7.2 任意角的三角函数 7.2.4 诱导公式 第2课时诱导公式-【创新教程】2024-2025学年高中数学必修第三册五维课堂课时作业（人教B版2019）

(２)cos２９π６ ＝cos４π＋ ５π ６( )＝cos ５π ６ ＝cos π－π６( )＝－cos π ６＝－ ３ ２． (３)tan(－８５５°)＝－tan８５５° ＝－tan(２×３６０°＋１３５°)＝－tan１３５° ＝－tan(１８０°－４５°)＝－tan(－４５°) ＝tan４５°＝ ３２× ３ ２＋ １ ２× １ ２＝１． １２．解析:(１)sin －１９３π( )cos ７ ６π ＝－sin ６π＋π３( )cos π＋ π ６( ) ＝sinπ３cos π ６＝ ３ ４． (２)sin(－９６０°)cos１４７０°－cos２４０°sin(－２１０°) ＝－sin(１８０°＋６０°＋２×３６０°)cos(３０°＋４×３６０°)＋ cos(１８０°＋６０°)sin(１８０°＋３０°)＝sin６０°cos３０°＋ cos６０°sin３０°＝ ３２× ３ ２＋ １ ２× １ ２＝１． １３．解析:由条件得sinA＝ ２sinB,３cosA＝ ２cosB, 平方相加得２cos２A＝１,cosA＝± ２２ , 又因为A∈(０,π),所以A＝π４ 或３ ４π． 当A＝３４π 时,cosB＝－ ３２＜０ , 所以B∈ π２ ,π( ), 所以A,B 均为钝角,不合题意,舍去． 所以A＝π４ ,cosB＝ ３２ , 所以B＝π６ ,所以C＝７１２π． 综上所述,A＝π４ ,B＝π６ ,C＝７１２π． 第２课时　诱导公式(二) １．A　[cos －１７π４( ) －sin － １７π ４( ) ＝cos －４π－ π ４( ) － sin －４π－π４( ) ＝cos －π４( )－sin － π ４( )＝cos π ４＋sin π ４＝ ２． ] ２．C　[∵f(２００９)＝asin(２００９π＋α)＋bcos(２００９π＋ β)＝－asinα－bcosα＝５,∴f(２０２０)＝asin(２０２０π＋ α)＋bcos(２０２０π＋β)＝asinα＋bcosβ＝－５．] ３．B　[原式＝ －cosα 􀅰sin２α tanα􀅰tanα􀅰cos３α ＝ －sin ２α tan２α􀅰cos２α ＝－tan ２α tan２α ＝－１．] ４．C　[由sinθ＋cosθsinθ－cosθ＝２ ,可得tanθ＝３, ∴sin(θ－５π)sin ３π２－θ( )＝(－sinθ)(－cosθ) ＝ sinθcosθ sin２θ＋cos２θ ＝ tanθ tan２θ＋１ ＝３１０． ] ５．C　[由cos(π２＋φ )＝－sinφ＝ ３ ２ ,得sinφ＝－ ３ ２． 又|φ| ＜π２ ,∴φ＝－ π ３ ,∴tanφ＝－ ３．] ６．AC　[由sin(π＋α)＝－１４ ,得－sinα＝－１４ , 所以sinα＝１４． 故cosα＝± １５４ ． 由题意,若α与β“广义互余”,则α＋β＝９０°, 所以sinβ＝cosα＝± １５ ４ ,cosβ＝sinα＝ １ ４ ,tanβ＝ ± １５．故 AC满足,D不满足;对于 B,由cos(π＋β) ＝１４ ,得cosβ＝－ １ ４ ,不满足．] ７．解析:sin ５π２＋α( )＝sin π ２＋α( )＝cosα＝ １ ５． 答案:１ ５ ８．解析:∵A＋B＋C＝π,∴B＋C２ ＝ π ２－ A ２ , ∴cosB＋C２ ＝cos π ２－ A ２( )＝sin A ２＝ ４ ５． 答案:４ ５ ９．解析:f －１１６( )＝sin － １１ ６π( ) ＝sin －２π＋π６( )＝sin π ６＝ １ ２ , f １１６( )＝f ５ ６( )－１＝f － １ ６( )－２＝sin － π ６( )－２ ＝－１２－２＝－ ５ ２． 