8.1 向量的数量积 8.1.1 向量数量积的概念 第2课时向量的投影与向量数量积的几何意义-【创新教程】2024-2025学年高中数学必修第三册五维课堂课时作业（人教B版2019）

参考答案 课时作业兰 11.解：p·q=(a+b)·(a-b)=a2-b2=a2-|b2= 8.解析：设a与b的夹角为0，，a·b=16, 3-1=2. .la·bl·cos0=16, :lpl=|a+bl=√a2+2a·b+b2 又：a在b方向上投影教量为4， .a·cos6=4,.|bl=4. =√3+23cos30°+1=√7， 答案：4 q=|a-bl=wa2-2a·b+b= 9.解析：依题意得(a一b)·(a十b)=a-b2=一3，(a十 √/3-23c0s30°+1=1， b)2=a2+b+2a·b=3,即a+b1=√5，向量a-b在 i滑品9 向量a十b方向上的投影是a一b:a十+M=二3 la+b 12.解：设OM=tAM,0≤t≤1，则OB+OC=2OM -5 2tAM, 答案：一√ OA-OM+MA=1AM-AM=(-1)AM. 10.解：根据菱形的性质得AB1=5,B武1=4，AC =3, ∴.OA·(OB+OC)=2(1-1)rAM2=8(1-1)1=8r2 ∴.△ABC为直角三角形，且∠ACB=90. -8t =8-）厂-2当1=合时，0i.O成+0ò有 ms∠BAC-6-号cos∠ABC-A6-告 最小值一2. (1)AB.BC-|AB1·IBClcos(x-∠ABC) 13.解：(1)：△ABC为等边三角形， =5×4X(-cos∠ABC) .∠ABC=60. =20×(号)）=-16. 如图，延长AB至点D,使AB= BD,则AB=BD, (2)AC在AB上的投影的数量为AC·cos(AC,AB) B ·∠DBC为向量AB与BC的 =3Xco8∠BAC=3X3=9 5=5 夹角， D (3)AB在BE上的投影的数量为ABl·cos(AB,B正) :∠DBC=120°， .向量AB与BC的夹角为120° =5Xcms(x-∠ABC)=-5cos∠ABC=-5X号 (2):E为BC的中点，AE⊥BC, -4. ,AE与EC的夹角为90. 11.解：(1)：a=2b=2, .a=2,b=1. 第2课时向量的投影与向量数量积的几何意义 又a在b方向上的投影数量为acos0=一1， 1.D[设a与c的夹角为01，b与c的夹角为02， a·c=b·c,.la·ccos1=lbl·|ccos02, ws0=-分0-要 31 即acos0,=|blcos02,故选D.] (2)(a-2b)·b=a·b-2b2=|alb1cos0-2b2 2.B[由数量积的几何意义知 =-1-2=-3. a·e=|el·a·cos9=1×(-2)=-2.] (3),a十b与a-3b互相垂直， 3.B[由数量积的几何意义知a·b=(acos(a·b)b ∴.(a+b)·(a-3b)=a2-3a·b+b·a-3b -×2=是1 =4以+3议-1-3=7以-4=0A=号 4.A[设0为向量a-2b与向量a的夹角， 12.解：AB=5,BC=4,AC=3. 则向量a-2b在向量a方向上的投影数量为 ∴.△ABC为直角三角形，且C=90° la-2b|cos 0. 又0-。治-0：合-a msA-治-号mB-%-告 1 Ai.BC--Bi·元=-5×4×号=-16： 故a-2bcos0=a-2b·a-2b=1.] 5.B[:a+b=c,∴.lc|2=|a+b12=a2+2a·b+b2. (2)1A花·cosA花，Ai)=A花：正 3X5x3 5 又a=bl=|c,∴.2a·b=-b2, ABI 2lallbl cos(a,b)=-1b12. : cosa-b=-2a,b}=120.] 6.ABCD[由数量积的几何意义知A、B、C、D都正确.] (3)1A店·cosA店，=B元A店-成.元 BCI IBCI .解折ab=b1·a·cos0=3×号-2 -5×4×4 答案：2 =-4. ·69· 世数学日 必修第三册 13.解：(a+kb)·(ka+b)=ka2+(k2+1)a·b+kb2 9.解析：由c⊥a得，a·c=0,所以a·c=a·(a十b)=0, =k+(k2+1)×2×cos120°+4k 即a2+a·b=0.设向量a与b的央角为0，则cos0= =一k2+5k-1. a·b ab-1ab=-之，所以向量a与b的夹角g -a2 1 令-k2+5k-1D>0,解得5-I<4<5十V2四 2 2 =120°. 当a十b与ka+b同向时，设a+b=A(a十b)(a> (a-b)·c=(a-b)(a+b)=a2-b2=1-4=-3. 0). 答案：120°-3 由已知a,b不共线，可得Ak=1,k=入， 解得k=入=1， 10.解：a·b=acos0=5X5×号=25 22 因此，实数k的取值范围是 la+b|=√(a+b)z=√Ta2+2a·b+b7 {5二@<k<5+回且≠1.} 2 2 8.1.2向量数量积的运算律 一√25+2×空+25=55 1.B[因为e|=|e2=1,e1·e2=0, a-b1=√(a-b)z=√1a2-2a·b+1b2 所以a·b=(3e1+2e2)·(-3e1+4e2)=-9le1|2+ 8le212+6e1·e2=-9×12+8×12+6×0=-1.] √25-2×要+25=5. 2.A[:12a+b3=4a2+b+4a·b=36+16+48 100,∴.|2a+b=10.] 1.解：1a-ba+b)=之 3.A[a+b2=(a+b)2=a2+2a·b+b=10. 