7.3 三角函数的性质与图像 7.3.1 正弦函数的性质与图像 第1课时正弦函数的性质与图像(一)-【创新教程】2024-2025学年高中数学必修第三册五维课堂课时作业（人教B版2019）

　　　７．３　三角函数的性质与图像 　　　　　　７．３．１　正弦函数的性质与图像 　　　　　第１课时　正弦函数的性质与图像(一) １．函数y＝sin４x＋３２π æ è ç ö ø ÷的周期是 (　　) A．２π　　　　　　　　B．π C．π２ D． π ４ ２．下列函数中是奇函数的是 (　　) A．y＝－|sinx| B．y＝sin(－|x|) C．y＝sin|x| D．y＝xsin|x| ３．已知定义在R上的奇函数f(x)是以π为最小 正周期的周期函数,且当x∈ ０,π２[ ] 时,f(x) ＝sinx,则f ５π３ æ è ç ö ø ÷的值为 (　　) A．－１２ B． １ ２ C．－ ３２ D． ３ ２ ４．函数f(x)＝x＋sinx,x∈R (　　) A．是奇函数,但不是偶函数 B．是偶函数,但不是奇函数 C．既是奇函数,又是偶函数 D．既不是奇函数,又不是偶函数 ５．(２０１９􀅰黑龙江大庆实验中学高一期末)函数 f(x)＝３|sinx|＋２sinx的最小正周期为 (　　) A．π B．３π２ C．２π D．４π ６．(多选题)下列函数中,周期为π２ 的是 (　　) A．y＝sinx２ B．y＝sin２x C．y＝sin４x＋１ D．y＝sin(－４x) ７．函数f(x)＝sinπ３x ,则f(１)＋f(２)＋f(３)＋􀆺 ＋f(２０１３)＝　　　　． ８．若f(x)是R上的偶函数,当x≥０时,f(x)＝ sinx,则f(x)的解析式是　　　　． ９．(多空题)函数y＝２sinx＋１的图像的对称中 心是　　　　,对称轴方程为　　　　． １０．求下列函数的周期: (１)y＝sin ２x＋π３ æ è ç ö ø ÷(x∈R); (２)y＝|sin２x|(x∈R)． １１．判断下列函数的奇偶性: (１)f(x)＝lg(１－sinx)－lg(１＋sinx); (２)f(x)＝１＋sinx－cos ２x １＋sinx ． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５１􀅰 第七章　三角函数 １２．已知函数f(x)＝log１２|sinx|． (１)求其定义域和值域; (２)判断其奇偶性; (３)判断其周期性,若是周期函数,求其最小 正周期． １３．已知函数f(x)对于任意实数x 满足条件 f(x＋２)＝－ １f(x) (f(x)≠０)． (１)求证:函数f(x)是周期函数． (２)若f(１)＝－５,求f(f(５))的值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６１􀅰 必修第三册 １２．证明:左边 ＝ (－sinα)(－cosα)(－sinα)cos 　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　５π＋ π２－α( )[ ] (－cosα)sin(π－α)[－sin(π＋α)]sin４π＋ π２＋α( )[ ] ＝ －sin２αcosα 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 　 －cos π２－α( )[ ] (－cosα)sinα[－(－sinα)]sin π２＋α( ) ＝ sin ３xcosα －cos２αsin２α ＝－sinαcosα＝－tanα＝ 右边,所以原式 成立． １３．解:由条件,得 sinα＝ ２sinβ,　　　　　　① ３cosα＝ ２cosβ．　　　　 ②{ ①２＋②２,得sin２α＋３cos２α＝２,　　　　　 ③ 又因为sin２α＋cos２α＝１,　　　　　　　 ④ 由③④得sin２α＝１２ ,即sinα＝± ２２ , 因为α∈ －π２ ,π ２( ),所以α＝ π ４ 或α＝－π４． 当α＝π４ 时,代入②得cosβ＝ ３ ２ ,又β∈(０,π), 所以β＝ π ６ ,代入①可知符合． 当α＝－π４ 时,代入②得cosβ＝ ３ ２ ,又β∈(０,π), 所以β＝ π ６ ,代入①可知不符合． 综上所述,存在α＝π４ ,β＝ π ６ 满足条件． ７．３　三角函数的性质与图像 ７．３．１　正弦函数的性质与图像 第１课时　正弦函数的性质与图像(一) １．C　[T＝２π４＝ π ２． ] ２．D　[利用定义,显然y＝xsin|x|是奇函数．] ３．C　[f ５π３( )＝f π＋ ２π ３( )＝f ２π ３( )＝f π－ π ３( )＝ f －π３( )＝－f π ３( )＝－sin π ３＝－ ３ ２ ,故选C．] ４．A　[f(x)的定义域为R,关于原点对称．又因为f(－ x)＝－x＋sin(－x)＝－x－sinx＝－(x＋sinx) ＝－f(x),所以f(x)为奇函数,但不是偶函数．] ５．C　[由题意知f(x)＝ ５sinx,２kπ≤x≤π＋２kπ, －sinx,２kπ＋π＜x≤２π＋２kπ{ (k∈Z)． 画出函数图像如图所示,由图可知最小正周期为２π．] ６．CD　[T＝ ２π|－４|＝ π ２． ] ７．解析:∵f(x)＝sin π３x 的周期T＝２ππ ３ ＝６． ∴f(１)＋f(２)＋f(３)＋􀆺＋f(２０１３) ＝３３５[f(１)＋f(２)＋f(３)＋f(４)＋f(５)＋f(６)]＋ f(２０１１)＋f(２０１２)＋f(２０１３)＝ ３３５sinπ３＋sin ２ ３π＋sinπ＋sin ４ ３π＋sin ５ ３π＋sin２π( ) ＋f(３３５×６＋１)＋f(３３５×６＋２)＋f(３３５×６＋３) ＝３３５×０＋f(１)＋f(２)＋f(３) ＝sin π３＋sin ２ ３π＋sinπ＝ ３． 答案:３ ８．解析:当x＜０时,－x＞０,f(－x)＝sin(－x)＝－sinx． ∵f(x)是R上的偶函数,∴f(－x)＝f(x),∴当x＜ ０时,f(x)＝－sinx．∴f(x)＝sin|x|,x∈R． 答案:f(x)＝sin|x|,x∈R ９．解析:由正弦函数的对称性可知y＝sinx的对称中心 为(kπ,０),k∈Z,对称轴为直线x＝π２＋kπ ,k∈Z． y＝２sinx＋１的图像是由y＝sinx的图像向上平移一个 单位,再纵坐标伸长到原来的２倍得到,故y＝２sinx＋１ 的对称中心为(kπ,１),k∈Z,对称轴是直线x＝π２＋ kπ,k∈Z． 答案:(kπ,１),k∈Z　x＝π２＋kπ ,k∈Z １０．解:(１)方法一　令z＝２x＋π３ ,∵x∈R,∴z∈R． 函数f(x)＝sinz的最小正周期是２π, 就是说变量z只要且至少要增加到z＋２π, 函数f(x)＝sinz(z∈R)的值才能重复取得, 而z＋２π＝２x＋π３＋２π＝２ (x＋π)＋π３ ,所以自变量 x只要且至少要增加到x＋π,函数值才能重复取得, 从而函数f(x)＝sin ２x＋π３( )(x∈R)的周期是π． 方法二　f(x)＝sin ２x＋π３( ) 的周期为 ２π ２＝π． (２)作出y＝|sin２x|的图像． 所以该函数的最小正周期为π ２． １１．解:(１)由 １－sinx＞０, １＋sinx＞０,{ 得－１＜sinx＜１． 解得定义域为 x|x∈R且x≠kπ＋π２ ,k∈Z{ }． ∴f(x)的定义域关于原点对称． 又∵f(x)＝lg(１－sinx)－lg(１＋sinx) ∴f(－x)＝lg[１－sin(－x)]－lg[１＋sin(－x)] ＝lg(１＋sinx)－lg(１－sinx)＝－f(x)． ∴f(x)为奇函数． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７５􀅰 参考答案 (２)∵１＋sinx≠０,∴sinx≠－１, ∴x∈R且x≠２kπ－π２ ,k∈Z． ∵定义域 不 关 于 原 点 对 称,∴ 该 函 数 是 非 奇 非 偶 函数． １２．解:(１)∵|sinx|＞０, ∴sinx≠０,∴x≠kπ,k∈Z． ∴函数的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}． ∵０＜|sinx|≤１,∴log１２|sinx|≥０, ∴函数的值域为{y|y≥０}． (２)函数的定义域关于原点对称, ∵f(－x)＝log１２|sin(－x)| ＝log１２|sinx|＝f(x), ∴函数f(x)是偶函数． (３)∵f(x＋π)＝log１２|sin(x＋π)| ＝log１２|sinx|＝f(x), ∴函数f(x)是周期函数,且最小正周期是π． １３．(１)证明:∵f(x＋２)＝－ １f(x) , ∴f(x＋４)＝－ １f(x＋２)＝－ １ － １f(x) ＝f(x), ∴f(x)是周期函数,４就是它的一个周期． (２)解:∵４是f(x)的一个周期． ∴f(５)＝f(１)＝－５, ∴f(f(５))＝f(－５)＝f(－１) ＝ －１f(－１＋２)＝ －１ f(１)＝ １ ５． 第２课时　正弦函数的性质与图像(二) １．B　[画图观察易知选B．] ２．D　[y＝－２sin π３－ x ４( )＝２sin x ４－ π ３( ), 所以周期T＝２π１ ４ ＝８π, 振幅A＝２,初相φ＝－ π ３． ] ３．A　[y＝sin２x 向右平移 π ２ 个单位 　 → y＝sin ２x－π２( )[ ]＝sin(２x－π)＝－sin(π－２x) ＝－sin２x． 由于－sin(－２x)＝sin２x,所以是奇函数．] ４．D　[由y＝sinx与y＝－sinx的图像关于x 轴对称 可知选 D．] ５．B　[设f(x)＝－x,g(x)＝sinx,在同一直角坐标系 中画出f(x)和g(x)的图像,如图所示．由图知f(x) 和g(x)的图像仅有一个交点,则方程x＋sinx＝０仅 有一个根． ] ６．AB　[根据正弦函数的图像,在[０,２π]内,sinx＝１２ 的解为x＝π６ 或x＝５π６． ] ７．解析:画出y＝sinx,x∈ π６ ,π[ ] 的图像,如图所示． 当１ ２≤a＜１ 时,直线y＝a与y＝sinx,x∈ π６ ,π[ ] 交 于两点,故１ ２≤a＜１． 答案: １ ２ ,１[ ) ８．解析:用五点法画出函数y＝sinx,x∈[０,２π]的图 像,再依次向左、右连续平移２π个单位,得到y＝sinx 的图像． 描出点 １ １０ ,－１( ),(１,０),(１０,１)并用光滑曲线连接得 到y＝lgx的图像,如图所示． 由图像可知方程sinx＝lgx的解有３个． 答案:３ ９．解析:∵sinx－１２≥０ ,即sinx≥１２ ,结合正弦函数的 图像, 得π ６＋２kπ≤x≤ ５π ６＋２kπ ,k∈Z． ∴y＝ sinx－１２ 的定义域为 x{ π６＋２kπ≤x≤ ５π ６＋２kπ ,k∈Z} ∵１２≤sinx≤１ ,∴０≤sinx－１２≤ １ ２ , ∴０≤y≤ ２２ ,即值域为 ０,２２[ ] 答案:x{ π６＋２kπ≤x≤ ５π ６＋２kπ ,k∈Z}　 ０,２２[ ] １０．解:(１)找关键的五个点,列表如下: x ０ π２ π ３π ２ ２π sinx ０ １ ０ －１ ０ －sinx ０ －１ ０ １ ０ 描点作图,如图所示． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８５􀅰 必修第三册