答案:１ ２　－ ５ ２ １０．解析:∵角α的终边经过点P(－４,３), ∴tanα＝－３４ ,∴ cos(π２＋α )sin(－π－α) cos(１１π２ －α )sin ９π２＋α( ) ＝－sinα 􀅰sinα －sinα􀅰cosα ＝tanα ＝－３４． １１．解析:(１)f(α)＝ sin(α－π２ )cos３π２＋α( )tan(π－α) tan(－α－π)sin(－α－π) ＝ (－cosα)􀅰sinα􀅰(－tanα) (－tanα)sinα ＝－cosα． (２)∵cosα－３π２( )＝ １ ５ ,∴－sinα＝１５． 从而sinα＝－１５． 又α为第三象限角,∴cosα＝－ １－sin２α＝－２ ６５ ． 即f(α)的值为２ ６５ ． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６５􀅰 必修第三册 １２．证明:左边 ＝ (－sinα)(－cosα)(－sinα)cos 　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　５π＋ π２－α( )[ ] (－cosα)sin(π－α)[－sin(π＋α)]sin４π＋ π２＋α( )[ ] ＝ －sin２αcosα 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 　 －cos π２－α( )[ ] (－cosα)sinα[－(－sinα)]sin π２＋α( ) ＝ sin ３xcosα －cos２αsin２α ＝－sinαcosα＝－tanα＝ 右边,所以原式 成立． １３．解:由条件,得 sinα＝ ２sinβ,　　　　　　① ３cosα＝ ２cosβ．　　　　 ②{ ①２＋②２,得sin２α＋３cos２α＝２,　　　　　 ③ 又因为sin２α＋cos２α＝１,　　　　　　　 ④ 由③④得sin２α＝１２ ,即sinα＝± ２２ , 因为α∈ －π２ ,π ２( ),所以α＝ π ４ 或α＝－π４． 当α＝π４ 时,代入②得cosβ＝ ３ ２ ,又β∈(０,π), 所以β＝ π ６ ,代入①可知符合． 当α＝－π４ 时,代入②得cosβ＝ ３ ２ ,又β∈(０,π), 所以β＝ π ６ ,代入①可知不符合． 综上所述,存在α＝π４ ,β＝ π ６ 满足条件． ７．３　三角函数的性质与图像 ７．３．１　正弦函数的性质与图像 第１课时　正弦函数的性质与图像(一) １．C　[T＝２π４＝ π ２． ] ２．D　[利用定义,显然y＝xsin|x|是奇函数．] ３．C　[f ５π３( )＝f π＋ ２π ３( )＝f ２π ３( )＝f π－ π ３( )＝ f －π３( )＝－f π ３( )＝－sin π ３＝－ ３ ２ ,故选C．] ４．A　[f(x)的定义域为R,关于原点对称．又因为f(－ x)＝－x＋sin(－x)＝－x－sinx＝－(x＋sinx) ＝－f(x),所以f(x)为奇函数,但不是偶函数．] ５．C　[由题意知f(x)＝ ５sinx,２kπ≤x≤π＋２kπ, －sinx,２kπ＋π＜x≤２π＋２kπ{ (k∈Z)． 画出函数图像如图所示,由图可知最小正周期为２π．] ６．CD　[T＝ ２π|－４|＝ π ２． ] ７．解析:∵f(x)＝sin π３x 的周期T＝２ππ ３ ＝６． ∴f(１)＋f(２)＋f(３)＋􀆺＋f(２０１３) ＝３３５[f(１)＋f(２)＋f(３)＋f(４)＋f(５)＋f(６)]＋ f(２０１１)＋f(２０１２)＋f(２０１３)＝ ３３５sinπ３＋sin ２ ３π＋sinπ＋sin ４ ３π＋sin ５ ３π＋sin２π( ) ＋f(３３５×６＋１)＋f(３３５×６＋２)＋f(３３５×６＋３) ＝３３５×０＋f(１)＋f(２)＋f(３) ＝sin π３＋sin ２ ３π＋sinπ＝ ３． 