1a-b2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=6, ∴a2-62=2即a2-b12=2 将上面两式左右两边分别相诚，得4a·b=4, a·b=1.] 又1a=1.b-号 4.A[因为(OB-OC)·(OB+元-2OA)=0, 设(a,b)=0. 即CB·(AB+AC)=0, 又国为AB-AC=CB, ab-7abes0-2dcms0-号 2 所以(AB-AC)·(AB+AC)=0, ∴.向量a,b的夹角为45. 即|AB=|AC, (2),a-b12=(a-b)2=|a2-2al|b1cos0+b 所以△ABC是等腰三角形.] =白a-s1-号 5.B[由题意知cos(m,n)= m·n 3 12.解：(1)(2a-3b)·(2a+b)=4a2-3b2-4a·b=4× 16-3×9-4a·b=61,解得a·b=-6,∴.a+b|2 所以mn=子n2=子，因为a0m十n)=0, =a2+b2+2a·b=16+9-12=13,∴.|a+b1 所以m·n十n=0,即m2+n2=0.所以1=-4] =√13. (2)设a与a十b的夹角为0，a·(a+b)=a2+a·b= 6.ACD[由a+bl=a-b1可得a·b=0,∴.a⊥b,B 正确.] 10,cos0=10 5 ，则a在a十b方向上 4×1323 7.解析：(a+b)·a=a2+a·b=0,∴.a·b=-a2= -1, 的投影数量为acos0=4X5=10区 设a与b的夹角为日， 21313 13.解：(1)因为a=|b=c=1,且a、b、c之间的夹角 a0=8i清市 2 均为120°，所以(a-b)·c=a·c-b·c =a|ccos120°-|b1|c|cos120°=0， 又0e[0,x],0=3 41 所以(a-b)⊥c, 答案 (2)因为|a+b+c>1,所以(ka+b+c)2>1, 即k2a2+b+c2+2a·b+2ka·c+2b·c>1, 8.解析：正方形ABCD的边长为2， 所以k2+1+1+2kcos120°+2kc0s120°+2cos120 AB.(AC+AD)=AB.(AB+2 AD)=AB2+2AB >1. ·AD=4. 所以k2-2k>0,解得k<0,或k>2. 所以实数k的取值范围为{kk<0,或k>2. 8.1.3向量数量积的坐标运算 第1课时向量的坐标与向量的数量积 1.B[a+2b=(4,-3),a-3b=(-1,2),所以(a+2b) ·(a-3b)=4×(-1)+(-3)×2=-10.] 2.D[由已知得a·(2a-b)=2a2-a·b 答案：4 =2(4+1)-(-2+k)=0,∴.k=12.] ·70·　　　　　第２课时　向量的投影与向量数量积的几何意义 １．若a􀅰c＝b􀅰c(c≠０),则 (　　) A．a＝b B．a≠b C．|a|＝|b| D．a在c方向上的投影数量与b在c方向上的 投影数量必相等 ２．已知|a|＝４,e为单位向量,a在e方向上的投 影数量为－２,则a与e的数量积为 (　　) A．８　　　　　　　　B．－２ C．４ D．－４ ３．已知|b|＝２,a在b上的投影的数量为３４ ,则a 􀅰b的值为 (　　) A．２３ B． ３ ２ C．２ D．１２ ４．已知向量a,b满足|a|＝１,a⊥b,则向量a－ ２b在向量a 方向上的投影数量为 (　　) A．１ B．７７ C．－１ D．２ ７７ ５．设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|,a＋b ＝c,则‹a,b›等于 (　　) A．１５０° B．１２０° C．６０° D．３０° ６．(多选题)下列说法正确的是 (　　) A．a⊥b⇒a􀅰b＝０ B．向量b在a 方向上投影数量为|b|􀅰cos‹a 􀅰b› C．数量积a􀅰b的几何意义等于a 的长度|a| 与b在a 方向上的投影数量|b|􀅰cosθ的 乘积 D．在△ABC 中,AB→􀅰CB→＜０,则△ABC 的形 状是钝角三角形 ７．已知|b|＝３,a在b 方向上的投影数量是２３ , 则a􀅰b＝　　　　． ８．已知a􀅰b＝１６,若a在b方向上的投影数量为 ４,则|b|＝　　　　． ９．已知向量a,b的夹角为１２０°,且|a|＝１,|b|＝２,则 向量a－b在向量a＋b方向上的投影是　　　　． １０．如图,在菱形 ABDE 中, 其对角线|AD→|＝６,|BD→| ＝８．求: (１)AB→􀅰BC→; (２)AC→在AB→上的投影的数量; (３)AB→在BE→上的投影的数量． １１．已知|a|＝２|b|＝２,且向量a在向量b 方向 上的投影数量为－１． (１)求a与b的夹角θ; (２)求(a－２b)􀅰b; (３)当λ为何值时,向量λa＋b与向量a－３b 互相垂直? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３３􀅰 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 １２．在△ABC中,已知|AB→|＝５,|BC→|＝４,|AC→| ＝３,求: (１)AB→􀅰BC→; (２)AC→在AB→方向上的投影数量; (３)AB→在BC→方向上的投影数量． １３．已知|a|＝１,|b|＝２,a与b 的夹角为１２０°, 求使a＋kb与ka＋b的夹角为锐角的实数k 的取值范围． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４３􀅰 必修第三册