8.1 向量的数量积 8.1.1 向量数量积的概念 第1课时两个向量的夹角，向量数量积的定义-【创新教程】2024-2025学年高中数学必修第三册五维课堂课时作业（人教B版2019）

第八章向量的数量积与三角恒等变换 课时作业当 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 数课时 8.1向量的数量积 学 8.1.1向量数量积的概念 纠错空间 作业 第1课时 两个向量的夹角、向量数量积的定义 基础过关 10.已知正三角形ABC的边长为1，求： JICHU GUO GUAN (1)AB.AC:(2)AB.BC:(3)BC.AC. 1.在等腰直角三角ABC中，若∠C=90°，AC= 2,则BA·BC的值等于 ( A.-2 B.2 C.-22 D.22 2.已知向量a=10,b=12,且a·b=一60， 则向量a与b的夹角为 ( A.60 B.120 C.135 D.150 3.已知a、b为单位向量，其夹角为60°，则(2a一 b)·b= ( 4444444444444 A.-1 B.0 C.1 D.2 方法总结 4在△ABC中.C=90,BC=含AB,则A店与BC 4444 的夹角是 ( 444444+444+4+ A.30° B.60 C.120 D.150 11.已知向量a,b的夹角为30°，且a=√5，|b 5.已知平面上三点A,B,C满足AB1=3,BC =1,求向量p=a十b与q=a-b的夹角0的 =4,CA=5,则AB.BC+BC.CA+CA· 余弦值 AB的值为 ( ) 44444444444444 A.-7 B.7 C.25 D.-25 6.(多选题)已知向量a,b和实数入，下列选项中 正确的是 () A.lal=a B.a·bl=|allb C.λ(a·b)=a·b D.la·b≤allb 7.若1a=|b|=|a-b=r(r>0),则a与b的 夹角为 8.在△ABC中，AB=13,BC=5,1CA- 12,则AB·BC的值是 9.(多空题)已知在△ABC中，AB=AC=4,AB ·AC=8,则△ABC的形状是 .AB ·BC ·31· 旦数学H 必修第三册 能力提升 13.如图，已知△ABC是等边三 NENG LI TI SIIENG 角形. 间 12.在△ABC中，O为中线AM (1)求向量AB与向量BC的 上的一个动点，若AM=2,求 纠错空间 OA·(OB+OC)的最小值. 夹角： (2)若E为BC的中点，求向量AE与EC的 夹角. 卡中中卡卡中十卡卡中中卡卡中 方法总结 +44中444444444 444444444444 ·32·世数学日 必修第三册 所以3x+牙= 十2kx, 2.B[设a与b的夹角为0， 4 或3x+平-平+2kx,k∈Z 则ca0:。7002-7 -60 ∴.0=120°.] 所以r=晋+要或要k 3.B[因为a、b为单位向量，且其夹角为60°， 1)芳x∈[，号)则=0或受 所以a·b=1X1Xcos60=2, 2若【吾-吾)则x=一要或一要 (2a-b)b-2a·b-62=2X7-1=0.] 12.解：由题意，得{anr中10：中-1≤anr< 4.C[如图，作向量AD=BC,则∠BADB, {1-tanx>0, 是AB与BC的夹角，在△ABC中，因为 在（受，受）内，满足上速不等式的x的取值范国 C=90,BC=2AB,所以∠ABC= 60°，所以∠BAD=120.] 是[一系，至）又y=anx的周期为x, 5.D[由条件知∠ABC=90°， 所以画敏的定义城是[-子，+晋)∈Z), 所以原式=0+4×5c0s(180°-C)+5×3cos(180°- A) 13,解：1)因为因像最高点的坐标为（行5） =-20cos C-15cos A 所以A=5周为号-号一音-子 =-20×号-15×号=-16-9=-25.] 6.ACD[选项B中，a·b=a|bl cos 0,其中0为a 所以T=π， 与b的夹角，] 所以w票=2，所以y=5sin(2r+g） 7.解析：作OA=a,OB=b,则BA=a b,∠AOB为a与b的夹角，由a= 代入点（管5）得sim(昏+)=1 b=|a-b知△AOB为等边三角 所以行+g=2kx+受k∈Z 形，则∠AOB=60°， 0 答案：60 则9=一吾+2x,∈乙 8.解析：易知1AB|=1BC12+ CAI2, 因为g<登，所以9=一若， C=90'.cos 所以y=5sim(2r-看） .cos(AB.BC)=cos(180"-B) （2)因为函教的增区间满足2张元-受≤2x-音≤2 =-cos B=-5 3 +受（∈Z)所以2km-哥<2r≤2x+行（∈Z),所 .AB.BC=AB1·1BC1cos(180°-B) 3 以x一吾<x<kx+音∈Z. -18×5×(0)-25 答案：一25 所以函数的增区间为 9.