答案:３ ８．解析:当x＜０时,－x＞０,f(－x)＝sin(－x)＝－sinx． ∵f(x)是R上的偶函数,∴f(－x)＝f(x),∴当x＜ ０时,f(x)＝－sinx．∴f(x)＝sin|x|,x∈R． 答案:f(x)＝sin|x|,x∈R ９．解析:由正弦函数的对称性可知y＝sinx的对称中心 为(kπ,０),k∈Z,对称轴为直线x＝π２＋kπ ,k∈Z． y＝２sinx＋１的图像是由y＝sinx的图像向上平移一个 单位,再纵坐标伸长到原来的２倍得到,故y＝２sinx＋１ 的对称中心为(kπ,１),k∈Z,对称轴是直线x＝π２＋ kπ,k∈Z． 答案:(kπ,１),k∈Z　x＝π２＋kπ ,k∈Z １０．解:(１)方法一　令z＝２x＋π３ ,∵x∈R,∴z∈R． 函数f(x)＝sinz的最小正周期是２π, 就是说变量z只要且至少要增加到z＋２π, 函数f(x)＝sinz(z∈R)的值才能重复取得, 而z＋２π＝２x＋π３＋２π＝２ (x＋π)＋π３ ,所以自变量 x只要且至少要增加到x＋π,函数值才能重复取得, 从而函数f(x)＝sin ２x＋π３( )(x∈R)的周期是π． 方法二　f(x)＝sin ２x＋π３( ) 的周期为 ２π ２＝π． (２)作出y＝|sin２x|的图像． 所以该函数的最小正周期为π ２． １１．解:(１)由 １－sinx＞０, １＋sinx＞０,{ 得－１＜sinx＜１． 解得定义域为 x|x∈R且x≠kπ＋π２ ,k∈Z{ }． ∴f(x)的定义域关于原点对称． 又∵f(x)＝lg(１－sinx)－lg(１＋sinx) ∴f(－x)＝lg[１－sin(－x)]－lg[１＋sin(－x)] ＝lg(１＋sinx)－lg(１－sinx)＝－f(x)． ∴f(x)为奇函数． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７５􀅰 参考答案 x第七章 三角函数 课时作业 数课时 学作业 第2课时 寸 诱导公式(二) 纠错空间 基础过关 9.(多空题)已知f(x)= (sin zxx<o). II CH CUO CUAN (r-1)-1(>0), 1. cos17-sin7*的值是 ( ~ 则#-)_,)-___. A.2 B-2 10.已知角g的终边经过点P(一4,3),求 C.0 co(}oO) in()一--) 一的值. 2.设f(x)=asin(xx十a)十bcos(xx十③),其中 a,b.a,8ER,若f(2009)=5,则f(2020)等 于 C。 ) A.4 B.3 C.-5 D.5 cos(a+n)·sin(a+3) -的值为 tan(a-4n)·tan(a-x)sin ~ A.1 B.-1 C. sina (一2,题: n-5 )等一 D. tana 方法总结 4.若sincos回 sin6-cosf . _ ##}# B. 11.已知。是第三象限角,f(a) “(4-)o((tan(x一-) 5.已知com{),e0,tan等 tan(-a-π)sin(-a-x) (1)化简f(a) & ) #.## B# (2)若cos(a一 C.一③ D.③ 6.(多选题)定义:角8与c都是任意角,若满足。 十=90{},则称θ与 “广义互余”.已知sin( 余”的是 B. co(2tg)一1 C. tan3-V15 8.在△ABC中,已知sin BC . .13. 数学日 必修第三册 能力提升 13.是否存在角a,B且aE[-)(o) NENGI TI SHENG 12.证明: sin(3-)#co-8),同 sin(2n-a)cos(+)co+co(1 n),使等式 纠错空间 3cos(-a)=-2cos(+ 时成立. 一-tana. 若存在,求出g,?的值;若不存在,说明理由. 方法总结 ·14·