5,-5), 4.D[oi.Oi=Oi.O元， 设a+b与a-b的夹角为0， (OA-0C心.Oi=0. 则cos0=a+b):(a-b=15+5_=25 a+bla-b ..OB.CA=0. ∴.OB⊥AC.同理OA⊥BC,OC⊥AB, 0+b与0b夫角的会弦值为5 ∴O为三条高的交点.门 ·71·