解析：AB·AC=ABI1 AClcos∠BAC, [-音+音]∈. 即8=4X4os∠BAC,于是cs∠BAC-, (3)周为5an(2r-若)0， 图为0°<∠BAC<180°，所以∠BAC=60°. 又AB=AC,故△ABC是等边三角形， 所以2x-≤2x-音≤2kxk∈Z, 此时AB.BC-=AB11 BClcos120°=-8. 所以g一登r十∈D. 答案：等边三角形一8 10.解：(1)AB与AC的夹角为60. 故所求x的取值范围是 [x登x+]e, “i.C-AiCm60=1X1×2-2 (2)AB与BC的夹角为120°， 第八章向量的数量积与三角恒等变换 ..AB.BC=ABI IBCI cos 120" 8.1向量的数量积 8.1.1向量数量积的概念 =1x1×(）-安 第1课时两个向量的夹角、向量数量积的定义 (3):BC与AC的夹角为60°， 1.B[BA·BC=BAI BC|cos∠ABC=2X2Xcos 45°=2.] 成.花-o60=1X1x名-2 ·68· 参考答案 课时作业兰 11.解：p·q=(a+b)·(a-b)=a2-b2=a2-|b2= 8.解析：设a与b的夹角为0，，a·b=16, 3-1=2. .la·bl·cos0=16, :lpl=|a+bl=√a2+2a·b+b2 又：a在b方向上投影教量为4， .a·cos6=4,.|bl=4. =√3+23cos30°+1=√7， 答案：4 q=|a-bl=wa2-2a·b+b= 9.解析：依题意得(a一b)·(a十b)=a-b2=一3，(a十 √/3-23c0s30°+1=1， b)2=a2+b+2a·b=3,即a+b1=√5，向量a-b在 i滑品9 向量a十b方向上的投影是a一b:a十+M=二3 la+b 12.解：设OM=tAM,0≤t≤1，则OB+OC=2OM -5 2tAM, 答案：一√ OA-OM+MA=1AM-AM=(-1)AM. 10.解：根据菱形的性质得AB1=5,B武1=4，AC =3, ∴.OA·(OB+OC)=2(1-1)rAM2=8(1-1)1=8r2 ∴.△ABC为直角三角形，且∠ACB=90. -8t =8-）厂-2当1=合时，0i.O成+0ò有 ms∠BAC-6-号cos∠ABC-A6-告 最小值一2. (1)AB.BC-|AB1·IBClcos(x-∠ABC) 13.解：(1)：△ABC为等边三角形， =5×4X(-cos∠ABC) .∠ABC=60. =20×(号)）=-16. 如图，延长AB至点D,使AB= BD,则AB=BD, (2)AC在AB上的投影的数量为AC·cos(AC,AB) B ·∠DBC为向量AB与BC的 =3Xco8∠BAC=3X3=9 5=5 夹角， D (3)AB在BE上的投影的数量为ABl·cos(AB,B正) :∠DBC=120°， .向量AB与BC的夹角为120° =5Xcms(x-∠ABC)=-5cos∠ABC=-5X号 (2):E为BC的中点，AE⊥BC, -4. ,AE与EC的夹角为90. 11.解：(1)：a=2b=2, .a=2,b=1. 第2课时向量的投影与向量数量积的几何意义 又a在b方向上的投影数量为acos0=一1， 1.D[设a与c的夹角为01，b与c的夹角为02， a·c=b·c,.la·ccos1=lbl·|ccos02, ws0=-分0-要 31 即acos0,=|blcos02,故选D.] (2)(a-2b)·b=a·b-2b2=|alb1cos0-2b2 2.B[由数量积的几何意义知 =-1-2=-3. a·e=|el·a·cos9=1×(-2)=-2.] (3),a十b与a-3b互相垂直， 3.B[由数量积的几何意义知a·b=(acos(a·b)b ∴.(a+b)·(a-3b)=a2-3a·b+b·a-3b -×2=是1 =4以+3议-1-3=7以-4=0A=号 4.A[设0为向量a-2b与向量a的夹角， 12.解：AB=5,BC=4,AC=3. 则向量a-2b在向量a方向上的投影数量为 ∴.△ABC为直角三角形，且C=90° la-2b|cos 0. 又0-。治-0：合-a msA-治-号mB-%-告 1 Ai.BC--Bi·元=-5×4×号=-16： 故a-2bcos0=a-2b·a-2b=1.] 5.B[:a+b=c,∴.lc|2=|a+b12=a2+2a·b+b2. (2)1A花·cosA花，Ai)=A花：正 3X5x3 5 又a=bl=|c,∴.2a·b=-b2, ABI 2lallbl cos(a,b)=-1b12. : cosa-b=-2a,b}=120.] 6.ABCD[由数量积的几何意义知A、B、C、D都正确.] (3)1A店·cosA店，=B元A店-成.元 BCI IBCI .解折ab=b1·a·cos0=3×号-2 -5×4×4 答案：2 =-4. ·69·